一. 无穷积分的性质

推论3 设f定义在 [a,)， 且在任何有限区间
[ a, u ] 上可积， 且
x
lim x f ( x) .
p

则有:
(i)当 p 1,0 时, | f ( x) | dx 收敛;
a
(ii)当 p 1,0 时,a | f ( x) | dx 发散.
a
f ( x )dx也收 敛
1 证 令 ( x ) ( f ( x ) f ( x ) ). 2 ( x ) 0，且 ( x ) f ( x ) , f ( x )dx 收敛,
a
( x )dx 也收敛. 但 f ( x ) 2 ( x ) f ( x ) ,
二. 比较判别法
1、定理11.2 （比较准则）
设定义在 [a,)上的两个函数 f和g都在任何有限区间
[a, u]上可积 , 且满足
f ( x) g ( x), x [a,)

若 g ( x)dx收敛, 则
a
a
f ( x) dx收敛;
若

a
f ( x) dx发散, 则 g ( x)dx发散.

a
f 2 ( x)dx
性质2
若f在任何有限区间 [a, u]上可积，a b,
则

a
f ( x)dx与

b
b
f ( x)dx同敛散， 且有
b


a
f ( x)dx f ( x)dx
a
f ( x)dx.
其中右边第一项为定积分.
性质3
若f在任何有限区间 [a, u]上可积， 且

a
f ( x )dx
绝对收敛的反常积分
0

a
f ( x)dx 必定收敛．
ax 例5 判别 反常积 分 e sinbxdx (a , b 都是
常数a 0) 的收 敛性 .
解
e
0
ax
sin bx e
ax
,而 e
0

ax
dx 收敛.

e ax sin bx dx 收敛. 所以所给反常积分收敛.

1

u2
u1
u2

定理11.4 (阿贝尔判别法)
若 a f ( x )dx 收敛，g ( x)在[a,)上单调有界 ，则



a
f ( x ) g( x )dx收敛.

cos x sin x dx 与 dx 的收敛性. 例1 讨论 1 p p 1 x x sin x dx 绝对收敛. 因为 解 (i) 当 p 1 时 1 p x sin x 1 | p p , x [1, ), x x 1 而 1 p dx 当 p 1 时收敛, 故由比较法则推知 x sin x 1 | x p | dx 收敛.
1
4 p 1, 3
根据比较原则，
反常积分
3
dx x4 1
1
收敛.
x3/ 2 例4 判 别 反 常 积 分 . 1 1 x 2 dx 的 收 敛 性 x3/ 2 x2 x , lim 解 lim x 2 2 x 1 x x 1 x
a

f ( x) dx收敛;

(iii ) 当c 时， 若 g ( x)dx发散， 则
a
f ( x) dx发散.
3、柯西判别法
[a,)(a 0)， 且在任何有限 推论2 设f定义在
区间 [a, u]上可积， 则有
1 (1) 当 f ( x) p , x [a, )且0＜p＜ 1时 f ( x) dx收敛; a x 1 (2) 当 f ( x) p , x [a, )且p 1时 f ( x) dx.发散 a x
| g (u1 ) | | f ( x)dx f ( x)dx | | g (u2 ) | | f ( x)dx f ( x)dx | a a a a 2M 2M . 根据柯西准则: f ( x) g ( x)dx 收敛. a 4M 4M
1
x e x dx R都收敛 .
解 (２ )：
由于
lim x
1 2
x2
5
根据柯西判别法


0
x 1 x2 dx 发 散. 5 x 1
1
例3 解
判 别反 常积 分
3
dx x 1
4
1
的 收敛 性 .
0
3
Байду номын сангаас
1 1 3 4 4/ 3 , 4 x x 1 x

三. 狄利克雷达判别法与阿贝尔判别法
定理11.3 (狄利克雷判别法) 若 F (u) f ( x)dx 在 [a, ) 上有界,
a u
g ( x) 在 [a, ) 上当 x 时单调趋于0,
则


a
f ( x) g ( x)dx 收敛.
证: 由条件设 | a f ( x)dx | M , u [a, ). 任给 0, 由于 lim g ( x) 0, 因此存在 G a, 当 x G 时,有 | g ( x) | . x
性质１
若
则
a

a
f1 ( x)dx与

a
f 2 ( x)dx都收敛，k 1 , k2为任意常数 ，
[k1 f1 ( x) k2 f 2 ( x)]dx也收敛， 且 [k1 f1 ( x) k2 f 2 ( x)]dx k1
a


a
f1 ( x)dx k2
4M

又因 g ( x) 为单调函数, 利用积分第二中值定理, 对于任何 u2 u1 G, 存在 [u1 , u2 ], 使得

u2
1
u2
u1
f ( x) g ( x)dx g (u1 ) f ( x)dx g (u2 ) f ( x)dx.
u1

u2

于是有 | u f ( x) g ( x)dx || g (u1 ) | | u f ( x)dx | | g (u2 ) || f ( x)dx |
a

f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即


a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a


a
f ( x ) dx.
收敛.
定 义 满 足 前 面 定理 条 件 的 常 反积 分 称 为 绝 对 收敛 .

a
f ( x) dx收敛，
则

a
f ( x)dx必收敛， 并有

注

a

f ( x )dx

a
f ( x ) dx .

当
a
f ( x ) dx收敛时 ， 称
a
f ( x )dx为绝对收敛 .
性质３说明：绝对收敛的级数自身一定收敛． 但自身收敛的级数, 不一定绝对收敛． 我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛．

根据极限判别法，所给反常积分发散． 例5 解
判别反常积分
1
arctanx dx 的 收 敛 性 . x
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
根据极限判别法，所给反常积分发散．
定理 如 果
a
设函 数 f ( x )在区 间 [a ,)上连 续 ， f ( x ) dx收 敛; 则
a
2、推论1
设f和g都在任何有限区间 [a, u]上可积 ，g ( x ) 0, 且
x
lim
f ( x) g ( x)
a
c, 则有 :
f ( x) dx与 g ( x)dx同敛散;
a a
(i) 当0 c 时，
a
(ii ) 当c 0时， 若 g ( x)dx收敛， 则
所以它是条件收敛的.
例2. 讨论下列无穷积分的收敛性，
(1)


1
x e x dx;
( 2)


x2 x 1
5
0
dx .
解(1)： 由于 R, 都有
根据柯西判别法
x
lim x 2 x e x

x 2 lim x 0, x e

x
§2 无穷积分的收敛性质与判别
一. 无穷积分的性质 定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分
a

f ( x )dx 收敛的充要条件是: 0, G a ,
当 u1 , u2 G 时,
a
u1
f ( x )dx
u2 a
f ( x )dx
u
u2
1
f ( x )dx .
(ii) 当0 p 1 u | sin xdx || cos1 cos u | 2,
1
u 1,
1 而 p 当 p 0 时单调趋于0( x ), x sin x dx 当 p 0 故由狄利克雷判别法推知 1 p x
时总是收敛的.
sin x sin 2 x 1 cos 2 x , x [1, ) 又由于 | p x x 2x 2x cos 2 x 1 cos t dx dt 其中 1 2 2x 2 t dx 满足狄利克雷判别条件, 是收敛的, 而 1 是发散的, 2x 因此当 0 p 1 时该无穷积分不是绝对收敛的.