复合函数的零点问题
复合函数零点问题解题思路
复合函数零点问题解题思路例1：已知)(x f 为R 上的偶函数，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-=1,1)21(10),1(2cos 23)(x x x x f x π，若函数 )(6)()65()]([5)(2R a a x f a x f x g ∈++-=有且仅有6个不同的零点，则实数a 的取值范围为______ 破题思路：函数)(6)()65()]([5)(2R a a x f a x f x g ∈++-=有且仅有6个不同的零点，即方程06)()65()]([52=++-a x f a x f 的x 的不同取值有6个。
从方程得65)(=x f 或a x f =)(，问题转化为使65)(=x f 或a x f =)(成立的x 的不同取值有6个；因此，作出函数)(x f 的图象，问题即可得解。
解：因为06)()65()]([52=++-a x f a x f ，解得65)(=x f 或a x f =)( 令)(x f t =，作出函数)(x f 的图象如图所示由图象可得0=t 时，方程)(x f t =只有1个解，当10≤<t 或23=t 时，方程)(x f t =有2个解， 当231<<t 时，方程)(x f t =有4个解， 因此可得65)(=x f 有4个解，则a x f =)(应有2个解，所以10≤<a 或23=a 时例2：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≥x 时，2)(-=x x x f ，若关于x 的方程 ),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有10个不同实数解，则实数a 的取值范围为______破题思路：关于x 的方程),(0)()(2R b a b x af x f ∈=++恰有10个不同实数解，即使方程成立的x 有10个不同取值。
令)(x f t =，则使),(02R b a b at t ∈=++的t 的取值，应使方程)(x f t =成立的x 有10个不同取值，作出函数)(x f 的图象，问题即可得解。
专题：复合函数的零点
1复合函数的零点问题1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是2、已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有2]1)([=-xx f f ,则)51(f 的值是 .3、已知函数12)(22+-++=m m mx x x f ,若方程0))((=x f f 无实根，则m 的取值范围为 . 4、已知函数）（R x x x x f ∈=3-)(3.设c x f f x h -=))(()(，其中∈c [-2,2],求函数)(x h y =零点个数.5、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的 条件。
6、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关 于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =__________ 7、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________.8、已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,log 0,12x x x x x f ，则函数()()1-=x f f y 的零点个数为_________.9、已知函数31+,>0()3,0x x f x xx x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数可能为_________. 10、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，1)(4)(2),2(21,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为11、函数0.5(x)2log 1xf x =-的零点个数为（ ）12、函数(x)2ln f x =的图像与函数2(x)x 45g x =-+的图像的交点个数为（ ）213、已知函数32, 2(x)(x 1),x 2x f x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程(x)f k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是14、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)415、（2014江苏）已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 16、已知函数3221(x 0)(x)x 31,(x),4x 68(x 0)x f x g xx ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩则方程[]g (x)0(a R )f a +-=∈的解的个数不可能为（ ）17、已知函数12,0(x)21,x 0x e x f x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )B. 1(0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)418、关于x 的方程222x 1)x 10k ---+=（，给出下列4个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
高一难点：复合函数的零点问题的求解
难点：复合函数的零点问题的求解【例题分析】（2019人教版必修第一册第155页第8题）已知函数23)(2---=x x x f ，2)]([2)(x f x g -=.（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）利用信息技术，画出函数)(x g y =的图象；（3）求函数)(x g y =的零点（精确到0.1）.解析：（1）212136)(234-----=x x x x x g ；（2）如右图，为函数)(x g y =的图象：（3）利用二分法可求得函数)(x g y =有两个零点，分别为8.2-=x 和2.0-=x .【题型说明】由于在考试题中的方程往往不易求解，复合函数有关零点问题一般不需要求出具体的零点，所以复合函数有关零点问题一般包括两类题型：①判断零点个数；②由零点个数求出参数的取值或取值范围.【方法总结】对于形如)]([x f F y =的复合函数零点的处理（本质求0)]([=x f F 的根）：令)(x f t =，函数)]([x f F y =可看成内层)(x f t =和外层)(t F y =的复合函数.第一步：求外层)(t F y =对应方程0)(=t F 的t 的值或范围；第二步：求内层t x f =)(对应方程的解或对应图象的交点个数.从而得到)]([x f F y =的零点情况.【例题改编】【变式1】已知函数23)(2---=x x x f ，求函数1)(8-)]([12)(2+=x f x f x F 的零点个数.【变式2】已知函数|23|)(2---=x x x f ，求函数1)(8-)]([12)(2+=x f x f x F 的零点个数.【变式3】已知函数23)(2---=x x x f ，若函数a x f k x f x F 2)()2()]([)(2--+=有2个不同的零点，求实数k 的取值范围.【变式4】已知函数|23|)(2---=x x x f ，若函数a x f k x f x F 2)()2()]([)(2--+=有4个不同的零点，求实数k 的取值范围.【变式5】已知函数23)(2---=x x x f ，若函数3)(2-)]([)(2+=x kf x f x F 有4个不同的零点，求实数k 的取值范围.【变式6】已知函数|23|)(2---=x x x f ，函数3)(2-)]([)(2+=x kf x f x g .（1）若函数)(x g y =有6个不同的零点，求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x g y =恰有3个不同的零点321x x x ，，（321x x x <<），求此时实数k 的值和)(321x x x f ++的值；（3）讨论函数)(x g y =的零点个数及相应实数k 的取值范围.。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
复合函数的零点解题技巧
复合函数的零点解题技巧
一、理解函数定义
在解决复合函数的零点问题之前，首先要理解函数的定义。
函数是一种数学关系，它将一个数集映射到另一个数集。
理解函数的定义有助于我们更好地理解复合函数的结构和性质。
二、识别复合函数
复合函数是由两个或多个函数通过运算组合而成的。
识别复合函数是解决问题的关键步骤。
通过识别复合函数，我们可以更好地理解函数的组成和结构，从而更好地解决零点问题。
三、分解复合函数
在识别出复合函数后，我们需要将其分解为更简单的函数。
通过分解复合函数，我们可以更容易地找到函数的零点。
在分解过程中，需要注意函数的运算顺序和运算规则。
四、寻找零点条件
寻找零点是解决复合函数零点问题的核心步骤。
我们需要找到使复合函数为零的x值。
在寻找零点时，需要注意函数的定义域和值域，以及函数的运算规则。
五、运用数学方法
在寻找零点的过程中，我们需要运用一些数学方法，如代数法、图象法等。
这些方法可以帮助我们更好地理解函数
的性质和变化规律，从而更准确地找到零点。
六、验证解的正确性
在找到零点后，我们需要验证解的正确性。
可以通过代入原函数进行验证，或者通过计算其他相关量进行验证。
如果解不正确，需要重新寻找零点或者调整解题思路。
七、总结解题思路
在解决复合函数的零点问题后，需要对解题思路进行总结。
总结解题思路有助于我们更好地理解问题和掌握解题技巧，从而在未来的问题解决中更加熟练和准确。
同时，也可以将解题思路与其他同学或老师分享，以促进共同学习和进步。
高考 复合函数的零点问题
函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。
高考函数-复合函数的零点-含答案
数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.
2．复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，
一层层求出函数值． 3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”
三 试题研究
例 1. 已知
，若关于 的方程
恰好
有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______________．
【解析】∵
，∴
，∴
∴当
或 时，
，当
时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在
可作出 大致函数图象如图所示：令
，
上单调递增
当
时，方程
有一解；当 时，方程
有两解；
当 时，方程
有三解；
∵关于 的方程
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．4
C．5
D．6
解： f ' x 3x2 2ax b 由极值点可得：x1, x2 为 3x2 2ax b 0 ①的两根，观
察 到 方 程 ① 与 3 f x2 2af x b 0 结 构 完 全 相 同 ， 所 以 可 得
3 f x2 2af x b 0 的两根为 f1 x x1, f2 x x2 ，其中 f1 x1 x1 ，
复合函数的零点问题探讨
4 e2
e2
e2
4
,
4
（）
【解析】 f x 2xex x2ex x x 2ex ，
易知， f x 在 , 2 上递增，在 2,0 上递减，在 0, 上递增，
所以 f x 在 x 2 处取得极大值 f 2 4e2 ，在 x 0 处取得极小值 f 0 0 ，
（）
A． b 0且 c 0
B． b 0 且 c 0
C． b 0且 c 0
D． b 0 且 c 0
【答案】C
【解析】
f
x
lg
x
1
,
x
1的图像如下（将
y
lg
x
的图像向右平移
1
个单位，
0 , x 1
再将 x 轴以下的部分向上翻折），
y
O
1
x
令 t f x ，显然，关于 x 的方程 t f x 可能有 4 ， 3 或 0 个不同的解， f 2 x bf x c 0 可化为 t2 bt c 0 ，
则实数 a 的取值范围是
（）
A．
5 2
,
9 4
B．
9 4
,
1
C．
5 2
,
9 4
9 4
,
1
D．
5 2
,
1
【答案】C
【解析】
f
x
图像如下（注意
y
复合函数的零点问题(解析版)
复合函数的零点问题(解析版)复合函数的零点问题(解析版)复合函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个或多个基本函数按照一定的规则组合而成。
零点问题是指找出函数在定义域内使得函数取零值的自变量的取值。
一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数按照一定的运算规则组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量x进行g(x)的运算，然后再对结果进行f(x)的运算。
在复合函数的运算中，需要符合以下性质：1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，复合函数f(g(h(x)))可以简写为(f∘g∘h)(x)。
2. 基本函数的定义域和值域：复合函数的定义域由其中的基本函数的定义域决定，值域受到基本函数值域的限制。
二、复合函数的求解方法对于复合函数的零点问题，可以通过以下方法进行求解：1. 代数法：将复合函数表示为等式，然后对方程进行变形和化简，最终解得零点的取值。
2. 几何法：将复合函数的图像与直线y=0相交的点作为复合函数的零点。
三、实例分析为了更好地理解复合函数的零点问题，下面以一个实例进行分析：例：已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = x-2，求复合函数f(g(x))的零点。
解：首先将复合函数表示为等式：f(g(x)) = 0sin(g(x)) = 0然后对方程sin(g(x)) = 0进行求解：由于sin函数的周期为2π，且在每个周期内有零点，因此可以得到：g(x) = 2kπ，其中k为整数。
将g(x) = 2kπ代入函数g(x) = x-2中：x-2 = 2kπ，解得x = 2kπ+2综上，复合函数f(g(x))的零点为x = 2kπ+2，其中k为整数。
四、结论与总结通过以上例子，我们可以看出复合函数的零点问题是通过将复合函数表示为等式，然后对方程进行求解来解决的。
根据实际情况选择合适的代数法或几何法进行求解，最终得到复合函数的零点的取值。
复合函数的零点个数问题
复合函数、分段函数零点个数问题1.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,412-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点2、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的【 】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 、设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++= 有5个不同的实数解，则m =【 】A 2B 6C 2或6D 4或64.已知函数1+(0)()0(=0)x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪⎩则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解 的充要条件是【 】A b<-2且c>0B b>-2且c<0C b<-2且c=0D b 2c=0≥-且5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】A ．13B ．16C ．18D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 67． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。
专题13 复合函数的零点问题
专题13 复合函数的零点问题【方法点拨】复合函数的零点问题一般用换元法,分别探讨内外函数的零点个数或范围即可.【典型例题】例1 已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+⎩，若方程(())0f f x a +=有6个不等实根，则实数a 的可能取值是（ ）A ．12-B ．0C ．1-D ．13- 【答案】AD【分析】作出函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象，结合选项逐一判断即可. 【解析】作出函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：直接验算法：当12a =-时，1(())2f f x =，所以11(),(),()2f x f x e f x e =-==， 所以方程(())0f f x a +=有6个不等实根；当0a =时，(())0f f x =，所以()1,()1f x f x =-=，所以12,,x x x e e=-==，所以方程(())0f f x a +=有3个不等实根； 当1a =-时，(())1f f x =，所以1()0,(),()f x f x e f x e ===，所以11,1,,eex x x e xe=-===，且1()f xe=方程有3根，所以方程(())0f f x a+=有7个不等实根；当13a=-时，1(())3f f x=，所以2(),()()3f x f x f x=-==所以方程(())0f f x a+=有6个不等实根；故选：AD.例2设定义域为R的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2=++cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是（）.A．0<b且0>c；B．0>b且0<c；所以，关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02=++c bx x 有两个根，其中一个根等于0，另一个根大于0.此时应0<b 且0=c .【巩固练习】1.已知函数()20()ln 0x x f x x x -⎧⎪=⎨-<⎪⎩，≥，，，2()3,g x x =-则函数[()]y f g x =的零点个数是 ． 2. 已知函数0()ln 0x m x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，，其中0m >．若函数[()]1y f f x =-有3个不同零点，则实数m 的取值范围是 ．3.已知函数1()ln x x m f x x x m +⎧=⎨>⎩，≤，，. 其中1m >，若函数[()]1y f f x =-有3个不同零点，则实数m 的取值范围是 ．4.设定义在R 上的函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=3,13,31x x x x f ，若关于x 的方程()()02=++b x af x f 有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 ．5.若函数10()ln 0x x f x x x +⎧=⎨>⎩，≤，，.（1）函数[()]y f f x =的零点个数是 ．（2）若函数[()]2y f f x m =-有3个不同零点，则实数m 的取值范围是 ．【答案与提示】1.【答案】42.【答案】[1，e ）3.【答案】(1，e]5.【答案】（1）4；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦4.【答案】()(),22,1-∞-⋃--。
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--
--
f
2
1
a
1 1
a
1
2
1
a
2
1
a
故
x
2
1
a
不是
f (x) 的二阶周期点;
当 a2 a 1 x 1时, 1 (1 x) x 解得 a(1 a)
x
a2
1 a
1
(a2 a 1,1) ，因
f ( 1 ) 1 • (1 1 ) a 1 ，
a2 a 1 1 a
a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1
例如：已知 f x 2x, g x x2 x ，计算 g f 2 . 【解析】 f 2 22 4 , g f 2 g 4 12 .
3.已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到求出 x
的值.例如:已知 f x 2x ， g x x2 2x ,若 g f x 0 ,求 x .
x0
y f (x) f (2 x) 4 x 2 x ,
0 x 2 ,即
2 2 x (x 2)2, x 2
x2 x 2, x 0
y f (x) f (2 x) 2,
0 x2
x2
5x
8,
x
2
y f (x) g(x) f (x) f (2 x) b ,所以
故
x
a2
1 a
是
1
f
(x)
的二阶周期点.
综上：函数 f (x) 有且仅有两个二阶周期点，
x1
a2
a a
1
,
x2
a2
1 a
1
.
IＩ.考场精彩·真题回放
【例２】【2０17 年高考江苏卷】设 f (x) 是定义在 R 且周期为 【命题意图】本题主要考查复合函数的零
1
的函数,在区间 [0,1)上，f来自(x)x2 ,
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称
x0 为 f (x) 的二阶周期点，求函数 f (x) 的二阶周期点．
析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨 论思想、数形结合思想解题．
【答案】函数 f (x) 有且仅有两个二阶周期点，
x1
a2
a a
1
,
x2
a2
1 a
1
.
x D,
其中集合
x, x D,
D
x
x
n 1, n
n
N* ，则方程
f
(x)
lg
x
0
的解的个数是
点．本题能较好的考查学生的运算能力、动 手作图能力以及观察能力等. 【考试方向】这类试题在考查题型上,通常 基本以选择题或填空题的形式出现,综合性
▲．
强，难度大.
【答案】8
【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽
1.复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数,称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
２.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
lg x n , m, n N*, m 2 ，且 m, n 互质 m
n
因此10 m
q
，则10n ( q )m
，此时左边为整数，右边
p
p
非整数,矛盾，因此 lg x Q
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等,只需
考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点,画出函数图象,图
由上例可得，要想求出 g f x 0 的根，则需要先将 f x 视为整体，先求出 f x 的值,再求对应 x 的
解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义.
4．函数的零点:设 f x 的定义域为 D ,若存在 x0 D ，使得 f x0 0 ，则称 x x0 为 f x 的一个零点. 5．复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 g f x 0 根的个数，在解此类问题时，要分为两层来 分析，第一层是解关于 f x 的方程，观察有几个 f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 f x 的 值求出每一个 f x 被几个 x 对应,将 x 的个数汇总后即为 g f x 0 的根的个数.
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复合函数的零点问题
Ｉ．题源探究·黄金母题
精彩解读
【例１】设函数
f
(x)
1 a
x 1
,
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（a 1
为常数且
a 0,1 ）．
【试题来源】２013 年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合 函数、分段函数的零点,难度较大.新定义 (信息题）是近几年来高考的一个热点. 【思路方法】理解定义，写出复合函数的解
【解析】由于 f (x) [0,1) ，则需考虑1 x 10 的情况 茧剥丝”,把复合函数问题转化为单函数问
在此范围内， x Q 且 x Z 时，设
题，准确作出函数图象,利用图象解决问题.
x q , p, q N*, p 2 ，且 p, q 互质 p
若 lg x Q ,则由 lg x (0,1) ,可设
y f x g x 恰有４个零点等价于方程
f (x) f (2 x) b 0 有 4 个不同的解，即函数 y b 与函 数 y f (x) f (2 x) 的图象的 4 个公共点，由图象可知
--
--
7 b 2． 4
8 6 4 2
15
10
5 2 4 6 8
5
10
15
III．理论基础·解题原理
,
其中 b R ,若函数 y f x g x 恰有 4 个零点,则 b 的
取值范围是 （）
A.
7 4
,
【答案】Ｄ．
【解析】
Ｂ．
,
7 4
C．
0,
7 4
D.
7 4
,
2
由
f
x
2 x ,
x 22
x ,
x
2, 2,
得
f
(2
x)
2
x
2
,
2
x
,x x
0
,
0
2 x x2,
当 a2 x a 时,由 1 (a x) x 解得 a(1 a)
x
a2
a a
1
(a2 ,
a),
因
f
( a2
a
a
) 1
1 a
a2
a a
1
a2
1 a
1
a2
a a
1
,
故
x
a2
a a
是
1
f
(x)
的二阶周期点;
当
a
x
a2
a
1时,由
1 (1 a)2
(x
a)
x
解得
x 1 (a, a2 a 1) ,因 2a
1
a
2
x, 0
x
a2,
1 (a x), a2 x a,
【解析】
f
(
f
( x))
a(1 a)
(1
1 a)2
(
x
a), a
x
a2
a
1,
1
(1 x), a2 a 1 x 1.
a(1 a)
当0
x
a2
时，由
1 a2
x
x 解得
x
0 ,由于
f
0
0 ，故
x 0不是 f x 的二阶周期点；
--
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中交点除 1, 0 外其它交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x D 的部分,且 x 1处 lg x 1 1 1，则在
x ln10 ln10 x 1 附近仅有一个交点,一次方程解的个数为 8.
【例３】【2０15 年高考天津】已知函数
f
x
2 x ,
x 22
x ,
x
2,
2,
函数 g x b f 2 x