高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的

方法十三种

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学：求函数值域的十三种方法

一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性

八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、

十三、一一映射法 十四、 多

种

方

法

综

合

运

用

一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】

求函数1y =的值域。

11≥，

∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数

x 1

y =

的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0

x 1≠ 显然函数的值域是：

),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-

=f

f，()1

1-

f所以：

=

2

0=

f，()()0

∈

3

x，而()()3

-f

=

1=

{}3,0,1-

∈

y

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R

x∈，则函数的值域为{}1

y。

y

≥

|-

二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2

=++的

F x af x bf x c

()()()

函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】求函数225,[1,2]

y x x x

=-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]

【变式】已知，求函数的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2

【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为

，顶点坐标为（1，1），图象开

口向上。

图1

图2

图3

①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得

最小值

。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，

函数取得最小值

。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，

函数取得最小值

综上讨论，g(t)=⎪⎩

⎪

⎨⎧<+≤≤

>+-=0110,11,1)1()(22min

t t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪

=<<⎨⎪-+≥⎩

(,0]t ∈-∞时，2()1g t t =+为减函数

∴ 在[3,2]--上，2()1g t t =+也为减函数

∴

min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=

【例3】 已知2()22f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．

【解析】由已知可求对称轴为1x =．

（1）当1t >时，2

min max ()()23()(1)2

f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．

（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．

根据对称性，若

2

1

21≤++t t 即1

02t ≤≤

时，2

max ()()23f x f t t t ==-+．

若2121>++t t 即1

12t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+．

（3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．

综上，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤

+->+=21,3221,2)(22

max

t t t t t x f

【例4】 (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1

a 2-<即1a 2

>-时，max f (x )f (2)4a 5==+；

当1a 2-≥即1a 2

≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。 综上所述：max

12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2

⎧

-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-

⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-

>a

即

22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）2-