第5章控制系统的稳定性
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不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
即 K > 0，30 - K > 0
0 < K < 30,
其稳定的临界值为30。
例11 系统特征方程式为 按稳定要求确定 T 的临界值。 解 劳斯阵列表为
即必须 T > 25 系统才能稳定。
乃奎斯特稳定性判据（预备知识
）
时域判据的弱点： 工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域
判据不能应用； 时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或
则线性系统是稳定的。
设系统闭环传递函数为： 系统闭环特征方程为: 闭环百度文库征根为: 设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：
则系统脉冲响应的拉氏变换为：
得系统的脉冲过渡函数为（响应）
若系统稳定 (1)若 为实数 (2)若 为复数
发散
(3)若特征根为k个实根，r个复数根，
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
第5章控制系统的稳定性
2020年4月22日星期三
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统 正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中 ，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如 负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参 数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动 时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点， 并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可
解辅助方程得:
例 系统特征方程为
判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根 的个数。
练习 系统特征方程为
设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的 范围
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
特征方程为： 系数都为正实数
(2)列劳斯阵列表
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯阵列表的第一列均为正数，
(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶 次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。
(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素， 继续完成劳斯表。
(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:
★★ 控制系统稳定的充分必要条件为：
系统特征方程的根全部具有负实部。系统 特征方程的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭 环传递函数的极点全部具有负实部，或者
说闭环传递函数的极点全部位于平面的S
左半面内。
例 一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
解：系统的闭环传递函数为
系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
(2)列写劳斯阵列表如下:
有两个根位于s 平面的右半平面
练习 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定 具有正实部根的个数。
答案：
系统不稳定,有两个 根具有正实部,即有 两个根位于s平面的 右半平面
劳斯判据的特殊情况
１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不 全为零，这时可用一个很小的正数 来代替这个零， 然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号 ，则系统临界稳定，否则不稳定。
能恢复原来的平衡状态。
5.1 系统稳定性的基本概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。
如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导 ，那么称f（Z）在Z0解析。
如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在 D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。
如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z） 的奇点。
设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连 续正则函数。 设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s) ，或为从原点指向此映射点的向量F(s) 。 在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不 经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映 射曲线LF，也是一封闭曲线。 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s) 将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时 针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决 于系统本身的结构和参数，而与输入无关。
控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振 荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零 初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的 还是发散的。
5.2 系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ， 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情 况。如果当 时，脉冲过渡函数 收敛于系统原平 衡工作点，即下式成立：
二阶系统稳定的充要条件：
，
， 勇于开始，才能找到成
三阶系统稳定的充要条件功的：路
，
，
，
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列的 系数都为 正数，系 统稳定
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。 解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
即 K > 0，30 - K > 0
0 < K < 30,
其稳定的临界值为30。
例11 系统特征方程式为 按稳定要求确定 T 的临界值。 解 劳斯阵列表为
即必须 T > 25 系统才能稳定。
乃奎斯特稳定性判据（预备知识
）
时域判据的弱点： 工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域
判据不能应用； 时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或
则线性系统是稳定的。
设系统闭环传递函数为： 系统闭环特征方程为: 闭环百度文库征根为: 设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：
则系统脉冲响应的拉氏变换为：
得系统的脉冲过渡函数为（响应）
若系统稳定 (1)若 为实数 (2)若 为复数
发散
(3)若特征根为k个实根，r个复数根，
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
第5章控制系统的稳定性
2020年4月22日星期三
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统 正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中 ，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如 负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参 数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动 时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点， 并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可
解辅助方程得:
例 系统特征方程为
判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根 的个数。
练习 系统特征方程为
设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的 范围
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
特征方程为： 系数都为正实数
(2)列劳斯阵列表
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯阵列表的第一列均为正数，
(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶 次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。
(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素， 继续完成劳斯表。
(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:
★★ 控制系统稳定的充分必要条件为：
系统特征方程的根全部具有负实部。系统 特征方程的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭 环传递函数的极点全部具有负实部，或者
说闭环传递函数的极点全部位于平面的S
左半面内。
例 一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
解：系统的闭环传递函数为
系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
(2)列写劳斯阵列表如下:
有两个根位于s 平面的右半平面
练习 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定 具有正实部根的个数。
答案：
系统不稳定,有两个 根具有正实部,即有 两个根位于s平面的 右半平面
劳斯判据的特殊情况
１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不 全为零，这时可用一个很小的正数 来代替这个零， 然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号 ，则系统临界稳定，否则不稳定。
能恢复原来的平衡状态。
5.1 系统稳定性的基本概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。
如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导 ，那么称f（Z）在Z0解析。
如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在 D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。
如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z） 的奇点。
设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连 续正则函数。 设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s) ，或为从原点指向此映射点的向量F(s) 。 在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不 经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映 射曲线LF，也是一封闭曲线。 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s) 将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时 针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决 于系统本身的结构和参数，而与输入无关。
控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振 荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零 初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的 还是发散的。
5.2 系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ， 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情 况。如果当 时，脉冲过渡函数 收敛于系统原平 衡工作点，即下式成立：
二阶系统稳定的充要条件：
，
， 勇于开始，才能找到成
三阶系统稳定的充要条件功的：路
，
，
，
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列的 系数都为 正数，系 统稳定
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。 解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。