运筹学教案

3. 关于固定费用的问题 某工厂为了生产某种产品， 例5 某工厂为了生产某种产品 ， 有几种不同的生 产方式可供选择，如选定的生产方式投资成本高(选 产方式可供选择 ， 如选定的生产方式投资成本高 选 购自动化程度高的设备)，由于产量大， 购自动化程度高的设备 ， 由于产量大 ， 因而分配到 每件产品的变动成本就减低； 反之， 每件产品的变动成本就减低 ； 反之 ， 如选定的生产 方式投资低， 方式投资低 ， 将来分配到每件产品的变动成本可能 增加， 所以必须全面考虑。 增加 ， 所以必须全面考虑 。 今设有三种方式可供选 择，令 xj表示采用第 种方式时的产量； 表示采用第j种方式时的产量 种方式时的产量； cj 表示采用第 种方式时每件产品的变动成本； 表示采用第j种方式时每件产品的变动成本 种方式时每件产品的变动成本； kj 表示采用第 种方式时的固定成本。 表示采用第j种方式时的固定成本 种方式时的固定成本。
序号 1 2 3 4 5 6 7 通讯设备 4 10
物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相机 5 2 6 12 2 重量（千克） 重量（千克） 5 20 15 18 14 8 4 重要系数
表示登山队员携带物品i 令xi=1表示登山队员携带物品 ，xi=0表示不携带 表示登山队员携带物品 表示不携带 物品i。则问题可写为： 物品 。则问题可写为：
1 xi = 0 选择在Ai 建店 否则
收益最大
于是问题可列成： 于是问题可列成：
Max z = ∑ ci xi
i =1 7
投资总额不超过B
A4，A5两个点中至 少选一个
A1，A2，A3三个点中至多选两个 ∑ bi xi ≤ B i =1 x1 + x2 + x3 ≤ 2 A6，A7两个店中至少 x4 + x5 ≥ 1 选一个 x + x ≥1 7 6 xi = 0或1( i = 1 ,L ,7 )
点 (x1,x2,x3) (0，0，0) ，， (0，0，1) ，， 0 5 条 ① -1 ② 1 件 ③ 0 ④ 1 × √ 满足条件? 满足条件 z值
5
点 (x1,x2,x3) (0， ， 1， ， 0) (0， ， 1， ， 1) 3 8
条 ① 0 ② 2
件 ③ 1 ④ 1
足 件 满 条 ? × √
xj ≤ yj M， j=1,2,3 ， 是个充分大的常数。说明， 其中 M 是个充分大的常数。说明，当 xj > 0 时 yj 必须为 1；当 xj= 0 时只有 yj 为 0 时才有意义，所以 时才有意义， ； 式完全可以代替上式。 此 3 式完全可以代替上式 。
Y=1,不利于目标函数 不利于目标函数 某服装厂可生产三种服装：西服、 例 6 某服装厂可生产三种服装：西服、衬衫和羽绒服 生产不同种类的服装要使用不同种类的设备， 。生产不同种类的服装要使用不同种类的设备，该服 装厂可从专业租赁公司租用这些设备。 装厂可从专业租赁公司租用这些设备。设备租金和其 它经济参数如下： 它经济参数如下：
4.背包问题 背包问题 一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有： 一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食 氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设备。 品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设备。每 件物品的重要性系数和重量见下表， 件物品的重要性系数和重量见下表，假定登山队员可携 带的最大重量为25千克 千克。 带的最大重量为 千克。
采用各种生产方式的成本分别为
暂不考虑其它条件
k + c jx j pj = j 0
当 x j> 0 xj=0
j=1,2,3
引入0—1变量 j,令 变量y 令 引入 变量 当采用第 种生产方式， 时 种生产方式 1 当采用第j种生产方式，即xj>0时 yj = 不采用第j种生产方式 种生产方式， 时 0 不采用第 种生产方式，即xj=0时 于是目标为 Min Z =(k1y1+c1x1)+(k2y2+c2x2)+(k3y3+c3x3) 上式这个规定可由下述三个线性约束条件表示 xj≤yj M j=1,2,3
南三区建立门市部。 例4．某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议 ．某公司拟在市东、 可供选择。 中有7个位置 个位置(点 ， ， ， 可供选择 中有 个位置 点)Ai (i =1，2，…，7)可供选择。规定 在东区， 三个点中至多选两个； 在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 两个点中至少选一个； 在西区， 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区， 两个点中至少选一个。 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用A 设备投资估计为b 如选用 i点，设备投资估计为 i 元，每年可获利润 但投资总额不能超过B元 估计为c 估计为 i 元，但投资总额不能超过 元。问选择哪几个 点可使年利润最大？ 点可使年利润最大？ 解题时先引入0-1变量 解题时先引入 变量xi (i =1，2，…，7) 变量 ， ， ， 令
为一可行解， 解：试探 x = (1，0，0)为一可行解，z =3。得过滤条件 ， ， 为一可行解 。 3x1 – 2x2 +5x3 ≥ 3 枚举所有解，按辞典序列表，先检查过滤条件， 枚举所有解，按辞典序列表，先检查过滤条件，后检查 约束条件是否成立，得出最优解。 约束条件是否成立，得出最优解。
naxz = 20x 1 + 15x 2 + 18x3 + 14x 4 + 8x 5 + 4x6 + 10x7 5x 1 + 5x 2 + 2 x3 + 6x 4 + 12x 5 + 2 x6 + 4x7 ≤ 25 xi = 1 或 0, i = 1,2,L,7
背包问题的一般形式： 背包问题的一般形式： max 一维背包问题
1 2 3
假定市场需求不成问题， 假定市场需求不成问题，服装厂每月可用的人 工工时为2000小时，该厂如何安排生产可使每月的 小时， 工工时为 小时 利润最大？ 利润最大？ 解：该问题需要两类决策变量，一类决定是否租赁 该问题需要两类决策变量， 设备的决策变量y 另一类是反映个类服装生产数量 设备的决策变量 i,另一类是反映个类服装生产数量 的变量x 的变量 j。 着两类变量的关系为 xi＞0,yi应等于 ；若yi=0,xi也必须为 。不租设备就 应等于1； 也必须为0。 不能进行生产。 不能进行生产。
7
2. 相互排斥的约束条件 ① 二者择一 如例1中体积约束： 车运 中体积约束： 例 中体积约束 船运 引入0-1变量 引入 变量y ，令 变量 体积约束为： 体积约束为：
5x1 + 4x2 ≤ 24 7x1 + 3x2 ≤ 45 车运 y =0 船运 y=1
5x1 + 4x2 ≤ 24 + yM 7x1 + 3x2 ≤ 45 + (1-y)M y = 0或1 或 其中M为充分大的数。 其中 为充分大的数。 为充分大的数
例 6．
Maxz = 3 x1 − 2 x 2 + 5 x 3 x1 + 2 x 2 − x 3 ≤ 2 x + 4x + x ≤ 4 2 3 1 x1 + x 2 ≤ 3 4 x2 + x3 ≤ 6 x1 , x 2 , x 3 = 0或1
① ② ③ ④
23=8组变量 组变量
② 多者择一 个互相排斥的约束条件： 有m个互相排斥的约束条件： 个互相排斥的约束条件
∑a x
i =1 ij
n
只有一个条件 起作用
j
≤ bi
( i =1，…，m) ， ，
引入m个 变量 变量y 引入 个0-1变量 i ， 0 第i个约束条件起作用, (i = 1,L , m) y i = 1 第i个约束条件不起作用。
{
个约束条件变为m+1个约束条件和 个变量。 个约束条件和m个变量 这m个约束条件变为 个约束条件变为 个约束条件和 个变量。
∑a x
i =1 ij
n
j
≤ b i + y i M (i = 1,L , m)
y1 + y2 + … + ym = m –1， ， yi = 0 或 1 (i=1，…，m) ，
5
1 1 0 2
5 1 2 6
1 1
0 1
3 8
Leabharlann Baidu
， ， 最优解 x * = (1， 0， 1)T， z*= 8 若计算过程中不断改进过滤条件(如在检查了 如在检查了(0， ， 若计算过程中不断改进过滤条件 如在检查了 ，0，1) 后将过滤条件改进为 3x 1- 2x 2 + 5x3 ≥ 5)， 可减少计算量 。 ， 可减少计算量。
§4 0-1 整数规划
决策变量仅取为0或 的整数规划问题 的整数规划问题。 决策变量仅取为 或1的整数规划问题。 x-i 是0-1变量的表示： xi = 0 或1 变量的表示： 变量的表示 或 xi ≥ 0，xi ≤ 1，xi∈ Z ， ，
4.1 1.
典型的0-1整数规划问题 典型的 整数规划问题 相互排斥的计划
s .t .
z =
∑
n
cix ≤ b
i
∑
n
i= 1 i
aix
体积限制： 体积限制：二维背包问题 投资选择问题。 投资选择问题。已知每个项目的投资额和投资 回报率的期望值， 回报率的期望值，如何在资金有限的情况下选择投 资回报期望值最大的投资方案？ 资回报期望值最大的投资方案？
i= 1
4.2 0-1整数规划的解法 整数规划的解法—— 隐枚举法 整数规划的解法 通过检查变量取值的部分组合求得最优解的方法。 通过检查变量取值的部分组合求得最优解的方法。
z值 值
8
再将过滤条件改进为 3x1-2x2 + 5x3 ≥8
点 (x1,x2,x3) (1， ， 0， ， 0) (1， ， 0， ， 1) (1， ， 1， ， 0) (1， ， 1， ， 1) 2 3 1 6 条 ① ② 件 ③ ④ 足 件 满 条 ? × × × × z值 值
序 号 服装 种类 西服 衬衫 羽绒 服 设备租 金元 5000 2000 3000 生产成本 销售价格 人工工时 小时/件 小时 件 元/件 件 元/件 件 280 30 200 400 40 300 5 1 4 设备工时 小时/件 小时 件 3 0.5 2 设备可 用工时 300 300 300
点 ① (0，0，0) ，， (0，0，1) ，， (0，1，0) ，， (0，1，1) ，， (1，0，0) ，， (1，0，1) ，， (1，1，0) ，， (1，1，1) ，， 0 5 -2 3 3 8 1 6 -1 条 ② 1 件 ③ 0 ④ 1 满足条件? 满足条件 是(√) √ 否(×) × × √ × × √ √ × × z值