单摆运动的分析

单摆的运动规律分析

摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。 关键词：单摆 线性微分方程 非线性微分方程 正文：

单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。

单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m 的小球组成，不考虑空气阻力。

Ⅰ.由刚体绕定轴转动的微分方程可知：

θθsin 2

22

mgl dt d ml -=……⑴

当θ很小时：

02

2=+θθl g

dt

d ……⑵ 令l g w =2

则原式化为02

22=+θθw dt

d ……⑶

做任意角度摆动时的情况：

0sin 2

2

2=+θθw dt

d ……⑷ Ⅱ.受大小与速度成正比的阻力作用时：

0sin 2

22=+-θθθw dt

d k dt d ……⑸ 做小角度摆动时可近似为：

0222=++θθ

θw dt

d k dt d ……⑹ 其中⑵、⑶、⑹式为线性微分方程，⑴、⑷、⑸式为非线性微分方程。

1）小角度震荡时将sin θ近似看作θ i.函数文件:

function fc=f0(t,y) global g l

fc=[y(2) -g/l*y(1)]' ii.绘图程序：

clear

clc

global g l

g=9.8;

l=1;

w0=input('wm0?\n')

[t,y]=ode45('f0',[0,100],[0,w0*pi]');

plot(t,y(:,1),'r')

title('θ-t 图');

xlabel('时间/s');

ylabel('θ/rad');

grid

iii.图像：

取wm0=0.5.

2)振幅增大后，θ将不满足近似条件。

i.函数文件：

function fc=f1(t,y)

global g l

fc=[y(2) -g/l*sin(y(1))]'

ii.绘图程序：

clear

clc

global g l k

g=9.8;

l=1;

w0=input('wm0?\n')

[t,y]=ode45('f1',[0,50],[0,w0*pi]');

plot(t,y(:,1),'b')

title('θ-t 图');

xlabel('时间/s');

ylabel('θ/rad');

grid

iii.图像：

仍取wm0=0.5.

方向与物体相对空气的速度方向相反.

i.函数文件:

function fc=f2(t,y)

global g l k

fc=[y(2) -g/l*sin(y(1))-k*l*y(2)]' ii.绘图程序:

clear

clc

global g l k

g=9.8;

l=1;

k=input('k?\n');

w0=input('wm0?\n')

[t,y]=ode45('f2',[0,50],[0,w0*pi]');

plot(t,y(:,1),'k')

title('θ-t 图');

xlabel('时间/s');

ylabel('θ/rad');

grid

iii.图像:

仍取wm0=0.5,k取0.4.