2019考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)-7页精选文档
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钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六）
万学海文
在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形．
【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞
=0
，则可直接利用公式，由||lim 1
n n n a a
+∞→=ρ，得收敛半径为ρ
1
=R ，收敛区间为),(R R -．
【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120
220
,++∞
=∞=∑∑n n n n
n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数
项级数)(1
x u n n ∑∞
=，由比值判别法，先求|)
()
(|
lim )(1x u x u x n n n +∞
→=ρ，再令1)( 第 2 页 求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1 a u n n ∑∞=与)(1 b u n n ∑∞ =的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是： （1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1 a u n n ∑∞=与)(1 b u n n ∑∞ =的敛散性． （2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题： ①若n n n x a ∑∞ =0 的收敛域为],[R R -，则幂级数10 -∞ =∑n n n x na 的收敛域为],[R R -． ②设幂级数n n n x a ∑∞ =0 在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ． ③设幂级数n n n n n n x b x a ∑∑∞ =∞ =0 , 的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0 +∑∞ =的收敛半径为},min{21R R R =． 第 3 页 ④设0>n a ，且满足),3,2,1(11 Λ=<+n a a n n ，则n n a ∑∞ =0 收敛． 这些命题中正确的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解 关于命题①，取n n x x a n n n n n ∑ ∑∞ =∞ ==1 ，其收敛域为[－1，1]，但11 -∞ =∑n n n x na 的收敛域为[－1，1），所以①不正确． 关于命题②，设幂级数n n n x a ∑∞=0 的收敛半径为R ．若2>R ，由于对满足R x <||的任意x ，级数n n n x a ∑∞ =0 绝对收敛，从而推出 n n n a )2(0 -∑∞ =绝对收敛，这与已知矛盾；若2 n n x a ∑∞ =0发散，从而推出n n n a )2(0 -∑∞ =发散，也与 已知矛盾．因此2=R ，②正确． 关于命题③，当21R R ≠时，},min{21R R R =，于是要考察21R R =的情形．设有两个级数n n n n n x n x n )1(,)211(1 1-+∑ ∑∞=∞ =，易求得它们的 第 4 页 收敛半径为121==R R ，但]1 )211[(1 n n n n x n x n -++∑ ∞ =n n n x 2 1 1 ∑∞ == 的收敛半径为2=R ，因此③不正确． 关于命题④，这里要注意，对于正项级数n n a ∑ ∞ =0 ， 若极限n n n a a 1 lim +∞→存在，且1lim 1<+∞→n n n a a ，则级数n n a ∑∞ =0 收敛．但11<+n n a a 与1 lim 1 <+∞→n n n a a 有本质区别，由11<+n n a a 可能得1lim 1=+∞→n n n a a ，这时比值判别法失效．例如：取n a n 1=，则111<+=+n n a a n n ，但n n a ∑∞ =0 发散，因此命题④ 不正确． 综上所述，可知应选B ． 【例2】设幂级数n n n x a )1(0 +∑∞ =的收敛域为（－4，2），则幂级数n n n x na )3(0 -∑∞ =的收敛区间为______． 解 设1+=x t ，则由题设知幂级数n n n t a ∑∞=0 的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数11 -∞ =∑n n n t na 的收敛半径也是3，显然，幂 级数n n n t na ∑∞ =0 有相同的收敛半径3．