反比例函数中的面积问题__经典难题复习巩固
中考数学考点系统复习 第三章 函数 方法技巧突破(一) 反比例函数中的面积问题
S 阴影＝|k1|－|k2|
图形
S ＝S －S 阴影 △AOB △AOD 结论 1 1
＝2|k1|－2|k2|
S ＝S －S 阴影 △COB △OCD 11
＝2|k1|－2|k2|
图形
过点 D 作 DF⊥x 轴于点
结论
S 阴影＝S 矩形 －S －S ＝ OABC △OCD △OAE |k1|－|k2|
【模型示例】
图形
结论
S 四边形 PMON＝|k|
S ＝S 四边形 ABCD
四边形 PQMD
2．(2021·荆州)如图，过反比例函数 y＝kx(k>0，x>0) 图象上的四点 P1，P2，P3，P4 分别作 x 轴的垂线，垂足 分别为 A1，A2，A3，A4，再过 P1，P2，P3，P4 分别作 y 轴， P1A1，P2A2，P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从 左到右依次为 S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则 S1 与 S4 的数量关 系为 S1＝S1＝44SS44.
x 轴于点 B，连接 BC，则△ABC 的面积等于
A．8
B．6 C．4 D．2
( C)
模型四：两点两垂线 【模型特征】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂 线围成的图形面积等于 2|k|.
【模型示例】
图形
结论
S△APP′＝2|k| S 四边形 ANBM＝2|k|
4．(2021·南京)如图，正比例函数 y＝kx 与函数 y＝6x的图象交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则 S△ABC＝1 12 2.
A．4
B．6
C．8
D．12
( C)
反比例函数之面积问题
反比例函数专题复习--等积一、学习目标:知识技能：掌握反比例函数中有关面积问题常见的结论和方法，并会利用这些结论和方法进行有关面积问题的计算.数学思考：在探究中经历观察、推理、探究、应用等活动，发展学生的合情推理能力和发散思维能力。
解决问题：让学生利用反比例函数中的基本图形的面积不变性来解决复杂图形的面积问题，学会以“不变”应“万变”的解题方法.情感态度：学生从简单到复杂的探究过程中，培养独立思考问题的习惯和团结互助的精神；在合作交流中，获得成功的体验，增强学好数学的信心.二、重点难点重点：利用反比例函数中有关面积问题常见的结论和方法进行面积问题的计算。
难点：求复杂图形的面积及解题方法的归纳.三、教学过程（一）自主学习1知识回顾：(1)反比例函数表达式:,变形: , .(2)反比例函数k=xy图像上的点P（m,n）,k的含义①从数的角度：k= × .②从形的角度：S=PA×PB= × = .矩形PAOB画图:2巩固练习： (1) 已知：双曲线)0≠(k x ky = 上一点A(2，3)则k= ,图形上的点B 坐标为（-1， ）(2)如图，已知点C 为反比例函数6y x =-上的一点，过点C(2,-3)向坐标轴引垂线，垂足分别为A 、B ，那么四边形AOBC 的面积为 .(3)如图：在平面直角坐标系内，从反比例函数xk y =的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是4，那么该函数解析式是 ；（二）例题精讲例1如图，点A 、B 是双曲线xy 5= 上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 3=1,则S 1+S 2=跟踪练习:如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5,过点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数xy 10=的图象相交于点P 1,P 2,P 3,P 4,P 5，则图中阴影部分面积的和为 。
《反比例函数》全章复习与巩固(巩固篇)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题26.27《反比例函数》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在反比例函数6y x=的图象上的点是（）A ．()2,3B ．()4,2C ．()6,1-D ．()2,3-2．已知点A （﹣2，m ），B （2，m ），C （4，m +12）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A ．y ＝xB ．y ＝﹣2xC ．y ＝x 2D ．y ＝﹣x 23．若两个点()1,1x ，()2,3x -均在反比例函数2k y x-=的图象上，且12x x <，则k 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知抛物线221y x x m =--++与x 轴没有交点，则函数my x=和函数y mx m =-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．5．已知点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数y ＝3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 36．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边BC 与x 轴平行，A 和B 两点的纵坐标分别为4和2，函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过A 、B 两点．若菱形ABCD 的面积为则k 的值为（）A ．4B ．8C ．16D ．7．如图，点A 是反比例函数y 1＝1x（x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数2ky x=（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为1，则k 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（）A ．﹣3＜x ＜2B ．x ＜﹣3或x ＞2C ．﹣3＜x ＜0或x ＞2D ．0＜x ＜29．对于反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是()A ．图象分布在第二、四象限B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1,-2）D ．若点()11,A x y ，()22,B x y 都在图象上，且12x x <，则12y y <10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点B ，点A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数(0)ky x x=<的图象上，则k 的值为（）A ．12-B ．42-C ．42D ．21-二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知直线y =kx 与双曲线y =6k x+的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____．12．已知点A （1，2）在反比例函数ky x=的图象上，则当1x >时，y 的取值范围是______．13．已知点A （381a a --，）在第二象限，且a 为整数，反比例函数ky x=经过该点，则k 的值为_________．14．在平面直角坐标系中，点A （﹣2，1），B （3，2），C （﹣6，m ）分别在三个不同的象限．若反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象经过点(4,)P m ，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，则点P 在第______象限．16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC x ⊥轴于点B ，直角顶点A 在y 轴上，双曲线()0ky k x=≠经过AC 边的中点D ，若BC =k =______．17．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过A ，B 两点，若菱形ABCD的面积为k 的值为_____．18．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况，实验数据记录如下：则y 与x 之间的函数关系为______．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =+和2y x =-的图象相交于点A ，反比例函数ky x=的图象经过点A .（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数k y x =的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO ∆的面积.20．（8分）如图，正比例函数y kx =的图像与反比例函数()80y x x=>的图像交于点(),4A a ．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D ．（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式；（2）若10BD =，求ACD △的面积．21．（10分）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x （h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？22．（10分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，函数kyx=（0x>）的图象G经过点A（4，1），直线14l y x b=+∶与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当1b=-时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．24．（12分）背景：点A在反比例函数kyx=（0k>）的图象上，AB x⊥轴于点B，AC y⊥轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形，如图1，点A在第一象限内，当4AC =时，小李测得3CD =．探究：通过改变点A 的位置，小李发现点D ，A 的横坐标之间存在函数关系，请帮助小李解决下列问题．(1)求k 的值；(2)设点A ，D 的横坐标分别为x ，z ，将z 关于x 的函数称为“Z 函数”．如图2，小李画出了0x >时“Z 函数”的图象．①求这个“Z 函数”的表达式．②过点(3,2)作一直线，与这个“Z 函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．参考答案1．A【分析】分别计算出各选项纵横坐标的乘积，判断是否等于6即可得解．解：A.23=6⨯，点（2，3）在反比例函数6y x=的图象上，故此选项符合题意；B.42=86⨯≠，点（4，2）不在反比例函数6y x=的图象上，故此选项不符合题意；C.61=66-⨯-≠，点（-6，1）不在反比例函数6y x=的图象上，故此选项不符合题意；D.23=66-⨯-≠，点（-2，3）不在反比例函数6y x=的图象上，故此选项不符合题意；故选：A【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．C【分析】根据正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象的对称性进行分析即可.解：∵A （﹣2，m ），B （2，m ），∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于y ＝x ，y ＝2x的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误；∵m +12＞m ，y ＝a x 2的图象关于y 轴对称由B （2，m ），C （4，m +12）可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，对于二次函数只有a ＞0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴C 选项正确，故选：C ．【点拨】考核知识点：正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象.理解正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象的对称性是关键.3．A【分析】根据点()1,1x ，()2,3x -均在反比例函数2k y x-=的图象上，推出121k x -=，223k x --=，得到12x k =-，223k x -=，根据12x x <，得到223k k --<，求得k ＜2，推出k 的值可能是1，解：∵点()1,1x ，()2,3x -均在反比例函数2k y x-=的图象上，∴121k x -=，223k x --=，∴12x k =-，223k x -=，∵12x x<，∴223kk--<∴k＜2，∴k的值可能是1，故选：A【点拨】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，解不等式，反比例函数的图象和性质．4．C【分析】由已知可以得到m的取值范围，再根据反比例函数和一次函数的图象与性质即可得到解答．解：∵抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴没有交点，∴方程−x2−2x+m+1=0没有实数根，∴Δ=4+4×1×(m+1)=4m+8<0，∴m<−2，∴−m>2，故函数y=mx的图象在第二、四象限，函数y=mx−m.故选：C．【点拨】本题考查函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、反比例函数与一次函数的图象与性质是解题关键．5．D【分析】把点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出y1，y2，y3，比较得出答案．解：把点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）代入反比例函数3yx=的关系式得，y1＝﹣1.5，y2＝﹣3，y3＝1，∴y2＜y1＜y3，故选：D．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．6．D【分析】过点A 作AM x ⊥轴于点,M 交BC 于点,E 过点B 作BN x ⊥轴于点,N 求出2AE =,再由菱形的性质求出AD =,可得点A 的坐标,从而可得结论．解：过点A 作AM x ⊥轴于点M ，交BC 于点,E 过点B 作BN x ⊥轴于点N ，如图，∵BC //x 轴，∴,AE BC ⊥∴∠90,BEM EMN MNB ︒=∠=∠=∴四边形BEMN 是矩形，∴ME BN=∵,A B 点的纵坐标分别为4和2，∴4,2,AM BN ==∴2,ME =∴422,AE AM EM =-=-=∵四边形ABCD 是菱形,∴AD AE⊥∴2ABCD S AD AE AD =⋅==菱形,∴AD =,∵D 点在y 轴上,∴4)A∴4k ==故选：D【点拨】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．7．A【分析】延长BA ，与y 轴交于点C ，由AB 与x 轴平行，得到BC 垂直于y 轴，利用反比例函数k 的几何意义表示出三角形AOC 与三角形BOC 面积，由三角形BOC 面积减去三角形AOC 面积表示出三角形AOB 面积，将已知三角形AOB 面积代入求出k 的值即可．解：延长BA ，与y 轴交于点C ，∵AB //x 轴，∴BC ⊥y 轴，∵A 是反比例函数y 1＝1x （x ＞0）图象上一点，B 为反比例函数y 2＝k x（x ＞0）的图象上的点，∴S △AOC ＝12，S △BOC ＝2k ，∵S △AOB ＝1，即2211k -=，解得：k ＝3，故选：A ．【点拨】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键．8．C【分析】一次函数y1=kx+b 落在与反比例函数y 2=c x 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．解：∵一次函数y1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=c x（c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x ＜0或x ＞2，故选C ．【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．9．D【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A.k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B.k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵221-=-,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；D.若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0<x2,则y2<y1，故本选项错误.故选:D.【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.10．D【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；解：∵当x=0时，04=4y=+，∴A(0，4)，∴OA=4；∵当y=0时，4043x=+，∴x=-3，∴B(-3，0)，∴OB=3；过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE=∠BAO．在△AOB和△BEC中，CBE BAO BEC AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△BEC ，∴BE=AO=4，CE=OB=3，∴OE=3+4=7，∴C 点坐标为（-7，3），∵点A 在反比例函数(0)k y x x=<的图象上，∴k=-7×3=-21．故选D ．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．11．（-2，-4）【分析】根据交点的横坐标是2，得到622k k +=，求得k 值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图像的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可．解：∵交点的横坐标是2，∴622k k +=，解得k =2，故函数的解析式为y =2x ，y =8x ，当x =2时，y =4，∴交点坐标为（2，4），根据图像的中心对称性质，∴另一个交点坐标为（-2，-4），故答案为：（-2，-4）．【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图像的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图像的中心对称性质是解题的关键．12．0＜y ＜2【分析】根据图象结合反比例函数k y x =的图象性质，分析其增减以及其过点的坐标解答即可．解：点A （1，2）在反比例函数k y x =的图象上，∴反比例函数k y x=的图象在第一象限，k =2∴y 随x 的增大而减小；∴当x ＞1时，y 的取值范围时0＜y ＜2；故答案为：0＜y ＜2．【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，掌握数形结合的思想以及反比例函数的图象成为解答本题的关键．13．－2【分析】根据第二象限的符号特征，且a 为整数，求出a =2，得A （-2，1），将A （-2，1）代入k y x=，得k 的值．解：∵点A （3a −8，a −1）在第二象限，且a 为整数，∴38010a a -<->ìïíïî，解得1＜a ＜83，∴a =2，∵3×2-8=-2，2-1=1，∴A （-2，1），∵反比例函数k y x=经过点A ，∴将A （-2，1）代入k y x =，得21k -=，∴k =-2，故答案为：-2．【点拨】本题考查了第二象限的符号特征和反比例函数，解题的关键是掌握第二象限的符号特征．14．-1．【分析】根据已知条件得到点(2,1)A -在第二象限，求得点(6,)C m -一定在第三象限，由于反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过其中两点，于是得到反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，于是得到结论．解： 点(2,1)A -，(3,2)B ，(6,)C m -分别在三个不同的象限，点(2,1)A -在第二象限，∴点(6,)C m -一定在第三象限，(3,2)B 在第一象限，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过其中两点，∴反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，326m ∴⨯=-，1m ∴=-，故答案为：1-．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．15．四【分析】直接利用反比例函数的性质确定m 的取值范围，进而分析得出答案．解：∵反比例函数k y x=（k ≠0）图象在每个象限内y 随着x 的增大而增大，∴k ＜0，又反比例函数k y x =的图象经过点(4,)P m ，∴40m k =<∴0m <∴(4,)P m 在第四象限．故答案为：四．【点拨】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆点的坐标的分布是解题关键．16．32-【分析】根据ABC 是等腰直角三角形，BC x ⊥轴，得到AOB 是等腰直角三角形，再根据BC =A 点，C 点坐标，根据中点公式求出D 点坐标，将D 点坐标代入反比例函数解析式即可求得k ．解：∵ABC 是等腰直角三角形，BC x ⊥轴．∴90904545ABO ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒；2AB =．∴AOB 是等腰直角三角形．∴BO AO =．故：A ，(C ．(D ．将D 点坐标代入反比例函数解析式．3222D D k x y =⋅=-⨯-．故答案为：32-．【点拨】本题考查平面几何与坐标系综合，反比例函数解析式；本体解题关键是得到AOB 是等腰直角三角形，用中点公式算出D 点坐标．17．12【分析】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE ，BE 的长，根据菱形的面积为AE 的长，在Rt △AEB 中，计算BE 的长，列方程即可得出k 的值．解：过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，∵BC ∥x 轴，∴AE ⊥BC ，∵A ，B 两点在反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A （6k ，6），B （4k ，4），∴AE ＝2，BE ＝4k ﹣6k ＝k 12，∵菱形ABCD 的面积为∴BC×AE ＝BC∴AB ＝BC在Rt △AEB 中，BE 1，∴112k＝1，∴k＝12，故答案为：12．【点拨】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．18．300yx=【分析】通过表格我们可以得到表格中每组数据相乘为一个定值300，故我们可以猜想y与x之间是成反比例函数的关系，根据表格中的数据求出反比例函数的解析式，再将其余的点带入验证即可.解：由表格猜想y与x之间的函数关系为反比例函数解：设反比例函数解析式为k yx =把x=10，y=30代入得：k=300∴300 yx =将其余点带入均符合要求∴y与x之间的函数关系式为：300 yx =故答案为：300 yx =【点拨】本题主要考查的是反比例函数的性质以及解析式的求法，正确的掌握反比例函数的性质是解题的关键.19．（1）反比例函数的表达式为8yx-=；（2）ABO∆的面积为15.【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.解：（1）由题意：联立直线方程1522y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，可得24xy=-⎧⎨=⎩，故A点坐标为（-2,4）将A（-2,4）代入反比例函数表达式kyx=，有42k=-，∴8k=-故反比例函数的表达式为8 yx =-（2）联立直线152y x =+与反比例函数8y x=-，1528x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得122,8x x =-=-，当8x =-时，1y =，故B （-8,1）如图，过A ，B 两点分别作x 轴的垂线，交x 轴于M 、N 两点，由模型可知S 梯形AMNB =S △AOB ，∴S 梯形AMNB =S △AOB =12121()()2y y x x +-⨯=1(14)[(2)(8)]2+⨯---⨯=156152⨯⨯=【点拨】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.20．（1）a=2；y=2x ；（2）635【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(b ，0)，则D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．解：（1）已知反比例函数解析式为y=8x，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x ．故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b)、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，()18105225S ⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭△ACD =635．故△ACD 的面积为635．【点拨】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD 垂直x 轴，利用待定系数法，设B 、C 、D 三点坐标，求出B 、C 、D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．21．(1)y 关于x 的函数解析式为210(05)20(510)200(1024)x x y x x x⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩；(2)恒温系统设定恒温为20°C ；(3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．【分析】（1（2）观察图象可得；（3）代入临界值y =10即可．（1）解：设线段AB 解析式为y =k 1x +b （k ≠0）∵线段AB 过点（0，10），（2，14），代入得110214b k b ⎧⎨+⎩＝＝，解得1210k b ⎧⎨⎩＝＝，∴AB 解析式为：y =2x +10（0≤x ＜5）．∵B 在线段AB 上当x =5时，y =20，∴B 坐标为（5，20），∴线段BC 的解析式为：y =20（5≤x ＜10），设双曲线CD 解析式为：y =2k x （k 2≠0），∵C （10，20），∴k 2=200．∴双曲线CD 解析式为：y =200x（10≤x ≤24），∴y 关于x 的函数解析式为：()210(05)20(510)2001024x x y x x x⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩；（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C ；（3）解：把y =10代入y =200x 中，解得x =20，∴20-10=10．答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．【点拨】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．22．（1）3y x =；（2）x ＞1；（3）P （﹣54，0）或（94，0）分析：（1）求得A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=k x ，可得y 与x 之间的函数关系式；（2）依据A （1，3），可得当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x的解集为x ＞1；（3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，进而得出点P 的坐标．解：（1）把A （1，m ）代入y 1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=k x，可得k=1×3=3，∴y 与x 之间的函数关系式为：y=3x ；（2）∵A （1，3），∴当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x的解集为：x ＞1；（3）y 1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B 的坐标为（4，0），把A （1，3）代入y 2=34x+b ，可得3=34+b ，∴b=94，∴y 2=34x+94，令y 2=0，则x=﹣3，即C （﹣3，0），∴BC=7，∵AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，∴P （﹣54，0）或（94，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．23．（1）4；（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②514b -≤<-或71144b <≤．分析：（1）根据点A （4，1）在k y x=（0x >）的图象上，即可求出k 的值；（2）①当1b =-时，根据整点的概念，直接写出区域W 内的整点个数即可.②分a ．当直线过（4，0）时，b ．当直线过（5，0）时，c ．当直线过（1，2）时，d ．当直线过（1，3）时四种情况进行讨论即可.（1）解：∵点A （4，1）在k y x=（0x >）的图象上．∴14k =，∴4k =．（2）①3个．（1，0），（2，0），（3，0）．②a ．当直线过（4，0）时：1404b ⨯+=，解得1b =-b ．当直线过（5，0）时：1504b ⨯+=，解得54b =-c ．当直线过（1，2）时：1124b ⨯+=，解得74b =d ．当直线过（1，3）时：1134b ⨯+=，解得114b =∴综上所述：514b -≤<-或71144b <≤．点睛：属于反比例函数和一次函数的综合题，考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握整点的概念是解题的关键,注意分类讨论思想在解题中的应用.24．(1)4(2)①4z x x=-；②2,3,4,6【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①设点A 坐标为1,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，继而解得点D 的横坐标为4z x x =-，根据题意解题即可；②分两种种情况讨论，当过点3,2（）的直线与x 轴垂直时，或当过点3,2（）的直线与x 轴不垂直时，结合一元二次方程求解即可．解：（1）由题意得，1AB AD ==，∴点A 的坐标是(4,1)，所以414k =⨯=；故答案为：4（2）①设点A 坐标为1,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点D 的横坐标为4z x x =-，所以这个“Z 函数”表达式为4z x x=-；②第一种情况，当过点3,2（）的直线与x 轴垂直时，3x =；第二种情况，当过点3,2（）的直线与x 轴不垂直时，设该直线的函数表达式为'(0)z mx b m =+≠，23m b ∴=+，即32b m =-+，'32z mx m ∴=-+，由题意得，432x mx m x-=-+22432x mx mx x ∴-=-+，2(1)(23)40m x m x ∴-+-+=（a ）当1m =时，40x -+=，解得4x =；（b ）当1m ≠时，2224(23)4(1)4928200b ac m m m m -=---⨯=-+=，解得12102,9m m ==，当12m =时，()2244020x x x -+=-=，．解得122x x ==；当2109m =时，()2221440,12360,6093x x x x x -+=-+=-=，解126x x ==所以x 的值为2,3,4,6．【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。
中考数学复习指导：反比例函数图象中的面积问题
1反比例函数图象中的面积问题在最近几年中考中，我们经常遇到一类与双曲线有关的面积问题．要解决这类问题，应掌握以下几个方面的基础知识：设反比例函数式为y ＝k x． (1)如图1，由双曲线上一点向两条坐标 轴作垂线段，由这两条垂线段与两坐标轴围 成的矩形的面积为：S 四边形OMPN ＝k ．(2)如图2，由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连结这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积为：S △POM ＝S △PON ＝12k ． (3)理解点的坐标的几何意义：点P 的坐标为(m ，n)，则m 表示P 到y 轴的距离；n 表示P 到x 轴的距离．(4)双曲线关于原点O 对称，因此双曲线1k y x =与过原点O 的正比例函数y ＝k 2x 的交点关于原点O 对称．(5)点P 在双曲线y ＝k x的图象上，设P 点的横坐标为m ，则P 点的坐标可表示为（m ，k m）． (6)利用割补法求面积．尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）．一、利用双曲线的对称性例1 如图3，A ，B 是函数y ＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则( )(A)S ＝2 (B)S ＝4(C)2<S<4 (D)S>4考点 反比例函数系数k 的几何意义．2分析 设点A 的坐标为(x ，y)，则B （－x ，－y ），xy ＝2，∴AC ＝2y ，BC ＝2x ， ∴S △ABC 的面积＝2x ×2y ÷2＝2xy ＝4．故选B ．例2 如图4，点A 是双曲线y ＝k x在第二象限分支上的任意一点．点B 、点C 、点D 分别是点A 关于x 轴、坐标原点、y 轴的对称点，若四边形ABCD 的面积是8，则k 的值为( )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)－2考点 反比例函数系数k 的几何意义，关于原点对称、x 轴、y 轴对称的点的坐标，矩形的判定和性质．分析 因为点B 、点C 、点D 分别是点A 关于x 轴、坐标原点、y 轴的对称点，所以四边形ABCD 是矩形．由四边形ABCD 的面积是8，得 4×k −＝8，解得k ＝2．又∵双曲线位于第二、四象限，∴k<0，k ＝－2．故选D ．二、利用点的坐标的几何意义例3 如图5，点A 是反比例函数y ＝2x (x>0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y ＝－3x的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S △BCD 为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5考点 反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质． 分析 设A 的纵坐标是a ，则B 的纵坐标也是a ．3例4 如图6．，双曲线y ＝k x．经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是_______．考点 反比例函数综合题．4三、利用分类讨论思想例3 如图7，正方形OABC 的面积为9，点O 是坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y ＝k x （k>0，x>0）的图象上，点P(m 、n)是函数y ＝k x上任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 中和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．(1)求点B 的坐标和k 值；(2)当S ＝92时，求P点的坐标．四、利用“割补法”例4 如图8，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3x上，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABDC 为矩形，则它的面积为_______．考点 反比例函数系数k 的几何意义，分析 如图8，过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ．∵点A 在双曲线y ＝1x． ∴四边形AEOD的面积为1．∵点B在双曲线y＝3x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3．∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2．五、构造辅助图形例5 如图9，矩形ABCD中，C是AB的中点，反比例函数y＝kx（k>0）在第一象限的图象经过A、C两点，若△OAB面积为6，则k的值为( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16考点反比例函数系数k的几何意义，三角形中位线定理．分析如图9，分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N．∵点C为AB的中点，∴CE为△AMB的中位线，故可设MN＝NB＝a，CN＝b，AM＝2b．又∵OM·AM＝ON·CN，∴OM＝a，∴△OAB的面积＝3a．2b÷2＝3ab＝6．∴ab＝2，∴k＝a－2b＝2ab＝4．故选B．例8 如图10，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(－2，－1)，且P（－1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP的面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由解(1)设正比例函数的关系式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入，得k＝12．∴正比例函数的关系式为y＝12x．同理可得反比例函数的关系式为y＝2x．(2)存在，当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为（m，12 m）．5。
中考专题复习——反比例函数知识点+历年真题精析
反比例函数一、反比例函数的图象和性质 【例1】(台州市)反比例函数xy 6=图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．321y y y <<B ．312y y y <<C ．213y y y <<D ．123y y y <<【迁移训练】（哈尔滨市）反比例函数y ＝x3-k 的图象，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）．（A ）k ＜3 （B ）k ≤3 （C ）k ＞3 （D ）k ≥3二、用待定系数法确定反比例函数的解析式 【例2】（兰州市）如图1，P 1是反比例函数)0(>=k xky 在第一象限图象上的一点，A 1 的坐标为(2，0)．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积将如何变化？ （2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．图1DBAyxOC 图4【迁移训练】（郴州市）已知：如图2，双曲线y=kx的图象经 过A （1，2）、 B （2，b ）两点.（1）求双曲线的解析式；（2）试比较b 2的大小.三、反比例函数中的面积问题【例3】（眉山市）如图3，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角 三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ）A ．12B ．9C ．6D ．4【迁移训练】（泉州南安市）如图4 ，已知点A 在双曲线y=6x上，且 OA=4，过A 作AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ． （1）则△AOC 的面积= ，（2）△ABC 的周长为图2B (2,b)A (1,2)yxOy=k x四、反比例函数的综合应用与探究【例4】（成都市）如图5，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+ 的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．【例5】（济宁市)如图6，正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.OMxyA图6【迁移训练】（河北省）如图7，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． （1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标； （2）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； （3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围．1、（2011江苏省无锡市，4，3′）若双曲线ky x =与直线21y x =+一个交点的横坐标为－1，则k 的值为（ ）A ．－1. B. 1 C.－2 D.22、(2012四川省南充市，6，3分) 矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）3、（2012山东省荷泽市，6，3）反比例函数2y x=图象上的两上点为（x 1,y 1）,(x 2,y 2)，且x 1<x 2,则下列关系成立的是（ ）A.y 1>y 2B.y 1<y 2C.y 1=y 2D.不能确定4、（2012广州市，10， 3分）如图3，正比例函数y 1=kx 和反比例函数y 2=2k x 的图像交于A （－1,2）、（1,－2）两点，若y 1 ＜y 2，则x 的取值范围是（ ）MN yD AB CEOA.x ＜－1或x ＞1B. x ＜－1或0＜x ＜1C. －1＜x ＜0或 0＜x ＜1D. －1＜x ＜0或x ＞1 5、（2012浙江省衢州，12，4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式_________.6、（2012四川内江，3，3分）已知反比例函数y ＝kx 的图象经过点（1，－2），则k 的值为( ) A ． 2B ．－12C ．1D ．－27、（2012贵州铜仁，5，4分）如图，正方形ABOC 的边长为2， 反比例函数kyx 的图象经过点A ，则k 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－48、(2012山东德州中考,8,3,)如图，两个反比例函数1y x =和2y x =-的图象分别是1l 和2l ．设点P 在1l上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交2l 于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交2l 于点B ，则三角形PAB 的面积为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）92 （D ）59、（2012湖南湘潭，16，3分）近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (m )成反比例(即)0(≠=k x ky )，已知200度近视眼镜的镜片焦距为m 5.0,则y 与x 之间的函数关系式是 ________ .xyAP B D C O1l 2l7题图10、（2012连云港，13，3分）已知反比例函数y=2x 的图像经过点A （m ，1）,则m 的值为 _______ 。
反比例函数面积问题专题
反比例函数面积问题专题反比例函数面积问题是数学中的一个重要问题，也是中学数学中常见的题型之一、这种问题涉及到两个变量的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比例关系。
在解决这类问题时，需要通过分析问题的条件和利用数学公式，找出两个变量之间的关系，并求解出所要求的面积。
首先，让我们来梳理一下反比例函数的基本概念。
反比例函数也被称为倒数函数或者比例函数的倒数。
当两个变量的乘积为常数时，我们就可以称它们之间存在反比例关系。
即当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。
反比例函数可以用以下的公式来表示：y=k/x其中，y和x分别代表两个变量的值，k为常数，表示两个变量的乘积。
通过这个公式，我们可以求出y与x的关系，也可以表示成x与y的关系。
反比例函数在数学学科中有着广泛的应用，并且有很多技巧可以帮助我们解决相关的问题。
接下来，让我们来讨论解决反比例函数面积问题的思路。
对于这类问题，我们通常需要求解一个围成面积的最大或者最小值。
我们可以按照以下的步骤来解决这类问题：1.确定问题的条件：首先，我们需要明确给定的条件，包括一些已知的数值和问题的限定条件。
2.建立模型并画图：根据给定条件，我们可以建立一个函数模型来描述两个变量的关系，同时我们还可以画出一个图形，以便更好地理解问题。
3.确定所要求的值：根据问题的要求，我们需要确定所要求的面积，是最大的还是最小的。
4.利用数学方法求解：根据问题的要求和模型函数，我们可以通过求导、解方程等数学方法，求得所要求的面积的最大或最小值。
最后，让我们来看几个实际的例子，以更好地理解反比例函数面积问题。
例子1：一个矩形的长和宽成反比例关系，如果矩形的周长为60，求矩形的最大面积。
解决思路：首先根据周长的公式可以得到l + w = 30，然后利用面积公式S = lw，将w表示成l的函数，即w = 30 - l。
将这个表达式代入面积公式中，得到S = l(30 - l) = 30l - l^2、这是一个二次函数，即S = -l^2 + 30l。
反比例函数背景下的面积问题(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
模型介绍一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。
如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。
但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
【例1】．如图，反比例函数y＝在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是8．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴x＝2时，y＝3；x＝6时，y＝1，＝S△OBD＝3，故S△ACOS四边形AODB＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB的面积是：11﹣3＝8．故答案为：8．变式训练【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4B．6C．10D．12解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故选：D．【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，＝4，则k的值为16．若E是AB的中点，S△BEF解：设E（a，），则B纵坐标也为，∵E是AB中点，∴F点坐标为（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，＝4，∵S△BEF∴a•＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为12．解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，设A（a，6），则B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案为12．变式训练【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（）A．9B．8C．7D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，＝S△BOE＝×12＝6，∴S△AOD＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∵S△OAB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，∴S△AOB故选：A．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，＝9，∴S△AOE∵双曲线y＝经过点A，＝|k|＝9，∴S△AOE∵k＞0，∴k＝18，故选：A．3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为（）A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故选：A．4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（）A．7B．C．D．3解：∵点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴双曲线为y＝，∴n＝，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∵S△AOB∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故选：A．5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴＝3，则S△于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCDAOC为（）A．2B．3C．4D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝12，∵AC⊥x轴，＝＝6，∴S△AOC故选：D．6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）A．10B．5C．D．解：设E点的坐标是（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y），则D点的坐标是（，2y），∵△OBD的面积为10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故选：D．8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（）A．6B．9C．D．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝12，∵S△ODE∴4k﹣k﹣+＝12k＝故选：D．9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为2．解：如图，过点P作x轴的垂线于M，∵△POQ为等边三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函数的图象经过点P，∴设P（a，）（a＞0），则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（负值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP 的面积为5．解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，﹣S△APB＝3﹣＝5，∴△OAP的面积是S△ABO故答案为：5．12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC 面积的最小值为6．解：方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．＝AC•BC∵S△ABC＝（﹣）（a﹣b）＝••（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．方法二：因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，＝AC•BC＝AB2，∴S△ABC当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，联立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，＝×4×6＝6．∴S△ABC最小故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线＝6，则k的值为8．段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝•＝，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，＝S△AOD，∵S△COES△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）•AE＝6，即（+）•（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案为：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△OEC＝k，∴S△BOD∵C为斜边OB的中点，＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴S△OCD∴×k＝6，∴k＝8．故答案为：8．14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程组，解得；（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），＝×6×4+×6×1＝15；∴S△AOB（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；．（3）求S△OEB解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线OA的解析式为：y＝bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直线OA的解析式为：y＝x，则，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解式为：y＝x﹣2；＝OB•|y E|＝×8×3＝12．（3）S△OEB18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；．（3）求S△OAB解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴a＝×3＝4，∴点A的坐标为（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式y＝．（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴点B的坐标为（6，2）．（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面积为9．19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比＝4．例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．＝•|x A|•y B，解：（1）由题意得：S△AOB即×2×y B＝4，y B＝4，∴B（2，4），设反比例函数的解析式为：y＝，把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由题意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．∴S△ODB20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB 的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．（1）求k的值；（2）求四边形OABC的面积．解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函数的图象经过点C点，∴k＝2×2＝4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D点的纵坐标为1，∵反比例函数的图象过点D点，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴点A的坐标为（2，12），将A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在y＝中y＝6时，x＝4，∴点B（4，6），而A（2，12），如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE∴S△AOB＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，＝S△AOC+S△COB∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣＜0．23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵A点坐标为（3，2），∴k1＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝；把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；把y＝4代入y＝得x＝，则E点坐标为（，4），把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，得，解得，，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）＝；（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．解：（1）反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝．一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），所以，解得n＝﹣1，b＝﹣5．∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；（2）由，解得或．∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），S△OPQ＝S△OP A﹣S△OAQ＝×5×4−×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C 的坐标为（﹣3，），代入y ＝得：k ＝﹣3答：k 的值为﹣3；（2）过点A 作AN ⊥OB ，垂足为N ，由题意得：AN ＝2CM ＝2，ON ＝OB ＝2，∴A （﹣2，2），设直线OA 的关系式为y ＝kx ，将A 的坐标代入得：k ＝﹣，∴直线OA 的关系式为：y ＝﹣x ，由题意得：，解得：舍去，，∴D （﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED ＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0，②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x +3+，∵y ＝mx +n 与直线y ＝x +3+平行，∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2且n ．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2且n ≠3+．。
与反比例函数有关的面积问题(中考数学复习专题)
（第3题图）
4. 如图，点A，B是双曲线y＝6 上的点，分别过点A，
x
B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，
则两个空白矩形面积的和为8________．
【解析】由反比例函数系数k的几 何意义可知，S矩形ODAE＝S矩形OMBN＝ |k|＝6，而阴影部分矩形共用， ∴S矩形EAKN＝S矩形KDMB＝6－2＝4，∴
的图
象于点B，以AB为边作平行四边形ABCDx，其中C、D在x
轴上，则S▱ABCD为5 ________．
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(第10题图)
【解析】设点A的纵坐标为b，∵点A在反比例函
数 y＝ 2 上，∴ 2
＝b，解得2 x＝
，
x
x
∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为－
3 b ＝b，解得
x
x＝ ﹣3
，∴AB2 ＝
3 －(－5
2
分， ∴S△ODC ＝S四边形ABEC＝1，又∵C是AD的
中点，∴S△ODC＝S△OAC＝1，∴S△AOD＝ S△ODC
＋S△OAC＝2，∴
|k1 |＝2，∴k＝±4，
2
又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝4.
（第2题图）
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模型二 一点两垂线
模型 分析
过反比例函数图象上一点作两
条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积等
两个空白矩形面积的和为4＋4＝8.
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（第4题图）
模型三 原点一垂线
模型
过正比例函数与反比例函数的一
分析
个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形面
积等于|k|.
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5.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝k
反比例函数中的面积问题__经典难题复习巩固
反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。
一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。
难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。
温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。
它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。
这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。
于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。
奇迹是执着者造成的。
二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|三、专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。
反比例函数全章复习与巩固(基础)知识讲解
反比例函数全章复习与巩固（基础）责编：常春芳【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；()0ky k x=≠2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质()0ky k x=≠分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】要点一、反比例函数的概念一般地，形如ky x =(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.x 要点诠释：在ky x =中，自变量x 的取值范围是，k y x =()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定ky x=系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，k x y 、k 从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、()0ky k x=≠三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交x y 点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；)0(≠=k x ky x y x y -==和②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；)0(≠=k x ky ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.xky x k y -==和x y 注：正比例函数与反比例函数，x k y 1=xk y 2=当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这021<⋅k k 021>⋅kk 两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而0k >x y 、y x 减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而0k <x y 、y x 增大.（2）若点()在反比例函数ky x =的图象上，则点（）也在此图象上，故反比a b ，a b --，例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限；0k >，二、四象限0k <，一、三象限0k >，二、四象限0k <增减性，随的增大而增大0k >y x ，随的增大而减小0k <y x ，在每个象限，随的增大而减小0k >y x ，在每个象限，随的增大而增大0k <y x （4）反比例函数y ＝中的意义k ①过双曲线x k y =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k.②过双曲线x k y =(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的k 面积为2k.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、已知函数是反比例函数，则的值为 .()32k y k x -=+k 【答案】2k =【解析】根据反比例函数概念，＝且，可确定的值.3k -1-20k +≠k 【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（ ）.5n y x+=n A. B. C. 0D. 12-1-【答案】D ；反比例函数过点（2，3）．． 5n y x +=53,12n n +==∴∴类型二、反比例函数的图象及性质2、已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求42my x-=y x 的取值范围．21m -【思路点拨】由反比例函数性质知，当＞0时，在每个象限内随的增大而减小，由k y x 此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围．m 21m -【答案与解析】解：由题意得：，解得，420m ->2m <所以，则＜3．24m <21m -【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．举一反三：【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为2k y x-=k ________（写出满足条件的一个的值即可）．k 【答案】3（满足＞2即可）.k 3、在函数（，为常数）的图象上有三点(－3，)、(－2，)、||k y x-=0k ≠k 1y 2y (4，)，则函数值的大小关系是（ ）3y A ． B ． C ． D ．123y y y <<321y y y <<231y y y <<312y y y <<【答案】D ；【解析】∵ ||＞0，∴ －||＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限k k 里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，∴ y x 1y 2y 3y 它们的大小关系是：．312y y y <<【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，1y )、(－2，2y )在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以12y y <，点(4，3y )在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．举一反三：【变式1】（2014春•海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.A. B.C. D.【答案】C ；提示：分两种情况讨论：①当k ＞0时，y=kx+3与y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；②当k ＜0时，y=kx+3与y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C ．【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】【变式2】已知,且则函数与在同一坐标＞b a ,0,0,0≠+≠≠b a b a b ax y +=xba y +=系中的图象不可能是( ) .【答案】B ；提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函<0,0a b <0a b +<数来说，，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.0a b +>4、如图所示，P 是反比例函数图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此ky x=反比例函数的关系式．【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出的值，P 点既在函数的图象上又是矩形的顶k 点，也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．【答案与解析】解：设P 点的坐标为(，)，由图可知，P 点在第二象限，∴ ＜0，＞0．x y x y ∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－、．x y ∵ 矩形的面积为2，∴ －＝2，∴ ＝－2．xy xy ∵ ＝，∴ ＝－2．xy k k ∴ 此反比例函数的关系式是．2y x=-【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线所得矩形面x y 积为||这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．k 举一反三：【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A 、B ，分别作轴的垂线，)(0x x2y >=x 垂足为，连接OA ，OB ，与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形的面积分别''B A 、'AA B B PA ''为，试比较的大小.21S S 、21S S 、【答案】解：∵，AOP AOA A OP S S S ''∆∆∆=-OB A OPA PBB S B S S ''''∆∆=-梯形 且，AOA 112122A A S x y '∆==⨯=OB 112122B B B S x y '∆==⨯=∴.21S S =类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(－3，ky x=y mx n =+4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数x 的表达式．【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交ky x=y mx n =+点，所以把(－3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数ky x=的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一y mx n =+m n ，次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交x 点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．【答案与解析】解：因为函数的图象经过点(－3，4)，ky x= 所以，所以＝－12．43k=-k 所以反比例函数的表达式是．12y x=-由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则y mx n =+x 分两种情况讨论：当直线经过点(－3，4)和(5，0)时，y mx n =+有 解得43,05,m n m n =-+⎧⎨=+⎩1,25.2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以．1522y x =-+当直线经过点(－3，4)和(－5，0)时，y mx n =+有 解得 所以．43,05,m n m n =-+⎧⎨=-+⎩2,10.m n =⎧⎨=⎩210y x =+所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或12y x =-1522y x =-+．210y x =+【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解．举一反三：【变式】如图所示，A 、B 两点在函数的图象上．(0)my x x=>（1）求的值及直线AB 的解析式；m （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【答案】解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得＝6．(0)my x x=>m 设直线AB 的解析式为．y kx b =+∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上，y kx b =+∴ 解得6,61,k b k b +=⎧⎨+=⎩1,7.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线AB 的解析式为．7y x =-+（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．类型四、反比例函数应用6、（2015•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v （千米/小时）与所用时间t （小时）的函数关系如图所示，其中60≤v ≤120．（1）直接写出v 与t 的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A 、B ，它们相距200千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进入A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．【答案与解析】解：（1）设函数关系式为v=，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意．当v=110时，v﹣20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.。
反比例函数中的面积问题专题课程教案
反比例函数中的面积问题专题课程教案第一章：反比例函数的概念与性质1.1 反比例函数的定义引导学生回顾反比例函数的定义，即形如y = k/x (k ≠0) 的函数。
强调反比例函数中k 的作用，k 表示函数在x 轴和y 轴上的截距。
1.2 反比例函数的性质分析反比例函数的图像特征，如双曲线、渐近线等。
探讨反比例函数的单调性、奇偶性等性质。
第二章：反比例函数图像的绘制2.1 绘制反比例函数图像的基本方法介绍利用坐标轴、点斜式等方法绘制反比例函数图像。
强调反比例函数图像的中心对称性和轴对称性。
2.2 利用尺规作图绘制反比例函数图像引导学生运用尺规作图的方法，绘制特定k 值的的反比例函数图像。
讨论不同k 值对图像形状和位置的影响。
第三章：反比例函数中的面积问题3.1 反比例函数图像的面积计算引入反比例函数图像中任意三角形、四边形的面积计算方法。
强调利用函数值和坐标轴围成的封闭区域的面积计算公式。
3.2 反比例函数图像与坐标轴围成的面积引导学生探讨反比例函数图像与坐标轴围成的封闭区域的面积。
分析不同k 值对封闭区域形状和面积的影响。
第四章：反比例函数图像的交点问题4.1 反比例函数图像与直线交点的求解引导学生运用解析几何方法，求解反比例函数图像与直线的交点。
强调运用韦达定理、判别式等工具解题。
4.2 反比例函数图像与圆的交点问题探讨反比例函数图像与圆的交点个数和位置关系。
引导学生运用代数方法解反比例函数与圆的交点问题。
第五章：反比例函数图像的应用问题5.1 反比例函数图像在实际问题中的应用引入实际问题，如面积、距离、速度等，运用反比例函数图像解决。
强调反比例函数图像在实际问题中的直观性和实用性。
5.2 反比例函数图像的综合应用问题引导学生运用反比例函数图像解决综合应用问题，如平面几何、物理等。
强调运用反比例函数图像解决问题的方法和技巧。
第六章：反比例函数图像的变换6.1 反比例函数图像的平移讲解反比例函数图像如何通过平移实现变换，包括上下左右平移。
反比例函数中的面积问题经典难题复习巩固
反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。
一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。
难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。
温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。
它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。
这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。
于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。
奇迹是执着者造成的。
二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|三、专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。
中考数学专题复习反比例函数面积问题(两点两垂线)
中考数学专题复习反比例函数面积问题（两点两垂线）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，点A是第一象限内双曲线y＝mx（m＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝nx（n＜0）于点B，作AC∥y轴，交双曲线y＝nx（n＜0）于点C，连接BC．若△ABC的面积为92，则m，n的值不可能是（）A．m＝19，n＝﹣109B．m＝14，n＝﹣54C．m＝1，n＝﹣2D．m＝4，n＝﹣2评卷人得分二、填空题2．如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．3．点A，B分别是双曲线(0)ky kx=>上的点，AC y⊥轴正半轴于点C，BD y⊥轴于点D，联结AD，BC，若四边形ACBD是面积为12的平行四边形，则k=________．参考答案：1．A【解析】【分析】设A的坐标为（x，mx），分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出()2m n=9m-，再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可．【详解】解：⊥点A是第一象限内双曲线y＝mx（m＞0）上一点，⊥设A的坐标为（x，mx ），⊥AB∥x轴，AC∥y轴，且B、C两点在y＝nx（n＜0）上，⊥B的坐标为（nxm ，mx），C的坐标为（x，nx），⊥AB=nxmx-，AC=n-xmx，⊥△ABC的面积为92，⊥19 22 AC BA⨯=，⊥nxmx⎛⎫-⎪⎝⎭n-x⎛⎫⎪⎝⎭mx=9，⊥()2m n=9m-，⊥将m和n的值代入，只有选项A中不符合．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能力．2．12【解析】【分析】先证明四边形AMBN是平行四边形，AMBN的面积实际上就是ABM面积的2倍，则S △ABM ＝12，结合图象可知12k =． 【详解】解：⊥OA =OB ，ON =OM ，⊥四边形AMBN 是平行四边形，⊥S 四边形AMBN ＝1，⊥S △ABM ＝12， 设点A 的坐标为（x ，y ），⊥B 的坐标为（−x ，−y ），⊥12×2x ×y ＝12， ⊥xy ＝12， ⊥k ＝xy ＝12． 故答案是：12．【点睛】 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，是解题的关键．3．6【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质得出,OA OB OC OD ==，从而有412AOC ABCD S S ==△四边形，然后根据k 的几何意义求解即可．【详解】如图，⊥点A ，B 分别是双曲线(0)k y k x=>上的点，AC y ⊥轴正半轴于点C ，BD y ⊥轴于点D ， //AC BD ∴．⊥四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，AC BD ∴=，⊥A ，B 关于原点对称，,OA OB OC OD ∴==，412AOC ABCD S S ∴==△四边形，3AOC S ∴=△，236k ∴=⨯=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k 的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k 的几何意义是解题的关键．。
初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习
初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习夯实基础1.如图，点A 是反比例函数xy 6-=(x <0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B . C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A . 1 B . 3 C . 6 D . 122.如图，直线y =mx 与双曲线xky =交于A . B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM =2，则k 的值是( )A . 2B . m −2C . mD . 43.如图，点A 在双曲线x y 1=上，点B 在双曲线xy 3=上，且AB ∥x 轴，C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 44.如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是______.5.如图，点P 、Q 是反比例函数xky =图象上的两点，P A ⊥y 轴于点A ，QN ⊥x 轴于点N ，作PM ⊥x 轴于点M ，QB ⊥y 轴于点B ，连接PB 、QM ，△ABP 的面积记为S 1，△QMN 的面积记为S 2，则S 1 S 2.(填“>”或“<”或“=”)6.如图，在平面直角坐标系中，过点M (−3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数xy 2=的图象交于A . B 两点，则四边形MAOB 的面积为 .7.如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy 4-=和xy 2=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 .8.如图，已知双曲线xky =(k <0)经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C . 已知点A 的坐标为(−6，4).(1)求此反比例函数的解析式； (2)连接OC ，求△AOC 的面积.9.(1)如图，过反比例函数xky =(x >0)图象上任意一点P (x ，y )，分别向x 轴与y 轴作垂线，垂线段分别为P A 、PB ，证明：S 矩形OAPB =k ，S △OAP =21k ，S △OPB =21k . (2)如图，反比例函数xky =(x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、 E ，若四边形ODBE 的面积为9，求k 的值.能力培优1.如图所示，已知点P 为反比例函数xy 4=(x >0)图象上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，P A ，PO 分别交于反比例函数xy 1=图象于B ，C 两点，则△P AC 的面积为( ) A . 1 B . 1.5 C . 2 D . 32.如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A . D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B . E 在反比例函数xky =的图象上，OA =1，OC =6，则正方形ADEF 的边长为 .3.函数x y 4=和x y 1=在第一象限内的图象如图，点P 是x y 4=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交xy 1=的图象于点B . 给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②P A 与PB 始终相等；③四边形P AOB 的面积大小不会发生变化；④CA =31AP .其中所有正确结论的序号是（ ）A . ①②③B . ②③④C . ①③④D . ①②④4.如图，点A 在双曲线xy 3=第三象限的分支上，连结AO 并延长交第一象限的图象于点B ，画BC ∥x 轴交反比例函数xky =的图象于点C ，若△ABC 的面积为6，则k 的值是 .5.如图，点B 1在反比例函数xy 2=(x >0)的图象上，过点B 1分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，得到第一个矩形AOC 1B 1，点C 1的坐标为(1，0)；取x 轴上一点C 2(23，0)，过点C 2作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 2，过B 2作线段B 2A 1⊥B 1C 1，交B 1C 1于点A 1，得到第二个矩形A 1C 1C 2B 2；依次在x 轴上取点C 3(2，0)，C 4(25，0)…按此规律作矩形，则第10个矩形A 9C 9C 10B 10的面积为 .6.如图，双曲线x k y =与xy 6-=上分别有两点A . B ，AB ∥x 轴，直线y =x +b 过点A ，另交xky =于C ，交x 轴、y 轴于M 、N ，若MC =CA =AN ，且△ABC 面积为1，则k = .7.如图,P 是反比例函数xky =(k >0)的图象上的任意一点,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,已知S △OPM =3.(1)求k 的值；(2)若直线y =ax (a >0)与上述反比例图象在第三象限交于一点A ,Q 为反比例函数图象上一点,过Q 作y 轴的垂线,垂足为N (0,3).假设四边形AOQN 的面积为21，求a 的值。
反比例函数中的面积问题专题课程教案
反比例函数中的面积问题专题课程教案一、教学目标1. 让学生理解反比例函数的定义及其图像特征。
2. 培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握反比例函数中的面积计算方法。
二、教学内容1. 反比例函数的定义及图像特征2. 反比例函数在实际问题中的应用3. 反比例函数中的面积计算方法4. 反比例函数综合练习三、教学重点与难点1. 重点：反比例函数的定义，反比例函数的图像特征，反比例函数中的面积计算方法。
2. 难点：反比例函数在实际问题中的应用，反比例函数中的面积计算方法的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究反比例函数的性质及其应用。
2. 利用多媒体课件辅助教学，清晰展示反比例函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问，及时解答学生心中的疑惑。
4. 组织小组讨论，培养学生的合作意识，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：以实际问题引入反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解反比例函数的定义，引导学生绘制反比例函数的图像，分析其图像特征。
3. 实例分析：选取生活中的实例，让学生运用反比例函数解决问题，体会反比例函数的应用价值。
4. 面积计算：讲解反比例函数中的面积计算方法，引导学生进行相关练习。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 采用课堂问答、练习题和小组讨论等方式，及时了解学生对反比例函数的理解程度和应用能力。
2. 关注学生在解决问题时的思维过程，鼓励学生发表自己的观点，提高学生的逻辑思维能力。
3. 定期进行课堂小测，了解学生对反比例函数知识的掌握情况，为下一步教学提供依据。
七、教学拓展1. 引导学生探究反比例函数与其他函数的联系与区别，提高学生的整合能力。
2. 介绍反比例函数在实际工程、物理等领域的应用，拓宽学生的知识视野。
3. 组织学生进行反比例函数的课题研究，培养学生的研究意识和创新能力。
初三数学反比例函数中的面积问题专题辅导
反比例函数中的面积问题俞伟文2007年数学中考试题中，出现较多与反比例函数有关的面积问题，本人在教学过程中感到学生对这部分内容的理解有些难度，主要问题是对这些题目没有找到它们之间的内在关系. 现以2007年的数学中考题为例加以分析，希望能对同学学习有所帮助.一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图形面积例1 反比例函数y=xk的图像如图1所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON =2，则k 的值为 .分析 图中△MON 是以图像上一点和过这点作x 轴或y 轴的垂线所得的垂足及坐标原点围成的，只需根据三角形面积公式就可以求出k 的值.解 设M 点的坐标为（x, y ），则S △MON =21|xy|=21|k|=2，得|k|=4，∴k=±4（k=4不合题意，舍去），即k=-4.变式1：如图2，已知点P 在函数y=x2（x ＞0）的图像上，PA ⊥x 轴、PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，则矩形OAPB 的面积为 .分析 只是把图中的三角形变为矩形，所以S 矩形OAPB =|xy|=2.二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊点所围成的图形面积例2 如图3，反比例函数y=x5的图像与直线y=kx （k ＞0）相交于A 、B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位.分析 Rt △ABC 的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点，分别在反比例函数图像的两个分支上，且知道反比例函数图像上的A 、B 两点关于原点成中心对称，∴S △ABC =21|2x ×2y|=2|xy|=10. 变式1. 如图4，直线y=mx 与双曲线y=xk交于点A 、B. 过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为点M 连接BM. 若S △ABM =1，则k 的值是（ ）.A ．1 B. m-1 C ．2 D. m分析 图形变为反比例函数图像上的A 、B 两点和其中一点与坐标轴的交点所围成的△AMB ，底为|y|，高为|2x|，则S △ABM =21|y ×2x|=|xy|=|k|=1，得k=±1（根据图形知k ＞0），所以k=1.变式2. 如图5，直线y=mx 与双曲线y=xk交于点A 、B 过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴、BN ⊥x 轴，垂足分别为M 、N ，连接BM 、AN. 若S AMBN =1，则k 的值是 .分析 图形变成AMBN ，它的面积实际上就是△ABM 面积的2倍，则SAMBN =2|xy|=2|k|=1，结合图像可知k=21. 三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积例3 如图6，在直角坐标系xOy 中，一次函数y=k 1x+b 的图像与反比例函数y=xk 2的图像交于A （1，4）、B （3、m ）两点.（1）求一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 分析 （1）略；（2）△AOB 是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，△AOB 面积直接比较难求，可看作S △COD - S △COA - S △BOD . 先求出一次函数的解析式，然后求出一次函数y=k 1x+6的图像与x 轴和y 轴的交点坐标，就可求出S △COD 、S △COA 、S △BOD ，即可求出S △AOB =4×316×21-316×1×21-4×34×21=316.变式1. 如图7，一次函数y=kx+b 的图像与反比例函数y=xm的图像交于A （-2，1），B （1，n ）两点.（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 分析 （1）略：（2）△AOB 也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形，只是把△AOB 的面积看作S △COD + S △COA + S △BOD ，即可求得S △AOB =1×1×21+1×1×21+1×1×21=23. 四、以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积例4 如图8，已知双曲线y=xk（x ＞0）经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k= .分析 这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积. 四边形OEBF 的面积可看作S 矩形OABC - S △COE - S △AOF ，设F 点的坐标为（x, y ），则E 点的坐标为（21x, 2y ），S 矩形OABC =x ×2y=2xy=2k, S △COE =21x ×2y ×21=21xy=21k ，S △AOF =21xy=21k ，所以S 四边形OEBF =k=2.五、以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标轴围成的图形和面积例5 如图9，D 是反比例函数y=xk（k ＜0）的图像上一点，过D 作DE ⊥x 轴于E ，DC ⊥y 轴于C ，一次函数y=-x+m 与y=-33x+2的图像都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，四边形DCAE 的面积为4，求k 的值.分析 先求出C （0，2），D （2k，2）和m=2，再求出A （2，0），得S 矩形OCDE =-k ，S △COA =2，所以-k+2=4，得k=-2.。
数学人教版九年级下册小专题---反比例函数中的面积问题
小专题----反比例函数中的面积问题班级：____________姓名：_______________一、复习反馈，导入新课1、反比例函数性质（1）反比例函数x y 2=的图像位于第_________象限，且在每一个象限中，y 随着x 的增大而_______;（2）反比例函数xk y 3-=的图像的一支位于第二象限，则另一支位于第___象限，且k 的取值范围是__________.2、如图，完成下列各题（1）点P 的坐标___________,|PA|=_________,|PB|=________;（2）矩形OAPB 的面积为_________;（3）△OPB 的面积为_____________;（4）点P 关于x 轴对称点的坐标__________;（5）反比例函数xk y =的图像经过点P ，则k=_______. 二、自主学习，归纳结论例1：如图，点P 是反比例函数xk y =图象上的一点，PA ⊥x 轴于A ， PB ⊥y 轴于B 。
求（1）矩形PAOB 的面积；（2）△OPA 的面积。
归纳：反比例函数中k 的几何意义：过反比例函数x k y =中，任意一点P （m ，n ）分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B ，则（1）所围成的矩形面积是一个定值，_______________O A PB ==⋅=OB OA S 矩形；（2）连接OP ，_________________________====∆∆O BP O AP S S 。
（注：解选择题、填空题时刻直接使用，但解答题要写出必要的过程。
）变式1：已知k 值求面积1、如图,点P 是反比例函数x 3y -= 图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,则长方形ONPM 的面积是多少？（注：无论矩形面积在哪个象限，矩形面积都是正的）变式2：已知面积求k 值2、如图，若四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数xk y =的图象过点B ，则k 的值为多少？3、已知反比例函数xm y 7-=的图像的一支位于第一象限。
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反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。
一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。
难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。
温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。
它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。
这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。
于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。
奇迹是执着者造成的。
二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|三、专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。
第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。
如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3∴∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。
考点二已知反比例函数解析式，求图形的面积【例2】（1）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ B ）A ．B．C． D．分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。
对于A：S=4，对于B ：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=，对于C：S=4，对于D ：S=4 故选（B）（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3 ∴S1=S2=2 S1+S2=4评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。
考点三利用点的坐标及面积公式求面积【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．解：（1）在上．反比例函数的解析式为：．点在上经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点当时，点如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积..解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=（2）∵B点的横坐标为-4，∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2)∵点A（-2，4）、点B（-4，2）在直线y=kx+b上∴4=-2k+b 且2=-4k+b解得k=1 b=6∴直线AB为y=x+6与x轴的交点坐标C（-6，0）∴S==12评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。
难度属中档题。
考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题【例4】已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄y榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示） 分析：∵x,y 为正整数，∴x=1,2,4,8,16 即A 、B 、C 、D 、E 五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x 对称，故有S==13π-26如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .分析：因为圆心A 中的非阴影部分与圆B 中的阴影部分为对称图形，圆A 中的阴影部分与圆B 中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。
设圆A 的圆心A 的坐标为(x,y)，由图可知，x=y∵A 点在反比例函数图象上，∴ 解得x=1从而所求面积为π评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 巩固练习： （1） 选择题1、反比例函数xky =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为（ ）D (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-42、（四川绵阳）若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数xy 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）DA ．b 1＜b 2B ．b 1 = b 2C ．b 1＞b 2D ．大小不确定 3、（福建龙岩）函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）B（2） 填空题xy O A ．xyOB ．xyO C ．xyO D ．4、（湖北潜江）如图，反比例函数xy 5=的图象与直线)0(>=k kx y 相交于B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位. 10（3）解答题5、如图 所示，反比例函数y kx=的图象经过点()A b -3，，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，△AOB 的面积为3。
（1）求k 和b 的值； （2）若一次函数y a x =+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AB ：OM 的值。
分析：以面积为突破口，可求出A 点纵坐标b 和系数k ，结合A 点的双重特性（A 点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。
解：（1）∵AB ⊥BO ，A 点坐标为()-3，b ∴·即·∴又∵点在双曲线上∴△S AB BO b b A y k xk AOB ==-====⨯-=-123123322323||()（2）∵点A 在直线y a x =+1上 ∴231=-+a ∴a =-33∴y x =-+331当y=0时，x =3所以M 点的坐标为()30，∴：：AB OM =23点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。
6.如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A （-2，1），B （•1，n ）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，一直线L 经过点C （1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分． （1）求直线L 的函数解析式；（2）若直线L 将△AOB 的面积分成1：3两部分，求直线L 的函数解析式．五、拓展训练已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0<x<3(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（由四边形OADM的面积为6得3+6+3=3t 解得t=4故点M为（D点为（3，4）从而M点为BD中点，BM=DM评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问题。
三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）1、已知正比例函数y k x =与反比例函数y x=3的图象都过Am ()，1，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。
分析：由A 点坐标满足y x=3可求得m 值，再将A 点坐标代入y k x =可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。
解：因y x =3图象过Am ()，1，即13=m，故m=3，即A （3，1） 将A （3，1）代入y k x =，得k =13所以正比例函数解析式为y x =13联立方程组得y x y x x y x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩31331311122，解得或 ∴另一交点坐标为（--31，） 点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。