复合函数的零点问题

【解析】由于 f (x) [0,1) ，则需考虑1 x 10 的情况 茧剥丝”,把复合函数问题转化为单函数问
在此范围内， x Q 且 x Z 时，设
题，准确作出函数图象,利用图象解决问题.
x q , p, q N*, p 2 ，且 p, q 互质 p
若 lg x Q ,则由 lg x (0,1) ,可设
1
a
2
x, 0
x
a2,
1 (a x), a2 x a,
【解析】
f
(
f
( x))
a(1 a)
(1
1 a)2
(
x
a), a
x
a2
a
1,
1
(1 x), a2 a 1 x 1.
a(1 a)
当0
x
a2
时，由
1 a2
x
x 解得
x
0 ,由于
f
0
0 ，故
x 0不是 f x 的二阶周期点；
1.复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数,称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
２.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
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lg x n , m, n N*, m 2 ，且 m, n 互质 m
n
因此10 m
q
，则10n ( q )m
，此时左边为整数，右边
p
p
非整数,矛盾，因此 lg x Q
因此 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等,只需
考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点,画出函数图象,图
当 a2 x a 时,由 1 (a x) x 解得 a(1 a)
x
a2
a a
1
(a2 ,
a),
因
f
( a2
a
a
) 1
1 a
a2
a a
1
a2
1 a
1
a2
a a
1
,
故
x
a2
a a
是
1
f
(x)
的二阶周期点;
当
a
x
a2
a
1时,由
1 (1 a)2
(x
a)
x
解得
x 1 (a, a2 a 1) ,因 2a
--
--
f
2
1
a
1 1
a
1
2
1
a
2
1
a
故
x
2
1
a
不是
f (x) 的二阶周期点;
当 a2 a 1 x 1时, 1 (1 x) x 解得 a(1 a)
x
a2
1 a
1
(a2 a 1,1) ，因
f ( 1 ) 1 • (1 1 ) a 1 ，
a2 a 1 1 a
a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1
,
其中 b R ,若函数 y f x g x 恰有 4 个零点,则 b 的
取值范围是 （）
A.
7 4
,
【答案】Ｄ．
【解析】
Ｂ．
,
7 4
C．
0,
7 4
D.
7 4
,
2
由
f
x
2 x ,
x 22
x ,
x
2, 2,
得
f
(2
x)
2
x
2
,
2
x
,x x
0
,
0
2 x x2,
--
--
中交点除 1, 0 外其它交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x D 的部分,且 x 1处 lg x 1 1 1，则在
x ln10 ln10 x 1 附近仅有一个交点,一次方程解的个数为 8.
【例３】【2０15 年高考天津】已知函数
f
x
2 x ,
x 22
x ,
x
2,
2,
函数 g x b f 2 x
由上例可得，要想求出 g f x 0 的根，则需要先将 f x 视为整体，先求出 f x 的值,再求对应 x 的
解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义.
4．函数的零点:设 f x 的定义域为 D ,若存在 x0 D ，使得 f x0 0 ，则称 x x0 为 f x 的一个零点. 5．复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 g f x 0 根的个数，在解此类问题时，要分为两层来 分析，第一层是解关于 f x 的方程，观察有几个 f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 f x 的 值求出每一个 f x 被几个 x 对应,将 x 的个数汇总后即为 g f x 0 的根的个数.
例如：已知 f x 2x, g x x2 x ，计算 g f 2 . 【解析】 f 2 22 4 , g f 2 g 4 12 .
3.已知函数值求自变量的步骤:若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”的顺序,一层层拆解直到求出 x
的值.例如:已知 f x 2x ， g x x2 2x ,若 g f x 0 ,求 x .
x D,
其中集合
x, x D,
D
x
x
n 1, n
n
N* ，则方程
f
(x)
lg
x
0
的解的个数是
点．本题能较好的考查学生的运算能力、动 手作图能力以及观察能力等. 【考试方向】这类试题在考查题型上,通常 基本以选择题或填空题的形式出现,综合性
▲．
强，难度大.
【答案】8
【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽
y f x g x 恰有４个零点等价于方程
f (x) f (2 x) b 0 有 4 个不同的解，即函数 y b 与函 数 y f (x) f (2 x) 的图象的 4 个公共点，由图象可知
--
--
7 b 2． 4
8 6 4 2
15
10
5 2 4 6 8
5
10
15
III．理论基础·解题原理
x0
y f (x) f (2 x) 4 x 2 x ,
0 x 2 ,即
2 2 x (x 2)2, x 2
x2 x 2, x 0
y f (x) f (2 x) 2,
0 x2
x2
5x
8,
x
2
y f (x) g(x) f (x) f (2 x) b ,所以
故
x
a2
1 a
是
1
f
(x)
的二阶周期点.
综上：函数 f (x) 有且仅有两个二阶周期点，
x1
a2
a a
1
,
x2
a2
1 a
1
.
IＩ.考场精彩·真题回放
【例２】【2０17 年高考江苏卷】设 f (x) 是定义在 R 且周期为 【命题意图】本题主要考查复合函数的零
1
的函数,在区间 [0,1)
上，
f
(x)
x2 ,
--
复合函数的零点问题
Ｉ．题源探究·黄金母题
精彩解读
【例１】设函数
f
(x)
1 a
x 1
,
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（a 1
为常数且
a 0,1 ）．
【试题来源】２013 年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合 函数、分段函数的零点,难度较大.新定义 (信息题）是近几年来高考的一个热点. 【思路方法】理解定义，写出复合函数的解
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称
x0 为 f (x) 的二阶周期点，求函数 f (x) 的二阶周期点．
析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨 论思想、数形结合思想解题．
【答案】函数 f (x) 有且仅有两个二阶周期点，
x1
a2
a a
1
,
x2
a2
1 a
1
.