《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)

一、指数的性质 （一）整数指数幂

1．整数指数幂概念：

a

n n

a a a a 个⋅⋅⋅= )(*

∈N n ()010a a =≠ ()1

0,n

n a

a n N a

-*=

≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m

n

m n a a a

m n Z +⋅=∈ （2）()(),n

m mn a a m n Z =∈

（3）()()n

n

n

ab a b

n Z =⋅∈

其中m n m n

m n

a a a a

a

--÷=⋅=， ()1n

n n n n

n a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭

．

3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a (

)*

∈>N

n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，

即： 若a x

n

=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*

∈>N n n ,1

例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，

32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．

说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0

②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：

n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）

③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；

④(

)*

∈>=N

n n n

,100 0=；

⑤式子n

a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴

n

a =．

．

4．a 的n 次方根的性质

一般地，若n 是奇数，则a a n n =；

若n 是偶数，则⎩⎨

⎧<-≥==0

0a a

a a

a a n

n

．

5．例题分析：

例1．求下列各式的值：

（1）()

338- （2）

()210- （3）()44

3π- （4）

()()b a b a >-2解：略。

例2．已知,0<

∈>N n n ,1， 化简：()()n n

n n b a b a ++-．

解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-=

当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n

n n

b a b a ++-22a n a n ⎧=⎨

-⎩为奇数

为偶数

．

例3．计算：407407-++

解：407407-++52)25()25(22=-++=

例4．求值：

54

925-+． 解：549

25-+4

25254

5

49252

）（-+=-+=

452622525+=-+=

2

1

54152

+=

+=）（ （二）分数指数幂

1．分数指数幂：

()10

2

5

0a a

a ==>

()124

3

0a a

a ==>

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()

n

k kn a

a =对分数指数幂也适用，

例如：若0a >，则3

223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭

，4

554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =

4

5

a =．

即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。

规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n

a a m n N n *=>∈>；

（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m

n

m n

a

a m n N n a

-*

==

>∈>．

2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即

()()

10,,r s

r s

a a a a r s Q +=>∈

()()

()20,,s

r rs a

a a r s Q =>∈

()()()30,0,r

r r ab a b a b r Q =>>∈

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：

2

a

3a

.

解：2

a 11522

2

2

2

a a a

a +

⋅==；

3

a 2113

3

3

a a a ⋅=；

=111

33

2

2

2

2

4a a a a ⎛⎫⎛⎫

⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

（1）21

1511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

； （2）8

3184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；

解（1）21

1511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

=()()211

115326

236

263a b

+-+-⨯-÷-⎡⎤⎣⎦

=0

44ab a =；

（2） 8

3184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=8

83184

m n -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=2233m m n n -=．

例3．计算下列各式：

（1

）

（2

)20a >．

解：（1

）

231324555⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭

=213134245555÷-÷

=5

5124

55-

= （2

2

=

526

213

2

a a a a

==

（三）综合应用

例1．化简：1

1555x x x -+++.

解：1

15

55x x x -+++=15(1525)x -++=1315x -⨯=

3155

x

⨯. 例2．化简：)()(4

14

12

12

1y x y x -÷-.