用三垂线法求二面角地方法(新)

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(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

求二面角方法——3垂面法

二面角——垂面法垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.1.设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求这个二面角的大小。

解：作AC ⊥l 于c ，连结BC∵PA ⊥α，l ⊂α∴PA ⊥l又AC ⊥l ，AC∩PA ＝A∴l ⊥平面PAC ∴l ⊥PC∵PB ⊥β，l ⊂β∴PB ⊥l又PB∩PC ＝P ∴l ⊥平面PBC∴平面PAC 与平面PBC 重合，且l ⊥BC∴∠ACB 就是所求的二面角△PAB 中，PA ＝8，PB ＝5，AB ＝7∴∠P ＝600∴∠ACB ＝12001.如图三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝32，D 是BC 的中点，且△ADC 是边长为2的正三角形，求二面角P －AB －C 的大小。

DP C A B解：由已知条件，D 是BC 的中点∴CD ＝BD ＝2又△ADC 是正三角形∴AD ＝CD ＝BD ＝2∴D 是△ABC 之外心又在BC 上∴△ABC 是以∠BAC 为直角的三角形，∴AB ⊥AC ，又PC ⊥面ABC∴PA ⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角P －AB －C 之平面角，易求∠PAC ＝30°2．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10， 234PC =，F 是线段PB 上一点，173415=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB（I ）求证：PB ⊥平面CEF（II ）求二面角B —CE —F 的大小（I ）证明：∵2221006436PC AC PA ==+=+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形，同理可证△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形。

故PA ⊥平面ABC又∵3061021||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21 故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB∴PB ⊥平面CEF（II ）由（I ）知PB ⊥CE, PA ⊥平面ABC∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE在平面PAB 内，过F 作FF1垂直AB 交AB 于F1，则FF1⊥平面ABC ， EF1是EF 在平面ABC 上的射影，∴EF ⊥EC故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角。

高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。

（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。

二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。

而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角。

(二)1、由定义作出二面角的平面角；2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。

4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延长（展）线（面）法6、射影公式S射影=S斜面cosθ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。

例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小.解: 设平面∩PABα=OA,平面PAB∩β=OB。

同理PB⊥а ∴а⊥平面PAB又∵OA⊂平面PAB ∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.在四边形PAOB中, ∠AOB=120°,.∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°2、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。

例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C 1DE与面CDE所成二面角的正切值.解：在长方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中由三垂线定理可得：CD =2 CE=1, DE=3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

二面角8种求法

二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。

笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。

一、平面角定义法此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。

以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角，如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。

例题1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，O、O1是上下底面正方形的中心，求二面角O1-BC-O的大小。

例题2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为A1D1、C1D1的中点，求平面EFCA与底面ABCD所成的二面角。

二、利用三垂线定理法此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。

如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ，过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足，由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ，连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ，即∠AOB 是α-l-β的平面角。

例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。

例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

三、线面垂直法此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下:、定义法: 甬片+—*■垂面法化T不见播型直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小.做OB 交线，交于点O,连接OAQ PB 平面PB 交线同理PA 交线又Q OB 交线交线面PAOB交线OA即可得AOB为面的二面角，AOB=120所以APB=60例、在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PA!平面ABCQPA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。

提示：VPAB VPCD，而且是直角三角形可见槻型I解法• f三垂线法A、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，P从平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角P-BC-A的tag 大小。

过A做AH BC,交BC于H，连接PH Q PA 面ABCDPA AB, PA BCBC 面PHAPHA为二面角在VABH中ABH=30 , AB=aAH=a/2tag PHA 2例：如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD%面CD所成二面角的正切值.提示：CO DE而且是长方体！ !!例、△ ABC 中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面 ABC 外一点 P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M 二面角P-AC — B 的大小为45°。

求（1）二面角P-BC — A 的大小；（2）二面角C-PB-A 的大小提示：角PAB 是二面角，找到每个面的直角!射影，那么PM 为面ABC 的垂线！例、如图4,平面丄平面，A =l , A € , B € ,点A 在直线I 上的射影为A,点B 在I 的射影为B,已知AB=2AA=1,BBp/2, 求：二面角A — AB- B 的大小.提示：AA1与BB1互相垂直AF 是辅助线且垂直AB,FE 平行BB四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射=S 原cos ,其中为平面BD i' M图4角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，P从平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

用三垂线法求二面角的方法(新)

用三垂线法求二面角的方法三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。

求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠：①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。

. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。

③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。

1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==，AD =①求二面角C ABD --的大小；②求二面角B CD A --的大小；1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4π ∴二面角C AB D --的大小为4π ②∵AB ⊥面BCD BC CD ⊥ ∴由三垂线定理得CD AC ⊥∴ACB ∠为二面角B CD A --的平面角 ∵BC CD ⊥∴BD ==∵AB ⊥平面BCD ∴AB BC ⊥ AB BD ⊥∴1AB ==在Rt ABC ∆中，tan 1ABACB BC∠==， ∴二面角B CD A --的大小为4π 方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解,本题②的关键是找出垂线AB 、斜线AC 及其射影BC,。

怎样求解二面角问题

二面角问题在立体几何中比较常见，常见的命题形式有求二面角的大小、求二面角的余弦值，证明两个平面互相垂直等.此类问题的难度一般较大，需综合运用立体几何知识、平面几何知识、解三角形知识、三角函数知识，才能顺利求得问题的答案.本文结合实例，重点探讨一下求解二面角问题的几种常用方法.一、定义法二面角是由从一条直线出发的两个半平面所组成的，而二面角的大小往往是用其平面角的大小来表示，因此在求二面角的大小时，通常要用到二面角的平面角的定义：过二面角的棱上的一点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角.然后根据正余弦定理、勾股定理求得二面角的平面角的大小，即可求得二面角的大小.例1.如图1，已知空间中有三条射线CA 、CP 、CB ，且∠PCA =∠PCB =60°，∠ACB =90°，求二面角B -PC -A 的余弦值.图1解：在PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，连接EF ，所以∠EDF 为二面角B -PC -A 的平面角，设CD =a ，因为∠PCA =∠PCB =60°，所以CE =CF =2a ，DE =DF =3a ，因为∠ACB =90°，所以EF =22a ，在△DEF 中，根据余弦定理得：cos ∠EDF =3a 2+3a 2-8a 22∙3a2=-13.解答本题主要运用了定义法，需根据二面角的平面角的定义，在二面角B -PC -A 的棱PC 上任取一点D ，过D 分别作DE ⊥PC ，DF ⊥PC ，从而确定了二面角B -PC -A 的平面角∠EDF ，再根据余弦定理求得cos ∠EDF 的值.二、垂面法垂面法是指作一个垂直的平面，根据其中的垂直关系求得问题的答案.在求解二面角问题时，若题目中涉及的垂直关系较多，可过二面角棱上的一点在两个半平面内作棱的垂线；也可将两个半平面内的垂线平移，使其交于一点；还可过一条垂线上的一点作另一个平面的垂线，从而构成一个垂面，则垂面上的两条垂线或其平行线所形成的夹角即为二面角的平面角.最后根据勾股定理即可求得二面角的平面角的大小.例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，求二面角B -PC -D 的大小.图2解：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，所以PA ⊥BD ，BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面PAC ,可得BD ⊥PC ，分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，则∠BHD 为二面角B -PC -D 的平面角，因为PA =AB =a ，所以BC =a ，PB =AC =2a ，所以PC =3a ，根据勾股定理可得∠PBC =90°，所以在△PBC 中，12PB ∙BC =S △PBC =12PC ∙BH ，则BH ，同理可得DH ，因为BD =2a ，所以在△BHD 中，由余弦定理可得：cos ∠BHD =ö÷2+ö÷2-2a 2-12，因为0<∠BHD <π，则∠BHD =2π3,即二面角B -PC -D 的大小为2π3.本题中的垂直关系较多，于是分别过B 、D 作DH ⊥PC ，BH ⊥PC ，得到PC 的垂面BHD ，据此确定二面角B -PC -D 的平面角∠BHD ，再在△BHD 中由怎样求解二面角问题方法集锦43余弦定理即可求得∠BHD 的大小，进而求得二面角B -PC -D 的大小.值得注意的是，二面角α的范围为：[0,π].三、三垂线法三垂线法是利用三垂线定理解题的方法.运用三垂线法求解二面角问题，需先找到平面的垂线，然后过垂线上的一点作平面的斜线，若平面内的一条直线与平面的斜线垂直，那么这条直线与斜线在平面内的射影垂直，根据这些垂直关系就可以确定二面角的平面角，最后根据勾股定理、正余弦定理即可求得平面角的大小.例3.如图3所示，在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的大小.图3解：如图3，过A 作AH ⊥BC 于H ，连接PH ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，PA ⊥AH ，所以BC ⊥平面PHA ，所以BC ⊥PH ，可知∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，在Rt△ABH 中，AB =a ，∠ABH =∠ABC =30°所以AH =AB sin ∠ABH =a sin 30°=12a ，因为PA ⊥AH ，所以在Rt△PHA 中，tan ∠PHA =PA AH=2，所以∠PHA =arctan 2，故二面角P -BC -A 的大小为arctan 2.根据题意作AH ⊥BC ，便可知AH 为PH 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理可得BC ⊥PH ，由此可确定∠PHA 是二面角P -BC -A 的平面角，再在Rt△PHA 中根据正切函数的定义求得∠PHA 的大小，进而可得到二面角P -BC -A 的大小.由此可见，求解二面角问题的关键有两步：第一步，根据二面角的平面角的定义、三垂线定理、垂面的性质，确定二面角的平面角；第二步，根据勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义求得平面角的大小.（作者单位：江西省赣州市南康第三中学）二次函数是一种基本初等函数.二次函数问题的常见命题形式有求二次函数的解析式、最值、对称轴、单调区间、零点等.这类问题侧重于考查二次函数的图象和性质.下面重点谈一谈如何求解有关二次函数的最值问题、零点问题和不等式问题.一、二次函数的最值问题二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条抛物线，若a >0，则抛物线的开口向上；若a <0，则抛物线的开口向下.当x =-b 2a 时,函数在R 上有最值b 2-4ac 4a.若函数的定义域为[m ,n ]，则需分三种情况考虑：（1）当-b 2a ∈[m ,n ]时，函数在x =-b 2a 处取得最值；（2）当x =-b 2a,在[m ,n ]的左侧时，若a >0，则函数在x =m处取最小值，在x =n 处取最大值，若a <0，则相反；（3）当x =-b2a在[m ,n ]的右侧时，若a >0，则函数在x =m 处取最大值，在x =n 处取最小值；若a <0，则相反.例1.求y=-5x 2-6x ＋1的最大值.解：y =-5x 2-6x ＋1是二次函数，x 2的系数是-5，所以二次函数图象的开口向下，当x =-65时，函数有最大值1.利用二次函数的图象，即可确定二次函数在对称轴处取得最值.除了用图象法求解最值问题，还可以用配方法，比如y =x 2＋4x ＋3=()x +22-1，可知当x =-2时函数的最小值为-1.例2.已知函数f (x )=x 2＋(2a -1)x -3.方法集锦44。

用三垂线法求二面角的方法(新)

其射影 BC,。

从而得到二面角的平面角为ACB 。

用三垂线法求二面角的方法垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图 , PB 是平面的斜线 , PA 是平面的垂线, 求证：a PB证明：∵ PA 是平面的垂线 , 直线 a 平面∴直线 a PA 又∵直线 a AB AB PA A ∴直线 a 平面 PAB 而 PB 平面 PAB ∴ a PB总结：定理论述了三个垂直关系， ①垂线 PA 和平面 a 垂直 .三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。

运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作（找）另一个平面的垂线 , 过垂足作二面角的棱的垂线。

.② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角（符合二面角的定义）。

③ 求：二面角的平面角的大小（常用面积相等关系求垂线段长度）。

ACB 为二面角 B CD A 的平面角1、如右图所示的四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD 且 BCC ABD 的大小； ② 求二面角 B CD A 的大小； 1．解： ① ∵ AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角 C AB D 的平面角 ∵ BC CD 且 BC CD 1∴ CBD = 4∴二面角 C AB D 的大小为4C②∵ AB 面 BCDBC CD ∴由三垂线定理得 CD AC 直线 a 平面 , 直线 a 垂直 ; 射影 AB.其射影 BC,。

从而得到二面角的平面角为ACB 。

∵ AB 平面 BCD ∴ AB BC AB BD∴ AB AD 2 BD 2 1在 Rt ABC 中， tan ACB AB 1， BC面角 B CD A 的大小为4方法点拨：本题①的方法是直接运用二面角的定义求解∵ BC CD ∴ BDBC 2 CD 2 2, 本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线 AC 及2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示）为VB 的中点．求二面角A—VB— D 的余弦值．2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴ DA⊥VP又∵ AD⊥ AB ∴AD⊥平面VAB ∵ VAB 是正三角形， E 为VB的中点，∴ AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以AED 就是所求二面角的平面角则斜线为DE, 其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED 。

二面角的找法

二面角的找法定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线(如图(1))．垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角(如图(2))．三垂线法：在一个半平面内不同于棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠AOB 为二面角的平面角(如图（3）)．面积射影法：根据三角形面积(S )与其射影面积(S ′)之间的关系cos θ＝S S '确定面ABC 与面A ′BC 所成的角θ(如图(4))．例题1、已知二面角α-l -β，其大小为90°，A ∈α，B ∈β，线段AB ＝2a ，AB与α成45°的角，与β成30°的角，过A 、B 作l 的垂线AC 、BD ，C 、D 分别是垂足，求二面角C -AB -D 的余弦值．解：定义法：在平面ABD 内，作DF ⊥AB 于F ，在平面ABC 内作FH ⊥AB 于F ，交BC 于点H ，连结DH ．则∠HFD 为二面角C -AB -D 的平面角．∴ AB ⊥面HFD ，∴ AB ⊥HD ．∵ α-l -β是直二面角，∴ AC ⊥l ．∴ AC ⊥平面β．又∵ DH ⊂β，∴ AC ⊥DH ，又∵ AC ∩AB ＝A ，∴ HD ⊥平面ABC ，∵ HF ⊂平面ABC ，∴ HD ⊥HF ，∴ △DHF 为Rt △．∵ AC ⊥β，∴ ∠ABC 为AB 与β所成的角，∴ ∠ABC ＝30°．同理可得，∠BAD ＝45°．在△ABD 中，DF ＝21AB ＝a ， BD ＝2a ，AB ＝2a ，在△ABC 中，BC ＝Ab cos ∠ABC ＝2a cos30°＝3a ，在△BCD 中，CD ＝a ，DH ＝36=⋅BC BD CD a ．在△DHF 中，HF ＝33a ，∴ cos ∠DFH ＝DF HF ＝33．∴ 二面角C -AB -D 的余弦值为33．三垂线定理法： ∵ α-l -β是直二面角，AC ⊥l ，∴ AC ⊥β．∴ 面ABC ⊥β，且BC 为交线．过D 作DH ⊥BC 于H ，则DH ⊥平面ABC ，过H 作HF ⊥AB 于F ，连结DF ，由三垂线定理，得DF ⊥AB ，∴ ∠HFD 为二面角C -AB -D 的平面角．∵ AC ⊥β，∴ ∠ABC ＝30°．同理可得∠BAD ＝45°．∵ 在△ABD 中，DF ＝21AB ＝a ，BD ＝22AB ＝2a ，在△BCD 中，CD ＝a ，DH ＝36a ，在△DHF 中，HF ＝33a ．∴ cos ∠DFH ＝DF HF ＝33，∴ 二面角C -AB -D 的余弦值为33．2、在所给空间图形中ABCD 是正方形，PD ⊥面ABCD ，PD＝AD ．求平面PAD 和面PBC 所成二面角的大小．解：经P 在面PAD 内作PE ∥AD ，AE ⊥面ABCD ，两线相交于E ，连BE ．∵ BC ∥AD ，则BC ∥面PAD ．∴ 面PBC ∩面PAD ＝PE ．∴ BC ∥PE ．因PD ⊥面ABCD ，BC ⊥CD ，那么BC ⊥PC ，BC ⊥面PDC ，即有PE ⊥面PDC ．PE ⊥PD ，PE ⊥PC ，∠CPD 就是所求二面角的平面角．因PD ＝AD ，而AD ＝DC ，∴ ∠CPD ＝45°．即面PAD 与面PBC 成角为45°．3、如图，几何体中，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝21，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解一：因AB 、CD 共面，AD ＝21BC ，故AB 、CD 相交，设其交点为E ．∵ E ∈CD ，CD 面SCD ，∴ E ∈面SCD ，同理E ∈面SAB ．那么E 在面SCD 、面SAB 的交线上．连SE 则面SCD ∩面SAB ＝SE ．由题AE ＝AB ＝SA ，SA ⊥面ABCD ，故SE ⊥SB ，面SEB ⊥面EBC ．又∵ EB ⊥BC ，CB ⊥面SEB ，SB 是SC 在面SEB 内射影，∴ SE ⊥SC ．∠BSC 就是面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．在Rt △SBC 中tan ∠BSC ＝21=SB BC ＝22那么面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22．解二：分别取SC 及SB 的中点E 、F ，连EF ，则EF21BC ，即EF AD ．故ADEF 为平行四边形，那么DE ∥AF ，即DE ∥面SAB ．经S 在面SCD 内作l ∥DE ，那么l 就是所求二面角的棱．因SA ＝AB 有AF ⊥SB ．又SA ⊥面ABCD ，则面BSA ⊥面ABCD ．又BC ⊥AB ，∴ BC ⊥面SAB ，即BC ⊥AF ．故AF ⊥面SBC ．那么l ⊥面SBC ．l ⊥SB ，l ⊥SC ．∠CSB 就是二面角的平面角．在Rt △CSB 中，tan ∠CSB ＝21=SB BC ＝22．解法三：如图，将题所给几何体“装”入正方体，分别取M 、N 为SE 及GF 中点，连DM ，MN ，DNSC ∩DN ＝O ，连OM ，则面DMN ∥面SAB ．SM ⊥面DMN ，又DM ＝MN ，∴ MO ⊥DN ，有DN ⊥SO ．故∠SOM 为面DMN 与SDC 所成二面角的平面角，也是面SAB 与面SDC 所成二面角的大小．在Rt △SMO 中，tan ∠MOS ＝2221=MO SM ＝22．解法四：还将原几何体“装”入正方体．∵ 面SAB ∥面EHC ，故面SAB 与面SDC 所成二面角等于面EHC 与面SDC 所成二面角，这还是一个无棱二面角问题“找公共点”．延长SD 、EH ，使SD ∩EH ＝G ，连CG ．则CG 就是面EHC 与面SDC 所成二面角的棱．由题正方体棱长为1，AD ＝21．连CE ，则CE ＝2，EG ＝2，CG ＝2．∴ ∠GCE ＝90°，GC ⊥EC ．而SE ⊥面EHC ，故GC ⊥SC ，∠SCE 就是面EHG 与面SDC 所成二面角的平面角．tan ∠ECS ＝21=EC SE ＝22．故面SAB 与面SDC 所成二面角正切值为22．作辅助面求解．(等价转化)解法五：分别取BC 及SB 的中点M 、N ，连AM ，MN ，AN ，则有MN ∥SC ，MA ∥CD ，故面AMN ∥面SDC ．那么问题就转化为求面SAB 与面AMN 所成二面角，棱为AN ．解法六：同上思路，找面，使之平行于一面而与另一面相交，图形如下：面GDF ∥面SAB面积射影分析：如上图所示两个面，面SAB 及面SDC 所成二面角，若为α，则应有cos α＝SDCASB S S ∆∆其中面SDC 在面SAB 上射影为△SAB ，解三角形可求得 S △SDC ＝21SC ·46)2(22=-SC CDS △ABS ＝21SA ·AB ＝21那么cos α＝364621= 即tan α＝22．解法七：……也许还有好的方法，妙的思路……。

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

jA BCDPHPOBA二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.ABCDA 1B 1C 1D 1EO例、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC—B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小.B 1AαA 1 LE F三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PβαlCBA例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

六种方法求二面角的大小

六种方法求二面角的大小河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎李洪涛求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=，90BDC ∠=，求二面角A BC D --的大小.分析因为ABC ∆和BCD ∆是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ∆和BCD ∆的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则AD a =，AO =，2OD a =，在AOD ∆中，因为2222a a ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=，所以二面角A BC D --大小为90.说明当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =, CD =,AB AC =.设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法例2. 在三棱锥P ABC -中，AP BP BC==，90APB ABC ∠=∠=，面APB ⊥面PBC .（1）求证：APB ABC ⊥面面；（2）求二面角P AC B --的大小.分析由（1）中APB ABC ⊥面面可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角P AC B --的平面角.只需过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH ，则PHO∠即为所求. 解答（1）略.（2）过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH .因为APB ABC ⊥面面，=APB ABC AB 面面，PO APB ⊂面，PO AB ⊥，所以DCO ABO HCA B PEGOB DCAPO ABC ⊥面，则OH 为斜线PH 在面ABC 内的射影.又因为AC OH ⊥，所以AC PH ⊥（三垂线定理），则PHO ∠即为所求.设AP a =，则PB BC a ==.在Rt APB ∆中2PO AO a ==，在Rt ABC ∆中AC =，由Rt AOH ∆∽Rt ABC ∆得OH BC AO AC=，所以BC OH AO AC =⋅2a ==，又因为PO ABC ⊥面，OH ABC ⊂面，所以PO OH ⊥，则在Rt ABC ∆中，tan PO PHO HO ∠===60PHO ∠=，即二面角P AC B --的大小为60.说明当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2 如图，三棱柱111ABC A B C -，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点.若侧棱1AA 和底面ABC 所成的角为45时，求二面角1A AC B --的正切值.三、垂面法例3. 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且3PA =，4PB =若ABC S ∆=l αβ--的度数为______.分析由已知得l PAB ⊥面.设PAB l O =面，连接,OA OB ，则l OA ⊥，l OB ⊥，则AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，且180AOB P ∠+∠=.要想求AOB ∠，只需由ABC ∆的面积公式求出P ∠即可.解答因为1sin 2ABC S PA PB P ∆=⋅⋅⋅∠134sin 2P =⋅⋅⋅∠=所以sin 2P ∠=，所以60P ∠=或120，又因为180AOB P ∠+∠=，从而=120AOB ∠或60.说明 180AOB P ∠+∠=可作为结论使用.若给出ABP ∆的三边，则可通过余弦定理l OA BPβαHC 1B 1A 1OC B A求出P ∠的度数.变式训练 3 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且7PA =，8PB =，13AB =，则二面角l αβ--的度数为______.四、面积射影法例4. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，PBC ABC ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”.解答设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD MEDP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S ==45θ=. 说明当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练4 若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式21=x x S S x++表底，则其侧面与底面所成的二面角的范围是______.五、三正弦定理法例5. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==；取A B ''的中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN'∠M EDC BAPB B'A'C'AD N即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a '=，D C '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=.说明当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练 5 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，若A EF ∈，AG α⊂，45GAE ∠=，若AG 与β所成的角为30，则该二面角的大小为______.六、向量法例6. 题目同例5.分析由（1）可证BC CC A A ''⊥面，则BC CA ⊥，所以,,CA CB CC '两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小.解答 (1) 略.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为θ，平面BDC '的法向量为()1,,n x y z =，又因为()101DC '=-，，，()012BC '=-，，，则1100DC n BC n ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则2y =，1z =，所以()11,2,1n =；同理设平面ABB A ''的法向量为2n ，取AB 的中点M ，则可知CM ABB A ''⊥面，所以取211==,022n CM ⎛⎫⎪⎝⎭，，又因为121212cos ,n n n n nn ⋅=32==，由题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=. 说明向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角还是钝二面角合理取舍.变式训练 6 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.βαGE FA（参考答案：1.π- 2. 2；3.60；4.6090θ≤<；5.45；6.sinθ=.）。

二面角求解方法

教师: 学生: 年级: 科目：课次：时间: 年月日内容：二面角求解方法总结二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。

下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。

斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角PCBAE在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。

解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=argtan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PEPC AEF MEPCBAF图1由三垂线定理知AM ⊥PC∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ PCBAEEPCBA D图3图4[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

求二面角的方法

解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。

三垂线法作二面角的平面角的技巧

三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。

α—l —β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1；(2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”．略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 23=，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =33223==a a NC BC ，即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝21 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为22．2．借助第三个平面，作“第一垂线”例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 22，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．(1)确定点D 的位置，并证明你的结论；(2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 43=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。

立体几何中二面角的求法

立体几何中二面角的求法立体几何中二面角的求法知识综合性强，方法灵活性大，需要学生将二面角问题转化为其平面角问题，在培养其空间想象能力和分析、解决问题能力的前提下，求解过程中又要利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。

因此，二面角的求法是一个重点及难点内容，以下便谈谈解决该问题的方法：一、传统方法解决二面角问题传统方法求解二面角，关键在于准确作出二面角的平面角，从而化归为求三角形内角大小。

主要有以下几种作法：1.定义法二面角的定义——以二面角的棱上任意一点（点O）为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线OA、OB，则∠AOB叫作二面角的平面角。

例1：如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=2，CC1=，求二面角C1-BD-C的余弦值。

解析：由∠C1CB=∠C1CD及底面ABCD是菱形可得△C1CB≌△C1CD，则C1B=C1D，即△C1BD与△CBD是两个同底的等腰三角形；取BD中点O，得到C1O⊥BD、CO⊥BD，则∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角。

2.三垂线法三垂线定理——平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线逆定理——平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。

求二面角A-PD-C的余弦值。

解析：易证AE⊥平面PCD，过点A作AM⊥PD，垂足为M，连结EM，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD（三垂线逆定理），因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角。

3.垂面法根据二面角平面角的定义知两个半平面α、β的公垂面γ与棱垂直，则公垂面γ与两个半平面交线所成的角∠AOB，就是二面角的平面角。

求二面角的几种有效方法

。
，Ｄ＝／，可得＝Ａ、厂ｖ
＝
又・ＦＶ３－，．：．＝・Ｏ．・
，，）ｙｚ：（，０
。Ｓ点的坐标为（ｙ：，设，，）
，）・１。．．的坐标为（ｓ点，
角，Ｓ为原图形的面积，原图形的射影面积）Ｓ为解：ＤＦ是 △ ＤＦ在平面ＡＤＦ内的射影由解法１在ＲＡＢ中，Ｓ：、ｔＡＳＢ
解：立如上图的空间直角坐标系．建则
求。
在ＲＡＳｔＡＢ中，ＳＡ＝
ｊ
，＝／Ａ、
－ｎｔＬＡＳ＝／，．ａＢ、丁．・
．
的夹角为所
ＬＡＳＢ＝６。０。
所以二面角Ａ— Ｄ日的大小为６￣０
评析：种方法需要作出二面角的平面角．且要判断二这并面角的平面角是锐角还是钝角方法２射影面积法：ｃｓ＝据ｏ为所求二面角或其补
号‘ ｏ－ｃ
表示方法
器
化合价符号
。
，
离子符号
所以二面角Ａ— Ｄ
的大小为６￣０
一
２Ｘ６２／
评析：种方法不需要作出二面角的平面角．不需要判这也断二面角的平面角是锐角还是钝角
Ｄ（，ｏ）Ｅ（０，）Ｆ（０，、ｏ，１、，，）Ⅳ （１、，

二面角的计算

二面角的计算方法一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。

通常作二面角的平面角的途径有：⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面β内的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是所求二面角的平面角。

⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。

二、面积射影法：如图5，二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半平面α内,△ABC 在平面β内的射影为△A 1B 1C 1，那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABC S S θθ∆∆=应满足.三、空间向量法： I 、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。

II 、直接求出平面αβ和的法向量12n n 、，利用向量的夹角公式求12n n 、的夹角，再根据法向量12n n 、分别相对于二面角l αβ--的方向确定出二面角l αβ--的大小。

一般地，当法向量12n n 、都是从二面角l αβ--的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角l αβ--的大小就是12n n 、的夹角的补角；当法向量12n n 、一个从二面角l αβ--的内部向外部穿行，另一个从二面角l αβ--的外部向内部穿行时，二面角l αβ--的大小就是12n n 、的夹角。

图11 如图2，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．2 如图3，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD成30°的角，且AB=BC.（1）求AD与平面ABC所成的角的大小；（2）求二面角C-AD-B的大小；（3）若AB=2，求点B到平面ACD的距离。

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