【12份试卷合集】济南市市联考2020年高一数学(上)期末考试试题
山东省济南市高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级数学期末考试一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知，，则集合（） {20}=-<≤∣A xx {12}B x x =-≤<∣A B = A. B.C.D.()2,2-[)1,2-[]1,0-()1,0-【答案】C 【解析】【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为，， {20}=-<≤∣A xx {12}B x x =-≤<∣所以. []1,0A B =- 故选：C .2. 命题“”的否定为（） 20,10x x x ∃>++>A. B. 20,10x x x ∀>++≤20,10x x x ∀≤++≤C. D.20,10x x x ∃>++≤20,10x x x ∃≤++≤【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可. 【详解】由于特称命题的否定为全称命题，故命题“”的否定为“” 20,10x x x ∃>++>20, 10x x x ∀>++≤故选：A ．3. 已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）α34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos αA.B. C.D. 3535-4543-【答案】B 【解析】【分析】由余弦函数的定义计算． 【详解】由已知，所以． 1r OP ==cos 53x r α==-故选：B ．4. 设，则“”是“”的（） x ∈R ||1x >01xx >-A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的概念分析题中命题进而判断出结果.【详解】时，或；时， 或 1x >1x >1x <-01xx >-1x >0x <成立时， 也成立，但 成立时，不一定成立1x ∴>01x x >-01xx >-1x >是的充分不必要条件，选项A 正确 “1”x ∴>“0”1xx >-故选：A.5. 若，则下列正确的是（） 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B.C.D.33a b <ac bc >11a b<b c a c -<-【答案】D 【解析】【分析】先根据题干条件和函数的单调性得到，A 选项可以利用函数的单调性进行判断，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b >BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断.【详解】因为在R 上单调递减，若，则，13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b >对于选项A ：若，因为单调递增，所以，故A 错误；a b >()3f x x =33a b >对于选项B ：当时，若，则，故B 错误； a b >0c =ac bc =对于选项C ：由，不妨令，，则此时，故C 错误； a b >1a =2b =-11a b>对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.6. 下列区间包含函数零点的为（）()2log 5=+-f x x xA. B.C.D.()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.【详解】，，()211log 1540f =+-=-<()222log 2520f =+-=-<，， ()22333log 35log 04f =+-=<()244log 4510f =+-=>，又为上单调递增连续函数()2255log 55log 50f =+-=>()f x (0,)+∞故选：C .7. 将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来()πsin(2)3f x x =-π3的，那么所得图像的函数表达式为( ) 12A. B. C. D. sin y x =πsin(43y x =+2sin(4)π3y x =+πsin()3y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数图像的变换即可得到结果. 【详解】将函数的图像向左平移个单位后所得图像对应的的解析式为 ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π3；sin[2()]sin(2)333y x x πππ=+-=+再将图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，所得图像对应的解析式为12．sin[2(2)]sin(4)3ππ3y x x =+=+故选:B ．8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：()f x (,0)(0,)-∞+∞ 1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，且，则不等式的解集为（）()()2211210x f x x f x x x ->-(2)4f =8()0f x x->A. B. (2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C.D.(,4)(0,4)-∞-⋃(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单()()2211210x f x x f x x x ->-()y xf x =(0,)+∞调性即可求出的解集. 8()0f x x->【详解】解：对任意的，都有，1212,(0,),x x x x ∈+∞≠()()2211210x f x x f x x x ->-在上是增函数，()y xf x ∴=(0,)+∞令，()()F x xf x =则，()()()()F x xf x xf x F x -=--==为偶函数，()F x ∴在上是减函数，()F x ∴(,0)-∞且，(2)2(2)8F f ==， 8()8()(2)()0xf x F x F f x x x x--∴-==>当时，，0x >()(2)0F x F ->即，解得：， 2x >2x >当时，， 0x <()(2)0F x F -<即，解得：， 2x <20x -<<综上所述：的解集为：. 8()0f x x->(2,0)(2,)-+∞ 故选：A.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多项选择题（每小题5分，部分选对2分，有错误选项0分，共20分）9. 下列说法正确的是（）A. 函数的定义域为 y =()1,1-B. 函数在其定义域上是单调递增函数 tan y x =C. 函数的值域是2xy -=()0,∞+D. 函数的图像过定点 ()()log 120,1a y x a a =-+>≠()2,2【答案】CD 【解析】【分析】选项A 根据函数有意义求出定义域即可，选项B 正切函数的定义域与单调递增的关系，选项C 根据函数单调性求值域即可，D 将代入即可验证. 2x =【详解】函数， y =210x -≥解得，故定义域为，故A 错误，11x -≤≤[]1,1-因为函数为周期函数，在内单调递增，tan y x =()πππ,πZ 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭但是在定义域内不是单调递增的函数，故B 错误， 因为函数在上的值域为，故C 正确， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭R ()0,∞+当时，， 2x =()()log 12log 2122a a y x =-+=-+=所以函数过定点，故D 选项正确， ()2,2故选：CD.10. 以下结论正确的是（）A. 若，，，则的最小值为1；B. 若且，则； 0x >0y >4x y xy +=x y +,R x y ∈0xy >2y xx y+≥C. 函数的最大值为0.D. 的最小值是2；12(0)y x x x=++<y =【答案】ABC 【解析】【分析】根据均值不等式的要求“一正二定三相等”，逐个验证选项是否正确.【详解】对于A ，由，由均值不等式可得（当且仅当0,0,4x y x y xy >>+=242x y x y xy ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭时，等号成立），解得，所以的最小值为1，故A 正确； 12x y ==1x y +≥x y +对于B ，由知，根据均值不等式可得，（当且仅当0xy >0,0y x x y >>2y x x y +≥=0x y =≠时，等号成立），故B 正确；对于C ，由，有，由均值不等式可得，（当且仅当0x <0x ->1()2x x ⎛⎫-+≥=⎪-⎝⎭时，等号成立），1x y ==-有，当且仅当时取等号，所以函数112(220y x x x x=++=--++≤-+=-=1x -的最大值为0，故C 正确.12(0)y x x x=++<对于D ，，等号成立的条件是2y ==≥=，而不成立，所以等号不成立，因此的最小值不=231x +=231x +=y =是2，故D 错误； 故答案为：ABC11. 下列各式的值为1的是（）A. tan20tan25tan20tan251+-B.13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C. sin72cos18cos108sin18-D. 22cos 2251⋅- 【答案】BC 【解析】【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】错误； ()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---对；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B 8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== ，D 错误. 22cos 22.51cos45-==故选：BC.12. 已知函数，以下结论正确的是（）()()2ln 1f x x ax a =---A. 存在实数a ，使的定义域为R ()f x B. 函数一定有最小值()f x C. 对任意正实数a ，的值域为R()f x D. 若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围 ()f x [)2,+∞(),1-∞【答案】CD 【解析】【分析】对A ：若的定义域为R ，即在R 上恒成立，利用判别式运算分析；对()f x 210x ax a --->B 、C ：根据的值域结合对数函数的性质运算分析；对D ：根据复合函数的单调性以及21u x ax a =---对数函数的定义域运算求解.【详解】对A ：若的定义域为R ，即在R 上恒成立， ()f x 210x ax a --->则不成立， ()()()224120a a a ∆=----=+<故不存在实数a ，使的定义域为R ，A 错误；()f x 对B 、C ：∵，且，()()2222221244a a a u x ax a x ++⎛⎫=---=--≥-⎪⎝⎭()2204a +-≤故能取到全部正数，则的值域为R ，B 错误，C 正确；21u x ax a =---()()2ln 1f x x ax a =---对D ：若函数在区间上单调递增，则在上单调递增， ()f x [)2,+∞21y x ax a =---[)2,+∞故，解得， 22a≤4a ≤又∵在区间上恒成立，且在上单调递增， 210x ax a --->[)2,+∞21y x ax a =---[)2,+∞∴，解得， 22210a a --->1a <故实数a 的取值范围，D 正确. (),1-∞故选：CD.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________． AOB 23AOB π∠=2π【答案】 3π【解析】【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以， AOB r 2π2233r r ππ=⋅⇒=扇形的面积为：， 12332ππ⋅⋅=故答案为：3π14. 已知函数为奇函数，且时，，则_________．()f x 0x ≥()2xf x x =+()1f -=【答案】 3-【解析】【分析】利用奇偶性得出，即可代入求解. ()()11f f -=-【详解】函数为奇函数，()f x ，()()11f f ∴-=-时，，0x ≥ ()2xf x x =+，()1213f ∴=+=，()13f ∴-=-故答案为:.3-15. 已知函数(其中)，其部分图象如图所示，则()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈0,0,<2A πωϕ>>________.()f x =【答案】2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据图象的最大值和最小值得到，根据图象得到周期从而求出，再代入点得到的值可得答案. A ω()3,0ϕ【详解】由图象可得函数的最大值为，最小值为，故22-2A =根据图象可知， 7342T=-=，28,4T T ππω∴===，()2sin 4x f x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭将代入，得，()3,03sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， 32,4k k Z πϕππ+=+∈，解得，3||,24ππϕϕπ<∴+= 4πϕ=.()2sin 44x f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故答案为：. 2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据正弦型函数的图象求函数的解析式，关键点是根据图象的最大值和最小值得到，A 根据图象得到周期，从而求出，再代入图象过的特殊点得到的值，考查了学生识图的能力及对基础知ωϕ识的掌握情况.16. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()3,2121,2x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()0f x a -=_________． 【答案】 (0,1)【解析】【分析】利用分段函数的解析式作出分段函数的图象，将方程有三个不同的实数根转化为()0f x a -=与的图象有三个不同的交点，分析求解即可.()y f x =y a =【详解】因为函数，作出函数的图象如图所示，3,21()21,2x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()fx因为方程有三个不同的实数根，所以函数与的图象有三个不同的交点，由图()0f x a -=()y f x =y a =可知：实数的取值范围是， a (0,1)故答案为：.(0,1)四、解答题（共70分）17. 设集合，集合，其中. ()(){}150A x x x =+-<{}212B x a x a =-≤≤+R a ∈（1）当时，求；1a =A B ⋃（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}15x x -<<（2） (),2-∞【解析】【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可B 【小问1详解】由题意得：{}15A x x =-<<当时，1a ={}13B x x =≤≤故{}15A B x x ⋃=-<<【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件x A ∈x B ∈可得：B A Ü当时，得B =∅212a a ->+解得：； 13a <当时，，解得. B ≠∅1312521a a a ⎧≥⎪⎪+<⎨⎪->-⎪⎩123a ≤<综上，的取值范围为：a (),2-∞18. （1）求值：若，求的值；3log 21x =22x x -+（2）化简：.()cos 3cos 2sin 2παπαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）. 10312-【解析】【分析】（1）由题意，，得，代入可得值；3log 21x =23x =（2）运用诱导公式，可化简求值.【详解】解：（1）由题意，，得，得； 3log 21x =23x =11022333x x -+=+=（2）. ()cos 3cos cos sin 12sin 22sin cos 2παπαααααα⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==-19. 已知，且是第二象限角． 12sin 13α=α（1）求和的值；sin2αtan2α（2）求的值． πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】（1），； 120sin2169α=-120tan2119α=（2. 【解析】【分析】(1)先根据角所在的象限和同角三角函数的基本关系得到，再利用二倍角公式即可求5cos 13α=-解；(2)结合（1）的中的结论，利用两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为，且是第二象限角． 12sin 13α=α所以， 5cos 13α==-则，， 125120sin 22sin cos 2()1313169ααα==⨯⨯-=-2225144119cos 2cos sin 169169169ααα=-=-=-所以. sin 2tan 2cos 2120119ααα==【小问2详解】由（1）知：，， 5cos 13α=-12sin 13α=所以. πcos(4ααα-==20. 已知函数是定义在R 上的二次函数，且满足：，对任意实数x ，有()y f x =()01f =成立.()()122f x f x x +-=+（1）求函数的解析式；()y f x =（2）若函数在上的最小值为，求实数m 的值.()()()()121g x f x m x m R =-++∈3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2-【答案】（1）2()1f x x x =++（2）2m =【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可，（2）由（1）得，，然后分和两种情况求解即可 ()222g x x mx =-+32m ≤32m >【小问1详解】设，2()(0)f x ax bx c a =++≠因为，所以，()01f =1c =所以，2()1f x ax bx =++因为，()()122f x f x x +-=+所以22(1)(1)1(1)22a x b x ax bx x ++++-++=+整理得，所以，得， 222ax a b x ++=+222a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=⎩所以2()1f x x x =++【小问2详解】由（1）得，， ()222g x x mx =-+对称轴为直线，x m =当时，在上单调递增，所以， 32m ≤()g x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭39()32224min g x g m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭解得（舍去）， 2512m =当时，，解得（舍去），或， 32m >()22()222min g x g m m m ==-+=-2m =-2m =综上，2m =21. 已知函数 ()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期;()f x （2）求函数图象的对称轴方程、对称中心的坐标;()f x （3）当时,求函数的最大、最小值及相应的x 的值． π02x ≤≤()f x 【答案】（1）π（2）对称轴;对称中心 3ππ,Z 82k x k =+∈ππ0Z 8,2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（3）时,;时, 3π8x =()max 1f x =0x =()min f x =【解析】 【分析】(1)根据和解析式即可求得最小正周期; 2πT ω=()f x (2)整体将代入的对称轴、对称中心即可求得结果; π24x -sin y x =(3)换元法,令,求出的范围,即可求得的最值,根据求出最值时x 的值即可. π24t x =-t ()f x t 【小问1详解】解:由题知, ()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以周期, 2ππ2T ==故最小正周期为;π【小问2详解】令, ππ2π,Z 42x k k -=+∈解得: , 3ππ,Z 82k x k =+∈故对称轴方程为; ()f x 3ππ,Z 82k x k =+∈令, π2π,Z 4x k k -=∈解得: , ππ,Z 82k x k =+∈故对称中心的坐标为; ()f x ππ0Z 8,2k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭【小问3详解】因为, π02x ≤≤令, ππ3π2,444t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故在时, sin y t =π4t =-min y =即,解得,, ππ244x -=-0x =()()min 0f x f ==在时,, π2t =max 1y =即,解得,, ππ242x -=3π8x =()max 3π18f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上: 时,;时,. 3π8x =()max 1f x =0x =()min f x =22. 已知函数是偶函数． ()()()2log 412R x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦（1）求k 的值；（2）设，证明函数在上的单调递增；()()2f x g x =()g x [)0,∞+（3）令，若对恒成立，求实数m 的取值范围．()(2)2()=-⋅h x g x m g x ()0h x >[1,)x ∞∈+【答案】（1）；1k =-（2）证明见解析；（3）的取值范围是． m 17(,)20-∞【解析】【分析】（1）由函数是偶函数，知对恒成2()log (41)2(R)x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦()()0f x f x --=x ∈R 立，化简即得的值；k （2）由（1）知，，利用函数单调性的定义证明即可； 2log (22)()222x x x x g x -+-==+，设，则，()()()()()2232222222x x x x h x g x m g x m --=-⋅=+-+22x x t -=+222y t mt =--，对分类讨论，结合二次函数的性质，可得实数的取值范围． 5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭m m 【小问1详解】∵函数是偶函数，2()log (41)2(R)x kx f x x ⎡⎤=+⋅∈⎣⎦对恒成立，()()0f x f x ∴--=x ∈R 又， ()22log (41)2log (41)x kx x f x kx ⎡⎤=+⋅=++⎣⎦∴， 22log (41)log (41)220x x kx kx x kx -+--+-=--=．1k ∴=-【小问2详解】由（1）知，， 22241()log (41)2log log (22)2x x xx x x f x --+⎡⎤=+⋅==+⎣⎦所以， ()2log (22)222x x x x g x -+-==+任取，且设， [)12,0,x x ∈+∞12x x < ()()()()22112121211122222222x x x x x x x x g x g x --∴-=+-+=-+-， ()1221211212221222212222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，，且，1x [)20,x ∈+∞12x x <，，， 21221x x ∴>≥21220x x ∴->1211022x x ->，()()210g x g x ∴->函数在上为单调递增函数．∴()g x [)0,∞+【小问3详解】， ()()()()222222222x x x x h x g x m g x m --=-⋅=+-+设，22x x t -=+由（2）知，当时， [)1,x ∈+∞5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭， 222y t mt ∴=--5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭当时，，解得； 52m ≤min 255204y m =-->1720m <当时，，无解， 52m >22min 220y m m =-->实数的取值范围是． ∴m 17(,)20-∞。
2019-2020学年山东省济南市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1}，{0B =，1，2}，那么A B I 等于( ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}2．（5分）命题“(0,)x ∀∈+∞，1x e x +…”的否定是( ) A ．(0,)x ∃∈+∞，1x e x +… B ．(0,)x ∀∈+∞，1x e x <+ C ．(0,)x ∃∈+∞，1x e x <+D ．(x ∀∈-∞，0]，1x e x +…3．（5分）函数2(23)y lg x x =--的定义域为( ) A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞4．（5分）为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度5．（5分）方程2log 5x x =-的解所在的区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．（5分）函数2sin 1x xy x +=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知123a-=，21log3b=，121log3c=，则()A．b a c<<B．b c a<<C．c b a<<D．a b c<<8．（5分）已知函数32()log2xf xx-=+，若f（a）(1)0f a+->，则实数a的取值范围是( )A．1(,)2-∞B．1(1,)2-C．(2,2)-D．(1,2)-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）若0a b>>，0d c<<，则下列不等式成立的是()A．ac bc>B．a d b c->-C．11d c<D．33a b>10．（5分）下列函数中，最小值为2的是()A．223y x x=++B．x xy e e-=+C．1sin,(0,)sin2y x xxπ=+∈D．32xy=+11．（5分）函数sin()(0y A x Aωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<在一个周期内的图象如图所示，则()A．该函数的解析式为22sin()33y xπ=+B ．该函数的对称中心为(,0),3k k Z ππ-∈C ．该函数的单调递增区间是5[3,3],44k k k Z ππππ-+∈ D ．把函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标变为原来的32，纵坐标不变，可得到该函数图象12．（5分）-般地，若函数()f x 的定义域为[a ，]b ，值域为[ka ，]kb ，则称[a ，]b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数()f x 的定义域为[a ，]b ，值域也为[a ，]b ，则称[a ，]b 为()f x 的“跟随区间”．下列结论正确的是( ) A ．若[1，]b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则3b = B ．函数3()2f x x=-不存在跟随区间 C．若函数()f x m =1(,0]4m ∈-D ．二次函数21()2f x x x =-+存在“3倍跟随区间”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）32log 43327-= ．14．（5分）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于 弧度． 15．（5分）已知()f x 为R 上的奇函数，0x >时，2()2f x x x =+，则(1)f -= ．16．（5分）已知函数20.521,0()|log |,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩…，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是 ，41223416()x x x x x ++g g 的最大值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合{|14}M x x =-<<，{|0}N x x a =->． （1）当1a =时，求M N I ，M N U ；（2）若x M ∈是x N ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34(,)55P -．（1）请写出sin α，cos α，tan α的值；（2）若角β满足cos()0αβ+=． （ⅰ）计算tan β的值； （ⅱ）计算22cos sin 2sin βββ+的值．19．（12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，（ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（ⅱ）求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值．20．（12分）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人(x 百个），需另投人成本()C x （万元），且210200,040()100006014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．（1）求年利润()L x （万元）关于年产量(x 百个）的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由． 21．（12分）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a =->≠+，且1(1)3f =． （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围．22．（12分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >，那么log log ()n a a M n M n R =∈； （2）请你运用上述对数运算性质计算3816()4927lg lg lg lg lg lg +的值； （3）因为10321024(10=∈，410)，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20202019的位数．（注2019 3.305)lg ≈2019-2020学年山东省济南市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{1A =-，0，1}，{0B =，1，2}，那么A B I 等于( ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}【解答】解：集合{1A =-，0，1}，{0B =，1，2}， 那么{1A B =-I ，0，1}{0⋂，1，2}{0=，1}， 故选：C ．2．（5分）命题“(0,)x ∀∈+∞，1x e x +…”的否定是( ) A ．(0,)x ∃∈+∞，1x e x +… B ．(0,)x ∀∈+∞，1x e x <+ C ．(0,)x ∃∈+∞，1x e x <+D ．(x ∀∈-∞，0]，1x e x +…【解答】解：命题为全称命题，则命题“(0,)x ∀∈+∞，1x e x +…”的否定是(0,)x ∃∈+∞，1x e x <+， 故选：C ．3．（5分）函数2(23)y lg x x =--的定义域为( ) A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(-∞，3)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解答】解：由2230x x -->，得(1)(3)0x x +->，解得1x <-或3x >．∴函数2(23)y lg x x =--的定义域为(-∞，1)(3-⋃，)+∞．故选：D ．4．（5分）为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度D ．向右平移8π个单位长度【解答】解：将函数sin 2y x =的图象向右平移8π个单位长度可得函数sin(2)4y x π=-的图象， 故选：D ．5．（5分）方程2log 5x x =-的解所在的区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【解答】解：令2()log 5f x x x =+-，则()f x 为单调增函数，又因为f （3）222log 335log 32log 420=+-=-<-=，f （4）2log 4452110=+-=-=>， 所以方程的解所在区间为(3,4)， 故选：C ． 6．（5分）函数2sin 1x xy x +=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数2sin 1x xy x +=+，分子是奇函数，分母为偶函数，所以函数为奇函数，排除C ，D ， 取特殊点x π=， 220011y ππππ+==>++，B 不成立，A 成立， 故选：A ．7．（5分）已知123a -=，21log 3b =，121log 3c =，则( ) A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<【解答】解：123(0,1)a -=∈，21log 03b =<，121log 13c =>， 则b a c <<． 故选：A ．8．（5分）已知函数32()log 2xf x x-=+，若f （a ）(1)0f a +->，则实数a 的取值范围是( )A ．1(,)2-∞B ．1(1,)2-C ．(2,2)-D ．(1,2)-【解答】解：由202xx->+得22x -<<，即函数的定义域为(2,2)-， 33332222()()log log log ()log 102222x x x xf x f x x x x x-++--+=+===+--+g ，即()()f x f x -=-，则函数()f x 是奇函数，3324()log log (1)22x f x x x -==-++g ，则()f x 在(2,2)-上为减函数，则由f （a ）(1)0f a +->得(1)f a f ->-（a ）()f a =-， 则222121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，得221312a a a ⎧⎪-<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，得112a -<<，即实数a 的取值范围是1(1,)2-，故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）若0a b >>，0d c <<，则下列不等式成立的是( ) A ．ac bc >B ．a d b c ->-C ．11d c< D ．33a b >【解答】解：0d c <<Q ，0d c ∴->->，∴当0a b >>时，a d b c ->-，故B 正确； 由0a b >>可得33a b >，故D 正确；由0a b >>，0d c <<取2a =，1b =，2d =-，1c =-则可排除AC ． 故选：BD ．10．（5分）下列函数中，最小值为2的是( )A ．223y x x =++B ．x x y e e -=+C ．1sin ,(0,)sin 2y x x x π=+∈ D ．32x y =+【解答】解：2223(1)22y x x x =++=++…即最小值为2，符合题意； 由基本不等式可得，2x x y e e -=+…，即最小值为2，符合题意； 由1(0,)2x π∈可得sin (0,1)x ∈，从而可得1sin 2sin y x x=+>，没有最小值，不符合题意；由指数函数的性质可知，322x y =+>，没有最小值，不符合题意． 故选：AB ．11．（5分）函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<在一个周期内的图象如图所示，则( )A ．该函数的解析式为22sin()33y x π=+B ．该函数的对称中心为(,0),3k k Z ππ-∈C ．该函数的单调递增区间是5[3,3],44k k k Z ππππ-+∈ D ．把函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标变为原来的32，纵坐标不变，可得到该函数图象【解答】解：根据图象看出：2A =，23ππω=，∴23ω=， ∴2342ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=，∴该函数的解析式为22sin()33y x π=+，∴选项A 正确；0k =Q 时，33k πππ-=-，22sin[()]2sin 03339πππ⨯-+=≠，∴选项B 错误；解2222332k x k πππππ-+++剟得，53344k x k ππππ-+剟，k Z ∈， ∴该函数的单调递增区间是5[3,3],44k k k Z ππππ-+∈，∴选项C 正确； 将函数2sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标变为原来的32，纵坐标不变，可得到22sin()33y x π=+，∴选项D 正确．故选：ACD ．12．（5分）-般地，若函数()f x 的定义域为[a ，]b ，值域为[ka ，]kb ，则称[a ，]b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若函数()f x 的定义域为[a ，]b ，值域也为[a ，]b ，则称[a ，]b 为()f x 的“跟随区间”．下列结论正确的是( ) A ．若[1，]b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则3b = B ．函数3()2f x x=-不存在跟随区间C ．若函数()f x m =1(,0]4m ∈-D ．二次函数21()2f x x x =-+存在“3倍跟随区间”【解答】解：A ．22()22(1)1f x x x x =-+=-+在[1，]b 上单调递增，若f （b ）1b =>，可得：2320b b -+=，解得2b =，[1∴，]b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则2b =，因此不正确；B ．函数3()2f x x=-在(,0)-∞，(0,)+∞上单调递增，假设函数()f x 在(0,)+∞上存在“跟随区间” [a ，]b ，则()f x x =存在两个不同实数根．由()0f x x =>，化为：2230x x -+=，由△80=-<，可知：此方程无解，因此在(0,)+∞上不存在“跟随区间” [a ，]b ，同理可得：函数()f x 在(,0)-∞上也不存在“跟随区间，因此B 正确．C ．易知()f x 在[1-，)+∞上单调递减，假设函数()f x m =存在跟随区间[a ，]b ，1a -…．则f （a ）b =，f （b ）1a =-…，可得：m b =，m a =，化为：1m a =+，0t …，2111()()244g t t =---…，则[0t ∈，1]2时，1()[,0]4g t ∈-；1[2t ∈，]+∞时，1()[,)4g t ∈-+∞；函数y m =与函数()y g t =有两个不同交点，则1(,0]4m ∈-．D ．二次函数22111()(1)224f x x x x =-+=--+，可得：函数()f x 在(-∞，1]上单调递增，在[1，)+∞上单调递减．假设函数()f x 存在“3倍跟随区间”，则()3f x x =，在(-∞，1]或[1，)+∞上存在两个不等实数根．由()3f x x =，化为：(4)0x x +=，解得0x =或4-，∴函数()f x 存在“3倍跟随区间” [4-，0]．正确． 综上可得：只有BCD 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．（5分）32log 43327-= 5- ．【解答】解：原式232343435⨯=-=-=-．故答案为：5-．14．（5分）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于 25π弧度． 【解答】解：由题意知，120密位2600025ππ==（弧度）． 故答案为：25π． 15．（5分）已知()f x 为R 上的奇函数，0x >时，2()2f x x x =+，则(1)f -= 3- ． 【解答】解：根据题意，0x >时，2()2f x x x =+，则f （1）123=+=， 又由()f x 为奇函数， 则(1)f f -=-（1）3=-； 故答案为：3-．16．（5分）已知函数20.521,0()|log |,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩…，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是 1 ，41223416()x x x x x ++g g 的最大值是 ． 【解答】解：作函数()f x 的图象如下图所示：由图象可知，要使方程()f x a =有四个不同的解，则需12a <…，故a 的最小值为1；由二次函数的对称性可知，122x x +=-，由对数函数的图象及性质可知，340.530.5411,24,||||42x x log x log x <<=剟，则0.530.54log log x x =-，341x x =， ∴412423441616()2x x x x x x x ++=-+， 而函数162y x x =-+在[2，4]上为减函数，故其最大值为162242-⨯+=， 即41223416()x x x x x ++g g 的最大值是4． 故答案为：1，4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合{|14}M x x =-<<，{|0}N x x a =->． （1）当1a =时，求M N I ，M N U ；（2）若x M ∈是x N ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）因为1a =，所以{|1}N x x =>， 所以有{|14}M N x x =<<I ，{|1}M N x x =>-U ． （2）若x M ∈是x N ∈的充分不必要条件， 则有M N Ü，{|0}{|}N x x a N x x a =->==>Q ．所以1a -…．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34(,)55P -．（1）请写出sin α，cos α，tan α的值；（2）若角β满足cos()0αβ+=． （ⅰ）计算tan β的值； （ⅱ）计算22cos sin 2sin βββ+的值．【解答】解：（1）由三角函数定义可知：4sin 5α=，3cos 5α=-，445tan 335α==--．（2）（ⅰ）由题意可知：cos()cos cos sin sin 0αβαβαβ+=-=， 即cos cos sin sin αβαβ=， 所以有：13tan tan 4βα==-． （ⅱ）原式222cos 1162sin cos sin 2tan tan 15ββββββ===-++． 19．（12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时， （ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（ⅱ）求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值．【解答】解：（1）由题意可知：1()sin 22(sin 2)2sin(2)23f x x x x x x π===+．因为22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π．（2）（ⅰ）因为[0,]2x π∈，所以42[,]333z x πππ=+∈，因为sin y z =，4[,]33z ππ∈的单调递减区间是4[,]23ππ，且由42233x πππ+剟，得122xππ剟， 所以()f x 的单调递减区间为[,]122ππ．（ⅱ）由（ⅰ）可知当[0,]12x π∈时，()f x 单调递增，当[,]122x ππ∈时，()f x 单调递减，且()2sin 2122f ππ==，4()2sin 23f ππ==，(0)2sin 3f π==所以：当12x π=时，()f x 取最大值为2，当2x π=时，()f x取最小值为20．（12分）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人(x 百个），需另投人成本()C x （万元），且210200,040()100006014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩…，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．（1）求年利润()L x （万元）关于年产量(x 百个）的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．【解答】解：（1）当040x <<时，22()6100102002000104002000L x x x x x x =⨯---=-+-，当40x …时，1000010000()6100601450020002500()L x x x x x x=⨯--+-=-+， 所以2104002000,040()100002500(),40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+⎪⎩…； （2）当040x <<时，所以22()10400200010(20)2000L x x x x =-+-=--+， 所以当20x =时，()(20)2000max L x L ==；当40x …时，所以10000()2500()250025002002300L x x x =-+-=-=…， 当且仅当10000x x=，即100x =时， 所以()(100)23002000max L x L ==>． 故该企业能落户新旧动能转换先行区．21．（12分）已知函数4()1(0,1)2xf x a a a a =->≠+，且1(1)3f =． （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围． 【解答】解（1）根据题意，因为函数4()12xf x a a=-+， 则41(1)123f a a =-=+， 解得2a =；（2）根据题意，由（1）的结论：2a =，则421()122221x x x f x -=-=++g ， 函数()f x 是奇函数，证明：21()21x x f x -=+，其定义域为R ，则2112()()2112x xx xf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数；（3）解：根据题意，由（1）的结论：21()21x x f x -=+．因为21()121x x g x k -=-+g 有零点，所以21()1021x x g x k -=-=+g 有实根．显然0x =不是()0g x =的实根，所以2121x x k +=-有实根．设2x t =，1()1t h t t +=-，(0t ∈，1)(1⋃，)+∞．因为2()11h t t =+-．①当(0,1)t ∈时，1(1,0)t -∈-，所以111t <--， 所以2()111h t t =+<-- ②当(1,)t ∈+∞时，1(0,)t -∈+∞， 所以2()111h t t =+>-， 综上，()h t 的值域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，所以，当(k ∈-∞，1)(1-⋃，)+∞时，2121x x k +=-有实根，即21()121x xg x k -=-+有零点． 22．（12分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．对数运算性质的推导有很多方法．请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果0a >，且1a ≠，0M >，那么log log ()n a a M n M n R =∈； （2）请你运用上述对数运算性质计算3816()4927lg lg lg lg lg lg +的值； （3）因为10321024(10=∈，410)，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20202019的位数．（注2019 3.305)lg ≈ 【解答】解：（1）方法一： 设log a x M =，所以x M a = 所以()n x n nx M a a ==所以log log n a a M nx n M ==，得证． 方法二：设log a x n M =，所以log a xM n=，所以xn a M =所以x n a M =所以log n a x M =，所以log log n a a n M M = 方法三：因为log log log ()na a a M n M M n n n a M a a M === 所以log log na a M n M a a =所以log log n a a M n M =得证．（2）方法一：34223381632233242317217()()()4927233222333226312lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +=+=+==g ．方法二：22334492723323233381613411717()log 3(log 8log 16)log 3(log 2log 2)log 3(log 2log 2)log 3log 249272232612lg lg lg lg lg lg +=+=+=+==g ．（3）方法一：设2020110201910k k +<<，*k N ∈ 所以202020191k lg k <<+所以202020191<<+k lg k所以2020 3.3051k k<⨯<+所以6675.16676.1<<k因为*∈k N所以6676k=所以20202019的位数为6677方法二：设20202019N=所以20202019=lg lgN所以2020 3.305lgN⨯=所以6676.1lgN=所以6676.10.16676N==⨯101010因为0.111010<<，所以N有6677位数，即20202019的位数为6677。
2019-2020学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}，B ＝{x|x −1<0}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, 3]B.(−∞, 2]C.(−∞, 1)D.[−2, 1)2.若复数z 满足z(1+i)＝−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i3.设x ∈R ，则“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)={xlnx,x >0x e,x ≤0 则函数y ＝f(1−x)的图象大致是（ ）A. B. C. D.5.若抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.2B.3C.4D.66.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(ln5)+f(ln 15)=() A.0B.12C.1D.27.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ） A.45B.35C.25D.3108.若F 为双曲线C:x 24−y 25=1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ）A.[14,15]B.[−15,15]C.(−14,0]D.[−14,15]二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润 B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元 C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长 D.该企业2019年11月份的月利润最大10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y ＝Asinωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx +12sin2x ，则下列结论正确的是（ ） A.2π是f(x)的一个周期 B.f(x)在[0, 2π]上有3个零点 C.f(x)的最大值为3√34D.f(x)在[0,π2]上是增函数11.给定两个不共线的空间向量a →与b →，定义叉乘运算：a →×b →．规定：①a →×b →为同时与a →，b →垂直的向量；②a →，b →，a →×b →三个向量构成右手系（如图1）；③|a →×b →|=|a →||b →|sin <a →,b →>．如图2，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是（ ） A.AB →×AD →=AA 1→B.AB →×AD →=AD →×AB →C.(AB →+AD →)×AA 1→=AB →×AA 1→+AD →×AA 1→D.长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB →×AD →)⋅CC 1→12.若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A.0<a <b <1 B.b <a <0C.1<a <bD.a =b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________．（用数字作答）． 14.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝________15.平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ的值为________．16.如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN // AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D −MNQ ，则三棱锥D −MNQ 体积的最大值为________；当三棱锥D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①b 2+√2ac =a 2+c 2，②acosB ＝bsinA ，③sinB +cosB =√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π3，b =√2，求△ABC 的面积．18.如图，五面体ABCDEF 中，正方形ABCD 的边长为2√2，AB ＝2EF ，EF // 平面ABCD ，点P 在线段DE 上，且DP ＝2PE ，Q 为BC 的中点．（1）求证：BE // 平面APQ ；（2）已知AE ⊥平面ABCD ，且AE ＝2，求二面角P −AF −E 的余弦值．19.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n =22n+1(n ∈N)是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝log 2(F n −1)−1(n ∈N +) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(n +1)log 2a n+1，设为数列{2b n}的前n 项和，求出T n ，并证明：对任意n ∈N +，1≤T n <2．20.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v 表示行车速度，单位：km/ℎ；d 1，d 2分别表示反应距离和制动距离，单位：m) 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 d 113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100km/ℎ时，制动距离为65m ．(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110km/ℎ时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/ℎ时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑=i=110 vi 1004，∑=i=110 (d1)i 210，∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21参考公式：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．21.已知F1，F2分别为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．(i)求圆E的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由22.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}，B ＝{x|x −1<0}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, 3] B.(−∞, 2] C.(−∞, 1) D.[−2, 1)【解答】∵集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}＝{x|−2≤x ≤3}， B ＝{x|x −1<0}＝{x|x <1}， ∴A ∪B ＝{x|x ≤3}＝(−∞, 3]．2.若复数z 满足z(1+i)＝−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i【解答】∵z(1+i)＝−2i ，∴z =−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ， 则z ¯=−1+i ．3.设x ∈R ，则“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】设x ∈R ，则“2x >4”⇒“lg(|x|−1)>0”，“lg(|x|−1)>0”⇒“x >2或x <−2”⇒“2x >4或2x <14”， ∴“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的充分不必要条件．4.已知函数f(x)={xlnx,x >0x ex ,x ≤0 则函数y ＝f(1−x)的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】当x >0时，f(x)＝xlnx ，则令f′(x)＝lnx +1＝0，解得x =1e ，所以当0<x <1e 时，f(x)单调递减，x >1e 时，f(x)单调递增，当x ≤0时，f(x)=xe x ，则令f′(x)＝e −x −1≥0，所以当x ≤0时，f(x)单调递增， 作出函数f(x)的图象如图：又因为f(1−x)的图象时将f(x)图象先关于y 轴对称，再向左移动一个单位得到的， 故根据f(x)图象可值f(1−x)图象为5.若抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6【解答】抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，可得p ＝2，抛物线方程为：y 2＝4x ， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，根据抛物线定义，x 1+x 2+p ＝8， 所以x 1+x 2＝6，∵AB 的中点的横坐标为：3，中点到y 轴的距离为3，6.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(ln5)+f(ln 15)=() A.0 B.12C.1D.2【解答】根据题意，函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(−x)＝lg(√x 2+1−x)+12=−lg(√x 2+1−x)+12，则f(x)+f(−x)＝1，则有f(ln5)+f(ln 15)=f(ln5)+f(−ln5)＝1；7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A.45 B.35C.25D.310【解答】根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，共有A3#/DEL/#6#/DEL/#=6×5×4＝120种．又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：1+8＝9，2+7＝9，4+5＝9，共3组．所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个， 所以共有∁61∁41∁21=6×4×2＝48种， 故P =48120=25． 8.若F 为双曲线C:x 24−y 25=1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ） A.[14,15] B.[−15,15]C.(−14,0]D.[−14,15]【解答】 双曲线C:x 24−y 25=1的a ＝2，b =√5，c ＝3，设|AF|＝m ，|FB|＝n ，F ′为双曲线的右焦点，连接BF ′，AF ′，由对称性可得四边形AFBF ′为平行四边形，可得|BF ′|＝|AF|＝m ，可得n −m ＝2a ＝4，n ＝m +4， 且m ≥c −a ＝1，则1|FA|−4|FB|=1m −44+m ，设f(m)=1m −44+m ，m ≥1， f′(m)=−1m 2+4(4+m)2=(m−4)(3m+4)m 2(4+m)2，当m >4时，f′(m)>0，f(m)递增，1≤m <4时，f′(m)<0，f(m)递减， 可得f(m)在m ＝4处取得极小值，且为最小值−14， 当m ＝1时，f(1)=15，当m →+∞时，f(m)→0， 则f(m)∈[−14, 15]， 故选：D ．二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2019年11月份的月利润最大【解答】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：x1＝(30+40+35+30+50+60)−(20+25+10+20+22+30)＝118，该企业2019年7月至12月的总利润约为：(80+75+75+80+90+80)−(28+22+30+40+45+50)＝265，∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：(30+40+35)−(20+25+10)＝50万元，故B错误；在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们sin2x，听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12则下列结论正确的是（）A.2π是f(x)的一个周期B.f(x)在[0, 2π]上有3个零点C.f(x)的最大值为3√34D.f(x)在[0,π2]上是增函数【解答】∵y ＝sinx 的周期为2π，y =12sin2x 的周期为π，∴f(x)=sinx +12sin2x 的周期为2π，故A 正确； 由f(x)=sinx +12sin2x =0，得sinx +sinxcosx ＝0，得sinx ＝0或cosx ＝−1， ∵x ∈[0, 2π]，∴x ＝0，x ＝π，x ＝2π，则f(x)在[0, 2π]上有3个零点，故B 正确； 函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值在[0, π2]上取得，由f′(x)＝cosx +cos2x ＝2cos 2x +cosx −1＝0，可得cosx =12，当x ∈(0, π3)时，cosx 单调递减，原函数单调递增，当x ∈(π3, π2)时，cosx 单调递减，原函数单调递减，则当x =π3时，原函数求得最大值为sin π3+12sin 2π3=3√34，故C 正确； ∵f(π4)＝sin π4+12sin π2=√2+12>1，f(π2)＝sin π2+12sinπ=1，∴f(x)在[0,π2]上不是增函数，故D 错误．11.给定两个不共线的空间向量a →与b →，定义叉乘运算：a →×b →．规定：①a →×b →为同时与a →，b →垂直的向量；②a →，b →，a →×b →三个向量构成右手系（如图1）；③|a →×b →|=|a →||b →|sin <a →,b →>．如图2，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是（ ）A.AB →×AD →=AA 1→B.AB →×AD →=AD →×AB →C.(AB →+AD →)×AA 1→=AB →×AA 1→+AD →×AA 1→D.长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB →×AD →)⋅CC 1→【解答】∵|AB →×AD →|=|AB →||AD →|sin90=2×2×1=4，且AA 1→分别与AB →AD →垂直，∴AB →×AD →=AA 1→，故A 正确；由题意，AB →×AD →=AA 1→，AD →×AB →=A 1A →，故B 错误；∵AB →+AD →=AC →，∴|(AB →+AD →)×AA 1→|=|AC →×AA 1→|=2√2×4×1=8√2，且(AB →+AD →)×AA 1→与DB →共线同向，∵|AB →×AA 1→|=2×4×1=8，AB →×AA 1→与DA →共线同向，|AD →×AA 1→|=2×4×1=8，AD →×AA 1→与DB →共线同向，∴|AB →×AA 1→+AD →×AA 1→|=8√2，且AB →×AA 1→+AD →×AA 1→与DB →共线同向，故C 正确； (AB →×AD →)⋅CC 1→=|AB →||AD →|×|CC 1→|×sin90×cos0=2×2×4＝16，故D 成立． 12.若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是() A.0<a <b <1 B.b <a <0 C.1<a <bD.a =b【解答】解：由2a +3a =3b +2b ，设f(x)=2x +3x ，g(x)=3x +2x ，易知f(x)，g(x)是单调递增函数， 画出f(x)，g(x)的图象如图：根据图象可知：当x =0，1时，f(x)=g(x)， 0<a <b <1，f(a)=g(b)可能成立，故A 正确；当b <a <0时，因为f(x)≤g(x)，所以f(a)=g(b)可能成立，B 正确； 当a =b 时，显然成立，故D 正确；当1<a <b 时，因为f(a)<g(b)，所以不可能成立，故C 错误. 故选ABD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________．（用数字作答）． 【解答】二项式(2x −y)5的展开式的通项为T r+1＝25−r (−1)r C 5r x 5−r y r ， 令r ＝2，可得含x 3y 2的项的系数是23C 52＝8014.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝________ 【解答】由于sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，所以：12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，整理得：√3cosα=−2sinα， 所以：tanα=−√32， 则：tan2α=2tanα1−tan 2α=−4√3，15.平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ的值为________． 【解答】平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →， 所以AB →=λAM →+μAN →=λ(AD →+12AB →)+μ(AB →+23AD →)， =(λ+23μ)AD →+(12λ+μ)AB →，则根据平面向量基本定理可得，{λ+2μ3=01=12λ+μ ，解可得，λ＝−1，μ=32， 则λ+μ=12，16.如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN // AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D −MNQ ，则三棱锥D −MNQ 体积的最大值为________；当三棱锥D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．【解答】设MB ＝t ，则AM ＝DN ＝2√3−t ，∵沿MN 将△DMN 折起，当DN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D −MNQ 的体积最大， 此时V D−MNQ =13×12×MN ×MB ×t =13t(2√3−t)=−13t 2+2√33t ， ∴当t =√3时，V D−MNQ 取最大值，最大值为1，此时MB =√3，DN =√3，∴MQ ＝NQ ＝2，∴△MNQ 为等边三角形，∴当三棱锥D −MNQ 体积最大时，三棱锥D −MNQ 是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ−EDF的外接球即是三棱锥D−MNQ的外接球，设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ−EDF的外接球的球心O，∴OH=12DN=√32又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ=2√33，∴三棱柱MNQ−EDF的外接球的半径R＝OQ=√OH2+HQ2=5√36，∴三棱锥D−MNQ的外接球的表面积为4πR2=25π3，故答案为：1；25π3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①b2+√2ac=a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，b=√2，求△ABC的面积．【解答】取②acosB＝bsinA，由正弦定理可得：sinAacosB＝sinBsinA≠0，∴tanB＝1，B∈(0, π)，∴B=π4．∴C＝π−A−B=5π12，sinC＝sin(π3+π4)=√32×√22+12×√22=√6+√24．由正弦定理可得：asinπ3=√2sinπ4，解得a=√3．∴△ABC的面积S=12×√3×√2×√6+√24=3+√34．18.如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2√2，AB＝2EF，EF // 平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE // 平面APQ ；（2）已知AE ⊥平面ABCD ，且AE ＝2，求二面角P −AF −E 的余弦值． 【解答】连结BD ，交AQ 于点M ，连结PM ，∵△BMQ ∼△DMA ，BQ =12AD ，∴BM =12DM ， ∵EP =12DP ，∴PM // BE ， ∵PM ⊂平面APQ ，BE ⊄平面APQ ， ∴BE // 平面APQ ．以A 为坐标原点，分别以AB →,AD →,AE →为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0, 0, 0)，C(2√2, √2, 0)，D(0, 2√2, 0)，E(0, 0, 2)，F(√2, 0, 2)， 设P(x, y, z)，∵DP ＝2PE ，∴DP →=23DE →，则(x, y −2√2, z)=23(0, −2√2, 2)，则P(0, 2√23, 43)，∴AP→=(0, 2√23, 43)， 设平面AFP 的法向量为n →=(x, y, z)， ∵AF →=(√2, 0, 2)，∴{AF →⋅n →=√2x +2z =0AP →⋅n →=2√23y +43z =0 ，取x =√2，则n →=(√2,√2,−1)， 平面AEF 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角P −AF −E 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=√105． ∴二面角P −AF −E 的余弦值为√105．19.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n=22n+1(n∈N)是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2(F n−1)−1(n∈N+)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝(n+1)log2a n+1，设为数列{2b n}的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n< 2．【解答】S n＝log2(F n−1)−1＝log222n−1＝2n−1，当n＝1时，a1＝S1＝1，n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1−2n−1+1＝2n−1，对n＝1也成立，则a n＝2n−1，n∈N∗；b n＝(n+1)log2a n+1＝(n+1)log22n＝n(n+1)，2 b n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则T n＝2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)＝2(1−1n+1)，由于2(1−1n+1)随着n的增大而增大，可得T1≤T n<2，即对任意n∈N+，1≤T n<2．20.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：km/ℎ；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m)道路交通事故成因分析（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100km/ℎ时，制动距离为65m ．(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110km/ℎ时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/ℎ时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑=i=110 vi 1004，∑=i=110 (d1)i 210，∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21参考公式：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．【解答】由题意知，P i =C 3i ⋅(15)i ⋅(1−15)3−i ， 故所求的概率为P 1=C 31⋅15⋅(45)2=48125；由d 2与v 的平方成正比，设d 2＝kv 2，当行车速度为v ＝100km/ℎ时，制动距离为d 2＝65m ； 即k ⋅1002＝65，解得k ＝0.0065， 所以d 2＝0.0065v 2；(i)由d 1与v 之间具有线性相关关系，且v ¯=110∑ 10i=1v i=110×1004＝100.4，d 1¯=110∑ 10i=1(d 1)i =110×210＝21；又∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21， 所以b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2=∑ 10i=1v i ⋅(d 1)i −10v ¯⋅d i ¯∑)i=110 (vi 2−10v ¯2=22187.3−10×100.4×21106054−10×100.4=1103352524≈0.21，a =d 1¯−b v ¯=21−0.21×100.4＝−0.084， 所以d 1与v 间的回归方程为d 1̂=0.21v −0.084； v ＝110时，d 1̂=0.21×110−0.084＝23.016． d 2＝0.0065×1102＝78.65，所以估计车速为110km/ℎ时的停车距离为d ＝23.016+78.65＝101.666≈102(m)；(ii)v ＝100时，d 1̂=0.21×100−0.084＝20.916． d 2＝0.0065×1002＝65，车速为100km/ℎ时的停车距离为d ＝20.916+65＝85.916≈86(m)； 车速超过100km/ℎ时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大， 要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m 以上的距离．21.已知F 1，F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为C 上的动点，其中P 到F 1的最短距离为1，且当△PF 1F 2的面积最大时，△PF 1F 2恰好为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C 的外切圆为E ． (i)求圆E 的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q ，使得以PQ 为直径的圆与E 相切，若存在求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】由题意可得：a −c ＝1，面积最大时P 为短轴的顶点，再由△PF 1F 2恰好为等边三角形，可得b =√32⋅2c ，a 2＝b 2+c 2， 解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；(i)由（1）得圆E 的圆心坐标为(0, 0)，半径为a ＝2， 所以圆E 的方程为：x 2+y 2＝4； (ii)解法一：假设存在满足条件的定点Q ，由题意可知定点Q 必在x 轴上，设Q(m, 0)，P(x 0, y 0)，则x 024+y 023=1，由(i)可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2，设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点， r =|PQ|2，即G(x 0+m 2, y 02)，r =12√(x 0−m)2+y 02，因为圆E 与圆G 相切，则|OG|＝2−r ，所以√(x 0+m 2)2+y 024=2−12√(x 0−m)2+y 02，其中y 02＝3−34x 02，两边平方并整理得：4−mx 0＝2√(x 0−m)2+y 02，化简得(m 2−1)(x 02−4)＝0，上式对任意x 0∈[−2, 2]恒成立， 故m 2−1＝0，解得m ＝±1，所以，当定点Q 恰好为椭圆的焦点时，符合题意．解法二：存在满足条件的定点Q，由题意可知，定点Q必在x轴上，设Q(m, 0)，P(x0, y0)，则x024+y023=1，由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，即G(x0+m2, y02)，r=12√(x0−m)2+y02，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，所以√(x0+m2)2+y024=2−12√(x0−m)2+y02，整理得√(x0+m)2+y02+√(x0−m)2+y02=4，设Q′(−m, 0)，则|PQ′|+|PQ|＝4，又因为P在椭圆x 24+y23=1上，设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，|PF1|+|PF2|＝4，故Q，Q′分别与F1，F2重合，所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意．解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，即|OG|＝2−|PQ|2，所以2|OG|+|PQ|＝4，设Q′为Q关于原点对称点，则OG恰好为△QQ′P的中位线，所以2|OG|＝|PQ′|，所以|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法二；解法四：假设存在满足条件的定点Q，设M(m, n)，P(x0, y0)，则x024+y023=1由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，即G(x0+m2, y0+n2)，r=12√(x0−m)2+(y0−n)2，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，所以√(x0+m)24+(y0+n)24=2−12√(x0−m)2+(y0−n)2整理得√(x0+m)2+(y0+n)2+√(x0−m)2+(y0−n)2=4，设Q(−m, −n)，因此|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法一．22.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．【解答】f′(x)=1−lnxx2，x>0，当x∈(0, e)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(e, +∞)时，f′(x)<0，f(x)递减；所以f(x)的极大值为f(e)=1e +k=1e+1，故k＝1；(i)根据题意，任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)，即e x−ax ≥alnxx+a，化简得xe x−alnx−ax−a≥0，令ℎ(x)＝xe x−alnx−ax−a，x>0，ℎ(x)＝e lnx e x−alnx−ax−a＝e lnx+x−a(lnx+x)−a，令lnx+x＝t，t∈R，设H(t)＝e t−at−a，H′(t)＝e t−a，只需H(t)≥0，t∈R，当a<0时，当t<0时，H(t)<1−at−a，所以H(1a −1)<1−a(1a−1)−a＝0，不成立；当a＝0时，H(t)≥0显然成立；当a>0时，由H′(t)＝e t−a，当t∈(−∞, lna)，H(t)递减，t∈(lna, +∞)，H(t)递增，H(t)的最小值为H(lna)＝a−alna−a＝−alna，由H(lna)＝−alna≥0，得0<a≤1，综上0≤a≤1；(ii)证明：要证x2f(x)>asinx+x2−1，只需证明x2(lnxx+1)>asinx+x2+1，化简得xlnx+1>asinx，只需证lnx+1x >asinxx，设F(x)＝lnx+1x，G(x)＝x−sinx，由F′(x)=1x −1x2=x−1x2，当x∈(0, 1)时，F(x)递减；x∈(1, +∞)时，F(x)递增；所以F(x)≥F(1)＝1，由G′(x)＝1−cosx≥0，G(x)在(0, +∞)递增，故G(x)>G(0)＝0，得x>sinx，又由(i)0≤a≤1，所以asinxx<1，所以F(x)>asinxx成立，故原命题成立．。
2023-2024学年山东省济南高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合{|1}A x x =≥，{}2|20B x x x =--<，则A B ⋃=（）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≥C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x ≤<【正确答案】A【分析】解出集合{}|12=-<<B x x ，根据并集的运算法则求得结果.【详解】由220x x --<，得(2)(1)0x x -+<，得12x -<<即{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃={|1}x x >-故选：A.2．已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A ．13x <<B ．11x -<<C ．01x <<D ．03x <<【正确答案】C【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A ，(1,3)(0,2)⊄，且(0,2)(1,3)⊄，即13x <<是p 的不充分不必要条件，A 不是；对于B ，(1,1)(0,2)-⊄，且(0,2)(1,1)⊄-，即11x -<<是p 的不充分不必要条件，B 不是；对于C ，(0,1)(0,2)，即01x <<是p 的一个充分不必要条件，C 是；对于D ，(0,2)(0,3)，即03x <<是p 的必要不充分条件，D 不是.故选：C3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【正确答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．函数3()6x f x x =+的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】由题可得函数定义域，函数()f x 的奇偶性及其在0x >时的函数值符号，结合排除法即得.【详解】对任意的x ∈R ，660x +≥>，故函数3()6x f x x =+的定义域为R ，故A 错误；又当0x >时，()0f x >，故B 错误；因为33()()()66x x f x f x x x ---===--++，所以()f x 为奇函数，故C 错误.故选：D.5．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6．已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【正确答案】D 【分析】根据πππ626αα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭及诱导公式即可求解.【详解】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．7．已知函数()1e e 3x xf x x-=-++，若()2f m =，则()f m -=（）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【正确答案】D【分析】令()()3g x f x =-，由奇偶性定义可知()g x 为奇函数，由()()0g m g m +-=可构造方程求得结果.【详解】令()()13e e x xg x f x x -=-=-+，则()()1e e x xg x g x x--=--=-，()g x ∴为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，()()0g m g m ∴+-=，即()()330f m f m --+-=，()()64f m f m ∴-=-=.故选：D.8．定义在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数3cos y x =与8tan y x =的图象交点为00(,)P x y ，则0sin x 的值为（）A ．13BC ．23D．3【正确答案】A【分析】将P 点坐标代入两个函数的解析式，结合同角三角函数的基本关系式求得0sin x .【详解】依题意0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0000008sin 3cos ,8tan cos x y x y x x ===，所以008sin 3cos cos x x x =，2003cos 8sin x x =，()20031sin 8sin x x -=，2003sin 8sin 30x x +-=，()()00sin 33sin 10x x +-=，其中0sin 30x +>，所以0013sin 10,sin 3x x -==.故选：A二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b>B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0b a >>，0c >，则b c ba c a+>+D ．若0a b >>，则11a b b a+>+【正确答案】AD【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于A ，∵22ac bc >，∴0c ≠，∴20c >，∴210c>，∴222211ac bc c c ⨯>⨯，∴a b >，故选项A 正确；对于B ，当2a =，1b =，0c =，2d =-时，有a b >，c d >，但此时2a c -=，3b d -=，a c b d -<-，故选项B 错误；对于C ，当1a =，2b =，1c =时，有0b a >>，0c >，但此时32b c a c +=+，2b a =，b c ba c a+<+，故选项C 错误；对于D ，∵0a b >>，∴0ab >，∴10ab>，∴11a b ab ab ⨯>⨯，∴11b a>，由不等式的同向可加性，由a b >和11b a >可得11a b b a+>+，故选项D 正确.故选：AD.10．已知函数()1f x x =-，()2g x x =．记{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则下列关于函数()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠的说法正确的是（）A ．当()0,2x ∈时，()2F x x=B ．函数()F x 的最小值为2-C ．函数()F x 在()1,0-上单调递减D ．若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >【正确答案】ABD【分析】得到函数()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或，其图象如图所示：由图象知：当()0,2x ∈时，()2F x x=，故A 正确；函数()F x 的最小值为2-，故正确；函数()F x 在()1,0-上单调递增，故错误；方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >，故正确；故选：ABD11．已知函数π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列选项中正确的是（）A ．()f x 的最小值为2-B ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于π8x =对称D ．()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为21,3⎤⎦【正确答案】BD【分析】根据三角函数的最值、单调性、对称性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当2ππ22π4x k -=-，Z k ∈，即ππ8x k =-，Z k ∈时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为211-+=-，A 错误；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，则π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；当π8x =时，πππ()2sin 211884f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故C 错误；ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π24,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当ππ244x -=或3π4，即π4x =或π2时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为2112+=，当ππ242x -=，即3π8x =时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为2113⨯+=，故值域为1,3⎤⎦，D 正确.故选：BD12．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（）A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则122x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点【正确答案】ABD【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.【详解】由函数ln y x =，x 轴下方图象翻折到上方可得函数ln y x =的图象，将y 轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数ln ln y x x ==-的图象，将函数图象向右平移2个单位，可得函数()ln 2ln 2y x x =--=-的图象，则函数()|ln |2||f x x =-的图象如图所示.由图可得函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，若1x ，2x 关于直线2x =对称，则124x x +=，C 错误；函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【正确答案】9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】 正数x ，y 满足：111x y+=，∴()114445529y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时“=”成立，故答案为.914．已知tan 2α=，则22sin cos cos ααα-=______．【正确答案】35##0.6【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，以及“1”的妙用即可将22sin cos cos ααα-转化为tan α的形式，代入即可求得结果.【详解】由题意知，222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 1sin cos ααααααααααα---==+又因为sin tan cos ααα=，将上式分子分母同时除以2cos α得222tan 12sin cos cos tan 1ααααα--=+代入tan 2α=即可得，2222tan 122132sin cos cos tan 1215ααααα-⨯--===++故3515．若函数()()()12log ,02,0xx x f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦______．【正确答案】12##0.5【分析】首先计算()21f =-，从而得到()()21f f f =-⎡⎤⎣⎦，即可得到答案.【详解】因为()122log 21f ==-，所以()()112122f f f -=-==⎡⎤⎣⎦.故1216．如果定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，给出下列函数，其中是“H 函数”的有_____________（填序号）①()31f x x =+②11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭③2()1f x x =+④21,1()45,1x f x xx x x ⎧-<-⎪=⎨⎪++≥-⎩【正确答案】①④．【分析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【详解】 对于任意的不等实数1x ，2x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数；①()f x 在R 上单调递增，符合题意；②()f x 在R 上单调递减，不合题意；③()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，不合题意；④()f x 在R 上单调递增，符合题意；故①④．四、解答题17．设{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，求：（1）A B ⋂；（2）()()U U A B 痧【正确答案】（1）{}26x x <≤；（2）{|2x x ≤或6}x >.【分析】（1）根据集合交集的概念及运算，即可求解；（2）根据补集的运算，求得,U U A B 痧，再结合集合并集的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，集合{}56,{|6A x x B x x =-<≤=≤-或2}x >，根据集合交集的概念及运算，可得{}26A B x x ⋂=<≤.（2）由{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，可得{|5U A x =≤ð或6}x >，{|62}U B x x =-<≤ð，所以()()U U A B 痧{|2x x =≤或6}x >.18．已知4cos 5α=-，且α为第三象限角.(1)求sin α的值；(2)求()()tan()sin()sin 2cos f ππαπαααπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+的值.【正确答案】(1)35-(2)920-【分析】（1）根据同角三角函数关系平方和公式求解即可；（2）由题知3tan 4α=，再根据诱导公式化简计算即可.【详解】（1）解：因为4cos 5α=-，且α为第三象限角，所以3sin 5α==-，（2）解：由（1）知sin 3tan cos 4ααα==，()()tan()sin()sin 2cos f ππαπαααπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+tan sin cos tan 33sin cos 94520αααααα-⋅⋅===⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭-.19．已知函数()π2sin 2,R4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最大值及对应的x 的集合；(2)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；【正确答案】(1)()max 2f x =，此时x 的集合为3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.【详解】（1）解：当ππ2242π+x k -=，即3ππ,Z 8x k k =+∈时，()max 2f x =，所以()max 2f x =，此时x 的集合为3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤-≤+∈，则π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，又因[]0,πx ∈，所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.20．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数,()()f x f x ∴-=，即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，121,22x x xy ≥=+在[0,)+∞单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0∞-上单调递减，()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,∞∞--⋃+。
2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷及答案
2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷及答案一、选择题1．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）A ．12BC D ．24．设4log 3a =，8log 6b =，0.12c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞6．若x 0＝cosx 0，则（ ） A ．x 0∈（3π，2π） B ．x 0∈（4π，3π） C ．x 0∈（6π，4π） D ．x 0∈（0，6π） 7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<9．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}10．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．1111．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( )A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-二、填空题13．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；14．函数()()4log 5f x x =-+________.15．已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______．16．函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 17．已知函数()f x 满足：()()1f x f x +=-，当11x -<≤时，()x f x e =，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．已知正实数a 满足8(9)aaa a =，则log (3)a a 的值为_____________.20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______． 三、解答题21．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.24．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 25．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．26．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A B U ； (Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =，利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．D解析：D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log 3a =3log 6b =，结合对数函数的性质，求得1a b <<，又由指数函数的性质，求得0.121c =>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对数的运算公式，可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====，2<<，所以222log log log 21<<=，即1a b <<，由指数函数的性质，可得0.10221c =>=， 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，利用零点存在性定理，判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像只有一个交点，构造函数()cos f x x x =-，30.5230.8660.3430662f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭，20.7850.7070.0780442f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知，()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查方程的根，函数的零点问题的求解，考查零点存在性定理的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知34333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.9．C解析：C 【解析】试题分析：根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．10．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.11．D解析：D【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x的图像，如图（实线部分），由()1152y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A．故()f x有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】210x ax++≥对于一切10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，则等价为a⩾21xx--对于一切x∈(0,12)成立，即a⩾−x−1x对于一切x∈(0,12)成立，设y=−x−1x,则函数在区间(0,12〕上是增函数∴−x−1x<−12−2=52-，∴a⩾5 2 -.故选C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >.二、填空题13．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.14．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义，需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5，故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.15．【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即 解析：()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象，利用数形结合进行求解即可． 【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，∴函数()f x 的图象过点()2,0-，且在区间(),0-∞上单调递增，作出函数()f x 的图象大致如图：则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩， 即02x <<或2x <-，即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃，故答案为()(),20,2-∞-⋃【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键．16．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考 解析：4【解析】【分析】设()2sin 1x g x x x =++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，求出2sin 21=+++x y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】 ∵函数2sin 21=+++x y x x ， ∴设()2sin 1x g x x x =++，则()()2sin 1x g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数，设()g x 的最大值M ，根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -，又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-，∴max min 224y y M M +=++-=，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1x g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题. 17．【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件，得出()f x 是以2为周期的函数，根据函数周期性，化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭，再代入求值即可.【详解】因为()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的函数，因为当11x -<≤时，()xf x e = ，所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系，这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 18．【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键 解析：12- 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数，得到()010021f a =+=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121x f x a =++是奇函数，所以()010021f a =+=+，解得12a =-， 当12a =-时，函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-， 所以12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析：916【解析】【分析】将已知等式8(9)a aa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.【详解】 8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q ， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系，考查对数的运算以及应用换底公式求值，属于中档题. 20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】【分析】【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16.22．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈， 所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．23．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤【解析】【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤.（Ⅱ）,M N M ⋃=Q当N =∅时，121a a +>+，即0a <；当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤.综上：2a ≤.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.24．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ； （2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案.【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克), 所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+, 当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x +==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,可知()f x 在单调递减,在)+∞单调递增,又89<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少.本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用.25．（1）()3,1.-（2）1-±3）2【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值．【详解】（1）由已知得10,30,x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.- （2）()()()()()()2log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令()=0f x,得223=1x x --+,即222=0x x +-,解得1x =-±∵1(-3,1)-,∴函数()f x 的零点是1-（3）由2知,()()()22log 23log 14a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦, ∵31x -<<,∴()20144x <-++≤.∵01a <<,∴()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦, ∴()min log 44a f x ==-,∴144a -==. 【点睛】本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．26．（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤【解析】【分析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。
山东省济南市2020-2021学年高三上学期期末考试数学试题(含解析)
山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。
【数学10份汇总】山东省济南市2020年高一数学(上)期末模拟检测试题
高一数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题1．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A.20，22.5B.22.5，25C.22.5，22.75D.22.75，22.75 2．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（） A ．π B ．12πC ．8πD ．4π3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝10，则结合a 的值解三角形有两解的为( ) A ．a ＝8B ．a ＝9C ．a ＝10D ．a ＝114．若[0,]x π∈，则函数()cos f x x x =-的单调递增区间为（ ) A.5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π,π3轾犏犏臌C.50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．为了得到函数()g x cos2x =的图象，可以将()πf x sin 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( )A ．向左平移π12个单位长度 B ．向左平移7π12个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向右平移7π12个单位长度 6．已知向量a 、b ，满足3a =，2b =，且()a b a -⊥，则a 在b 上的投影为( ) A.3-B.2-C.32D.47．同时与圆22670x y x ++-=和圆226270x y y +--=都相切的直线共有（ ） A.1条B.2条C.3条D.4条8．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC =-，则2n m -=（ ）A.199B.4122-C.111-D.17119．已知函数()3cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则（ ） A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()f x 的图象关于5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的最大值为3D.()f x 的图象的一条对称轴为512x π=10．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π11．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．2π 12．为比较甲、乙两地时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月l4时的平均气温： ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，C= A.π12B.π6C.π4D.π314．函数)4sin(2π-=x y 的一条对称轴是A.4x π=B.2x π=C.34x π=D.2x π=15．函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是( ) A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）二、填空题16．《九章算术》中记载了弧田(圆弧和其所对弦围成的弓形)的面积公式2S ⨯+⨯=弧田弦矢矢矢，其中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.已知一块弦长为的弧田按此公式计算所得的面积为292m ⎛⎫+⎪⎝⎭，则该弧田的实际面积为______2m ． 17．函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，函数()f x 的图象是由一段抛物线和一条射线组成(如图所示).如果对任意[],(0)x a b b ∈<，都有[]2,1y ∈-，那么b a -的最大值是______．18．若关于x 的不等式22sin cos 1a x a x -<++在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 19．一束光线从点A(-1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上点的最短距离是 . 三、解答题20．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求,m n 的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙，并由此分析两组技工的加工水平；21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=.（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值； （2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围. 22．已知奇函数23()22x b f x x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），[]3t m π∈，，m ，b R ∈． （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明； （3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．23．在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．24．已知圆22:2430C x y x y ++-+=.(1)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程. 25．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为，过点的直线l 与圆O 交于两点A ，B ．（1）若，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴交于点N ，设，，m ，R ，求m n +的值．【参考答案】一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．B 10．B 11．B 12．B 13．B 14．C 15．C 二、填空题16．12π-17．4 18．(0,1) 19． 三、解答题20．（1）3,8m n ==；（2）225.2,2S S ==甲乙,乙组加工水平高。
2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷(含答案)
2020-2021济南市高中必修一数学上期末试卷(含答案)一、选择题1．函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为()n n A ．B ．C ．D ．2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称3．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A ．0B ．-1C ．13D ．15．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃7．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（ ）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >8．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知01a <<，则方程log xa a x =根的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3根10．曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是（ ） A ．53(,]124B ．5(,)12+∞ C ．13(,)34D ．53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________16．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 17．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________． 18．若函数()121xf x a =++是奇函数，则实数a 的值是_________. 19．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈，给出,其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. （参考数据:取lg 20.3=）22．已知全集U =R ，函数()lg(10)f x x =-的定义域为集合A ，集合{}|57B x x =≤<（1）求集合A ； （2）求()U C B A ⋂.23．已知定义域为R 的函数211()22x x f x a +=-+是奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明. 24．已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明. 25．设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≤-． （1）求()U A C B ⋂；（2）若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ，满足A C ⊆，求实数a 的取值范围.26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ，当x=2π时，是函数的一个零点，属于排除A ，B ，当x ∈（0，1）时，cosx ＞0，1212x x -+＜0，函数f （x ）=（1212xx-+）cosx ＜0，函数的图象在x 轴下方． 排除D ． 故答案为C 。
2020年济南市高中必修一数学上期末一模试题及答案
16．对数式lg25﹣lg22+2lg6﹣2lg3＝_____．
17．已知函数 ，满足对任意的实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围为__________．
18．若函数 在区间 上不是单调函数，则实数a的取值范围是______.
19．已知 则 为_____
即 <3,且 >3,由此解得： <a<2，
故答案为( ,2).
点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解
8．D
解析：D
【解析】
由题设可得方程组 ，由 ，代入 ，联立两个等式可得 ，由此解得 ，应选答案D。
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据零点存在定理判断 ，从而可得结果.
故选:D.
【点睛】
本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.
二、填空题
13．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值
解析：0
【解析】
【分析】
由 ，得 ，由此即可得到本题答案.
【详解】
由 ，得 ，
16．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力
解析：1
【解析】
【分析】
直接利用对数计算公式计算得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.
17．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段
山东省济南市2020版高一上学期数学期末考试试卷(I)卷
山东省济南市2020版高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，2，3}，B={y|y=x2 ，x∈A}，则（∁UA）∩B等于（）A . {4}B . {9}C . {0，1}D . {4，9}2. （2分）直线与x，y轴所围成的三角形的周长等于（）A . 6B . 12C . 24D . 603. （2分）函数的定义域为（）A . （， 1）B . （，∞）C . （1，+∞）D . （， 1）∪（1，+∞）4. （2分）设，则（）A .B .C .D .5. （2分）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A .B . －3C .D . 36. （2分）如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·兰州期中) 若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图像是（）A .B .C .D .8. （2分）已知异面直线a与b所成角为锐角，下列结论不正确的是（）A . 不存在一个平面α使得a⊂α，b⊂αB . 存在一个平面α使得a∥α，b∥αC . 不存在一个平面α使得a⊥α，b⊥αD . 存在一个平面α使得a∥α，b⊥α9. （2分）若直线l:y=kx-与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A . [,)B . (,)C . (,)D . [,]10. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 已知两点，，过点的直线l与线段AB 有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是A .B .C .D .11. （2分）如图是日常生活中常用到的螺母，它可以看成一个组合体，其结构特征是（）A . 一个棱柱中挖去一个棱柱B . 一个棱柱中挖去一个圆柱C . 一个圆柱中挖去一个棱锥D . 一个棱台中挖去一个圆柱12. （2分） (2018高一上·中原期中) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2020高二下·金华月考) 计算： ________， ________.14. （1分） (2019高三上·潍坊期中) 某几何体的三视图如图所示，左视图为半圆，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为________.15. （2分） (2018高二上·台州月考) 已知直线，直线，若，则 ________；若，则两平行直线间的距离为________.16. （1分） (2018高三上·邵东月考) 已知，则不等式的解集是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2019高一上·钟祥月考) 已知实数集，集合，集合（1）当时，求；（2）设，求实数的取值范围.18. （10分） (2017高一下·徐州期末) 已知直线l1：x﹣2y+3=0和l2：x+2y﹣9=0的交点为A．（1）求过点A，且与直线2x+3y﹣1=0平行的直线方程；（2）求过点A，且倾斜角为直线l1倾斜角2倍的直线方程．19. （15分） (2016高二下·洛阳期末) 在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：BD⊥EG；（3）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．20. （15分） (2020高二下·天津期中) 已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为（1）求的解析式；（2）当，时，求函数的最小值（用表示）；（3）若函数在上只有一个零点，求的取值范围.21. （10分）三角形三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（1）求BC边的垂直平分线方程；（2）求AB边上高CD所在直线方程．22. （10分）(2020·普陀模拟) 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．（1）求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到平方米）.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
山东省济南市2020年(春秋版)高一上学期数学期末考试试卷B卷
山东省济南市2020年（春秋版）高一上学期数学期末考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=-2”是“A∩B={4}”的（）.A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2017高一上·深圳期末) 下列方程表示的直线倾斜角为135°的是（）A . y=x﹣1B . y﹣1= （x+2）C . + =1D . x+2y=03. （2分） (2019高二下·青浦期末) 已知空间不重合的三条直线l、m、n及一个平面，下列命题中的假命题是（）．A . 若，，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则4. （2分）图中，能表示函数y=f（x）的图象的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·南充模拟) 满足条件{1，3}∪A={1，3，5}所有集合A的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 16. （2分）已知函数的值域是R，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·平阳期中) 圆心为（2，﹣1）且经过点（﹣1，3）的圆的标准方程是（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=25B . （x+2）2+（y﹣1）2=25C . （x﹣2）2+（y+1）2=5D . （x+2）2+（y﹣1）2=58. （2分）函数y= 是（）A . 区间（﹣∞，0）上的增函数B . 区间（﹣∞，0）上的减函数C . 区间（0，+∞）上的增函数D . 区间（0，+∞）上的减函数9. （2分） (2016高一上·金台期中) 设a=log36，a=log510，a=log714，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . c＞a＞bD . c＞b＞a10. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·绍兴期中) 已知幂函数是偶函数，则实数m的值是（）A . 4B . ﹣1C .D . 4或﹣112. （2分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·徐汇期末) 函数的定义域是________.14. （1分）经过直线x+2y﹣3=0与2x﹣y﹣1=0的交点且和点（0，1）距离为的直线的方程是________．15. （1分） (2016高一上·酒泉期中) 指数函数f（x）=ax的图象经过点，则底数a的值是________．16. （1分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2017高三上·安庆期末) 已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+a|，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0满足f（x0）+|x0﹣2|＜3，求a的取值范围．18. （5分）已知直线l1：x+2y+1=0，l2：﹣2x+y+2=0，它们相交于点A．（1）判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由；（2）求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程．19. （10分） (2016高一上·承德期中) 计算：（1）（2）．20. （5分）(2017·成都模拟) 如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC，BF．（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG= DA，求证：EG∥平面BCF；（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的余弦值．21. （10分）(2017·石家庄模拟) 如图，在四棱锥A﹣BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且EF= BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG= ，CF= ，BF= ．（1）证明：平面FGB⊥平面ABC；（2）求二面角E﹣AB﹣F的余弦值．22. （10分）(2019·全国Ⅲ卷文) 已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A ， B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
〖精选4套试卷〗济南市2020年高一(上)数学期末经典模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）A.5πB.10πC.125π+D.2412π+2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A. B. C.D. 3．在三棱锥中，平面，，，点M 为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.4．已知两点()()2,1,5,3---A B ，直线:10+--=l ax y a 与线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是( )A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U B ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．223，⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U5．已知0a >，若关于x 的不等式22(1)()x ax ->的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是（）A ．43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知m ，n 是两条不同的直线，，，αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若////m n m α，，则//n αC ．若n αβ=I ，//m α，//m β，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290B ．920C ．511D ．10118．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A.201921-B.201922-C.202021-D.202022-9．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=I ，m l ⊥，则m β⊥ B ．若m αγ=I，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥ 10．已知()112362f x x f m ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，,则m 等于（ ） A.14-B.14C.32D.32-11．函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <12．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数π()cos 23cos()2f x x x =++的最大值为____________ 14．不等式201x x +<-的解集为_____. 15．记函数()26f x x x =+-的定义域为D ,在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是________．16．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是____ _三、解答题17．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足：(1)3,(1)1f f -==，11()()22f x f x -=+．且0x ≠时， ()()f x g x x=．(1)若方程()20g x m +=在31[]2,x ∈时有解，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数t 使函数()42((2)1)4xxxh x t g -=-++在[1,)+∞上的最小值为2-？若存在，则求出实数t 的值；若不存在，请说明理由． 18．已知函数21()cos sin cos 2f x x x x =--(1)求函数()f x 的最小正周期和()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域； (2)若32()10f α=，求sin 4α的值 19．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 20．已知圆C ：226850x y x y t +---=，直线l ：3150x y ++=． （1）若直线l 被圆C 截得的弦长为10，求实数t 的值；（2）当1t =时，由直线l 上的动点P 引圆C 的两条切线，若切点分别为A ，B ，则在直线AB 上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？22．已知函数()f x 的定义域为D ，对于给定的()k k ∈*N ，若存在[,]a b D ⊆，使得函数()f x 满足：① 函数()f x 在[,]a b 上是单调函数；② 函数()f x 在[,]a b 上的值域是[,]ka kb ，则称[,]a b 是函数()f x 的k 级“理想区间”.(1)判断函数21()f x x =，2()sin f x x =π是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数()xf x e =存在3级“理想区间”；（ 2.71828e =L ） (3)设函数24()1xg x x =+，[0,1]x ∈，若函数()g x 存在k 级“理想区间”，求k 的值. 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C A A C C D D A CB13．17814．(2,1)-15．5916．3a ≤- 三、解答题 17．（1）71[,]62m ∈--（2）略 18．（1）略；（2）72519．（1）3C π=（2）57+20．(1)15t =；(2) 在直线AB 上存在一个定点，定点坐标为(2,1). 21．（1）；（2）长100米、宽为40米.22．（1）略；（2）略；（3）2k =或3k =2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A.11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A.相离B.相交C.外切D.内切4．执行如图所示程序框图，当输入的x 为2019时，输出的y (= )A ．28B ．10C ．4D ．25．以下关于函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的说法中，正确的是( )A ．最小正周期2T π=B ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．图象关于直线3x π=对称6．已知函数()2xf x x =+，()lng x x x =+，()1h x x x =--的零点分别为1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系是( )A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．321x x x <<7．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是 A ．B ．C ．D ．8．函数()tan (0)f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为4π，则()12f π的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D ．39．直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是（ ）． A ．063=-+y x B ．30x y -= C ．0103=-+y xD ．083=+-y x10．在ABC ∆中，090BAC ∠=，2AB AC ==，E 是边BC 的中点，D 是边AC 上一动点，则AE BD ⋅u u u r u u u r的取值范围是A.[0,2]B.[2,0]-C.[0,22]D.[22,0]-11．在棱长为2的正方体中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1的概率为( ) A ． B ．C ．D ．12．函数的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式2213n a n n =-,则122334910||||||||a a a a a a a a -+-+-++-=L _______.14．已知函数1()(1)xx f x a a a =->，当[0,)2πθ∈变化时，22(sin )+(1)0f m f m θ-≥恒成立，则实数m 的取值范围是_____________.15．已知2{(,)|9,0}M x y y x y ==-≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ≠∅I ，则b 的取值范围是__________． 16．已知α为锐角，5cos 5α=，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．三、解答题17．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面,ABCD E 是PC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）若2,6AB PB ==,求三棱锥B CDE -的体积.18．一袋中有3个红球，2个黑球，1个白球，6个球除颜色外其余均相同，摇匀后随机摸球， （1）有放回地逐一摸取2次，求恰有1红球的概率； （2）不放回地逐一摸取2次，求恰有1红球的概率； 19．已知两条直线l 1：x+(1+a)y+a-1=0，l 2：ax+2y+6=0. (1)若l 1∥l 2,求a 的值 (2)若l l ⊥l 2,求a 的值20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50)，[50，60)，⋯，[90，100]后得到如图的频率分 布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数． （3）若从样本中数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．21．知函数f （x ）的定义域是R ，对任意实数x ，y ，均有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），且x ＞0时，f （x ）＞0．（1）证明：f （x ）在R 上是增函数； （2）判断f （x ）的奇偶性，并证明；（3）若f （﹣1）=﹣2．求不等式f （a 2+a ﹣4）＜4的解集．22．在平面直角坐标系中，圆O ： 224x y +=与x 轴的正半轴交于点A ，以A 为圆心的圆A ：()2222x y r -+=（0r >）与圆O 交于B ， C 两点.（1）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ， E ，当直线DE 长最小时，求直线l 的方程；（2）设P 是圆O 上异于B ， C 的任意一点，直线PB 、PC 分别与x 轴交于点M 和N ，问OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C C B A A D A B DB13．101 14．11m -≤≤ 15．(3,32]- 16．17-三、解答题17．（1）证明略；（2）23. 18．（1）1()2P A =（2）3()5P A = 19．（1）1a =； （2）23a =-. 20．（1）a=0.03．（2）850（人）．（3）．21．（1）证明略（2）f （x ）是奇函数，证明略（3）（﹣3，2） 22．（1）20x y +-=（2）是定值，定值为42019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调增区间是（ ） A ．[],0π-B．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．实数满足121x y y x -+⎧⎨≥-⎩…,则3x y +的取值范围为（ ）A ．[]19， B ．[]39，C ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．392⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3．设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）A.()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U B.[)0,+∞ C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 4．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B 等于（ ） A.14B.34C.23D.245．设角的终边经过点，那么（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量13,2a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭v ，1b =v ，且两向量夹120o，则a b -=v v （ ）A ．1B ．3C ．5D ．77．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 19．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm10．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．11．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 12．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+162C ．48D ．16322+ 二、填空题13．将函数sin 232y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6gπ__________.14．设函数()f x22x4=-+和函数()g x ax a1=+-，若对任意[)1x0,∞∈+都有(]2x,1∞∈-使得()()12f xg x=，则实数a的取值范围为______．15．已知圆22:(3)(4)1C x y-+-=和两点(,0)A m-，(,0)B m(0)m>，若圆C上存在点P使得090APB∠=，则m的最大值为__________．16．已知向量ar、br满足：3a=r，4b=r，41a b+=r r，则a b-=r r_________.三、解答题17．使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式，某超市通过统计发现一周内超市每天的净利润y(万元)与每天使用支付宝和微信支付的人数x(千人)具有线性相关关系，并得到最近一周,x y的7组数据如下表，并依此作为决策依据.(1)作出散点图，并求出回归方程y a bx=+(a，b精确到0.01)；(2)超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总奖金7万元.根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加7千人，试决策超市是否有必要开展抽奖活动？(3)超市管理层决定:从周一到周日，若第二天的净利润比前一天增长超过两成，则对全体员工进行奖励，在(Ⅱ)的决策下，求全体员工连续两天获得奖励的概率.参考数据:7213951iix==∑，7213340iiy==∑，713544i iix y==∑，71()()324i iix x y y=--=∑.参考公式：y bx a=+$$$，1122211()()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y n x ybx x x n x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y b x=-⋅$.18．已知函数()2xf x a b=⋅+的图象过点351,,2,23A B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求函数()y f x=解析式；()2若()()()22log21logxF x f x=--，求使得()0F x≤成立的x的取值范围．19．求过点(2,4)且与圆22(1)(2)1x y-+-=相切的直线方程.20．已知4a=r，2b=r，且ar与br的夹角为120o.（1）求a b +r r；（2）若()()ka b a kb -⊥+r r r r，求实数k 的值.21．说明：请考生在（A ）、（B ）两个小题中任选一题作答。
〖精选4套试卷〗山东省济南市2020年高一(上)数学期末经典模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A.22 B.2 C.2D.32 2．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）A.8B.9C.10D.73．函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）A.12B.22C.23D.324．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈，则2020S =（ ）A ．202021-B ．1010323⨯-C ．1010321⨯-D ．1010322⨯-5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A.(),1-∞B.12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C.13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D.14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．已知集合 ，则 A ．B ．C ．D ．7．要得到函数cos2y x =的图象，只需要把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度8．函数f （x ）=2122x xcosx ---的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m ），则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A ．32,3m m ππ B ．323,44m m ππ C ．32,4m m ππD ．323,34m m ππ10．已知函数()f x 的定义域为(,0]-∞，若2log ,0()()4,0x x g x f x x x >⎧=⎨+≤⎩是奇函数，则(2)f -=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．711．已知()2,1a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A.22 C.55 12．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ） A ．58 B ．88C ．143D ．176二、填空题13．若函数()sin 2cos2f x x a x =+，x ∈R 的图像关于6x π=-对称，则a =________．14．记函数()26f x x x =+-的定义域为D ,在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是________．15．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2，则ω＝________.16．若幂函数()()22233m m f x m m x--=-+⋅的图象不过原点，则m 的值为___．三、解答题17．已知函数f （x ）=()()()33133(1)a x x a x x --≥⎧⎪-++<⎨⎪⎩（x ∈R ）．（1）证明：当a ＞3时，f （x ）在R 上是减函数； （2）若函数f （x ）存在两个零点，求a 的取值范围． 18．已知函数21()cos sin cos 2f x x x x =--(1)求函数()f x 的最小正周期和()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域；(2)若32()f α=，求sin 4α的值 19．已知函数1()3x f x a =+的图像过点31(0,)A -. （1）求a 的值；（2）证明：函数()y f x =的图像关于点13(,)26M 对称； （3）求(4)(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f -+-+-+-++++++的值. 20．下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A 同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B 同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将,A B 两同学的成绩（对应于图中,A B 两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0.8222γ=，回归直线l （如图所示）的方程为0.500618.68y x =+. （1）若不剔除,A B 两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x 与物理成绩()y 的相关系数为0γ，回归直线为0l ，试分析0γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线0l 的大致位置； （2）如果B 同学参加了这次物理考试，估计B 同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的C 同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式i i X XZ s-=统一化成标准分再进行比较，其中i X 为学科原始分，X 为学科平均分，s 为学科标准差）．21．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)[)[)90,100,100,110,,140,150L 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[)120130,内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130,内的概率． 22．已知函数()(),f x x x a bx a b R =-+∈.（1）当1b =-时，函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的值； （2）当1b =时，①若对任意[]1,3x ∈，恒有()21f x x x≤+，求a 的取值范围； ②若0a >，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值().g a【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B B C D C A C D AB13．3- 14．5915．34 16．1或2三、解答题17．（1）略；（2）()0,3 18．（1）略；（2）72519．（1）3a =（2）略（3）53320．（1）0γγ<，理由略（2）81（3）C 21．(1) 0.3，直方图略；(2)121；(3) .22．(1)1a =±；(2)①.022a ≤≤.()262,0435,(1),4353,422, 3.a a a g a a a a ⎧-<<⎪+⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.2D.32．设α，β为两个平面，则能断定α∥β的条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α，β平行于同一条直线 C ．α，β垂直于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面3．在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为A.B.C.D.4．平面直角坐标系xOy 中，角的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O 点逆时针旋转后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ） A.B.C.D.5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－316．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．(55)π+B ．(2025)π+C ．(1010)π+D ．(525)π+7．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则最大角的余弦值为（ ） A ． B ． C ．D ．8．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（ ） A.15B.16C.17D.149．已知3cos()5αβ+=，1sin()63πβ-=，且,αβ均为锐角，则sin()6πα+=（ ） A.82315 B.2415C.83215- D.8215- 10．已知集合{}270A x N x =∈-<，{}2340B x x x =--≤，则A B =I （ ） A.{}1,2,3B.{}0,1,2,3C.72x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭D.702x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭11．已知，，则（ ） A ．或B ．C ．D ．12．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题13．若函数26y x x =+-的定义域为A ，则函数142()xx y x A +=-∈的值域为__________.14．已知函数1()(1)xx f x a a a =->，当[0,)2πθ∈变化时，22(sin )+(1)0f m f m θ-≥恒成立，则实数m 的取值范围是_____________.15．若，则________．16．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.三、解答题17．已知不等式x 2﹣5ax+b ＞0的解集为{x|x ＞4或x ＜1} （1）求实数a ，b 的值； （2）若0＜x ＜1，f （x ）=1a b x x+-，求f （x ）的最小值． 18．已知函数()()2221xx m f x m R --=∈+.（1）当3m =时，判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）当1m >时，判断并证明函数()f x 在R 上的单调性.19．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（2）①建立月总成本y 与月产量x 之间的回归方程；②通过建立的y 关于x 的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001） 附注：①参考数据：101ii x =∑=14.45，101ii y =∑=27.31，1022110ii xx =-∑=0.850，1022110ii yy =-∑=1.042，b r=1.222．②参考公式：相关系数：r=()()1222211ni nni i i i x y nxyx nx y ny ===---∑∑∑．回归方程y =b r x+a r中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b r =1221ni i i n i i x y nxy x nx==--∑∑，a r =y -b r x 20．已知函数()44sin cos 23sin cos 1x x x x f x -+=+，（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.21．已知A(2,0)，B(0,2)，(cos ,sin )C θθ，O 为坐标原点．（1）13AC BC ⋅=-u u u v u u u v ，求sin 2θ的值；（2）若7OA OC +=u u u r u u u r ，且θ∈(－π,0)，求OB uuu r 与OC u u u r的夹角．22．已知集合0{()|,()(1)(1)}M f x x f x f f x ==+g 存在使得成立. （1）判断1()f x x=是否属于M ； （2）判断2()2xf x x =+是否属于M ；（3）若22()x af x eM +=∈，求实数a的取值范围.【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A B C A D C A B BC13．[1,48]- 14．11m -≤≤ 15． 166米 三、解答题17．（1）1,4a b ==；（2）9. 18．（1）略；（2）略.19．（1）略；（2）① 1.22206ˆ.95yx =+；②3.385万元． 20．（1）最小正周期π；对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（2）单增区间是[0,3π]，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．（1）59-；（2）56π22．（1）f(x)∉M；（2）f(x)∈M；（3）(,12-∞--.2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和()214n na S +=，那么（ ）A.此数列一定是等差数列B.此数列一定是等比数列C.此数列不是等差数列，就是等比数列D.以上说法都不正确2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n N ∈恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ） A.{4,5}B.{4}C.{3,4}D.{5,6}3．如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =uuu r （ ）A ．1122AB AC -u u ur u u u rB ．1122AB AC +u u ur u u u rC ．1124AB AC -u u ur u u u rD ．1124AB AC +u u ur u u u r4．己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．25B ．40C ．50D ．455．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间(y 单位：小时)与储存温度(x 单位：)℃满足函数关系( 2.71828kx by ee +==⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C o 时的保鲜时间为120小时，在30C o 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C o 时的保鲜时间为( ) A.30小时B.40小时C.50小时D.80小时6．函数()()22log 4f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],4-∞B.(],2-∞C.(]2,4-D.(]2,2- 7．已知cos 212sin()4απα=+，则sin 2α的值是( )A ．78 B ．78-C ．47D ．47-8．若函数2()ln(1cos sin )f x m x x =+-的图像关于原点对称，则m =（ ） A ．0B ．1C ．eD ．1e9．若函数()()122f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于( ) A.12 B.1或3 C.3 D.410．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26B ．36C ．23D ．2211．已知等比数列中，，，则该数列的公比为 A ．2B ．1C ．D ．12．已知函数()()sin (,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是( )A ．()()2sin 6f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭B ．()()2sin 26f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C ．()()2sin 3f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D ．()()2sin 23f x x x R ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知()2,02,0x x f x x x ≥⎧⎪=-<⎨⎪⎩，若()()324f a f a ->，则a 的取值范围是______．14．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________.15．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________．16．若直线20ax y +-=与圆22(1)1x y -+=相切，则a =__________．三、解答题17．手机支付也称为移动支付(Mobile Payment)，是指允许移动用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后，手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有100个人，把这100个人按照年龄分成5组，然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图. 组数 第l 组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 频数 20 36 30 10 4（1）求x ；（2）从第l ，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第l ，3，4组抽取的人数：（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.18．已知函数()44sin cos 23sin cos 1x x x x f x -+=+，（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间.19．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：其中x 是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润.）20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.21．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，1AB BC ==， PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥PC ．（1）证明：CD ⊥平面PAC ；（2）若PA AD =，求点B 到平面PAC 的距离．22．在上海自贸区的利好刺激下，A 公司开拓国际市场，基本形成了市场规模；自2014年1月以来的第n 个月（2014年1月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量+出口量）分别为n b 、n c 和n a （单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：1n n b a a +=⋅，21n n n c a ba +=+（其中a ，b 为常数，*n N ∈），已知11a =万件，2 1.5a =万件，3 1.875a =万件.（1）求a ，b 的值，并写出1n a +与n a 满足的关系式；（2）证明：n a 逐月递增且控制在2万件内；【参考答案】*** 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A D A C A B C AC A 13．()2,+∞14．6π 15．3(6π)m +16．34三、解答题 17．(1) 0.030x = ；(2) 第1组2人,第3组3人，第4组1人；(3) 415P =18．（1）最小正周期π；对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）单增区间是[0,3π]，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（1）；（2）当产量为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．20．（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）0.4；（Ⅲ）110 21．（1）略（2）2222．（1）11,2a b ==-，21122n n n a a a +=-（2）详略2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．点(2,3),(3,2),A B -直线20ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A.4132a -≤≤ B.12a ≥或43a ≤- C.1423a -≤≤ D.43a ≥或12a ≤- 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A.281盏B.9盏C.6盏D.3盏3．已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（ ）A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)4．如图，多面体1111ABCD A B C D -为正方体，则下面结论正确的是( )A.11A B //B CB.平面11CB D ⊥平面1111A B C DC.平面11CB D //平面1A BDD.异面直线AD 与1CB 所成的角为30o5．已知向量a b r r ，满足3a =r ，4b =r ，14a b +=r r ，则a b r r -=（ ）A ．3B ．5C ．6D ．76．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y ++的最小值为( ) A ．447 B ．275C ．143D ．92 7．函数()()sin f x A x =+ωϕ其中0,2A πϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()f x 图象，则只需将()sin 2g x x =的图象( )A.向右平移3π个长度单位B.向左平移3π个长度单位C.向右平移6π个长度单位D.向左平移6π个长度单位 8．函数32x x xy -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．32B ．23C ．22D ．210．如图所示的程序框图中，输入2x =，则输出的结果是( )A.1B.2C.3D.411．在ABC ∆中，090BAC ∠=，2AB AC ==，E 是边BC 的中点，D 是边AC 上一动点，则AE BD ⋅u u u r u u u r 的取值范围是A.[0,2]B.[2,0]-C.[0,22]D.[22,0]-12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ）A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里 二、填空题13．给出下列结论：①若cos cos αβ=，则2,k k Z απβ=+∈； ②cos3sin3cos3sin3-=-； ③sin cos x x 的对称轴为x=4k π,k Z ∈； ④22cos sin x x -的最小正周期为2π； ⑤.sin cos x x +的值域为1,2⎡⎤⎣⎦；其中正确的序号是__________.14．若直线20ax y +-=与圆22(1)1x y -+=相切，则a =__________．15．已知向量()cos ,sin a θθ=r ，()1,3b =r ，则a b -r r 的最大值为_______. 16．设2()(4)2f x x m x =+-+为偶函数，则实数m 的值为________. 三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =,060BAD ∠=，面PAD ⊥面ABCD ,PAD ∆为等边三角形，O 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面POB ；(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥P EDB -的体积．18．已知向量(2cos ,sin ),(cos ,23)a x x b x x ==v v ，函数()f x a b m =⋅+v v ，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最小值为2.（1）求m 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和. 19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 3cos sin a B b A =. （1）求角B 的大小；（2）若26b =ABC ∆的面积的最大值.20．如图，已知AB ⊥平面, ,//,BCE CD AB BCE ∆是正三角形，2AB BC CD ==.（1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（2）求二面角A DE B --的正切值.21．已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 满足，求数列n b 的前n 项和n T . （3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n 都成立，求λ的取值范围.【参考答案】*** 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B C C D D C B BB C 13．③④⑤ 14．3415．3. 16．4三、解答题17．（1）详略（2）1218．（1）2，,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π. 19．（1）3π；（2）63. 20．（1）证明略；（2）15. 21．（1）；（2）. 22．（1）当时：12n n a -= ；当时：（2）（3）。
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A．①③B．①④⑤
C．②④⑤D．①⑤
14．下列有关实验的操作正确的是
实验
操作
A
配制稀硫酸
先将浓硫酸加入烧杯中，后倒入蒸馏水
B
排水法收集KMnO4分解产生的O2
先熄灭酒精灯，后移出导管
C
浓盐酸与MnO2反应制备纯净Cl2
气体产物先通过浓硫酸，后通过饱和食盐水
①X被氧化 ②X是氧化剂 ③X具有还原性 ④Y2＋是氧化产物 ⑤Y2＋具有还原性 ⑥Y3＋的氧化性比X2＋的氧化性强。其中正确的是
A．②④⑥B．①③④C．②⑤D．①③⑤⑥
10．将2.56gCu和一定量的浓HNO3反应，随着Cu的不断减少，反应生成气体的颜色逐渐变浅，当Cu反应完毕时，共收集到气体1.12L(标准状况)，则反应中消耗HNO3的物质的量为()
B．80 mL 10 mol·L－1盐酸与足量MnO2加热反应，产生Cl2分子数为0.2NA
C．标况下11.2LNO和11.2LO2混合后所得气体分子数为NA
D．KClO3+6HCl=KCl+3Cl2↑+3H2O生成3mol Cl2转移5mol电子
13．离子方程式BaCO3＋2H＋===CO2↑＋H2O＋Ba2＋中的H＋不能代表的物质是()
16．下列物质不属于合金的是()
A．硬铝B．生铁C．铜绿D．青铜
17．下列说法中正确的是(NA为阿伏加德罗常数)
A．标准状况下，1mol SiO2所占体积约为22.4L
B．相同质量的O2和O3含有相同数目的氧原子
C．常温下，11.2L CO2含有分子数为0.5NA
D．2.4g金属镁变成镁离子时失去电子的数目为0.1NA
2019-2020学年高一化学上学期期末模拟试卷
一、单选题
1．已知水的相对分子质量为18，下列说法不正确的是( )
A．水的摩尔质量为18 g/mol
B．1molH2O中含有2 mol H和1molO
C．18 g水约含6.02×1023个H2O
D．标准状态下，22.4L水的物质的量是1mol
2．由二氧化硅制高纯硅的流程如下，下列判断中错误的是()
D．1 mol Ne中含有6.02×1024个电子
6．下列组合不能实现喷泉实验的是
A．NO和水B．CO2和NaOH溶液C．HCl和水D．Cl2和NaOH溶液
7．下列实验操作正确且能达到相应实验目的的是
实验目的
实验操作
A
称取2.0gNaOH固体
先在托盘上各放一张滤纸，然后在右盘上添加2g砝码，左盘上添加NaOH固体
A．0.05molB．1molC．1.05molD．0.13mol
11．下列说法正确的是()
A．氧化还原反应的本质是元素化合价的升降
B．氧化还原反应一定有氧元素参加
C．氧化反应一定先于还原反应
D．发生氧化反应的物质也可能同时发生还原反应
12．设NA为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）
A．标准状况下，1.12 L SO3中含有的质子数目为2NA
A．在过氧化钠与水的反应中,每生成0.1mol氧气,转移电子的数目为0.4NA
B．标准状况下，2.24LCCl4中含氯原子数为0.4NA
C．1.8gNH4+中含有的电子数为1.1NA
D．常温下，23gNO2和N2O4的混合气体含有NA个氧原子
9．常温下，在溶液中可以发生反应：X＋2Y3＋===X2＋＋2Y2＋，有下列解释：
A．①②③④B．②③④①C．②③①④D．③②④①
23．把下列金属投入0.1 mol·L－1盐酸中，能发生反应且反应最剧烈的是()
A．Cu B．Fe C．Mg D．Al
24．能正确表示下列反应的离子方程式是（）
A.氯气通入冷的氢氧化钠溶液中：Cl2+2OH﹣=ClO﹣+Cl﹣+H2O
B
制备Fe（OH）3胶体
向氯化铁饱和溶液中逐滴加入少量NaOH溶液，加热煮沸至液体变为红褐色
C
证明碳酸的酸性强于硅酸
CO2通入Na2SiO3溶液中，析出硅酸沉淀
D
萃取碘水中的碘
将碘水倒入分液漏斗，然后再注入酒精，振荡，静置分层后，下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出
A．AB．BC．CD．D
8．设NA为阿伏加德罗常数的值.下列说法正确的是
4．下列有关物质用途的说法中，不正确的是
A．Cl2用于自来水消毒B．Fe3O4用作红色油漆和涂料
C．NaHCO3用于蒸馒头D．Na2O2用作供氧剂
5．下列叙述中正确的是
A．1 mol任何物质都含有6.02×1023个离子
B．0.012 kg12C中含有约6.02×1023个碳分子
C．1 mol水中含有2 mol氢和1 mol氧
A．SO42—B．HCO3—C．SO32—D．CO32—
20．下列气体是红棕色的是
A．H2B．Cl2C．CO2D．NO2
21．多数合金与组成成分相比较，合金的
A．性能差B．密度大
C．熔点高，硬度小D．熔点低，硬度大
22．一小块金属钠长时间置于空气中，可能有下列现象，这些现象出现的先后顺序是()
①变成白色粉末 ②变暗 ③变成白色固体 ④变成液体
18．下列溶液中的Cl－浓度与150mL 1mol·L－1MgCl2溶液中的Cl－浓度相等的是( )
A.150mL 1mol·L－1NaCl溶液B.75mL 2mol·L－1CaCl2溶液
C.150mL 2mol·L－1KCl溶液D.75mL 1mol·L－1AlCl3溶液
19．某溶液中除Na+外，还含有SO42—、HCO3—、SO32—和CO32—等离子，通入足量Cl2，溶液中离子浓度增大的是()
A．①②③均属于氧化还原反应B．H2和HCl均可循环利用
C．SiO2是一种坚硬难熔的固体D．SiHCl3摩尔质量为135.5 g
3．在某酸性溶液中，能大量共存的离子组是
A．Na+、Mg2+、SO42-、HCO3-B．Na+、Ba2+、Cl-、SO42-
C．Cu2+、Ca2+、Cl-、OH-
D
CCl4萃取碘水中的I2
先从分液漏斗下口放出有机层，后从上口倒出水层
A．AB．BC．CD．D
15．下列有关说法正确的是
A．在酒精灯加热条件下，Na2CO3、NaHCO3固体都能发生分解
B．Fe(OH)3胶体无色、透明，能发生丁达尔现象
C．H2、SO2、CO2三种气体都可用浓硫酸干燥
D．SiO2既能和氢氧化钠溶液反应也能和氢氟酸反应，所以是两性氧化物