高考数学解答题超经典题 推荐
数学题高中题带答案解析
数学题高中题带答案解析一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b/a的取值范围。
答案解析：由题意知，f(x)在x=1处取得极小值，因此f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) = 2a + b = 0，从而得到b = -2a。
由于a>0，所以b<0。
因此，b/a = -2。
2. 一个等差数列的前三项分别是2x-3，4x-1和10-3x，求x的值。
答案解析：由等差数列的性质可知，第二项减去第一项等于第三项减去第二项，即(4x-1) - (2x-3) = (10-3x) - (4x-1)。
化简得2x + 2 = 7 - 7x，解得x = 1。
3. 已知一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，且d<r/2，求圆上到直线距离最大的点到直线的距离。
答案解析：圆心到直线的距离d是圆心到直线垂线段的长度。
由于d<r/2，根据勾股定理，圆上到直线距离最大的点实际上就是圆心投影点到直线的那一侧的圆上点。
因此，该点到直线的距离为半径r与圆心到直线垂线段d之和，即r + d。
二、填空题1. 若一个等比数列的前三项分别为a, b, c，公比为q，那么该数列的通项公式为______。
答案解析：等比数列的通项公式为an = a * q^(n-1)，其中an表示第n项，a为首项，q为公比。
2. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标为______。
答案解析：点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标可以通过交换A点的x和y坐标得到，即B(3,2)。
三、解答题1. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求g(x)的单调区间。
答案解析：首先求函数g(x)的导数g'(x) = 3x^2 - 6x - 9。
高中数学经典高考难题集锦
《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。
然后，将这些值组成集合A。
2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。
3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。
二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。
解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。
因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。
2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。
解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。
当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。
3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。
解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。
当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。
数学高考真题答案及解析版
数学高考真题答案及解析版一、选择题1. 本题考查函数的性质和应用。
设函数f(x) = 2^x - 3，若f(x) = 5，则x = 2。
因为f(x)在R上是增函数，所以f(x) > 5 当 x > 2。
因此，选项A正确。
2. 根据题目，我们需要求解不等式。
首先，将不等式整理为标准形式：3x - 2 > 7。
解得x > 3，所以选项C是正确答案。
3. 题目涉及三角函数的图像和性质。
正弦函数y = sin(x)在区间[0,2π]内的最大值为1，最小值为-1。
因此，选项B描述正确。
4. 这是一个关于复数的问题。
设复数z = a + bi，其中a和b是实数。
根据题目条件，z的模长为5，即√(a^2 + b^2) = 5。
又因为z的实部为3，即a = 3。
代入模长公式，解得b = 4。
所以，复数z = 3 +4i，选项D正确。
5. 本题要求我们利用概率的基本原理计算事件的概率。
根据古典概型，事件A的概率P(A) = 事件A的基本事件数 / 总的基本事件数。
这里，事件A是抽取到红色球，有3个红色球和5个蓝色球，总共8个球。
所以，P(A) = 3/8。
选项B是正确答案。
二、填空题1. 题目要求求解几何级数的和。
根据等比数列求和公式，S = a(1 -r^n) / (1 - r)，其中a是首项，r是公比，n是项数。
将题目中的数值代入公式，得到S = 1(1 - 2^5) / (1 - 2) = 31/(-1) = -31。
2. 本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系。
设圆心为O(0,0)，半径r = 3。
直线方程为y = x + 1。
圆心到直线的距离d = |0 - 0 + 1|/ √2 = 1/√2。
因为 d < r，所以直线与圆相交。
根据相交弦的性质，弦长l = 2√(r^2 - d^2) = 2√(9 - 1/2) = √34。
三、解答题1. 首先，我们需要证明函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0,3]上是单调递增的。
高考数学解答题精华
高考数学解答题精华1. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
答案：最小值为 1。
2. 设\( \triangle ABC \) 是直角三角形，\( \cos A = \frac{1}{3} \)，求 \( \sin A \) 的值。
答案：\( \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)。
3. 求解方程组：\( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} \)。
答案：\( x = 3, y = 2 \)。
4. 已知 \( \tan \theta = 3 \)，求 \( \sin \theta \) 和\( \cos \theta \) 的值。
答案：\( \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{3}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)，\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)。
5. 已知 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，求 \( \cos \alpha \) 的值。
答案：\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5} \)。
6. 求函数 \( g(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) 在 \( [1, 2] \) 上的最大值和最小值。
高考题推荐带解析知识点
高考题推荐带解析知识点高考是每个学生都要面对的重要考试，合理的备考规划和针对性的复习是取得好成绩的关键。
在备考过程中，不仅需要进行大量的复习，还需要做题来检验对知识点的掌握程度。
因此，今天我将向大家推荐一些高考题，并结合解析，帮助大家更加深入地理解相关知识点。
数学1. 已知f(x) = 3x² + ax，当x = -1时，f(x)取得最小值-4，则a的值为多少？解析：由题意可知，函数f(x)为一个二次函数，开口向上。
当函数取得最小值时，二次函数的顶点对应的x值即为所求的解。
根据顶点的横坐标公式可得x = -b/2a。
将函数f(x)化简为标准式可得3x²+ ax = 3(x + a/6)² - (a²/12)。
根据题意可知，顶点的横坐标为-1，代入公式可得-1 = -a/6，解得a = -6。
2. 设等差数列{an}的首项为a₁，公差为d，且满足an = 3n²+ 2n + 1，求a₁，d的值。
解析：根据题意可得an = a₁ + (n - 1)d。
将等差数列的通项an代入公式可得3n² + 2n + 1 = a₁ + (n - 1)d。
由此可得a₁ = 1，d = 4。
语文1. 下面哪个成语形象地描绘了人们远离家乡，到外地谋生的情景？A. 居无定所B. 庖丁解牛C. 翻山越岭D. 门可罗雀解析：C. 翻山越岭。
该成语形像地描绘了人们离开家乡，跨越山脉进行谋生的情景。
2. 下列句子中，哪一句使用了夸张的修辞手法？A. 太阳升起时，万物仿佛都焕发了生机。
B. 小明家的花园里开满了各种各样的花。
C. 她是我见过的最美的女孩。
D. 小猫吃饭的时候一口气把碗里的饭都吃光了。
解析：C. 她是我见过的最美的女孩。
该句使用了夸张手法，用最高级的形容词强调了女孩的美丽程度。
英语1. Choose the correct word to complete the sentence: I'm ________ to hear that you got the job!A. thrillingB. trembleC. thrilledD. trembling解析：C. thrilled。
高考数学必考难题试题答案
高考数学必考难题试题答案一、选择题1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1和x=-1处取得相同的值，且a<0，那么a、b、c之间的关系是（）。
A. a = -b + cB. a + b + c = 0C. b = -2a - cD. 2a + b + c = 0答案：C解析：由题意可知，f(1) = f(-1)，即a + b + c = a - b + c，化简得2b = 0，所以b = 0。
又因为a < 0，所以c = -a。
代入b = 0，得c = -a，进一步得出b = -2a - c。
2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = (1/2)^(n-1) * (an-1 + 1)，若bn = an - 1，则求证：数列{bn}是等比数列。
答案：证明如下：由题意，an = (1/2)^(n-1) * (an-1 + 1)，可得：bn = an - 1 = (1/2)^(n-1) * (an-1 + 1) - 1将n-1代入，得：bn-1 = (1/2)^(n-2) * (an-2 + 1) - 1将两个式子相除，得：bn / bn-1 = [(1/2)^(n-1) * (an-1 + 1) - 1] / [(1/2)^(n-2) * (an-2 + 1) - 1] = 1/2所以bn / bn-1 = 1/2为常数，故数列{bn}是首项为b1 = a2 - 1 = (1/2) * (a1 + 1) - 1 = 1/2，公比q = 1/2的等比数列。
二、填空题1. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16，点P(5,0)到圆心的距离为______。
答案：√13解析：圆心坐标为(2,3)，点P(5,0)，根据两点间距离公式，有：d = √[(5-2)^2 + (0-3)^2] = √[3^2 + (-3)^2] = √(9 + 9) =√18 = √13三、解答题1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，在x∈[-2,3]上的最大值为7，求函数在该区间上的最小值。
上海高考数学好题赏析
上海高考数学好题赏析全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：上海高考数学是我国高考数学水平最高的一批考生，他们在高考数学中展现出了极高的技术水平和解题能力。
在这里，让我们一起来欣赏一些上海高考数学中的好题，领略他们的数学风采。
在上海高考数学中，有一道经典好题是关于函数的题目。
题目如下：已知函数f(x) = 3x^2 + 5x - 2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。
这道题目考察了考生对函数极值的求解方法以及区间的边界值的运用，需要考生运用导数的知识来解题。
通过求解导数为0的方程，可以得出函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值，同时还需要验证边界值。
这道题目不仅考察了考生的计算能力，还要考察考生的逻辑思维能力和解题方法。
上海高考数学中的函数题目往往具有一定的难度，考验考生的数学功底和解题能力。
另外一道好题是关于概率的题目。
题目如下：一个袋子里有4个红球和6个白球，分别编号为1到10，随机取出一个球，求取出的球的编号为偶数的概率。
这道题目考察了考生对概率计算的掌握程度，需要考生分析取出偶数号球的可能性与总取球的可能性之比来求解。
通过计算出符合条件的取球情况数目和总的取球情况数目，就可以求得概率。
这道题目要求考生具有逻辑性思维和计算能力，是一道典型的概率计算题目。
除了函数和概率题目外，上海高考数学中还有很多其他类型的好题，包括几何题目、数列题目、方程题目等等。
这些好题要求考生具有广泛的数学知识储备和灵活的解题思路，是对考生综合数学能力的综合考核。
通过欣赏上海高考数学中的好题，我们不仅可以感受到考生们的数学才华和解题能力，还可以了解到数学在高考中的重要性和广泛性。
数学是一门智慧的艺术，需要我们用心去理解和掌握。
希望广大学生们能够在数学的道路上不断努力，充实自己的数学知识，挑战高难度题目，展现自己的数学风采，为自己的未来奠定坚实的基础。
【注：本文参考了相关资料，如有雷同纯属巧合】。
高考数学解答题专项训练(含详解) 共七套
一、三角函数专项训练1、已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？1、解：（I）1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=-平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象2、已知函数.3cos 33cos 3sin )(2x x x x f +=（Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图像对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.2、解：23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f由)332sin(π+x =0即z k k x z k k x ∈-=∈=+πππ213)(332得即对称中心的横坐标为z k k ∈-，π213 （Ⅱ）由已知b 2=a c ，，212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a x，，，，1)332sin(3sin |295||23|953323301cos 21≤+<∴->-≤+<≤<<≤∴ππππππππππx x x x，231)332sin(3+≤+<∴πx 即)(x f 的值域为]231,3(+.综上所述，]3,0(π∈x ， )(x f 值域为]231,3(+.3、（本小题满分10分）已知函数)0,0(),sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象如图所示. （Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）令.),(21)(的最大值求M x f x f M -+= 3．解：（Ⅰ）由图象可知，.162,2==ωπA )6()48sin(2)()5(.4,68,0)(,6,)3().8sin(2)(.8分所求函数的解析式为分且时当又知分 πππϕπϕπϕππω+=∴=∴=+⨯==+=∴=∴x x f x f x x x f（Ⅱ）]4)(8sin[221)48sin(2ππππ+-⨯++=x x M )12(.512)10()48cos()48sin(2)8()]48(2sin[)48sin(22max 分分分 =+=∴+++=+-++=M x x x x πππππππππ4、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，且cos A =31(Ⅰ)求sin 22B C ++cos2A 的值；(Ⅱ)若a =3,求bc 的最大值。
高考数学真题及答案解析版
高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a+b+c的值。
答案解析：根据题意，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1，由此可得b=-2a。
又因为f(1)=3，代入得a+b+c=3。
将b=-2a代入，得到a-2a+c=3，即c=5-a。
由于a>0，所以c>5。
综合以上信息，我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3，解得a=1，进而得到b=-2，c=4。
所以a+b+c=1+(-2)+4=3。
2. 题目内容：设集合A={x|x^2 < 4}，B={x|x < 0}，求A∪B的值。
答案解析：集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合，即-2 <x < 2。
集合B表示的是所有小于0的x值的集合。
求A∪B，即求A和B的并集，也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。
由于A的范围是-2到2之间，而B是小于0的所有数，因此A∪B的范围是从负无穷到2，即A∪B={x|x < 2}。
3. 题目内容：已知数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2(n≥2)，求a5的值。
答案解析：根据递推公式an=3an-1+2，我们可以逐步计算数列的前几项。
首先a1=1，然后a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17，a4=3a3+2=53，最后a5=3a4+2=161。
所以a5的值为161。
二、填空题1. 题目内容：若sinθ=0.6，则cosθ的值为______。
答案解析：根据三角函数的基本关系，sin^2θ+cos^2θ=1。
已知sinθ=0.6，所以0.6^2+cos^2θ=1，解得cos^2θ=1-0.36=0.64。
由于cosθ的值在-1到1之间，所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。
高考数学好题巧解50道
案例 5、函数单调性
当x 0, 2 时，且sin 3 x-cos3x>cosx-sinx ，求x 的取值范围。
解：注意题设条件结构，想到构造函数法，不妨将条件先做这样的变
形 sin3 x-cos3x>cosx-sinx cos3x+cosx sin3 x+sinx 。发现左右两边结构一致
性，故令 f x=x3+x 。现在我们来求此函数的单调性，因此我们对函 数进行求导分析 f x =x3+x f x =3x2+1>0 。显然 x 在 R 内严格单调递
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显然 A 坐标为 A（-1，-1）。设 A 坐标为 A（m，n），则线段 AA
中点坐标为
m-1，n+5 22
在直线
x-y+2=0
上，则
m-n=2
（1）。另外因为线
段
AA
x
x
（0，e）
e
e，+
x
-
0
+
x
min x = 0=0
从而当 x=n N *，n 2，n eln n ，都是成立的，这样我们就得到了 n 2
时有 ln n
n2
1 ln n e n-1
，n1 12
+
ln 2 22
ln 3 32
+...+
ln n n2
ln n e
b ac b ac
解。到此，这两个解是真是假我们还不知道呢，不妨就让我揭开庐山
真面目吧。因为 x2-2bx+b2 =0 x-b 2 =0 x=b ，结合 a+c=2b 和 b2 =ac 解得
高考数学真题高等数学解法
高考数学真题高等数学解法高考数学真题一直是考生备考的焦点和难点，尤其是高等数学部分的题目更是让很多学生望而却步。
下面将从不同类型的高考数学真题中选取几道高等数学题目，进行详细的解析和解题思路。
1. 有一曲线的切线方程为 $y = x^2 - 2x$，过曲线上一点 $P$ (2, 2)作该切线的垂线，所得直线与 $y$ 轴相交于一点 $Q$，求 $PQ$ 的长度。
解析：首先求出曲线的斜率，由 $y' = 2x - 2$ 可得切线斜率为 $2\cdot 2 - 2 = 2$。
过点 $P$ (2, 2) 作斜率为负倒数的直线，即斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线，其方程为 $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 2)$，化简得 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。
将该直线与 $y$ 轴相交，可得 $x = 0$ 时，$y =3$，因此 $Q$ 点坐标为 $(0, 3)$。
利用两点间距离公式，可得 $PQ$ 的长度为 $\sqrt{(0-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5}$。
2. 已知方程组 $\begin{cases} y = mx - 2 \\ y^2 + (mx - 1)y = 0\end{cases}$，其中 $m$ 为实数，求 $m$ 的取值范围。
解析：将第一个方程代入第二个方程中，得到 $(mx - 2)^2 + (mx - 1)(mx - 2) = 0$。
化简得 $m(2m - 5)x^2 + 2(2 - m)x + 4 = 0$。
由二次方程有实根的条件可得 $\Delta = 4(m^2 - 5m + 4) \geq 0$，解得 $1 \leq m\leq 4$。
3. 设函数 $f(x) = e^{2x} \cdot (\sin x - \cos x)$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。
解析：首先对 $f(x)$ 进行求导，利用乘积法则和链式法则可得 $f'(x) = (e^{2x} \cdot \cos x + 2e^{2x} \cdot (\sin x - \cos x))$。
高三数学一些经典题目(附标准解题过程)
高三数学经典题目（含答案与解题过程）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13.4()x y y x -的展开式中23x y 的系数为 .解：()4224()x y y xx y x y -=-，只需求4()x y -展开式中的含xy 项的系数：246C =14.设等差数列{}m a 的前n 项和为m s .若453,55s a a s ==则. 解：{}n a 为等差数列，9553995Sa S a ∴== 15.设OA 是球O 的半径,M 是OA 的中点,过M 且与OA 成45角的平面截球O 的表面得到圆C.若圆C 的面积等于74π,则球O 的表面积等于 . 设球半径为R ，圆C 的半径为r ，2277.444r r ππ==,得由因为22224R OC R ==。
由2222217()484R R r R =+=+得22R =.故球O 的表面积等于8π.16.已知AC 、BD 为圆22:4o x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为2)M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.四边形ABCD 的面积222212121||||2(4)8()52S AB CD d d d d =⋅=-≤-+=)(4- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 23cos()cos ,2A CB b ac -+==求B 解：由3cos()cos 2A CB -+=，得 ()B A C π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3cos()cos()2A C A C --+= 然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化， 得2sin sin sin B A C =，进而得3sin 2B =. 故233B ππ=或。
高三数学推荐刷题试卷答案
一、选择题1. 答案：B解析：首先，我们要求出函数的定义域。
由于根号下的表达式必须大于等于0，所以有：x - 1 ≥ 0解得：x ≥ 1因此，函数的定义域为[1, +∞)。
接下来，我们要判断函数的奇偶性。
由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数。
故选B。
2. 答案：C解析：首先，我们求出函数的导数：f'(x) = 2x + 1令f'(x) = 0，解得x = -1/2。
因此，函数在x = -1/2处取得极小值。
又因为f(-1) = -1，f(0) = 1，f(1) = 3，所以函数在x = -1/2处取得最小值。
故选C。
3. 答案：D解析：首先，我们求出函数的导数：f'(x) = (x - 1)^2 / (x + 1)^3令f'(x) = 0，解得x = 1。
因此，函数在x = 1处取得极小值。
又因为f(-1) =-1/8，f(0) = 1/2，f(1) = 1/8，所以函数在x = 1处取得最小值。
故选D。
4. 答案：B解析：首先，我们求出函数的导数：f'(x) = (x - 1)(x + 3)令f'(x) = 0，解得x = 1或x = -3。
因此，函数在x = 1处取得极小值，x = -3处取得极大值。
又因为f(-2) = 4，f(0) = 0，f(2) = 0，所以函数在x = 1处取得最小值。
故选B。
5. 答案：A解析：首先，我们求出函数的导数：f'(x) = 2x - 1令f'(x) = 0，解得x = 1/2。
因此，函数在x = 1/2处取得极小值。
又因为f(0) = -1，f(1) = 1，f(2) = 3，所以函数在x = 1/2处取得最小值。
故选A。
二、填空题1. 答案：x = 2解析：由于方程的解为x = 2，代入方程中得：2^2 - 2×2 + 1 = 0因此，方程的解为x = 2。
高中高数作业中的经典题目解析
高中高数作业中的经典题目解析高中数学作业中的经典题目往往是解题思路与方法的集中体现，这些题目不仅考察学生对数学知识的掌握程度，还锻炼了他们的逻辑思维能力。
接下来，将对一些经典题目进行解析，以便更好地帮助学生理解和掌握这些重要的知识点。
首先，考虑一道典型的高中数学题目：已知函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数在区间 [1, 4]上的最小值和最大值。
这个问题涉及到函数的基本性质，包括求导数和分析极值。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 函数的导数：首先计算函数 f(x) 的一阶导数 f'(x) = 2x - 4。
这个导数可以帮助我们找到函数的极值点。
令 f'(x) = 0，得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
2. 判断极值：接下来，我们需要判断 x = 2是最小值点还是最大值点。
我们可以计算函数在 x = 2的值，得到 f(2) = 2^2 - 42 + 3 = -1。
为了确认这是一个极小值点，可以进一步计算二阶导数f''(x) = 2，发现 f''(x) 是正的，因此 x = 2是一个局部最小值点。
3.函数在区间端点的值：还需要计算函数在区间端点的值。
计算得到 f(1) = 1^2 - 41 + 3 = 0 和 f(4) = 4^2 - 44 + 3 = 3。
4. 比较：最后，将 x = 2 的值 -1 与端点的值 0 和 3比较。
可以看出，函数在区间 [1, 4] 上的最小值是 -1，最大值是 3。
通过这种方式，学生不仅学会了如何利用导数求解极值，还掌握了在给定区间内找到函数最值的技巧。
另一个经典题目是几何问题：在一个半径为 R的圆内，任意选择一个点 O 和圆上的两个点 A 和 B，求角 AOB 的最大值。
这个问题涉及到圆的几何性质和三角函数的知识。
1.使用弦的性质：圆中，任意弦与圆心连线形成的角是弦所对的圆周角的两倍。
高三数学学习中的经典习题解析
高三数学学习中的经典习题解析高三学生在备战数学考试时，经典习题的解析是非常重要的。
本文将为大家分享几个高三数学经典习题的解析，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。
一、函数与极限1. 题目：已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(-1)的值。
解析：将x替换为-1，代入函数f(x)的表达式中，则有f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 1 = 2 - 3 - 1 = -2。
2. 题目：函数f(x) = (x - 1)^2 + 2在x = 3处的极限是多少？解析：当x趋近于3时，函数f(x)趋近于[(3 - 1)^2 + 2] = 6。
二、三角函数与三角恒等式1. 题目：已知sinθ = 3/5，求cosθ的值。
解析：根据三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，可得cos^2θ = 1 - sin^2θ = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25。
由此可得cosθ = ±sqrt(16/25) = ±4/5。
根据给定的信息sinθ > 0，因此cosθ = 4/5。
2. 题目：已知sinθ + cosθ = 1，求sin(π/4 - θ)的值。
解析：利用三角恒等式sin(π/4 - θ) = sinπ/4·cosθ - cosπ/4·sinθ =(1/√2)·cosθ - (1/√2)·sinθ，代入已知条件sinθ + cosθ = 1，可得sin(π/4 - θ) = (1/√2)·(cosθ - sinθ) = (1/√2)·(1 - 2sinθ)。
由已知条件sinθ + cosθ = 1，可推导出sinθ = 1 - cosθ。
代入该式，可求得sin(π/4 - θ) = (1/√2)·(1 - 2(1 - c osθ)) = (1/√2)·(2cosθ - 1)。
高考数学必考解答题完整答案
高中数学解答题一．解答题（共40小题）1．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，，E，F分别是BC，PC的中点．（1）求证：AC⊥平面PAB；（2）当平面PDC与底面ABCD所成二面角为时，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．2．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形的对角线AC与BD交于点O，且AB=2，OP=3．点M在线段PC上，设=λ．（1）若λ=，求直线AM与PB所成角的余弦；（2）若平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，AB=2，PD=BC=．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）棱PB上是否存在一点E，使得二面角E﹣AC﹣P的余弦值为．若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连PO．（I）求证：PO⊥平面ABCD；（II）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值；（III）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长．5．如图，在四棱锥A﹣OBCD中，底面OBCD是边长为1的菱形，∠OBC=60°，AO⊥底面OBCD，OA=2，M是线段AD的中点．（1）求证：AB∥平面OMC；（2）求平面BOM与平面COM所成锐二面角的余弦值．6．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（1）证明：AB⊥A1C（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求点A到平面BB1C1C的距离．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=2（1）证明：平面CEF⊥平面PAD；（2）若点F是PB的中点，求直线CP与平面CEF所成角的正弦值．8．如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为棱BB1上一点，且BE=3EB1．（1）求证：平面ACE⊥平面BDD1B1；（2）求二面角C﹣AE﹣B的余弦值．9．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为4+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为（，0），则•是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．10．已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及焦点坐标；（Ⅱ）过椭圆W的右焦点作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点，过椭圆上不同于点A，B的任意一点P，作直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．证明：点M，N的横坐标之积为定值．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．12．已知椭圆C：+=1（m为常数且m＞2）与直线l：ax+by=1有且只有一个公共点P，a，b∈R．（Ⅰ）当点P的坐标为（2，1）时，求直线l的方程；（Ⅱ）过椭圆C的两焦点F1，F2作直线l的垂线，垂足分别为A，B，求四边形ABF2F1面积的最大值（用m表示）．13．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2﹣4ρcosθ+3=0，曲线C2：ρ=．（I）求曲线C1及C2的直角坐标方程；（II）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离最大值．14．在极坐标系中．曲线C1的极坐标方程是ρ2（1+3sin2θ）=16，点P是曲线C1上的动点，点M满足=2（O为极点），设点M的轨迹为曲线C2，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C2的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设直线l交两坐标轴于A，B两点，求△ABM面积的最大值．15．在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．16．在直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C1的方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，直线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．（I）写出C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C1的交点为M，C3与C1的交点为N，求△OMN 的面积．17．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．（1）求a的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？19．某银行柜台设有一个服务窗口，假设各顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需时间进行统计，结果如表：从第一个顾客开始办理业务时计时，以所作统计的各办理业务所需时间的频率作为其所需时间的概率．（1）求第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．20．2018年俄罗斯世界杯是第21届世界杯足球赛，比赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯境内11座城市中的12座球场内进行．为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取200名群众进行统计，得到如下2×2列联表：（1）将2×2列联表补充完整，并判断能否有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关？（2）从上述150名喜爱足球运动的群众中，按性别用分层抽样的方式抽取10人，再从这10人中随机抽取2人前往俄罗斯观看世界杯比赛．用X表示抽取2人中的女性人数，求X的分布列及数学期望E （X）．参考公式和数据：，其中n=a+b+c+d．21．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣n|．（I）若m=n=﹣2，解不等式f（x）＞6；（II）若m，n均为正实数，且=1，求证：f（x）．22．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（1）解不等式f（x）≥7；（2）若关于x的不等式f（x）+|x﹣2|＞a恒成立，求实数a的取值范围．23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（I）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（II）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围25．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2a1﹣1，S5=4S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．26．已知数列{a n}满足；（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}前n项和为S n．27．数列{a n}，{b n}中，S n为数列{a n}的前n项和，且满足a1=b1=1，3S n=（n+2）a n，．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）令c n=lnb n，T n=c1+c2+c3+…+c n，求证：．28．已知各项是正数的数列{a n}的前n项和为S n．（1）若（n∈N*，n≥2），且a1=2．①求数列{a n}的通项公式；②若对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）数列{a n}是公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，且{a n}的前n项积为．若存在正整数k，对任意n∈N*，使得为定值，求首项a1的值．29．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N*，S n=2a n﹣n．（I）求数列{a n}的通项公式：（II）令bn=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有30．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T2018．31．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．32．已知=（sinx，cos（x+）+1），=（cosx，cos（x+）﹣1），设f（x）=．（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且a=2，b=，f（C）=2，求c边．33．已知数列{a n}的通项是a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和为S n（2）设数列的前n项和为T n，求T n．34．已知正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．35．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．36．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．（1）求角A；（2）若b=2，c=3，点P在△ABC内，且BP=2，∠A+∠BPC=π，求△BCP的面积．37．已知函数f（x）=，g（x）=x﹣，其中m∈R，m≠0．（I）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）对任意实数x1，x2∈[1，+∞），都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．38．已知函数（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若方程f（﹣x）+f（x）=e x﹣3在区间（0，+∞）上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数m，n∈[0，2]，且|m﹣n|≥1，使得f（m）=f（n），求证：．39．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：（n∈N*，n＞1）．40．已知函数f（x）=x2+（m+2）x+n（m，n为常数）（1）当n=1时．讨论函数g（x）=e x f（x）的单调性；（2）当n=2时．不等式f（x）≤e x+2x+m+2在区间（1，+∞）上恒成立．求m的取值范围．高中数学解答题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，，E，F分别是BC，PC的中点．（1）求证：AC⊥平面PAB；（2）当平面PDC与底面ABCD所成二面角为时，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，∵PB=PC，∴AB=AC，∴AB=AC=1，且，∴△ABC是直角三角形，且，……………………………（3分）∴AC⊥AB，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，且PA∩AC=A，∴AC⊥平面PAB…（6分）解：（2）解法1：由（1）知AC⊥AB，且ABCD是平行四边形，可知AC⊥CD，又∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，PC⊥CD，又∵PC∩AC=C由二面角的平面角的定义可知，∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，∴，∴在Rt△PAC中，AC=1，∴，PC=2，∴，……………………………（8分）又在Rt△ABC中，，∴在等腰三角形△FAE，分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，∴中位线FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，在△AEF中，中线FM⊥AE，由三垂线定理知，MN⊥AE，∠FMN为二面角F﹣AE﹣C的平面角，……………………………………（10分）在Rt△FMN中，，，．∴二面角F﹣AE﹣C的余弦值为…………………………………………………（12分）解法2：由（Ⅰ）知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=λ，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，λ），D（﹣1，1，0），，，则，，，设平面PCD的一个法向量为，则由，又是平面ABCD的一个法向量，平面PDC与底面ABCD所成二面角为，解得，设平面FAE的一个法向量为，则由．又=（0，0，）是平面AEC的一个法向量，设二面角F﹣AE﹣C的平面角为θ，则，∴∴二面角F﹣AE﹣C的余弦值为..…………………………（12分）2．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形的对角线AC与BD交于点O，且AB=2，OP=3．点M在线段PC上，设=λ．（1）若λ=，求直线AM与PB所成角的余弦；（2）若平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．【解答】解：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣，0，0），P（0，0，3），M（﹣，0，），B（0，，0），=（﹣，0，），=（0，，﹣3），设直线AM与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AM与PB所成角的余弦为．（2）设M（a，b，c），则，即（a+，b，c）=（），∴，∴M（，0，3λ），=（﹣，，0），=（，0，3λ），=（﹣，0，3），=（﹣2，0，0），设平面ABM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），设平面ABP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），∵平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得λ=．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，AB=2，PD=BC=．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）棱PB上是否存在一点E，使得二面角E﹣AC﹣P的余弦值为．若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）证明：∵AD⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥AD．∵PA⊥面ABCD，DC⊂平面ABCD．∴DC⊥PA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵AD∩PA=A，∴DC⊥平面PAD．∵DC⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）解：以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图所示AD==1，由点C向AB作垂线CH，则BH=，所以DC=AH=AB﹣BH=1，所以A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（1，1，0）设E（x，y，z），因为E在棱PB上，所以=（0＜λ＜1），所以E（0，2λ，1﹣λ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设平面PAC的法向量，由⇒则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设平面EAC的法向量=（a，b，c），由，取﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以cosθ==，解得，所以存在E（0，1，），即E为PB中点时，使得二面角E﹣AC﹣P的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连PO．（I）求证：PO⊥平面ABCD；（II）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值；（III）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连结PO，则四边形BODC为矩形，在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60°，则PO==∴PO2+DO2=PD2，∴PO⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵PO=，∠PAD=30°，可得AO=3，则，O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0），设平面APB的法向量为，，由，得．设平面CPB的法向量为=（a，b，c），由，得cos===．∵二面角A﹣PB﹣C是钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，则=（3，﹣，0）+λ（﹣3，0，）=（3﹣3λ，﹣，λ），又平面PAD的法向量为直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为|cos|=×=，解得，∴PM==．5．如图，在四棱锥A﹣OBCD中，底面OBCD是边长为1的菱形，∠OBC=60°，AO⊥底面OBCD，OA=2，M是线段AD的中点．（1）求证：AB∥平面OMC；（2）求平面BOM与平面COM所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连接OC交BD于N，连接MN，∵底面OBCD是菱形，∴N为OC中点，又M是线段AD的中点，∴MN∥AB，又NM⊂平面OMC，AB⊄平面OMC，∴AB∥平面OMC；解：（2）作OP⊥CD于点P，分别以OB，OP，OA所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），A（0，0，2），D（﹣，，0），M（﹣，，1），C（，，0），设平面OBM的法向量为=（x，y，z），平面OCM的法向量为，，，由，可得由可得，∴cos=，∴平面BOM与平面COM所成锐二面角的余弦值为．6．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（1）证明：AB⊥A1C（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求点A到平面BB1C1C的距离．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）解：由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB．又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两互相垂直．…………………………………………（6分）连接OB1，CB1，因为AC=CB=AB=AA1=2，∠BAA1=60°，所以OC=，由余弦定理得OB1=，所以CB1=，…………………………（8分）在△CBB1中由余弦定理得，cos∠CBB1=﹣，sin∠CBB1=，………………（9分）设点A到平面BB 1C1C的距离为h，由，得，，所以h=．7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，点E是AD的中点，点F在棱PB上，AD∥BC，AB⊥AD，PA=PD=2，BC=AD=1，AB=2（1）证明：平面CEF⊥平面PAD；（2）若点F是PB的中点，求直线CP与平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由PA=PD=2，点E是AD的中点，∴PA⊥AD，ABCE是矩形，∴EC⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，EC∴PA⊥平面ABCDEC⊂平面ABCD∴PA⊥EC．∵BC=AD=1，AD∥BC，AB⊥AD，∴EC⊥AD，AD⊂平面PAD∴平面CEF⊥平面PAD．（2）解：由（1）可得PA⊥AD，EC⊥AD，PA⊥EC，以E为坐标原点，向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．E（0，0，0），P（0，0，），C（0，2，0），B（﹣1，1，0），F（，，）．=（0，2，0），=（，，）.=（1，﹣1，）设平面CEF的法向量为（x，y，z），∴即，令x=，可得：，∴平面CEF的法向量为（，0，1），设直线CP与平面CEF所成角为θ，则sinθ=||=．故得直线CP与平面CEF所成角的正弦值为．8．如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为棱BB1上一点，且BE=3EB1．（1）求证：平面ACE⊥平面BDD1B1；（2）求二面角C﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∴BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC．∵BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BDD1B1，又AC⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDD1B1．（2）解：设AC与BD交于点O，A1C1与B1D1交于点O1，以O为原点，OA、OB、OO1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则，，E（0，2，3），D1（0，﹣2.4），则，，，设为平面ACE的法向量，则，取z 1=2，则．取AB的中点F，连接DF，则DF⊥AB，易证DF⊥平面ABE，从而平面ABE的一个法向量为．∴，∴由图可知，二面角C﹣AE﹣B为锐角，二面角C﹣AE﹣B的余弦值为．9．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为4+2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为（，0），则•是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（I）由题意得：，，a2=b2+c2，联立解得：，，∴椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，化为（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣4）=24k2+16＞0，∴，，，．∴===．所以为定值，定值为．10．已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程及焦点坐标；（Ⅱ）过椭圆W的右焦点作x轴的垂线，交椭圆于A，B两点，过椭圆上不同于点A，B的任意一点P，作直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．证明：点M，N的横坐标之积为定值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．知，又因为离心率，所以c=1则b2=a2﹣c2=2，所以椭圆W的标准方程为，焦点坐标为（±1，0）；（Ⅱ）证明：M，N两点的横坐标之积为定值，且定值为3．设点A（x1，y1），B（x1，﹣y1）（y1≠0），P（x0，y0）（y0≠±y1，x0≠±x1），则PA方程为：①PB方程为：②联立①②得，．所以又因为，∴，点M，N的横坐标之积为定值3．11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．【解答】解：（1）由已知c=1，，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，AB=，得S1•S2=6．当l斜率存在时，设为直线为y=kx+m，由l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得m2+2km=1…（*）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．|AB|=．Q到直线的距离，S1•S2==．将（*）式代入得S1•S2=，令t=m2+1∈（1，+∞）．∴S1•S2==．综上，S1•S2的最大值为6．12．已知椭圆C：+=1（m为常数且m＞2）与直线l：ax+by=1有且只有一个公共点P，a，b∈R．（Ⅰ）当点P的坐标为（2，1）时，求直线l的方程；（Ⅱ）过椭圆C的两焦点F1，F2作直线l的垂线，垂足分别为A，B，求四边形ABF2F1面积的最大值（用m表示）．【解答】解：（Ⅰ）∵点P（2，1）在椭圆C：+=1（m为常数且m＞2）上，∴=1，解得m=8，联立，得：（b2+4）x2﹣8ax+4﹣8b2=0，此方程有且只有一解x=2，∴，解得a=，b=，∴直线l的方程为：x+2y﹣4=0．（Ⅱ）联立，得：（2b2+a2m）x2﹣2amx+m﹣2b2m=0，由△=4a2m2﹣4（2b2+a2m）（m﹣2b2m）=0，得，由a2＞0，得0＜b2，原点O到直线l：ax+by=1的距离d=，|AF1|+|BF2|=2d，线段F1F2在直线l：ax+by=1上的投影长：|AB|=|F1F2|•=2•，∴四边形ABF2F1的面积为：S=•2•=2•，把代入可得：S=2•，令f（x）=（m﹣2）x+，（0＜x＜），由函数的单调性可知：（ⅰ）当m≤4时，ABF2F1的面积S的最大值为m；（ⅱ）当2＜m＜4时，ABF2F1的面积S的最大值为2．（10分）13．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2﹣4ρcosθ+3=0，曲线C2：ρ=．（I）求曲线C1及C2的直角坐标方程；（II）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上的点的距离最大值．【解答】解：（I）∵曲线C1：ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，∵曲线C2：ρ=，∴=4，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣8=0．…………………………………………．（6分）（II）∵点（2，0）到直线x﹣y﹣8=0的距离：d==3，∴点P到C2上点的距离最大值为3+1．……………………………．（12分）14．在极坐标系中．曲线C1的极坐标方程是ρ2（1+3sin2θ）=16，点P是曲线C1上的动点，点M满足=2（O为极点），设点M的轨迹为曲线C2，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C2的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设直线l交两坐标轴于A，B两点，求△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）在极坐标系中，设点M（ρ，θ），∵点M满足=2（O为极点），∴P（2ρ，θ），代入曲线C1的极坐标方程ρ2（1+3sin2θ）=16，并整理，得：ρ2（1+3sin2θ）=4，再化为直角方程得曲线C2的直角坐标方程为=1．∵直线l的参数方程是（t为参数）．∴直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0．（2）∵直线l：x﹣y﹣1=0交两坐标轴于A，B两点，∴A（0，﹣1），B（1，0），∴|AB|=，∵点M在曲线C2：=1上，∴设M（2cosα，sinα），α∈R，∴点M到直线l的距离d为底边AB上的高，∴h=d==，∴d max==，∴△ABM面积的最大值S===．15．在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=﹣4，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ=﹣4．∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=﹣4，即=1．（2）将直线l：（t为参数）代入曲线，得到：7t2+8t﹣3=0，所以，（t1和t2为M和N对应的参数），则==．故+的值为．16．在直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C1的方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，直线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．（I）写出C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C1的交点为M，C3与C1的交点为N，求△OMN 的面积．【解答】解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，圆C1的方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0，把，代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0，所以C1的极坐标方程为y=x．∵直线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．∴C2的平面直角坐标方程为y=x．（Ⅱ）分别将，代入C1的极坐标方程ρ=4cosθ+8sinθ，得，，则△OMN的面积为：==8+5，所以△OMN的面积为8+5．17．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图频率分布直方图．（1）求a的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+a+0.02+0.04+0.02+0.005）×10=1，解得a=0.01．估计该市中学生中的全体男生的平均身高：=145×0.005×10+155×0.01×10+165×0.02×10+175×0.04×10+185×0.02×10+195×0.005×10=172.5．（2）由频率分布直方图得身高在180cm以上的频率为：（0.02+0.005）×10=0.25，∴估计其身高在180cm以上的概率p=0.25．从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，则X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=C（）2（）=，P（X=3）==．∴随机变量X的分布列为：数学期望EX==．18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）=，∴=，令f′（p）=0，得p=0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f （p）的最大值点p0=0.1．（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y，∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）=490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．19．某银行柜台设有一个服务窗口，假设各顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需时间进行统计，结果如表：从第一个顾客开始办理业务时计时，以所作统计的各办理业务所需时间的频率作为其所需时间的概率．（1）求第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22；（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．20．2018年俄罗斯世界杯是第21届世界杯足球赛，比赛于2018年6月14日至7月15日在俄罗斯境内11座城市中的12座球场内进行．为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取200名群众进行统计，得到如下2×2列联表：（1）将2×2列联表补充完整，并判断能否有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关？（2）从上述150名喜爱足球运动的群众中，按性别用分层抽样的方式抽取10人，再从这10人中随机抽取2人前往俄罗斯观看世界杯比赛．用X表示抽取2人中的女性人数，求X的分布列及数学期望E （X）．参考公式和数据：，其中n=a+b+c+d．【解答】解：（1）由题意完成2×2列联表：由2×2列联表得：==24＞10.828，∴能有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关．（2）从上述150名喜爱足球运动的群众中，按性别用分层抽样的方式抽取10人，则抽取男性：10×=6人，抽取女性：10×=42，再从这10人中随机抽取2人前往俄罗斯观看世界杯比赛．用X表示抽取2人中的女性人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：数学期望E（X）==．21．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣n|．（I）若m=n=﹣2，解不等式f（x）＞6；（II）若m，n均为正实数，且=1，求证：f（x）．【解答】解：（I）当m=n=﹣2时，不等式f（x）＞6即为|x﹣2|+|x+2|＞6；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）若x≤﹣2，则﹣（x﹣2）﹣（x+2）＞6，解得x＜﹣3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）若x≥2，则（x﹣2）+（x+2）＞6，解得x＞3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）若﹣2＜x＜2，则﹣（x﹣2）+（x+2）＞6，无解；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）综上，不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞3}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）由于m、n均为正实数，所以f（x）=|x+m|+|x﹣n|≥|（x+m）﹣（x﹣n）|=m+n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）而m+n=（+）•（m+n）=++≥+2=，当且仅当=，即m=2n时取等号；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故f（x）≥．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）22．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（1）解不等式f（x）≥7；（2）若关于x的不等式f（x）+|x﹣2|＞a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）≥7等价于或或，解得或x≤﹣2则不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．（2）f（x）+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+1|≥|2x+1﹣（2x﹣4）|=5∵关于x的不等式f（x）+|x﹣2|＞a恒成立，∴a＜（f（x）+|x﹣2|）min，故实数a的取值范围为（﹣∞，5）．23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【解答】解：（1）不等式2|x﹣2|+|x+1|＜6等价于不等式组或或，⇒∈∅或﹣1＜x≤2或2＜＜3所以不等式2|x﹣2|+|x+1|＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：因为m+n+p=3，所以（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m，n，p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn（当且仅当m=n时等号成立），同理m2+p2≥2mp，p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，所以（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，所以mn+mp+np≤3．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（I）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（II）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．25．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=2a1﹣1，S5=4S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S5=4S2，a2=2a1﹣1，即5a1+10d=4（2a1+d），a1+d=2a1﹣1，解得a1=2，d=1，因此a n=n+1（n∈N*）；（2）因为，∴．26．已知数列{a n}满足；（1）证明：数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}前n项和为S n．【解答】解：（1）由已知故数列是等差数列，；（2）由，∴．27．数列{a n}，{b n}中，S n为数列{a n}的前n项和，且满足a1=b1=1，3S n=（n+2）a n，．（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）令c n=lnb n，T n=c1+c2+c3+…+c n，求证：．【解答】解：（Ⅰ）∵3S n=（n+2）a n，∴当n≥2时，3S n=（n+1）a n﹣1，﹣1∴两式相减可得3a n=（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，。
高考真题数学答案及解析
高考真题数学答案及解析一、选择题1. 题目：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=2处取得极小值，且已知f(1)=3，f(3)=15，则a的值为____。
解析：由题意可知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处取得极小值，所以f'(x)在x=2处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=2代入得到4a + b = 0。
又已知f(1)=3，f(3)=15，将x=1和x=3分别代入原函数得到两个方程：a + b + c = 3和9a + 3b + c = 15。
联立这三个方程解得a=1，b=-2，c=4。
所以a的值为1。
2. 题目：设集合A={x|x=2n, n∈Z}，B={x|x=2n+1, n∈Z}，则A∪B的元素个数为____。
解析：集合A表示所有偶数的集合，集合B表示所有奇数的集合。
由于整数集包括所有的偶数和奇数，所以A∪B就是整个整数集。
因此，A∪B的元素个数为无穷多个。
3. 题目：已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，AB=AC，点D为BC中点，连接AD，若∠BAD=15°，则∠BAC的度数为____。
解析：由于AB=AC，所以三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为∠A=90°-∠B，所以∠B=45°。
由于点D为BC中点，AD为中线，所以AD=BD=CD。
又因为∠BAD=15°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°。
因此，∠BAC的度数为30°。
二、填空题1. 题目：若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，公差d=3，求S10的值为____。
解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
将n=10，a1=2，d=3代入公式得：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
湖北省襄樊市高考数学精选常考解答题汇总含解析
湖北省襄樊市高考数学精选常考解答题汇总解答题含答案有解析1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F ，G 分别为线段BC ，PB ，AD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：平面PCG ∥平面AEF ；（3）在线段BD 上找一点H ，使得FH ∥平面PCG ，并说明理由． 2．已知函数2()(1)1()f x x a x a R =-++∈.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集是{}|2x m x <<，求a ，m 的值；（2）设关于x 的不等式()0f x ≤的解集是A ，集合{|01}B x x =≤≤，若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围.3．已知ABC ∆的顶点都在单位圆上，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且2cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若224b c +=，求ABC ∆的面积.4．如图已知1AA ⊥平面ABC ，11BB AA ∥，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E ，F 分别为BC ，1A C 的中点.(1)求证：EF //平面11A B BA ;(2)求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.5．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,a 点,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点 （1）证明：四边形BDFE 是一个梯形： （2）求几何体1BCD EC F -的表面积和体积6．土笋冻是闽南种广受欢迎的特色传统风味小吃某小区超市销售一款土笋冻，进价为每个15元，售价为每个20元.销售的方案是当天进货，当天销售,未售出的全部由厂家以每个10元的价格回购处理.根据该小区以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图:(1)估算该小区土笋冻日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)已知该超市某天购进了150个土笋冻，假设当天的需求量为x 个(),0240x N x ∈≤≤销售利润为y 元. (i)求关于x 的函数关系式;(ii)结合上述频率分布直方图，以额率估计概率的思想,估计当天利润y 不小于650元的概率.7．求经过直线1l ：2380x y ++=与直线2l ：10x y --=的交点M ，且分别满足下列条件的直线方程. （Ⅰ）与直线230x y +-=平行； （Ⅱ）与直线230x y +-=垂直.8．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x （单位：个，60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （单位：元）表示利润.（1）求食堂面包需求量的平均数； （2）求T 关于x 的函数解析式；（3）根据直方图估计利润T 不少于100元的概率.9．已知函数()22cos 12f xx πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（其中0>ω，x ∈R ）的最小正周期为2π. （1）求ω的值；（2）如果0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且()85f α=，求cos α的值. 10．在等差数列{}n a 中，12a =，39S = （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}2na 的前n 项和nS11．已知等差数列{}n a 满足352,3a a ==． （1） 求{}n a 的通项公式；（2） 设等比数列{}n b 满足11,b a =415b a =,求{}n b 的前n 项和n T ．12．如图，在平面四边形ABCD 中，045DAC ∠=，030BAC ∠=,045ABD ∠=,075DBC ∠=,3AB =．（1）求AD 的长； （2）求CD 的长．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()3 ,1a =-，()00cos60,sin 60b =．（1）求证：2a b =且a b ⊥；（2）设向量()4x a t b =++，y a tb =+，且x y ⊥，求实数t 的值．14．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）当1>d 时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 15．已知12cos 13θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 16．已知向量a ，b 满足：a =4，b =3，()()+2=0a ba b -(Ⅰ)求a ·b 的值； (Ⅱ)求2a b -的值.17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1b =，sin sin sin sin a b c Cb A B C-+=+-. （1）若2A B =，求△ABC 的周长； （2）若CD 为AB边上的中线，且CD =△ABC 的面积.18．已知圆C 经过点(0,4),(5,5)E F ，且圆心在直线l ：2780x y -+=上. （1）求圆C 的方程；（2）过点()1,2M 的直线与圆C 交于,A B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得AN BN k k =-恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.19．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：22n n S a =-，*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．（6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S＝4a 2+c 2﹣b 2）．（1）求角B 的大小； （2）若边ba+c 的取值范围． 21．（6分）写出集合{,}a b 的所有子集． 22．（8分）已知向量()()1,2,4,3a b ==-. （1）若向量//c a ，且25c =，求c 的坐标； （2）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求实数k 的值. 23．（8分）已知扇形的面积为6π，弧长为6π，设其圆心角为α （1）求α的弧度；（2）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.24．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若,E F分别为,PC BD 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ． 25．（10分）已知02πα<<，4sin 5α． (1)求tan α及sin 2α的值； (2)求cos 2sin 2παα⎛⎫++⎪⎝⎭的值． 26．（12分）为了调查家庭的月收入与月储蓄的情况，某居民区的物业工作人员随机抽取该小区20个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，计算得：201160ii x==∑，20140ii y==∑，201()360i i i x y ==∑，20211480i i x ==∑，1,2,3,20i =.（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y a bx =+；（2）指出（1）中所求出方程的系数，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； （3）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.27．（12分）在公比不为1的等比数列{}n a 中，548a =，且423,,a a a 依次成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令222log 3nn a b =+，设数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：123111134n S S S S ++++< 28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 在函数2()2f x xx =+的图像上.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设数列12n a n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .29．已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=．（1）求111x y z++的最小值（2）证明：2223x y z ≤++．30．已知两个不共线的向量a ，b 满足a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈．（1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得||||a ma +=成立，求正数m 的取值范围.参考答案解答题含答案有解析1．（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明12EFPC ，EF ∥平面PAC 即得证；（2）证明AE ∥平面PCG ，EF ∥平面PCG ，平面PCG ∥平面AEF 即得证；（3）设AE ，GC 与BD 分别交于M ，N 两点，证明N 点为所找的H 点． 【详解】（1）证明：∵E 、F 分别是BC ，BP 中点， ∴12EFPC ， ∵PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ， ∴EF ∥平面PAC ．（2）证明：∵E 、G 分别是BC 、AD 中点， ∴AE ∥CG ，∵AE ⊄平面PCG ，CG ⊂平面PCG ， ∴AE ∥平面PCG ，又∵EF ∥PC ，PC ⊂平面PCG ，EF ⊄平面PCG ， ∴EF ∥平面PCG ，AE∩EF ＝E 点，AE ，EF ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ∥平面PCG ．（3）设AE ，GC 与BD 分别交于M ，N 两点，易知F ，N 分别是BP ，BM 中点， ∴12FNPM ， ∵PM ⊂平面PGC ，FN ⊄平面PGC ， ∴FN ∥平面PGC ，即N 点为所找的H 点．【点睛】本题主要考查空间平行位置关系的证明，考查立体几何的探究性问题的解决，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2． (1) 32a =，12m =. (2){}|1a a <. 【解析】分析：（1）先根据不等式解集与对应方程根的关系得x 2-（a+1）x+1=0的两个实数根为m 、2，再利用韦达定理得结果.（2）当A∩B =∅时，即不等式f （x ）＞0对x ∈B 恒成立，再利用变量分离法得a+1＜x+1x的最小值，最后根据基本不等式求最值，即得结果.详解：（1）∵关于x 的不等式f （x ）＜0的解集是{x|m ＜x ＜2}， ∴对应方程x 2-（a+1）x+1=0的两个实数根为m 、2， 由根与系数的关系，得，解得a=，m=；（2）∵关于x 的不等式f （x ）≤0的解集是A ，集合B={x|0≤x≤1}，当A∩B=时，即不等式f （x ）＞0对x ∈B 恒成立； 即x ∈[]0,1时，x 2-（a+1）x+1＞0恒成立， ∴a+1＜x+对于x ∈（0，1]恒成立（当时，1>0恒成立）；∵当x ∈（0，1]时，∴a+1＜2，即a ＜1，∴实数a 的取值范围是．点睛：一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性. 3．（1）12；（2）34【解析】分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sin cos sin A A A ⋅=，又0A π<<，即可求得cos A 的值；（2）由同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，由于ABC ∆的顶点都在单位圆上，利用正弦定理可得2sin aA=，可求a ，利用余弦定理可得bc 的值，利用三角形面积公式即可得解. 详解：（1）∵2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+，()2sin cos sin sin A A B C A ⋅=+=，又∵0A π<<，sin 0A ≠，∴2cos 1A =，所以1cos 2A =. （2）由1cos 2A =得，sin 2A =， 因为ABC ∆的顶点在单位圆上， 所以2sin aA=,所以2sin a A == 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-,222431bc b c a =+-=-=. ∴11sin 22ABCSbc A ===. 点睛：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题.4． (1)见证明；(2) 30 【解析】 【分析】（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A 1B, 1EF BA ∥（2）取1B C 中点N ,连接1A N 证明1A N ⊥平面1BCB ，再求出11A B ，得到111111sin 2A N AB N A B ∠==． 【详解】（1）如图，连接1A B ，在1A BC ∆中，因为E 和F 分别是BC 和1A C 的中点，所以1EF BA ∥．又因为EF ⊄平面11A B BA ，所以EF 平面11A B BA ；取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ． 因为N 和E 分别为1B C 和BC ，所以1NE BB ∥，112NE BB =， 故1NE AA ∥且1NE AA =，所以1A N AE ∥，且1A N AE =． 又因为AE ⊥平面1BCB ，所以1A N ⊥平面1BCB ， 从而11A B N ∠为直线11A B 与平面1BCB 所成的角． 在ABC ∆中，可得2AE =，所以12A N AE ==．因为1BM AA ∥，1BM AA =，所以1A M AB ∥，1A M AB =，1BM AA =， 所以1A M AB ∥，1A M AB =，又由1AB BB ⊥，有11A M BB ⊥． 在11Rt A MB ∆中，可得2211114A B B M A M =+=；在11Rt A NB ∆中，111111sin 2A N AB N A B ∠==，因此1130A B N ∠=︒． 所以直线11A B 与平面1BCB 所成角为30． 【点睛】求线面角一般有两个方法：几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高 向量法．5．（1）证明见解析（2）表面积为134a ，体积为3724a 【解析】 【分析】（1）在正方体中，根据,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，由中位线得到11//EF B D 且1112EF B D =，又由11//BD B D ，根据公理4平行关系的传递性得证.（2）几何体1BCD EC F -的表面积，上下底是直角三角形，三个侧面，有两个是全等的直角梯形，另一个是等腰梯形求解，体积按照棱台体积公式求解. 【详解】 （1）如图所示：在正方体中，因为,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点， 所以11//EF B D 且1112EF B D =， 又因为11//BD B D ， 所以//EF BD 且12EF BD =， 所以四边形BDFE 是一个梯形.（2）几何体1BCD EC F -的表面积为：111111112322222222222443a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 体积为：3111111111322222222724a a a a a a a a a a ⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝. 【点睛】本题主要考查几何体中的截面问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.6．（1）124x =（2）(i) 750,150240,10750,0150.x y x x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩（x N ∈）；(ii) 0.375【解析】 【分析】(1) 设日需求量为x ，直接利用频率分布图中的平均数公式估算该小区土笋冻日需求量的平均数x ；（2）(i)分类讨论得750,150240,10750,0150.x y x x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩（x N ∈）；(ii) 由（i ）可知，利润650y ≥，当且仅当日需求量[140,240]x ∈，再利用互斥事件的概率和公式求解. 【详解】解：（1）设日需求量为x ，依题意[0,40)x ∈的频率为0.00125400.05⨯=；[80,120)x ∈的频率为0.0075400.3⨯=； [120,160)x ∈的频率为0.00625400.25⨯=； [200,240]x ∈的频率为0.0025400.1⨯=．则[40,80)x ∈与[160,200)x ∈的频率为1(0.050.30.250.1)0.152-+++=．故该小区土笋冻日需求量的平均数0.05200.15600.31000.251400.151800.1220x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，124x =．（2）（i ）当[150,240]x ∈时，150(2015)750y =⨯-=；当[0,150)x ∈时，(2015)(150)(1510)10750y x x x =-⋅--⋅-=-．故750,150240,10750,0150.x y x x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩（x N ∈）（ii ）由（i ）可知，利润650y ≥，当且仅当日需求量[140,240]x ∈． 由频率分布直方图可知，日需求量[140,240]x ∈的频率约为0.250.150.10.3752++=， 以频率估计概率的思想，估计当天利润y 不小于650元的概率为0.375． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均数的计算和分段函数解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 7．（Ⅰ）240x y ++=；（Ⅱ）230x y --=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求得直线1l 与直线2l 的交点M 坐标.根据平行直线的斜率关系得与230x y +-=平行直线的斜率,再由点斜式即可求得直线方程.（Ⅱ）根据垂直直线的斜率关系得与230x y +-=垂直的直线斜率,再由点斜式即可求得直线方程. 【详解】解方程组238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 得1x =-,2y =-所以直线1l 与直线2l 的交点是()1,2M -- （Ⅰ）直线230x y +-=,可化为23y x =-+ 由题意知与直线230x y +-=平行 则直线的斜率为2k =- 又因为过()1,2M --所以由点斜式方程可得()221y x +=-+ 化简得240x y ++=所以与直线230x y +-=平行且过M 的直线方程为240x y ++=. （Ⅱ）直线230x y +-=的斜率为2k =- 则由垂直时直线的斜率乘积为1- 可知直线的斜率为1'2k =由题意知该直线经过点()1,2M --, 所以由点斜式方程可知()1212y x +=+ 化简可得230x y --=所以与直线230x y +-=垂直且过M 的直线方程为230x y --=. 【点睛】本题考查了直线平行与垂直时的斜率关系,由点斜式求方程的用法,属于基础题. 8．（1）84；（2）4160,6080160,80110x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（3）0.875【解析】 【分析】（1）每个小矩形的面积乘以该组中间值，所得数据求和就是平均数； （2）根据需求量分段表示函数关系；（3）根据（1）利润T 不少于100元时，即65x ≥，即65110x ≤≤，求出其频率，即可估计概率. 【详解】（1）估计食堂面包需求量的平均数为：650.25750.15850.2950.251050.1584⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）解：由题意，当6080x ≤≤时，利润51(80)3804160T x x x =+⨯--⨯=-， 当80110x ≤≤时，利润580380160T =⨯-⨯=， 即T 关于x 的函数解析式4160,6080160,80110x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（3）解：由题意，设利润T 不少于100元为事件A ， 由（1）知，利润T 不少于100元时，即4160100x -≥65x ≥，即65110x ≤≤，由直方图可知，当65110x ≤≤时，所求概率为()1()10.025(6560)0.875P A P A =-=-⨯-= 【点睛】此题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，计算频率，以及建立函数模型解决实际问题，综合性比较强.9．（1）12ω=（2）cos α=【解析】 【分析】（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据两角差余弦公式求解 【详解】解：（1）因为()22cos cos 21126f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以222T ππω==， 因为0>ω，所以12ω=. （2）由（1）可知()8cos 165f παα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， 所以3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2,663πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3414525210=⨯+⨯=.所以cos α=. 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题10．（1）1n a n =+；（2）224n n S +=-【解析】试题分析：（1）根据已知数列{}n a 为等差数列，结合数列的性质可知：前3项和3123239S a a a a =++==，所以23a =，又因为12a =，所以公差211d a a =-=，再根据等差数列通项公式()11n a a n d =+-，可以求得()2111n a n n =+-⋅=+．本问考查等差数列的通项公式及等差数列的性质，属于对基础知识的考查，为容易题，要求学生必须掌握．（2）由于{}n a 为等差数列，所以可以根据重要结论得知：数列{}2na 为等比数列，可以根据等比数列的定义进行证明，即11222222n n n na a a d a ++=-==，符合等比数列定义，因此数列{}2na 是等比数列，首项为12224a ==，公比为2，所以问题转化为求以4为首项，2为公比的等比数列的前n 项和，根据公式有24(12)4242412n n n n S +-==⋅-=--．本问考查等比数列定义及前n 项和公式．属于对基础知识的考查．试题解析：（1）又（2）由（1）知得：121222 22nna na n+++==是以4为首项2为公比的等比数列考点：1.等差数列；2.等比数列．11．（1）12nna+=（2）21nnT=-【解析】【分析】（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为1,a d的形式，列方程组，解方程组可求得1,a d的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得14,b b的值，根据基本元的思想，，将其转化为1,b q的形式，由此求得q的值，根据等比数列前n项和公式求得数列n b的前n项和.【详解】解：（1）设{}n a的公差为d，则由3523aa=⎧⎨=⎩得1112ad=⎧⎪⎨=⎪⎩,故{}n a的通项公式112nna-=+，即12nna+=．（2）由（1）得14151511,82b b a+====．设{}n a的公比为q，则3418bqb==，从而2q=，故{}n b的前n项和()()1111221112n nnnb qTq-⨯-===---．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.12．2；5【解析】【分析】（1）在ABD ∆中，先得到60,ADB ∠=︒再利用正弦定理得到AD =（2）在ABC ∆中，计算BC =3AC =，再用余弦定理得到DC =【详解】（1）在ABD ∆中，75,45DAB ABD ∠=︒∠=︒,则60,ADB ∠=︒,又AB =由正弦定理，得sin sin AB ABD AD ADB ∠===∠（2）在ABC ∆中，00120,30ABC BAC ∠=∠=,则030ACB ∠=，又AB =即ABC ∆是等腰三角形，得BC =.由余弦定理，得22202cos 336cos1209AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯= 所以3AC =.在ADC ∆中,03,45AD AC DAC ==∠=由余弦定理，得22202cos 29455DC AD AC AD AC DAC =+-⋅∠=+-=所以DC =【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力. 13．（1）证明见解析（2）2t =- 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标求出向量模的方法以及向量的数量积即可求解. （2）根据向量垂直，可得数量积等于0，进而解方程即可求解. 【详解】（1）证明：2a =，1b =，所以2a b =，因为30a b ⋅=-=，所以a b ⊥； （2）因为x y ⊥，所以0x y ⋅=，由（1）得：()()2244x y a t b a tb a t t b ⎡⎤⎡⎤⋅=++⋅+=++⎣⎦⎣⎦()22442t t t =++=+ 所以()220t +=，解得2t =-． 【点睛】本题考查了向量坐标求向量的模以及向量数量积的坐标表示，属于基础题. 14． (1)见解析 (2) 12362n n -+-【解析】 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d ＞1时，由（1）知c n 1212n n --=，写出T n、12T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设a 1＝a ，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ﹣1； 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，a n 19=（2n+79），b n ＝9•12()9n -； （2）当d ＞1时，由（1）知a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ﹣1， ∴c n 1212n n n a n b --==， ∴T n ＝1+3•12+5•212+7•312+9•412++（2n ﹣1）•112n -，∴12T n ＝1•12+3•212+5•312+7•412++（2n ﹣3）•112n -+（2n ﹣1）•12n ， ∴12T n ＝223421*********n -++++++-（2n ﹣1）•12n =3232nn +-， ∴T n ＝61232n n -+-．【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 15．717-【解析】 【详解】 ∵12cos 13θ=-，且3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5sin 13θ=-，则5tan 12θ=， ∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝tan 11tan θθ-+＝51125112-+＝－717．考点：本题考查了三角恒等变换 16． (Ⅰ) a b ⋅=2 (Ⅱ) 2211a b -= 【解析】 【分析】（I ）计算()()+2a b a b -⋅，结合两向量的模可得a b ⋅；（II ）利用222(2)a b a b -=-，把求模转化为向量的数量积运算．【详解】解：(Ⅰ)由题意得()()+2=0a b a b -⋅ 即22+20a a b b ⋅+= 又因为4,3a b == 所以224230a b +⋅-⨯= 解得a b ⋅=2.(Ⅱ)因为222(2)44a b a b a b -=+-⋅， 所以2(2)a b -=16+36-4×2=44. 又因为22(2)a b a b -=-所以2211a b -=. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：22a a =，即模数量积的转化．17．（1）3+（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得a b c b a b c c-+=+-，再结合余弦定理可得1cos 2A =，再求边长即可得解； （2）由余弦定理可得2AD =，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：（1）因为sin sin sin sin a b c Cb A B C-+=+-， 所以a b c b a b cc -+=+-， 即22()bc a b c =--，即222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，即3A π=, 又2A B =，则6B π=，则2C π=，又1b =，则2a c ==，即3a b c ++=+即△ABC 的周长为3+（2）因为CD =1AC =，在ACD ∆中，由余弦定理可得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅ ， 则220AD AD --=，即2AD =， 即4AB =,所以11sin 4122ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.18．（1）22(3)(2)13x y -+-=（2）在直线2y =上存在定点7,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得AN BN k k =-恒成立，详见解析 【解析】 【分析】（1）求出弦EF 中垂线方程，由中垂线和直线l 相交得圆心坐标，再求出圆半径，从而得圆标准方程； （2）直线斜率存在时，设方程为(1)2y k x =-+，代入圆的方程，得x 的一元二次方程，同时设交点为()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1212,x x x x +，假设定点存在，设其为(,2)N t ，由AN BN k k =-求得t ，再验证所作直线斜率不存在时，N 点也满足题意． 【详解】（1）EF 的中点为59,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，∴EF 的垂直平分线的斜率为5-， ∴EF 的垂直平分线的方程为5170x y +-=，∴EF 的垂直平分线与直线l 交点为圆心C ，则27805170x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，又r == ∴ 圆C 的方程为22(3)(2)13x y -+-=.（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则过点()1,2M 的直线方程为(1)2y k x =-+，故由22(1)2(3)(2)13y k x x y =-+⎧⎨-+-=⎩，整理得()()222216240k x k x k +-++-=， 设()()221122121222624,,,,,11k k A x y B x y x x x x k k +-∴+==++， 设(),2N t ，则121222,,AN BN AN BN y y k k k k x t x t--===---，()()()()12122112220,220y y y x t y x t x t x t--∴+=∴--+--=--， ()2212122228262(1)20,(1)2011k k x x t x x t t t k k-+-+++=-++=++， 即222282(1)6(1)220k k t t t k t --+-+++⋅=786620,2t t t ---+==-，当斜率不存在时，1,(1,5),(1,1),AN BN x A B k k =-=-成立，∴在直线2y =上存在定点7,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得AN BN k k =-恒成立 【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查与圆有关的定点问题．求圆的标准方程可先求出圆心坐标和圆的半径，然后得标准方程，注意圆心一定在弦的中垂线上．定点问题，通常用设而不求思想，即设直线方程与圆方程联立消元后得一元二次方程，设直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，然后设定点坐标如本题(,2)N t ，再由条件AN BN k k =-求出t ，若不能求出t 说明定点不存在，如能求出t 值，注意验证直线斜率不存在时，此定点也满足题意．19．（1）2nn a =；（2）1nn +．【解析】试题分析：（1）当1n =时，可求出12a =，当2n ≥时，利用1n n n S S a --=可求出{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前n 项和n T .试题解析：（1）依题意：当1n =时，有：1122S a =-，又11S a =，故12a =，由22n n S a =-①当2n ≥时，有1122n n S a --=-②，①－②得：1122n n n n n S S a a a ---==-化简得：12n n a a -=，∴{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2n n a =.（2）由（1）得：2log 2n n b n ==，∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++ 20．（1）B=60°（2）⎝ 【解析】【分析】 （1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanB 的值，结合B 的范围可求B 的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+c =（A6π+），由题意可求范围A 6π+∈（6π，56π），根据正弦函数的图象和性质即可求解． 【详解】（1）在△ABC 中，∵S4=（a 2+c 2﹣b 2）12=acsinB ，cosB 2222a c b ac +-=． ∴tanB=∵B ∈（0，π），∴B 3π=．（2）∵B 3π=，b = ∴由正弦定理可得23c a b sinC sinAsinB sin π====1，可得：a ＝sinA ，c＝sinC ， ∴a+c ＝sinA+sinC ＝sinA+sin （23π-A ）＝sinA cosA 12+sinA =（A 6π+），∵A ∈（0，23π），A 6π+∈（6π，56π）， ∴sin （A 6π+）∈（12，1]，∴a+c=（A 6π+）∈． 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．{}{}{},,,,a b a b φ【解析】【分析】根据集合的子集的定义列举出即可．【详解】集合{,}a b 的所有子集有：{}{}{},,,,a b a b φ【点睛】本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．22．（1）()2,4c =或()2,4c =--（2）k = 【解析】【分析】（1） 因为//c a ，所以可以设c a λ=求出c 坐标，根据模长，可以得到参数λ的方程.（2） 由于已知条件()()1,2,4,3a b ==- 可以计算出a kb +与a kb -坐标（含有参数k ）而两向量垂直，可以得到关于k 的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设c a λ=，则22c a λ=，所以()222221λ=+解得2λ=+所以2,4c 或()2,4c =-- 法二:设(),c x y =，因为//c a ，()1,2a =，所以2x y =， 因为25c =，所以2220x y +=解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， 所以2,4c 或()2,4c =--（2）因为向量a kb +与a kb -互相垂直所以()()0a kb a kb +-=，即222a kb 0-= 而()1,2a =，()4,3b =-，所以225,25a b ==，因此25250k -=，解得5k =±【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题. 23．（1）12πα=（2）2 【解析】【分析】（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；（2）先由诱导公式化简待求式为tan α，利用两角差的正切公式可求tantan()1234πππ=-． 【详解】 （1）设扇形的半径为r ，则6ar π=，所以6r πα=. 由12S rl =可得12666πππα⨯⨯=， 解得12πα=.（2）()cos sin sin sin 2tan 119sin cos cos sin 22παπααααππαααα⎛⎫+-- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. tan tan 34tan tan 212341tan tan 34πππππππ-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭+.【点睛】本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可．【详解】（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，∴F为AC中点，又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC【点睛】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．25．（1）4tan3α=，24sin225α=；（2）825.【解析】【分析】（1）由已知02πα<<，4sin 5α，利用22sin cos 1αα+=，可得cos α的值，再利用sin tan cos ααα=及二倍角公式，分别求得tan α及sin 2α的值；（2）利用倍角公式、诱导公式，可得原式的值为825. 【详解】 （1）因为02πα<<，4sin 5α，所以3cos 5α=，所以sin 4tan cos 3ααα==， 4324sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⋅⋅=. （2）原式223382cos 1cos 2()15525αα=-+=⋅-+= 【点睛】若sin ,cos ,tan ααα三个中，只要知道其中一个，则另外两个都可求出，即知一求二. 26．（1）1255y x =+；（2）正相关；（3）2.2千元. 【解析】【分析】 （1）直接利用公式计算回归方程为：1255y x =+. （2）由（1）105b =>，故正相关. （3）把9x =代入1255y x =+得：11 2.25y ==. 【详解】 （1）∵2011160820i i x x ====∑，2011220i i y y ===∑，样本中心点(),x y 为：(8,2) ∴由公式得：()20120221203602082114802064520i ii i i x y xy b x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑ 把(8,2)代入15y a bx a x =+=+得：25a = 所求回归方程为：1255y x =+； （2）由（1）知，所求出方程的系数为：15b =，25a =， ∵105b =>，∴x 与y 之间是正相关.（3）把9x =代入1255y x =+得：11 2.25y ==（千元） 即该居民区某家庭月收入为9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元.【点睛】本题考查了回归方程的计算和预测，意在考查学生的计算能力.27． (1) 13(2)n n a -=⨯- (2) 见证明【解析】【分析】（1）根据已知条件得到关于1,a d 的方程组，解方程组得1,a d 的值，即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出21n b n =+，111122n n n S ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再利用裂项相消法求123111S S S ++1nS ++，不等式即得证. 【详解】（1）设公比为q ，4a ，2a ，3a 成等差数列，可得322q q q =+， 即220q q +-=，解得1q =（舍去），或2q =-，又548a =，解得13a =所以13(2)n n a -=⨯-. （2）21222322log 2log 2212133n n n a b n n -⨯=+=+=+-=+ 故22(2)n S n n n n =+=+， 得11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1231111n S S S S ++++ 11111111111112324352112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 311342(1)2(2)4n n =--<++ 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查等差数列前n 项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.28．（1）21n a n =+，()*n ∈N （2）1614499n n n T ++=- 【解析】【分析】（1）把点()()*,n n S n ∈N 带入2()2f x x x =+即可（2）根据（1）的结果利用错位相减即可。
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高考理科数学解答题题型训练材料1.设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． (1)求ω的值;【23=ω】(2)若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．【227[,]()34312k k k Z ππππ++∈】2.已知两个向量(cos ,sin )θθ=m ，sin ,cos )θθ=n ，其中),23(ππθ--∈，且满足1⋅=m n ． (1)求)4sin(πθ+的值；【41)4sin(=+πθ】(2)求)127cos(πθ+的值.【8153+-=】3.设函数x x x f cos sin 2)(-=.(1)若0x 是函数)(x f 的一个零点，求02cos x 的值； 【532cos 0=x 】 (2)若0x 是函数)(x f 的一个极值点，求02sin x 的值.【542sin 0-=x 】4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , 已知4A π=，4cos 5B =.(1)求cos C 的值；【cos C =】(2)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.【CD =5.某校高三一次月考之后,为了了解数学学 科的学习情况,现从中随机抽出若干名学 生此次的数学成绩,按成绩分组, 制成右 面频率分布表: (1)若每组数据用该区间的中点值（例如区间[90, 100 )的中点值是95）作为代表， (2)如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在区间[110, 130 )中的学生数为ξ，求： ①在三次抽取过程中至少两次连续抽中成绩在区间[110, 130 )中的概率； ②ξ的分布列和数学期望.【(1)114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)①38；②23)(=ξE 】6.某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动. (1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ； 【1=ξE 】 (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；【54】 (3)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.【52)|(=A B P 】7.已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中,a b 为常数．(1)当6,3a b ==时，求函数()f x 的单调递增区间；【(,1]-∞和[9,)+∞】(2)若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，求函数()f x 在R 上是增函数的概率． 【712】8.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO 排放量超过 130g /k m 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进 行CO 排放量检测，记录如下(单位：).2乙(1)求从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆,则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率; (2)若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．【(1)7.0 (2)120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好】9.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们 分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发(1)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,m n ,求事件“2530n ≤≤⎧⎨⎩”的概率；【310】(2)甲、乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线 分别为 2.2y x =与 2.53y x =-，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)的思想”， 判断哪条直线拟合程度更好．【直线 2.53y x =-的拟合效果好】AP BCDMN10.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//,90,AD BC BAD PA ∠=⊥⊥PA 底面ABCD , 2PA AD AB BC ===, ,M N 分别为,PC PB 的中点.(1)求证：PB DM ⊥；(2)求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．11.一个三棱锥S ABC -的三视图、直观图如图． (1)求三棱锥S ABC -的体积； (2)求点C 到平面SAB 的距离； (3)求二面角S AB C --的余弦值．【(1)4；(2)133CA m d m⋅==；12.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面 和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD ． (1)求证：⊥AF 平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积 分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．【ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V 】13.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，132a =，且22a 、33a 、44a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；【6*2()n n a n -=∈N 】(2)设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【22111,16,2211130,7.22n n n n T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩】14.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=， 5313a b +=.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；【12-=n a n ，112n n n b q --==】(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【n S 12362n n -+=-】15.已知函数()1ax bf x x +=+的图象经过原点，且关于点(1,1)-成中心对称. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若数列{}n a 满足0n a >，11a =，21n a f +⎡⎤=⎣⎦，求数列{}n a 的通项公式；(3)在(2)的条件下，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论.【(1)()1x f x x =+；(2)21n a n=；(3)2n S <*()n ∈N 】16.已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．(1)求双曲线2C 的方程；【2213y x -=】 (2)以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M 与双曲线2C 的一条渐近线相切，圆N :22(2)1x y -+=．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ,设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．st是否为定值？请说明理由.【st17.已知点1(0,1)F -和抛物线21:2C x py =的焦点F 关于x 轴对称，点M 是以点F 为圆心，4为半径的⊙F 上任意一点，线段1MF 的垂直平分线与线段MF 交于点P ，设点P 的 轨迹为曲线2C ，(1)求抛物线1C 和曲线2C 的方程；【22143y x +=】 (2)是否存在直线l ，使得直线l 分别与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点，若存在， 求出所有这样的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【存在四条直线x =24y x =±-】B AQP18.如图，在Rt PAB ∆中，∠A 是直角，3,4==AB PA ，有一个椭圆以P 为一个焦点， 另一个焦点Q 在AB 上，且椭圆经过点A 、B . (1)求椭圆的离心率；(2)若以PQ 所在直线为x 轴，线段PQ 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若经过点Q 的直线l 将Rt PAB ∆的面积分为相等的两部分， 求直线l 的方程.【(1)35=e (2)14922=+y x(3)(81-=x y19.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =.(1)求椭圆1C 的方程;(2)过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的 动点R 的轨迹方程.【(1)22143x y +=；(2) ()2243430y x x +++=】20.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型 零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人 分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A 型 零件的工人人数为x 名(∈x N *).(1)设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； (2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？【(1)()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x ；(2)x 应取32】21.某企业自2010年1月1日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区 排放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表．并预测，如果不加以治理，立方米的污水？(2)为保护环境，当地政府和企业决定从2010年7月份开始投资安装污水处理设备，预 计7月份的污水排放量比6月份减少400立方米，以后每月的污水排放量均比上月减 少400立方米，当企业停止排放污水后，再以每月1600立方米的速度处理湖区中的 污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于5000立方米？【(1)m S )()11221001002110012mm m --⨯=⨯=-⨯-；(2)所以8个月后即2011年10月污水不多于5000立方米】22.设函数()211(2x a x f x x e e+=+-为自然对数的底数). (1)若0x ≥时, ()0f x ≥恒成立, 求a 的取值范围;【[)1,+∞】(2)求证:对于大于1的正整数n , 恒有11111n n +<<+-成立.23.已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ (1)若1a =，求函数()f x 的极值； 【()f x 在1x =处取得极小值1】 (2)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； 【分两种情况讨论】 (3)若在[]1,e (e 2.718...=)上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.【2e 1e 1a +>-或2a <-】24.若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”，(1)判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由；(2)若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.25.已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲 线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x ． (1)求n x 与1+n x 的关系式；(2)求证：{3121+-n x }是等比数列； (3)求证：)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n.26.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果函数()f x ＝2x abx c+-有且仅有两个不动点0和2．(1)试求b 、c 满足的关系式；(2)若c ＝2时,各项非零数列{a n }满足4S n ·1()n f a ＝1,求证:111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭; (3)在(2)的条件下,设b n ＝－1na ,n T 为数列{b n }的前n 项和.求证:200920081ln 2009T T -<<.高考理科数学解答题题型训练材料参考答案1.(1)()()22sin cos 2cos f x x x x ωωω=++ 22sin cos sin 21cos 2x x x x ωωωω=++++s i n 2c o s 22s i n (2)24x x x πωωω=++++依题意得2223ππω=，故ω的值为32. (2)依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Zπππππ--+∈≤≤ 解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈2(1)cos sin )sin cos )θθθθ⋅=+m n，cos )4sin()14πθθθ=+=+=， 所以41)4s i n (=+πθ．(2)因为),23(ππθ--∈，所以)43,45(4πππθ--∈+，结合41)4s i n (=+πθ，可得415)4cos(-=+πθ． 于是，3s i n )4s i n (3c o s )4c o s (]3)4c o s [()127cos(ππθππθππθπθ+-+=++=+234121)415(⨯-⨯-=8153+-=． 3.(1)0x 是函数)(x f 的一个零点, ∴ 002sin cos 0x x -=, 从而21tan 0=x .∴53411411t a n 1t a n 1s i n c o s s i n c o s 2c o s 0202020202020=+-=+-=+-=x x x x x x x (2)x x x f sin cos 2)('+=, 0x 是函数)(x f 的一个极值点∴002cos sin 0x x +=, 从而01tan 2x =-.∴0000002220002s i n c o s 2t a n 4s i n 22s i n c o s 5s i n c o s 1t a n x x x x x x x x x ====-++.4. (1)4cos ,5B =且(0,)B π∈，∴3sin 5B ==．∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=-3343cos cos sin sin 44525BB ππ=+=-⨯+⨯10=-．(2)由(1)可得sin C ===由正弦定理得sin sin BC ABA C =7AB =，解得14AB =.在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，∴CD =5.(1)本次月考数学学科的平均分为：59535105301152012510135114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)由表知：成绩落在[110, 130 )中的概率为12. ①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110, 130 )中”, 则()1111131222228P A ⎛⎫=⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以, 在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110, 130 )中的概率为38. ②ξ的可能取值为0,1,2,3.()30311028P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()31313128P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()32313228P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()33311328P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ξ的分布列为:13313012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 或者: )21,3(~B ξ, 则13322E ξ=⨯=.6.(1)ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：3211244242333666131(0);(1);(2)555C C C C C P P P C C C ξξξ========= ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯= (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则343641()205C P C C ===∴所求概率为14()1()155P C P C =-=-=(3)记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，215433661011();()2025C C P A P B A C C ===== ()143615C P B A C == ()2(|)()5P BA P B A P A ==（或直接得142542(|)105C P B A C ===）7.(1)当6,3a b ==时，321()593f x x x x =-+，2()109f x x x '=-+令2()1090f x x x '=-+≥，(1)(9)0x x --≥,解得1x ≤或9x ≥，故函数()f x 的单调递增区间分别为(,1]-∞和[9,)+∞(2)22()2(1)f x x a x b '=--+若函数()f x 在R 上是增函数，则对于任意x ∈R ，()0f x '≥所以，224(1)40a b ∆=--≤，即(1)(1)0a b a b +---≤设“()f x 在R 上是增函数”为事件A ，则事件A 对应的区域为 {(,)|(1)(1)0}a b a b a b +---≤全部试验结果构成的区域{(,)|04,03}a b a b Ω=≤≤≤≤，如图．所以，11341133722()3412S P A S Ω⨯-⨯⨯-⨯⨯===⨯阴影. 故函数()f x 在R 上是增函数的概率为712.8.(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果： (110,80)；(120,80)；(140,80)；(150,80)；(120,110)；(140,110)；(150,110)；(140,120)；(150,120)；(150,140).设“至少有一辆不符合2CO 排放量”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：(140,80)；(150,80)；(140,110)；(150,110)；(140,120)；(150,120)；(150,140). 所以，7.0107)(==A P 答：至少有一辆不符合2CO 排放量的概率为7.0.(2)由题可知，120==乙甲x x ，220=+y x .()22580120S =-+甲()+-2120110()+-2120120()+-2120140()30001201502=-25S =乙()+-2120100()+-2120120()+-2120x ()+-2120y ()2120160-+=2000()+-2120x ()2120-y220,x y +=∴25S =乙+2000()+-2120x ()2100-x ， 令t x =-120，13090<<x ，1030<<-∴t ，25S ∴=乙+2000+2t ()220+t ，2255S S ∴-=乙甲22406002(30)(10)0t t t t +-=+-<120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好. 9.(1),m n 的取值情况有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16).基本事件总数为10．设“25253030m n ≤≤≤≤⎧⎨⎩”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26)所以3()10P A =， 故事件“25253030m n ≤≤≤≤⎧⎨⎩”的概率为310．(2)将甲，乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：用y =1Q 222221(2223)(24.225)(28.630)(26.226)(17.616) 6.32S =-+-+-+-+-= 用 2.53y x =-作为拟合直线时，所得到的y 值与y 的实际值的差的平方和为=2Q 222222(2223)(24.525)(29.530)(2726)(1716) 3.5S =-+-+-+-+-= 由于21Q Q >，故用直线 2.53y x =-的拟合效果好．10.(1)解法1：∵N 是PB 的中点，PA AB =，∴AN PB ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥．又AD AB ⊥，PA AB A =，∴AD PAB ⊥平面，AD PB ⊥．又AD AN N =，∴PB ⊥平面ADMN ． ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB DM ⊥．解法2：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -可得，()0,0,0A ()12,1,0,1,,12(0,0,2),(2,0,0),,P B C M D ⎛⎫⎪⎝⎭因为 3(2,0,2)1,,102PB DM ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⋅-=⋅，所以PB DM ⊥．(2)因为 (2,0,2)(0,2,0)0PB AD =-⋅=⋅．所以 PB AD ⊥，又PB DM ⊥，所以 PB ⊥平面ADMN ， 因此 ,PB DC <>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角．因为 10cos ,||||PB DC PB DCPB DC ⋅<>==⋅所以CD 与平面ADMN 11 .由正视图、俯视图知4AC =；由正视图、侧视图知，点B 在平面SAC 上的正投影为AC 的中点D ，则3BD =， BD ⊥平面SAC ，BD AC ⊥；由俯视图、侧视图知，点S 在平面ABC 上的正投影为DC 的中点O ， 则2SO =，SO ⊥平面ABC ，SO AC ⊥．如图． (1)三棱锥S ABC -的体积11432432S ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．(2)解法一：以O 为原点，OA 为x 轴，过O 且平行于BD 的直线为y 轴，OS 为z 轴，建立如图空间 直角坐标系，可求()()()002300130S A B ，，，，，，，()()302132SA SB =-=-，，，，，， 设()m x y z =，，是平面SAB 的一个法向量，则320320m SA x y m SB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取9322m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，， 可知()()100400C CA -=，，，，，，设点C 到平面SAB 的距离为d ，则133CA m d m⋅==． (3)可知()001n =，，是平面ABC 一个法向量，故9133cos 133m n m n m n⋅<>==⨯，， 二面角S A BC --． 解法二： (2)可求AB ==，SA =SB ==△SAB的面积122SAB S ∆==， 设点C 到平面SAB 的距离为d ,由三棱锥S ABC -的体积143S ABC CSAB SABV V S d--===⨯⨯，得122SAB d S ∆===(3)作CH AB ⊥于H ，作//OE CH 交AB 于E ，则OE AB ⊥，连接SE ，因OE 是SE 在底面ABC 内的射影，而OE AB ⊥，故SE AB ⊥， SEO ∠为二面角S AB C --的平面角．△ABC中，易求BA BC ==由△ABC 的面积，1122AC BD AB CH ⨯⨯=⨯⨯，13AC BD CH AB ⨯==， △AEO 与△AHC 相似，相似比为AO ：AC=3：4，故3413OE CH ==，Rt SEO ∆中，tan SO SEO OE ∠==cos SEO ∠==， 二面角S AB C--的余弦值为133． 12.(1)证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF ．(2)设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF . (3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-，⊥CB 平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=，ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．13.(1)因为22a 、33a 、44a 成等差数列，所以243246a a a +=，即3211123a q a q a q +=.因为10a ≠，0q ≠，所以22310q q -+=，即(1)(21)0q q --=.因为1q ≠，所以12q =.所以116113222n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以数列{}n a 的通项公式为6*2()n n a n -=∈N .(2)因为62n n a -=，所以62log 26nn b n -==-.所以6,16,66,7.n n n b n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩当16n ≤≤时,1212n n n T b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+2[5(6)]111222n n n n ⨯+-=-+;当7n ≥时，1212678()()n n n T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+126122()()n b b b b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+22111111215302222n n n n ⎛⎫=⨯--+=-+ ⎪⎝⎭.综上所述，22111,16,2211130,7.22n n n n T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩14.(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． (2)1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-.15.(1)因为函数()1ax bf x x +=+的图象经过原点，所以(0)0f =，即0b =.所以()1axf x x =+.因为函数()11ax af x a x x==-++的图象关于点(1,1)-成中心对称，所以1a =.所以()1xf x x =+.(2)因为221na f +⎡⎤==⎣⎦，且0n a >，=1=+1=.所以数列⎧⎫1=，公差为1的等差数列. 1(1)1n n =+-⨯=，所以21n a n =*()n ∈N .(3)当1n =时，1112S a ==<；当2n ≥时，21111(1)1n a n n n n n=<=---，所以123222111123n n S a a a a n =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111(1)()()222231n n n<+-+-+⋅⋅⋅+-=-<-.综上所述，2n S <*()n ∈N .16.(1)∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ，∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±,1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ∴双曲线2C 的方程为：2213y x -=． (2)st为定值．下面给出说明． 设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线2C的渐近线方程为：y =，∵圆M与渐近线y =相切，∴圆M的半径为r ==，故圆M ：22(2)3x y ++=，显然当直线1l 的斜率不存在时不符合题意，设1l的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k -+=，设2l的方程为1(1)y x k-=--，即10x ky +--=， ∴点1F 到直线1l的距离为1d =，点2F 到直线2l的距离为2d =，∴直线1l 被圆M截得的弦长s == 直线2l 被圆N截得的弦长t ==∴s t ===， 故st17.(1)依题意,，抛物线21:2C x py =的焦点F 的坐标为(0,1)F ,则12p =，所以抛物线1C 的方程为24x y =，由于4MF =，即4MP PF +=，而线段1MF 的垂直平分线与线段MF 交于点P , 则1MP PF =因此,14PF PF +=，且142FF >=，则点P 的轨迹2C 为以1F 、F 为焦点的椭圆，设2C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，且221a b -=，解得24a =，23b =，所求曲线2C 的方程为22143y x += (2)若直线l的斜率不存在，则直线x =x =1C 及曲线2C 均只有一个公共点，若直线l 斜率存在,设其方程为y kx m =+,若l 与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点,则24y kx m x y =+⎧⎨=⎩及22143y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩均只有一组解， 由24y k x m x y =+⎧⎨=⎩消去y 得 2440x kx m --=, 则216160k m ∆=+= ①由22143y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(43)63120k x kmx m +++-=,则2222364(312)(34)0k m m k ∆=--+=，即22340m k --=② 由①②得4,2m k =-=±，即存在直线24y x =±-与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点，综上:存在四条直线x =24y x =±-与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点． 18.(1)因为椭圆以P 为一个焦点，另一个焦点Q 在AB 上，且椭圆经过点A 、B ，所以由椭圆的定义知BQ BP AQ AP +=+， 因此)3(54AQ AQ -+=+，解得2=AQ . 于是椭圆的长轴长6242=+=a ，焦距5224222=+==PQ c ，故椭圆的离心率3565222===a c e . (2)依题意，可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由（1）知，5,3==c a ，∴222=-=c a b ，∴椭圆方程为14922=+y x . (3)依题意，设直线l 的方程为)5(-=x k y ，设直线l 与PA 相交于点C ，则321==∆∆PAB QAC S S ，故1,3==PC AC ，从而CP AC 3=.设),(y x A ，由2,4==AQ AP ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++4)5(16)5(2222y x y x，解得55A ⎛- ⎝⎭.设),(y x C ，由3=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=-yy x x 3554)5(3553，解得C ⎛ ⎝⎭. ∴81=k ，∴直线l 的方程为)5(81-=x y . 19.(1)解：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =. ∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限， ∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P的坐标为2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上，∴2248193a b +=. 又1c =，且22221a b c b =+=+， 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. (2)解：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,F M x y F N x y F R x y=-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ①∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.② 把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴M N A Q k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+，化简得()2243430y x x +++=.当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上. ∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.20.(1)生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x . (2)生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者.令()()x g x f ≥，即x x -≥505090， 解得71321≤≤x . 所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x xx h .当321≤≤x 时，()0902'<-=xx h ，故()x h 在[]32,1上单调递减，则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）； 当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增， 则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）； ()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x . 答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.21.(1)由题意知：企业每月向湖区排放的污水量成等比数列，设第一个月污水排放量为1a ，则1100a =，公比为2，则第m 个月的污水排放量为12100m m a -=⨯， 如果不治理，m 个月后的污水总量为：()()1121221001002110012m m m n S --=+++⨯=⨯=-⨯-（立方米）．(2)由（1）知63200a =，则72800a =，由题意知，从2010年7月份开始，企业每月 向湖区排放的污水量成等差数列，公差为400-，记7月份企业向湖区排放的污水量 为1b ，则2800(1)(400)3200400n b n n =+-⨯-=-，令0,n b = 得8n =. 所以该企业2011年2月向湖区停止污水排放，则该企业共排污水68(28000)630011200175002S ⨯++=+=（立方米）．设x 个月后污水不多于5000立方米，则1251750016005000,16x x -≤≥.因为8161257<<，所以8个月后即2011年10月污水不多于5000立方米． 22. (1)()'1x x x f x ax x a e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, ∵0x ≥, ∴1xe ≥,101x e <≤.① 若0a ≤,则当()0,x ∈+∞时,()'0f x <,()f x 为减函数,而()00f =,从而当0x >时,()0f x <,不合题意,应舍去.② 若01a <<,则当()0,ln x a ∈-时, ()'0f x <,()f x 为减函数,而()00f =, 从而当()0,l n x a ∈-时,()0f x <,不合题意,应舍去.③ 若1a ≥,则当()0,x ∈+∞时, ()'0f x >,()f x 为增函数,而()00f =, 从而当0x >时,()0f x >,所以当0x ≥时, ()0f x ≥恒成立. 综上, a 的取值范围为[)1,+∞.(2)证明: 由(1)知, 对于()0,1x ∈, 当0a =时, ()0f x <,所以1xx e +<,而当2a =时, ()0f x >,所以11xe x<-, 从而()0,1x ∈时, 1xx e +<11x <-. 取()12x n n=≥,则111111111n n n n n+<<==+---. 23.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=，所以()f x 在1x =处取得极小值1.(2)1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. (3)在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()l n ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零.由（2）可知①当1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>,此时，(1)0h a +<不成立.综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-.24.(1)()sin g x x =是R 上的“平缓函数，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”； 设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数， 不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-， ①又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ②由①、 ②得 21212()s i n s i n x x x x x x--<-<- 因此 2121s i n s i n x x x x -<-，对12x x <的实数都成立， 又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=， 故 对任意的实数1x ，2x R ∈均 有2121sin sin x x x x -≤- 因此 sin x 是R 上的“平缓函数.由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+-取13x =，21x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， 因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. (2)由(1)得：sin x 是R 上的“平缓函数，则2121sin sin x x x x -≤-， 所以 11n n n n y y x x ++-≤-，而121(21)n n x x n +-≤+，所以 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++ 而 11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-+-所以 1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-，则11111111[()()(1)]4112n y y n n n n +-≤-+-++-+-因此 11111(1)414n y y n +-≤-<+.25.(1)过C ：xy 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ， 所以 121n n x x +=+(2)因为)3121(231211+--=+-+n n x x ，又231211-≠+-x所以数列{3121+-n x }是等比数列.(3)由(2)可得：31)2(12,)2(--+=-=n n n n x a 则，31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-n n nnn x . ①当n 为偶数时有：=-+---n nn n x x )1()1(11n n n n n n n n n n n n 21212222)312)(312(2231213121111111+<⋅+<-++=-++------12121212121)1()1()1(432221<+++++<-++-+-n n n x x x .②当n 为奇数时，前n -1项为偶数项，于是有：n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+--- 131211)31)2(12(11)1(1<++-=--+-=-=-+<n n n n n x x .综合①②可知原不等式得证.26.(1)因为202x a x bx c +=-的不动点为和,∴0=a 且)0(21≠+=c cb (2)∵c ＝2 ∴b ＝2 ∴()()()2121x f x x x =≠-，由已知可得2S n ＝a n －a n 2……①，且a n ≠ 1． 当n ≥ 2时，2 S n -1＝a n －1－21n a -……②，①－②得(a n ＋a n －1)( a n －a n －1＋1)＝0，∴a n ＝－a n －1 或 a n ＝－a n －1 ＝－1， 当n ＝1时，2a 1＝a 1－a 12 ⇒a 1＝－1，若a n ＝－a n －1，则a 2＝1与a n ≠ 1矛盾．∴a n －a n －1＝－1， ∴a n ＝－n ．∴要证不等式，只要证 ()111111n n n e n -+-⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证 11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只要证 ()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．考虑证不等式()ln 11xx x x <+<+(x ＞0) 即可， 令g (x )＝x －ln(1＋x )， h (x )＝ln(x ＋1)－1xx + (x ＞0) ．∴()'g x ＝1x x +， ()'h x ＝()21xx +， ∵x ＞0， ∴()'g x ＞0， ()'h x ＞0，∴g (x )、h (x )在(0, ＋∞)上都是增函数， ∴g (x )＞g (0)＝0， h (x )＞h (0)＝0，∴x ＞0时，()ln 11xx x x <+<+． 令1x n =则(**)式成立，∴111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)由(2)知b n ＝1n，则T n ＝111123n +++⋅⋅⋅⋅+.在111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭中，令n ＝1，2，3，，2008，并将各式相加， 得111232009111ln ln ln 1232009122008232008++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+， 即T 2009－1＜ln2009＜T 2008.。