《 数学分析续论 》试题 (A卷)

《 数学分析续论 》模拟试题（一）
一、 单项选择题（56⨯'）
（１）设{}
n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}
j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞
→∞
→=lim lim ； Ｂ．{}
n a 不一定收敛； Ｃ．{}
n a 不一定有界；
Ｄ．当且仅当预先假设了{}
n a 为有界数列时，才有Ａ成立．
（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U ο内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0
存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；
Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0
；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．
（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．
（５）设
∑∞
=1
n n
u 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]
Ａ．若0lim =∞
→n n u ,则 ∑∞
=1n n u 收敛； Ｂ．若
∑∞
=1
n n u 收敛，则1lim
1
<+∞→n
n n u u ； C ．若
∑∞
=1
n n
u 收敛，则1lim
<∞
→n
n n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．
二、计算题（401⨯'）
（１）试求下列极限：
①⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim Λ； ② ⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛∞+→x
t x t x t
t 022
02
2lim d e
d e ．
（２）设
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220． 试求)()(0u f u f ''与． （３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲
边梯形的面积 S ．
（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线
0=++C y B x A 的距离计算公式．
三、证明题（301⨯'）
（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若
)()(,)()(b g b f a g a f ><，
则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．
（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：
c b a c
b a
c b a c b a <⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)
（３） 证明：
∑
∞
=π
=
+-0
4
12)1(n n n ．
解 答
一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ．
二、［解］ （１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n Λ；
②
.
022lim
d 2lim
d 2lim
d e d e lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2020
22
0====⎪⎭
⎫
⎝⎛∞
+→∞
+→∞
+→∞
+→⎰⎰⎰⎰x x x x x t x x
x
t x x x
t x
t x x t t
t
t e
e e
e e e e
（２） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++-='++5
15
2
42)(,e 2e 2)(5
5
022222222e e u f y x x
y x y y x u f y x y x ．
（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为
.
212)3(0
1)3()1()1(3
31
2
1
22=-+-=-+-=⎰⎰x x x x x
x x x S d d
（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为2
020)()(y y x x -+-的最小值，其中)
,(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．
依据 Lagrange 乘数法，设
)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，
并令
⎪⎩⎪
⎨⎧.0,0)(2,
0)(200=++==λ+-==λ+-=λ
C y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）。