偏微分方程数值解定稿.ppt

uk 1
uk
h uk x
h2 2!
2uk x 2
O(h3 )
将uk-1在uk处按二阶泰勒式展开：
uk 1
uk
h uk x
h2
2!
2uk x 2
O(h3 )
二式相加得：
2u x2
uk1
2uk (x)2
uk1
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5.3几种常见偏微分方程的离散化计算
些离散变量的函数。
un i , j,k
u(t, x,
y, z)tnt ,xix, y jy,zkz
一阶偏导的离散化公式
u
un1 i , j,k
un i , j,k
t tnt ,xix , y jy,zkz
t
一般采用欧拉公式表示
有时为了保证系统和稳定性， 对时间的差分往往采用向后公式
u
un i1, j,k
x
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5.2 离散化公式
对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处理技术得到下面离散化 计算公式：
2u t 2
un1 i , j,k
2uin, j,k (t )2
un1 i , j,k
x, y,un1 / x,y
非线性微分方程 Nonlinear partial differencial equation
x, y,un / x,y
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5.1 偏微分方程简介
2u x 2
拉普拉斯方程（椭圆型）稳态静电场或稳态温度分布场）
u2 x2
2u y2
0
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5.1 微分方程的求解思路
求微分方程数值解的一般步骤：
Step1区域剖分：首先按一定规则将整个定义域分成若干小块 Step2微分方程离散：构造离散点或片的函数值递推公式或方程 Step3初始、边界条件离散：根据递推公式，将初值或边界值离
un i , j,k1
2uin, j,k (z)2
un i , j ,k 1
t nt ,xix , y jy ,zkz
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5.2 离散化公式推导
将uk+1在uk处按二阶泰勒式展开：
t nt ,xix , y jy ,zkz
2u x 2
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
un i1, j ,k
t nt ,xix , y jy ,zkz
2u y2
un i , j1,k
2uin, j,k (y)2
un i1, j ,k
t nt ,xix , y jy ,zkz
2u z 2
在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个自变量是时间， 其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有 两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。 许多 化工过程均是通过对偏微分方程的求解进行工艺参数的确 定或数值模拟。
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散化，补充方程，启动递推运算
Step4 数值解计算：求解离散系统问题
微分方程的定解问题
离散系统的求解问题
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5.2 离散化公式
将自变量在时间和空间上以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这
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5.1 偏微分方程简介
偏微分方程的分类
2u
2u
2u
u
u
a() x2
b() xy
c() y2
d() x
e() y
f ()u
g() 0
线性微分方程 Linear partial differencial equation
x, y
拟线性微分方程 Quasilinewk.baidu.comr partial differencial equation
第五章 偏微分方程数值解 Numerical Methods for Partial Differential Equations
5.1 偏微分方程简介 5.2 离散化公式 5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算 5.4吸附床传热传质模型中偏微分方程求解
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数学上的分类：
椭圆方程 Elliptic
b2 4ac 0
抛物线方程 Parabolic b2 4ac 0
双曲线方程 Hyperbolic b2 4ac 0
物理实际问题的归类：
波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
un i , j,k
x tnt ,xix , y jy,zkz
x
u
un i , j1,k
un i , j,k
y tnt ,xix , y jy,zkz
y
u
un1 i , j,k
un i , j,k
t t(n1)t ,xix, y jy,zkz
t
u
un i , j,k1
un i , j,k
z tnt ,xix , y jy,zkz
EXCEL 循环迭代问题
教学难点
特殊边界条件的引入与应用
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5. 1 偏微分方程简介
偏微分方程
如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果 未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几 个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
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本章要求
教学目的
讲解： 偏微分方程离散格式及求解的一般过程
教学要求
熟记 精通 探索 延伸
一阶及二阶偏微分方程的离散格式； 用EXCEL迭代对偏微分方程求解； 用两数组交替更新的办法进行编程求解； 对化学反应工程中物理场的模拟进行尝试。
教学重点
各种偏微分方程的离散与求解