第四次习题课(maxwell方程)

所以
E(x, y,0,t) zˆ( aH 0 sin(ax) cos(t ay)) 0
将上式代入
B 0 0
E t
得：
Ex
k 2Em
200
cos(t
kz)
比较题给的可得 ：
k 2 20 0
2、证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
证明：根据maxwell方程的辅助方程 J E
2、证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。
J E 证明：根据maxwell方程的辅助方程
V
( H)dV
V
(
s
J
c
D) t
dS
Ic
Id
I
故通过任意封闭曲面的传导电流和位移电 流的总量I为0。
4、计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振
幅比值。设铜中的电场大小为 E0 sin(t) ，铜
的电导率为 5.8107 s / m ，令 0
4、计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振
H
0
s
in(ax)
c
os(t
ay)]
aH0 sin(ax)sin(t ay)
所以有
s
aH 0
sin(ax) cos(t
ay) c(x, y)
假设t=0时 ， s 0
由边界条件 nˆ D s 及 nˆ 方向，可得
D(x, y,0,t) zˆ( aH0 sin(ax) cos(t ay))
k 2 20 0
利用maxwell方程
E
B 并t用分量
表B示/ t
yˆkEm
sin(t
kz)
(xˆ Bx t
yˆ By t
zˆ Bz t
)
得：
令上式中对应个分量相等，然后对t求积分并略去与t无关的
常数项，得 Bx Bz 0
By
k Em
cos(t
kz)
写成矢量式：
B yˆ kEm cos(t kz)
1、已知无源区（J 0, 0 )中电场强度 E xˆEm cos(t kz) 。
式中 Em、k、 是常量。用maxwell方程求 B 并证明
k 2 20 0
麦克斯韦方程组
1、已知无源区（J 0, 0 )中电场强度 E xˆEm cos(t kz) 。
式中 Em、k、 是常量。用maxwell方程求 B 并证明
幅比值。设铜中的电场大小为 E0 sin(t) ，铜
的电导率为 5.8107 s / m 0
解：铜中的传导电流大小为
Jc E E0 sin t
铜中的位移电流大小为
Jd
D t
E t
E0源自文库
cos(t)
因此，位移电流密度与传导电流密度的振幅 比值为
Jd
2f
1 10 9
36
9.6 10 19 f
求理想导体表面上的电流分布、电荷分布 及分界面处的电场强度。
解：根据理想导体分界面上的边界条件，可求得 理想导体表面上的电流分布
Js nˆ H zˆ xˆH0 sin(ax) cos(t ay) yˆH0 sin(ax) cos(t ay)
由分界面上的电流连续性方程有
s
t
y
[
Jc
5.8 10 7
5、设z=0的平面为空气与理想导体的分界面， z<0一侧为理想导体，分界面出的磁场强度 为 H(x, y,0, z) xˆH0 sin(ax)cos(t ay)
求理想导体表面上的电流分布、电荷分布及 分界面处的电场强度。
5、设z=0的平面为空气与理想导体的分界面， z<0一侧为理想导体，分界面出的磁场强度 为 H(x, y,0, z) xˆH0 sin(ax)cos(t ay)
3、证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为0。
3、证明通过任意封闭曲面的传导电流和位 移电流的总量为0。
证：据maxwell方程 H J D
t
可知通过任意封闭曲面的传导电流和位移
电流为
( s
J
c
D) t
dS
( H ) d S
s
上式右边用散度定理整理后，可写成
s( H ) d S ( H )dV 0
代入电流连续性方程 J
t
由于媒质均匀，所以 ( E) ( E) 0
t
t
由于 D
则 ( E)
， 即 ( E)
代入，有
0 t
所以任意瞬间的电荷密度为
t
(t) 0e
式中， 0 是时刻t=0的电流密度。式中的 /
具有时间的量纲，称为导电媒质的弛豫时间或时常 数。它是电荷密度减少到其初始值的1/e所需的时 间。由电荷密度的表示式可知，电荷按指数规律减 少，最终流至并分布于导体的外表面。