圆孔孔边应力集中
含界面圆孔双材料矩形板孔边应力集中分析
含界面圆孔双材料矩形板孔边应力集中分析作者姓名：xx指导教师：xxx单位名称：xxxx专业名称：xxxxxxx 大学201x年6月Stress Concentration Analysis of Double Material Rectangular Plate with Round HoleBy xxSupervisor: xxxxxxxxxJune 201x东北大学毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）任务书毕业设计（论文）题目：含界面圆孔双材料矩形板孔边应力集中分析设计(论文)的基本内容：研究工作主要应用大型有限元软件ABAQUS进行仿真分析，本文主要做了如下工作:(1) 两种材料的材料常数对板中心圆孔应力集中的影响，分别研究了杨氏模量和泊松比对孔边应力集中的影响。
(2) 孔形状的改变对孔边应力集中的影响。
(3) 板的尺寸对圆孔应力集中的影响，主要研究了板的厚度、板的宽度和中心圆孔的大小之间的关系。
(4) 翻译一篇外文文献。
毕业设计（论文）专题部分：题目：设计或论文专题的基本内容：学生接受毕业设计（论文）题目日期2014—2015学年第一学期第20周指导教师签字：2015年1月23日- i -东北大学毕业设计（论文）摘要含界面圆孔双材料矩形板孔边应力集中分析摘要随着现代工程对工程材料要求的不断提高，越来越多的新材料被采用，结合材料作为新材料的一种越来越广泛地应用于工程的各个领域。
工程中结合材料在结合面经常需要穿孔，孔边会出现应力集中或应力奇异性。
其中圆孔最常见，所以分析含圆孔板的力学行为很有意义。
本文主要研究内容是对双材料矩形板孔边应力集中分析。
首先，本文采用的是大型通用有限元软件ABAQUS，分析了材料常数对圆孔孔边应力集中的影响。
材料的泊松比相同时，圆孔孔边应力集中系数随杨氏模量差值的增大而增大。
材料的杨氏模量相同时，圆孔孔边应力集中系数随泊松比差值的增大而增大。
其次，分析了孔形状改变对孔边应力集中的影响。
圆形孔洞下应力集中的实验研究
鑫霎Ⅵ渊剥黼圆形孔洞下应力集中的实验研究肖珊1王丽华2(1．江西医学院上饶分院江西上饶3340002．江西科技师范学院江西南昌330013)[摘要]运用材料力学、弹性力学的基本原理和电测法，通过测量有圆形孔洞板圆孔周围的应力，分析圆孔周围应力集中规律；通过单纯受拉或纯弯时的情况分析、讨论叠加原理在处理应力集中问题时的具体应用方法。
[关键词]应力集中应力分布中图分类号：031文献标识码：A文章编号：1671--7597(2008)1010002--02一、前言在整个力学结构中，圆孔、凹口、圆角等是整个系统的应力集中因素，在孔、圆孔、凹口、圆角等附近存在应力集中，应力集中是引起构件破坏的主要因素，系统在这些因素和材料疲劳的共同作用下，造成断裂和破坏的机会很大，在设计的过程中把这些因素考虑进去是十分必要的。
构件中产生应力集中的原因主要有：(1)截面的急剧变化。
如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等：(2)受集中力作用。
如：齿轮轮齿之间的接触点，火车军轮与钢轨的接触点等；(3)材料本身的不连续性。
如材料中的夹杂、气孔等：(4)构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹；(5)构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷D H I、热处理、焊接等而引起的残余应力。
这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中；(6)构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。
应力集中系数可以方便地描述构件的应力集中状态。
应力集中系数可采用数学方法或实验方法求得。
实验方法有：弹性法，精密应变仪测量法，扭转薄膜比拟法，扭转电比拟法。
当实验具有足够的精度时，所得结果与理论应力集中系数非常符合。
本实验研究采用电测法，主要研究有圆形孔洞板的应力集中分布趋势。
二、研究模型和理论分析(一)圆孔边缘附近的应力以有圆形孔洞拉伸和弯曲板为研究模型，根据弹性力学理论，可以求得圆孔近的应力分布情况，圆孔附近A点(图I)的应力为：盱i O-‘|广a2渤+[z等一s爿cos41盯，=罢l z+s詈；cos28-(z詈；一s罟]c。
加工硬化引起的圆孔边应力集中数值分析
其 弹 性 模 量 为 Ｅ ，泊松 比 为 ｖ，板 的 左 右 两 边 受 均布 拉 力 作用 。
个 环状 的硬 化 层 。
２ 有 限元模型
由于 结 构 具 有对 称 性 ，所 以取 四 分 之 一 模 型 运 用 有 限 元 分 析 软 件 ＭＳ Ｐ ｔ ｎ Ｃ．ａ ａ ＆Ｎａｔ ｎ进 行 数 ｒ ｓａ ｒ
作者 簧介：卞步喜 （９２ １７ 一），男，讲 师 ，主要从事界面 力学 与工程研 究的工作 。
【 ６ 第３ 卷 ５】 ３ 第５ 期 ２１— （ ） ０ １ ５下
务Ｉ
匐 化
（ 整 体 的 网格 划 分 ａ ）
ｒａ ／
图４ ＂９ 。时硬化层附近 的数值解 与Ｋｉｃ 解 的比较 ０－ ０ ｒｈ ｓ
务１ 甸 似
加工硬化 引起 的圆孔 边应 力集 中数 值分析
Ｎ ｕｍ ｅｒｃａｌａｎａｌ ｉ ｙｓｉ ｒ ｓ ｃｏｎｃｅｎｔ ａｔ ｏｎ ａｔｃｉｃｕｌ ｓ ｏｆｓｔ ｅｓ ｒ ｉ ｒ ａｒ ｈｏｌ ｅ ｅｄｇｅ ｃｏｎｓｉ ｄｅｒｎｇ ｉ
ｗ ｏｒ ｈａｒ ｋ－ ｄｅｎｉ ｎｇ
ｑ＝ １ ａ ＭＰ ，板 的材 料为 Ｑ ３ ，其 弹性 常数 Ｅ ＝ ２ ５钢 ｌ
硬 化 层 内的 材 料 性 质 会 发 生 明 显 变 化 ，其 硬
度 和 弹性 模 量 均 显 著 增 大 ，这 势 必 会 改 变 孔 口附
近 的应力分布 ，影响孔边 的应力 集中程 度。数值 分 析 结 果 表 明 嘲，考 虑 钻 孔 引起 的 加 工 硬 化 可 提
高 钻 孔 法 的 测 量 精 度 。为 此 ，本 文 运 用 数 值 分 析 软 件 ＭＳ Ｐ ｔ ｎ Ｃ．ａ ａ ＆Ｎａｔ ｎ对 一 大 板 中钻 一 小 圆孔 ｒ ｓａ ｒ
不同板宽的孔边的应力集中问题
不同板宽的孔边的应力集中问题1 选题目的：对于如图所示的平面圆孔的孔边问题，通过数值实验的方法研究不同板宽的孔边应力集中问题，与弹性力学的解析解进行比较。
给出应力集中系数与相对孔径尺度的关系。
图一 不同板宽的孔边的应力集中问题2 背景：就无限大板宽的孔边应力集中问题，有以下弹性力学的解析解：004020002020040020020200200390)2321(90y )31)(1(2sin 2)31(2cos 2)1(2)31)(1(2cos 2)1(2422242222q R r rR rR q rR rR q rR q rR q rR rR q rR q r r r ===++==+--==+-+=--+-=），（）（分布：轴上有在孔边的θσθσσθττθσθσθθθθθθ3 数值分析我们定义板宽和孔径的相对尺度的特征参数： 0R B=ξ进行研究，具体取值如表：结果如图：图2 30=ξ时的应力分布R B =ξ30 24 20 10 6图3 24=ξ时的应力分布图4 20=ξ时的应力分布图5 10=ξ时的应力分布图6 6=ξ时的应力分布4 应力集中系数如表：5 在matlab 中划出曲线：0R B =ξ30 24 20 10 6 0maxq k σ=3.0143.0323.0783.2134.0806 结论 随着0R B =ξ增大，k 值减小。
圆孔孔边的应力集中分析及优化
圆孔孔边的应力集中分析及优化一、引言A. 研究背景B. 研究意义C. 研究目的二、圆孔孔边应力集中分析A. 圆孔孔边的问题描述B. 应力场分析C. 应力集中因子计算D. 应力分布图分析E. 结果讨论三、圆孔孔边应力集中优化方案A. 传统优化方法B. 拓扑优化方法C. 优化结果分析比较D. 结论四、拓扑优化求解流程A. 模型准备B. 拓扑优化流程C. 拓扑优化结果分析D. 求解流程总结五、应用案例分析A. 案例背景描述B. 拓扑优化方案设计C. 优化效果分析D. 案例结果总结六、结论A. 研究回顾B. 拓扑优化的优势C. 展望未来研究方向D. 实用意义第一章：引言A. 研究背景圆孔孔边的应力集中问题一直是工程界关注的热点问题之一。
在实际工程中，许多机械零件或结构都包含圆孔，它们的设计和材料选择对工程的可靠性和安全性产生了直接影响。
因此，深入研究圆孔孔边的应力集中分析是十分必要的。
B. 研究意义圆孔孔边的应力集中分析在理论和实际工程中都有重要的应用。
从理论上来看，它可以对结构的强度和稳定性进行分析和评价，为工程设计提供参考。
从实际工程上来看，解决圆孔孔边的应力集中问题可以提高结构的可靠性，避免因应力集中导致的零件断裂、材料疲劳等问题，从而提高工程的安全性和稳定性。
C. 研究目的本文旨在深入探究圆孔孔边的应力集中分析，分析孔边应力集中的原因和特点，提出圆孔孔边应力集中的优化方案，并且通过实际案例分析验证了提出的优化方案的有效性和实用性。
第二章：圆孔孔边应力集中分析A. 圆孔孔边的问题描述圆孔孔边应力集中的问题，在工程实践中是很常见的。
当受力于孔周时，应力将会集中于孔周附近，这会导致零件或结构的强度和稳定性受到影响。
因此，了解圆孔孔边应力集中的原因和特点，对于实际工程还是非常有意义的。
B. 应力场分析对于圆孔孔边应力集中，可以采用弹性力学理论来描述应力场的分布。
在已知外载荷情况和材料的力学参数的情况下，可以利用拉普拉斯方程和应力边界条件来求解圆孔孔边的应力场分布。
弹性力学-第四章-2
可以假设应力函数为：
( , ) f ( ) cos 2
满足相容方程求f(）
( , ) f ( ) cos2
代Φ入相 容方程
1 1 2 2 2 0
2 2 2 2 2
2 1 1 2 d 2 f ( ) 1 df ( ) 4 f ( ) 2 2 ( 2 2 )cos 2 0 2 d d
r2
2
), q(1
r2
2
), 0
对 比
q q 1 2 令： q 2
代 入
基 本 解 答 一
q1 q2 r2 (1 2 ), 2
q1 q2 r2 (1 2 ), 2
0
r2 r2 σ ρ q cos 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ r4 σ φ q cos 2φ(1 3 4 ) ρ τ ρφ r2 r2 q sin 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ
e 因为，
t
D f ( ρ) Aρ Bρ C 2 ρ
4 2
2Φ 1 Φ 1 2Φ σρ 2 2 , 2 y 0 ρ ρ ρ 2Φ 2Φ σ 2 2 , x 0 ρ τ ρ
max 4q
3r , 90
1.04q
max K 4
(4-18)
应力集中系数
二、基本解答的应用
解决方法：利用 叠加原理，将荷 载分解为两部分 (1)双 向受拉
＝
＋
(2)一对 边受拉， 另一对 边受压
不同板宽的孔边应力集中问题
不同板宽的孔边应力集中问题摘要：应用ANSYS数值模拟的方法（二维和三维）研究了含圆孔有限宽度薄板孔边应力集中问题，分析表明：平板圆孔应力集中系数的收敛性与网格划分的密度有关；应力集中系数与宽径比及长宽比有关；三维状态的内部的应力集中比二维强烈。
关键词：平面圆孔；应力集中；ANSYS；三维有限元1.引言设受力弹性体具有小孔，则孔边应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。
这种现象称为孔边应力集中。
孔边应力集中是局部现象，不是由于截面减小了一些而应力有所增大，而是由于开孔后发生的应力扰动所引起的。
圆孔孔边的应力可以用较简单的数学工具进行分析。
图1 平板圆[]孔如图1所示的具有小圆孔的平板，对于无限大板宽的孔边应力集中问题，有以下弹性力学解析解：在孔边的y轴上有分布：然而，实际工程上所涉及的主要是有限板宽的孔边应力集中问题，以上解析解能否适用及适用条件还值得研究。
本文就图1所示有限板宽的孔边应力集中问题，通过ANSYS软件计算其应力分布情况，采用二维模型，讨论在选取合适的网格情况下，不同的长宽比的应力集中系数变化规律及其与宽径比的关系；然后采用三维模型计算分析，与二维模型计算结果进行比较。
2.计算模型由于图1所示矩形薄板几何荷载的对称性，可选用1/4薄板作为有限元模型，坐标原点位于圆孔中心，圆孔半径R=5cm为定值，取不同的宽度和长度进行比较。
分析中采用八节点实体单元PLANE82，单元属性设置为Plane stress w/thk，弹性模量和泊松比分别为200GPa和0.3，边界条件为x=0，UX=0；y=0，UY=0。
在板远端作用有沿x轴方向的q0=1MPa的均匀分布拉力。
为了便于分析比较，定义宽径比，应力集中系数，长宽比，网格划分密度（ =1时为初始网格密度，如图2所示；当 =2时，表示网格密度为初始的网格密度的2倍）。
划分的模型如图2所示。
图2 平板圆孔网格模型（网格密度 =1，长宽比 =5，宽径比 =6）3.数值模拟在同样的材料以及同样的荷载作用下，应力集中系数不仅与宽径比有关，还与网格密度以及长宽比有关。
第4章 第8讲 - 圆孔的孔口应力集中
第四章平面问题的极坐标解答第8讲圆孔的孔口应力集中1在许多工程结构中，常常根据需要设置一些孔口，譬如桥梁、水坝等的泄水孔。
由于开孔，孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力。
这种现象称为孔口应力集中。
本讲我们来研究“小圆孔”的孔口应力集中问题，所谓“小”，即圆孔的直径远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远。
2设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为r 的小圆孔。
坐标原点取在圆孔的中心，直角坐标轴平行于板边。
我们首先来求解两种基本荷载形式下薄板内的应力分布。
3O xyr第一种基本荷载形式：矩形薄板四边受集度为q 的均布拉力。
就薄板的边界条件而论，宜用直角坐标；就圆孔的边界条件而论，宜用极坐标。
因为我们主要考察圆孔附近的应力，所以用极坐标求解，从而需要首先将薄板的直边界“改造”为圆边界。
4O x yrq qqq5为此，我们以坐标原点为圆心，以远大于r 的某一长度R 为半径，做一个大圆。
那么在大圆周上，其应力情况当与无孔时相同，即, 0, x y xy q q 代入第3 讲得到的应力分量由直角坐标向极坐标的变换式2222cos sin sin ()sin (co 2cos cos sin )s x yxy y x xyOx yrRq qqqq6, 0q 得大圆周上的极坐标应力分量为从而原来的问题成为这样一个新问题：内半径为r 而外半径为R 的圆环，内边界自由，而外边界上受均布拉力q 。
为得到该问题的解，只需在第6 讲圆环受均布压力的拉梅解答中令120, q q qOx yrRq qqq8第二种基本荷载形式。
矩形薄板在左右两边受均布拉力q ，在上下两边受均布压力q 。
经过与前述相同的处理和分析，可知在大圆周处，应力情况当与无孔时相同，也就是,, 0.x yxy q q Ox yrRq qqq同样，代入第3 讲得到的应力分量由直角坐标向极坐标的变换式2222cos sin sin ()sin (co 2cos cos sin )s x yxy y x xy922co sin co s s 2Rq q qcos sin 2in 2s R q q可知此时大圆周上的极坐标应力分量为Ox yrR于是，原问题成为一个具有如下边界条件的圆环问题：0,0;r rcos 2,sin 2.RR q q 由于圆环外边界的应力边界条件与极角 有关，所以这不再是轴对称应力问题，无法引用第5 讲轴对称应力的一般性解答。
圆孔的孔边应力集中.
( 4 19)简化为 : r
2
qo
3qo qo 3qo o x
-qo
qo y
qo
0 0
2 2
(1 cos 2 ) (1 cos 2 ) 2 sin 2
r
(3)孔边应力分布如图
0
a由叠加法可求： q2 = q1
q1 q 2 2 q1 q 2 2
由上二式，可看出：
f (r ) cos2
（c）
(B)检查是否满足（4-6），并求待定函数： 将（c）代入（4-6），得：
d 4 f (r ) 2 d 3 f (r ) 9 d 2 f (r ) 9 df (r ) 2 3 cos 2 0 4 3 2 r dr r dr r dr dr
( D).检查 是否满足应力边界 , 并求待定常数
内边界 r a 4c 6 D r |r a 0 2 B 2 4 0 a a 2c 6 D 2 r |r a 0 6 Aa 2 B 2 4 0 a a
外边界 r b
用t ln r还原 : 通解 : f (r ) Ar 4 Br 2 c Dr 2 A, B, C , D为任意常数 . ( Ar 4 Br 2 c Dr 2 ) cos 2
(c) 由（4-5）式，求应力分量：
4c D r (2 B r 2 r 4 ) cos 2 D 2 (12Ar 2 B 4 ) cos 2 r r (Ar 2 2 B 2c D ) sin 2 r2 r4
有限宽中心圆孔板应力集中系数数值实验
有限宽中心圆孔板应力集中系数数值实验冯美生，张红珠辽宁工程技术大学力学与工程科学系，辽宁阜新 （123000）摘 要：在anays 平台上，采用有限元方法对拉伸有限宽中心圆孔板应力集中问题进行了数值实验，定义了应力集中的特征参数，定量分析特征尺度的变化规律，研究应力集中系数与孔径尺度的关系见图3，并与解析解比较，给出了解析解的适用范围。
关键词: 应力集中，应力集中系数，圆孔，特征尺度，数值实验1 引言受力的弹性平面板具有小孔，则孔边的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，这种现象称为孔边应力集中。
应力集中现象是局部现象。
在几倍于孔径以外，应力几乎不受孔的影响，应力的分布情况以及数值都与无孔时相同。
一般来说，集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，就是说应力随着与孔的距离增大而越快的趋进于无孔时的应力。
应力集中的程度，首先与孔的形状有关，一般来说，圆孔孔边的集中程度最低。
另外集中系数还与相对孔径尺度有关。
基于ansys 平台，通过数值试验的方法，研究不同板宽，不同孔径时的孔边应力集中问题，并与弹性力学的解析解进行比较，研究应力集中系数与孔径尺度的关系。
2 实例分析2.1力学模型及假设如图1所示，平面带孔平板，孔位于板正中，假设板为各向同性完全弹性，板左端固定，右端受均布荷载q 0=10N/mm 作用，长为200mm ，厚为10mm ，泊松比为0.3，E=2.1×1011Pa,板宽和孔径变化，数值实验其应力集中时的特征参数。
定义一个描述板宽与孔径的相对尺度的特征参数，0B R ε=，定义应力集中系数max 0k q σ=，其中B 为板宽，R 0为孔半径，max σ为孔边最大应力，q 0为均布荷载。
2.2数值实验在ansys 平台上变化各种ε值，计算相应的k 值，进行相应的数值研究。
整个过程采用APDL 语言[1]，基于命令流进行参数化处理。
正式试验前，已经用固定板宽和固定孔径的有限元模型在ansys 上进行了严格的精度计算和收敛性效验，网格划分的精度足够高，误差小于1％。
钢板开孔后应力集中现象
钢板开孔后应力集中现象引言：钢板开孔是工程中常见的一种加工方式，通过在钢板上钻孔、切割或冲压等方法，来满足特定的设计要求。
然而，在钢板开孔后，我们需要注意到一个重要的问题，即应力集中现象。
本文将对钢板开孔后应力集中现象进行探讨，以及其对结构强度和稳定性的影响。
一、应力集中的原因钢板开孔后，周围的材料会发生应力重分布。
在开孔边缘附近，由于材料的完整性被破坏，导致应力集中。
应力集中的原因主要包括以下几个方面：1. 几何因素：开孔的形状和尺寸会对应力集中程度产生影响。
一般来说，孔径越大、孔边角越尖锐，应力集中效应越明显。
2. 材料性质：不同的材料具有不同的应力集中特性。
硬度大、韧性差的材料在开孔后应力集中现象更为明显。
3. 载荷作用：外界的载荷作用也会影响应力集中。
在开孔处施加不均匀的载荷，会导致应力集中的程度加剧。
二、应力集中的影响应力集中现象会对结构的强度和稳定性产生不利影响，具体体现在以下几个方面：1. 强度下降：应力集中会导致局部应力超过材料的屈服强度，造成局部形变甚至破裂。
这将降低结构的整体强度，影响其承载能力。
2. 疲劳寿命减少：应力集中还会加速材料的疲劳破坏过程。
在开孔处，应力集中会导致应力集中因子增大，从而加速疲劳裂纹的形成和扩展，降低结构的疲劳寿命。
3. 塑性变形：在应力集中区域，材料容易出现塑性变形。
这将导致结构的变形不均匀，进而影响其稳定性和工作性能。
三、应对应力集中的方法为了减轻钢板开孔后的应力集中现象，可以采取以下几种方法：1. 增加开孔的半径：通过增加开孔的半径，可以减小应力集中的程度。
这样可以提高结构的强度和稳定性。
2. 使用圆形孔：相对于其他形状的孔，圆形孔的应力集中效应较小。
因此，在设计中尽可能选择圆形孔，以减轻应力集中现象。
3. 使用合适的材料：选择合适的材料也可以减轻应力集中现象。
一般来说，具有良好韧性和高强度的材料对应力集中的抵抗能力更强。
4. 优化结构：通过优化结构设计，可以减少应力集中的发生。
第四章 圆孔的孔边应力集中
E,
接触条件
1. 非完全接触（光滑接触）
R R
R
0
R
u R u R
复习-压力隧洞
2.完全接触：
接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为:
应力：
R R R R
σφ
q(1
r2 ρ2
)
q cos 2φ(1
3
r4 ρ4
),
τ
ρφ
q
sin
2φ(1
r2 ρ2
)(1
3
r2 ρ2
)。
孔边只有环向正应力 σφ 2q 4q cos 2φ
p2
sin
2 1
r2
2
1 3
r2
2
4－8 圆孔的孔口应力集中
特例：单向受拉板（长柱体）令q1=q, q2= 0
σρ
q 2
(1
r2 ρ2
)
q 2
cos 2 (1
r2 ρ2
)(1 3
r2 ρ2
),
σ
q (1 2
r2 ρ2
)
q 2
cos
0
d
做Euler变换： 设 et或t ln
f f et
df df dt 1 df
d dt d dt
d2 f
d 2
1
2
d2 f
...
4－8 圆孔的孔口应力集中
d4 f dt 4
4
d3 dt
f et C1e4t C2e2t C3 C4e2t
圆形孔洞下应力集中的实验研究
圆形孔洞下应力集中的实验研究作者：肖珊王丽华来源：《硅谷》2008年第19期[摘要]运用材料力学、弹性力学的基本原理和电测法，通过测量有圆形孔洞板圆孔周围的应力，分析圆孔周围应力集中规律；通过单纯受拉或纯弯时的情况分析、讨论叠加原理在处理应力集中问题时的具体应用方法。
[关键词]应力集中应力分布中图分类号：O31 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)1010002－02一、前言在整个力学结构中，圆孔、凹口、圆角等是整个系统的应力集中因素，在孔、圆孔、凹口、圆角等附近存在应力集中，应力集中是引起构件破坏的主要因素，系统在这些因素和材料疲劳的共同作用下，造成断裂和破坏的机会很大，在设计的过程中把这些因素考虑进去是十分必要的。
构件中产生应力集中的原因主要有：（1）截面的急剧变化。
如：构件中的油孔、键槽、缺口、台阶等；（2）受集中力作用。
如：齿轮轮齿之间的接触点，火车车轮与钢轨的接触点等；（3）材料本身的不连续性。
如材料中的夹杂、气孔等；（4）构件中由于装配、焊接、冷加工、磨削等而产生的裂纹；（5）构件在制造或装配过程中，由于强拉伸、冷加工、热处理、焊接等而引起的残余应力。
这些残余应力叠加上工作应力后，有可能出现较大的应力集中；（6）构件在加工或运输中的意外碰伤和刮痕。
应力集中系数可以方便地描述构件的应力集中状态。
应力集中系数可采用数学方法或实验方法求得。
实验方法有：弹性法，精密应变仪测量法，扭转薄膜比拟法，扭转电比拟法。
当实验具有足够的精度时，所得结果与理论应力集中系数非常符合。
本实验研究采用电测法，主要研究有圆形孔洞板的应力集中分布趋势。
二、研究模型和理论分析（一）圆孔边缘附近的应力以有圆形孔洞拉伸和弯曲板为研究模型，根据弹性力学理论，可以求得圆孔近的应力分布情况，圆孔附近A点（图1）的应力为：式中为圆孔的半径。
由（1）式可见，在孔边处，（二）应力集中系数工程上用应力集中系数来表示应力集中的程度。
第四章(8)圆孔应力集中1
q 3a 4 2a 2 (1 4 2 ) sin 2 2
四 . 讨论圆孔边的应力场
1 . 由应力分量公式
q a2 q a2 a4 (1 2 ) (1 4 2 3 4 ) cos 2 2 2
q a2 q a4 (1 2 ) (1 3 4 ) cos 2 2 2
q a2 a 4 （ cos 2[1 4 2 3( ) ] ） 2 b
q a2 a2 sin 2 (1 2 )(1 3 2 )（ 2
q a2 a 4 sin 2[1 2 2 3( ) ] ） 2 b
| a 0 | a 0
q cos 2 2
q sin 2 2
6 Aa 2 2 B
2c 6 D 4 0 2 a a 4c 6 D 2B 2 4 0 a a
（ 1） （ 2）
外边界（ρ= b）
q | b cos 2 2 q | b sin 2 2
(2 B
4C
2
6D
4
) cos 2
4
(12 A 2 2 B (6 A 2 2 B
6D
2
) cos 2 6D
2C
4
) sin 2
4）. 检查｛σ ｝是否满足应力边界条件，并求待定常数 内边界（ρ= a）
2
问题1 r 问题2 r
b
b
q 2
q q sin 2 cos 2 2 2
q
三 . 问题的求解 ：
§4-8_圆孔的孔口应力集中
删去因子cos 2������以后，得
f ( ) 2
f ( )
9
2
f ( )
9
3
f ( ) 0
方程两边同乘以ρ4 ，得
4 f ( ) 2 3 f ( ) 9 2 f ( ) 9 f ( ) 0
（4-7）
R
=qcos 2 q sin 2 q cos 2 a -2 q sin cos q sin 2 R
1
而这也是外界上的边界条件。在孔边，边界条件是
由边界条件，假设
r
=0，
������ ������
R, q, 0。
且 R＞＞r，得应力解答
（4-14）
既然 R 远大于 r，可以取 = 0，从而得到解答 2、带小圆孔的矩形板，x,y 向分别受拉压力
q(1
r2
), q(1 2
r2
2
), 0
(a )
2
2
1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ 0
2
2 1 1 2 1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ 0 2 2 2 1 2 1 4 1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ + f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ 2 + 1 2 1 4 f ( ) f ( ) 2 f ( ρ) cos 2υ =0 2 2
弹性力学14-圆孔的孔口应力集中
q , q , 0
R q cos 2 , R q sin 2
在孔边处的边界条件为（内边界条件）
r 0 , r 0
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称 应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。 （1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式：
f1 ( ) cos 2 或 f 2 ( ) sin 2
（2）代入极坐标中应力分量与应力函数的关系，得应 力函数的一般形式如下：
1 1 2 2 2 2 2 1 ( )
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
小孔口应力集中特点小结及本节内容的推广应用
1.小孔口的应力集中现象（圆孔、非圆孔）共同的特点：
（1）集中性--孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近
应力>>无孔时的应力。 （2）局部性--应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径 范围内。此区域外的应力扰动，一般<5%。
略去应力函数中与应力分布无关的一次式，得到式(4-20)的应 力函数。 (C cos D sin ) 3、由应力函数求应力分量 代入应力分量表达式（4-5），得式（b）。
1 1 2 2 2 ( D cos C sin ) 2 2 2 0 1 ( )0
在 x 轴上，环向正应力在孔边达到最小值 –q ，在 3r 处变为0，即在此段距离内应力变号，成为压应力；此后 ，随着远离孔边而又变为拉应力，并逐渐趋近于0；
第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中
弹性力学1圆孔的孔口应力集中
2
2
由以上应力分量式（b） ，显然是满足的，对待定系数问题 的解决没作用。
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
（2）在原点附近，可以看成是一段小边 界。在此小边界处，有面力的作用，而面力 可以向原点简化为作用于原点的主失量为 F ，主矩为 0 的情形。按照圣维南原理来
进行处理，以点O为中心，以 为半径作圆
对于集中力垂直于边界面的情况，直接令上式中的力作用角
度 为0，可得到其应力解答式 。
2F
p
cos
,
f f 0
第四章 平面问题的极坐标解答 4.9 半平面体在边界上受集中力
2F
p
cos
,
f f 0
代入坐标变换式（4-8），可求出直角坐标系中的应力分量表达
(1
)
第四章 平面问题的极坐标解答
4.8 圆孔的孔口应力集中
（3）将应力函数代入极坐标中的相容方程，并求解常
微分方程（欧拉方程）得应力函数的具体形式：
f ()cos 2
代入相容方程（4-6）
cos
2υ[
d4 f d ρ4
2 ρ
d3 f d ρ3
9 ρ2
第四章 平面问题的极坐标解答
4.9 半平面体在边界上受集中力
将应力分量表达式（含待定常数）带入上述边界方程（第1、2式
），求得待定常数 C 和 D，并带入（b）式；
D F cos , C F sin
p
p
2F
圆孔孔边应力集中
4.8 半无限平面边界上受法向集中力作用的问题一弗拉芒一布辛涅斯克问题没有边界的无限大物体称为无限体。
将它用平面分成两半，每一半就称半无限体。
本节分析的是半无限的弹性平面体在边界上受一法向集中力作用的问题(图4-8)。
这一问题在实际工程问题中会经常遇到，如建筑物地基的应力和沉陷问题等。
最近发展起来的边界元数值计算法也利用这问题的解答。
假定在边界面上沿半无限平面厚度上分布有均匀压力P。
这样，半无限体就处于平面应变状态，单位厚度上分布的压力就可视为集中力P，其量纲为[力×长度-1]解题:如图4-8所示，估计应力呈扇形分布，因此采用极坐标。
为解题方便，取X轴方向向下，y轴方向向右，相应地极坐标r方向向外，θ方向由x轴逆时针旋转。
图4-8半无限平面边界受法间集中力（1）初定应力函数：根据应力的函数形式决定应力函数的形式，而应力的函数形式是根据估计的应力分布情况面定。
本题中估计σr的分布与P ，r ，θ都有关系，与P 成正比，与r 成反比。
故σr 的函数形式估计为)(θσF rPr =（a ） 式中σr 与P ，r 都是一次幂关系，这是因为只有这样，等式两边的量纲才能相等(皆为[力×长度-2])。
列出应力函数与应力分量的关系式，即(4.18)式的第一式22211θϕϕσ∂∂+∂∂=r r r r由此式可见，为使等式两边r 的幂次相等，应力函数中的r 的幂次应当比应力分量中r 的幂次高两次，所以初选应力函数的形式为)(θϕrf = （b ）式中f （θ）可通过双调和方程得到。
将（b ）式代入双调和方程（4.17）式得)(1)(1112222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθθθf r f r r r r r ）（即0)]()(2)([122443=++θθθθθf d f d d f d r （c ）删去因子31r，（c ）式为常系数线性微分方程，其通解为)sin cos (sin cos )(θθθθθθD C B A f +++= （d ）代入（b ）得)]sin cos (sin cos [θθθθθϕD C B A r +++= （e ）式中A ，B ，C ，D ——待定系数，由边界条件决定。
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4.8 半无限平面边界上受法向集中力作用的问题一
弗拉芒一布辛涅斯克问题
没有边界的无限大物体称为无限体。
将它用平面分成两半，每一半就称半无限体。
本节分析的是半无限的弹性平面体在边界上受一法向集中力作用的问题(图4-8)。
这一问题在实际工程问题中会经常遇到，如建筑物地基的应力和沉陷问题等。
最近发展起来的边界元数值计算法也利用这问题的解答。
假定在边界面上沿半无限平面厚度上分布有均匀压力P。
这样，半无限体就处于平面应变状态，单位厚度上分布的压力就可视为集中力P，其量纲为[力×长度-1]
解题:如图4-8所示，估计应力呈扇形分布，因此采用极坐标。
为解题方便，取X轴方向向下，y轴方向向右，相应地极坐标r方向向外，θ方向由x轴逆时针旋转。
图4-8半无限平面边界受法间集中力
（1）初定应力函数：根据应力的函数形式决定应力函数的形式，而应力的函数形式是根据估计的应力分布情况面定。
本题中估计σr的
分布与P ，r ，θ都有关系，与P 成正比，与r 成反比。
故σr 的函数形式估计为
)(θσF r
P
r =
（a ） 式中σr 与P ，r 都是一次幂关系，这是因为只有这样，等式两边的量纲才能相等(皆为[力×长度-2])。
列出应力函数与应力分量的关系式，即(4.18)式的第一式
22211θϕϕσ∂∂+∂∂=r r r r
由此式可见，为使等式两边r 的幂次相等，应力函数中的r 的幂次应当比应力分量中r 的幂次高两次，所以初选应力函数的形式为
)(θϕrf = （b ）
式中f （θ）可通过双调和方程得到。
将（b ）式代入双调和方程（4.17）式得
)(1)(11122
22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθθθf r f r r r r r ）（
即
0)]()(2)([122443=++θθθθθf d f d d f d r （c ）
删去因子3
1r
，（c ）式为常系数线性微分方程，其通解为
)
sin cos (sin cos )(θθθθθθD C B A f +++= （d ）
代入（b ）得
)]
sin cos (sin cos [θθθθθϕD C B A r +++= （e ）
式中A ，B ，C ，D ——待定系数，由边界条件决定。
（2）初定应力分量：将（e ）式代入（4.18）式得
)1(110
sin cos 2112
2222
22r =∂∂∂∂-=∂∂∂-∂∂==∂∂=-=∂∂+∂∂=θ
ϕθϕθϕτϕσθθθϕϕσθθr r r r r r
C D r r r r r ）（ （f ） 由式（f ）可见，应力分量均与待定系数A 、B 无关，故在应力函数式中这两项是多余的，可以删去。
（3）由边界条件定待定常数C 、D ：
自由边界条件为：θ=±π/2，r ≠0时，
r ==θθτσ，边界条件代
入（f ）式解不出D ，C 来，需要寻求其他边界条件。
在外力作用点上（r=0），σr 为∞，仍解不出D ，C 。
但围绕力的
作用点取一半圆柱面如 ，则此圆柱面上的径向应力σr 必然与集
中力P 相平衡，因而由应力边界条件得出两个平衡条件，即
∑⎰==22
-cos 0ππ，P rd F
r x
θθσ （g ）
∑⎰==22
-y
sin 0π
π，θθστrd F
（h ）
将（f ）式代入（h ）式得
0)cos sin 2121(22cos 210sin )sin cos (2
2
2
22
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--⎰
ππ
ππθθθθθθθθC D d r C D r
⋂
mn
故 C=0 （i ） （f ）、（i ）代入（g ），有
P D P
d D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-⎰
2
2
22
-2)cos sin 2121(2cos 2ππ
π
πθθθθθ 故 D=P/π （j ） （4）决定应力分量：将（i ）、（j ）式代入（f ）式，即得
r
P r P r
P r xy r y r x θ
θθθστθθθσσθθσσ2
22
22
cos sin 2cos sin cos sin 2sin cos 2cos πππ=
==
==
= （4.48）
把（4.1）式代入（4.48）式，得到
2
2222222
2
223
)(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +=
+=
+=
πππτσσ （4.49） 将（4.49）式所得的应力分布绘在图4—9上。
图4—9 直角坐标系应力分布
一 圆孔应力集中 杨桂通 P 109
孔壁周向应力
当ρ=a 时，ρσ=0，0=ρϕτ，
)
2cos 21(ϕσθ-=q
1.1 左右方向的拉力
W=20m ，H=10m ，r=0.25，0.5，1，2，2.5m ；q =500000Pa ，设图中x 轴正方向为圆周的0°，y 轴的正方向为圆周的90°。
与按公式计算值相比较，从图中可以看出当r=0.5m 的时候圆孔受力与计算值重合度最高，误差在±2.5%以内，所以可以得到d/H 的比值即圆孔的直径与孔板的高度比值在接近0.1的时候所做的模拟是最可靠的。
1.2 上下方向的拉力
W=20m，H=10m，r=0.5，1，2，2.5m；q=500000Pa，设图中y轴的正方向作为圆周的0°，x轴的负方向作为圆周的90°。
当改变孔板的受力方向后，孔板的依然是沿拉力的方向的孔壁上受压，与拉力方向垂直的方向上孔壁收到拉伸。
但是通过比较几组不同半径模型的最终模拟误差，发现当d/W=0.2时，受压部分的模拟数据与计算值拟合的比较好，误差相对较小（10%以内），但受拉部分的模拟数据与计算值误差比较大（20%左右）：而当d/W=0.05时，受压部分的误差比较大（50%左右），受拉部分的误差比较小（5%以内）。
综上分析，所做模型的模拟值误差比较大，初步推测是模型的长和高的比例造成了误差，所做模型不适合研究上下方向的拉力导致的圆孔应力集中。
1.3 双向受力
W=20m，H=10m，r=0.5m；q=500000Pa
W=20m，H=10m，r=0.5m；q=500000Pa，设图中x轴正方向作为圆周的0°，y轴正方向作为圆周的90°。
双向受力的时候模拟得到孔壁上都受到拉伸，没有压缩。
1.5 y 轴方向的应力
当2
π
±=ϕ时，ϕσ随ρ的变化关系为
）
（44
2223a 2a 1q ρ
ρσϕ++=
ρ越大，孔板2
π
±
方向所受的力越小，且最终基本稳定在q 的大小。
二 椭圆孔应力集中
当2b 与受拉方向一致的时候，则另一主轴（2a ）端部产生的应力为
）（）（b
2a
1q max
+=ϕσ
由图中可以得出当a/b 的值越大，2a 端部产生的应力越大，且增辐比较大。