2019考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)-7页精选文档

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钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六）
万学海文
在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。

下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。

求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形．
【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞
=0
，则可直接利用公式，由||lim 1
n n n a a
+∞→=ρ，得收敛半径为ρ
1
=R ，收敛区间为),(R R -．
【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120
220
,++∞
=∞=∑∑n n n n
n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数
项级数)(1
x u n n ∑∞
=，由比值判别法，先求|)
()
(|
lim )(1x u x u x n n n +∞
→=ρ，再令1)(<x ρ，解出x 的取值范围，即为收敛区间．收敛区间长度的一半即为收敛半径．
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求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1
a u n n ∑∞=与)(1
b u n n ∑∞
=的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是：
（1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1
a u n n ∑∞=与)(1
b u n n ∑∞
=的敛散性．
（2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变．
【例1】下面有四个命题：
①若n
n n x a ∑∞
=0
的收敛域为],[R R -，则幂级数10
-∞
=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -．
②设幂级数n n n x a ∑∞
=0
在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ．
③设幂级数n
n n n
n n x
b x
a ∑∑∞
=∞
=0
,
的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0
+∑∞
=的收敛半径为},min{21R R R =．
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④设0>n a ，且满足),3,2,1(11
Λ=<+n a a n
n ，则n n a ∑∞
=0
收敛．
这些命题中正确的个数是（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解 关于命题①，取n
n x x a n n n
n n ∑
∑∞
=∞
==1
，其收敛域为[－1，1]，但11
-∞
=∑n n n x na 的收敛域为[－1，1），所以①不正确．
关于命题②，设幂级数n
n n x a ∑∞=0
的收敛半径为R ．若2>R ，由于对满足R x <||的任意x ，级数n n n x a ∑∞
=0
绝对收敛，从而推出
n
n
n a
)2(0
-∑∞
=绝对收敛，这与已知矛盾；若2<R ，由于对满足R x >||的任意x ，级数n
n n x a ∑∞
=0发散，从而推出n n n a )2(0
-∑∞
=发散，也与
已知矛盾．因此2=R ，②正确．
关于命题③，当21R R ≠时，},min{21R R R =，于是要考察21R R =的情形．设有两个级数n
n n n n x n x n )1(,)211(1
1-+∑
∑∞=∞
=，易求得它们的
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收敛半径为121==R R ，但]1
)211[(1
n n n n x n x n -++∑
∞
=n n
n x 2
1
1
∑∞
==
的收敛半径为2=R ，因此③不正确．
关于命题④，这里要注意，对于正项级数n n a ∑
∞
=0
，
若极限n
n n a a 1
lim +∞→存在，且1lim 1<+∞→n n n a a ，则级数n n a ∑∞
=0
收敛．但11<+n n a a 与1
lim 1
<+∞→n
n n a a 有本质区别，由11<+n n a a 可能得1lim 1=+∞→n n n a a ，这时比值判别法失效．例如：取n a n 1=，则111<+=+n n
a a n n ，但n n a ∑∞
=0
发散，因此命题④
不正确．
综上所述，可知应选B ．
【例2】设幂级数n
n n x a )1(0
+∑∞
=的收敛域为（－4，2），则幂级数n n n x na )3(0
-∑∞
=的收敛区间为______．
解 设1+=x t ，则由题设知幂级数n
n n t a ∑∞=0
的收敛半径为3．由幂级数的性质，级数11
-∞
=∑n n n t na 的收敛半径也是3，显然，幂
级数n n n t na ∑∞
=0
有相同的收敛半径3．
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由|3|3x -<，可得幂级数n n n x na )3(0
-∑∞
=的收敛区间为（0，6）．
【例3】级数2
331
)ln(8)1(-∞
=+-∑n n n n x n n n 的收敛域为______． 解 |,|8)]1()1ln[()1(8)1()ln(8)1(lim )()(lim 3233133111x x n n n x n n n x u x u n n n n n n n n
n n =⋅++++-⋅+⋅-=-⋅+++∞→+∞→ 故当2
12
1<<-x 时，原级数绝对收敛．
又当2
1
=
x 时，有 ,)
(14
)1()ln(8)1(3
12
331
n n n n x n n n n n n n n n +⋅-=+-∑
∑
∞
=-∞
= 此级数满足交错级数收敛的条件，故原级数在2
1
=
x 处条件收敛．
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当21-=x 时，原级数化为∑∞
=+1
3
)ln(4
n n n n ，此级数是发散的，故该级数的收敛域为]21,21(-． 【例4】幂级数n n x n
n +-∑∞
=21
)2(的收敛域为______．
解 由于 1|)1()1(|
lim ||lim 221=++++==∞→+∞→n n n
n a a n n
n n ρ， 所以收敛半径为11
==ρR ，从而幂级数n n x n
n +-∑∞
=21
)2(的收敛区间满足1|2|<-x ，即为（1，3）．
当1=x 时级数n n n n +-∑
∞
=21
)1(收敛．当3=x 时级数n
n n +∑
∞
=2
11
也收敛，故题中幂级数的收敛域为[1，3]． 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。

2、每个人都必须发展两种重要的能力适应改变与动荡的能力以及为长期目标延缓享乐的能力。

3、将一付好牌打好没有什么了不起能将一付坏牌打好的人才值得钦佩。

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