自相关过程控制简介

E(Rt )
Y (1 ) Y
,t q ,t q
且Y / 12
残差控制图理论ARL的计算
➢因此有
Z（3 / 12）- Z（- 3 / 1 2） ，t q
pt ( ) Z（3 1 / 1）- Z（- 3 1 / 1），t q
➢残差图的ARL按原始意义可得公式
ARL( ) 1* (1 ptq ( )) i ptq ( ) ptq ( )i2 (1 ptq ( )) i2
Zi X i (1 )Zi1
Ti 2
Zi'
1 Zi
Zi
Zi
2
1 (1 )2i
原因分析
➢SigmaY=inv(eye(4)-kron(fei,fei))*sigma；求 得
100.003 65.994 SigmaY= 65.994 121.001
➢对原始数据作MEWMA控制图，估计的
时间序列建模
➢比较常见的是建立自回归模型AR(p)，也可 以建立移动平均MA(q)模型和自回归整合移 动平均模型ARIMA(p,q)。模型的阶数确定 可以通过专门的定阶准则AIC、BIC或者是 通过自相关函数和偏自相关函数确定。实 际问题中还需考虑时间序列的平稳性
例子
➢仍然考虑上面的例子，对前200个数据采用 matlab自带的函数garchfit拟合一个一阶自回 归模型，拟合的模型为 xt 0.035 0.5866xt1， 用真实值减去该拟合模型得到的预测值即 可得到残差序列，我们首先检验残差序列 的自相关情况
自相关对控制图表现的影响
自相关的影响机制
➢ 考虑一阶自回归AR(1)模型，Yt Yt1 t
➢ 其中 t N (0, 2 ) ，序列 Yt 的方差：
Y 2
Var(Yt )
2 12
➢ 常用的均值-极差控制图使用极差来估计总体
标准差，查找有关资料可得，E(R / d2(2)) 1Y
➢ 可见当自相关系数 为0时，极差法所得的是
残差控制图理论ARL的计算
Hale Waihona Puke ➢当过程发生偏移时，残差值落在控制限内 的概率为
pt ( ) P(3 Rt 3 )
P[(3 E(Rt )) / (Rt E(Rt )) / (3 E(Rt )) / )]
Z (3 E(Rt ) / ) Z(3 E(Rt ) / )
➢对于一阶自回归过程，已知
,t q E(Yt ) Y , t q
E(Rt )
0
,t q
Y (11 2 ... i )Y (11 2 ... p )Y
,t q ,t q i,1 i p ,t q p
残差控制图的检出效果
➢特别的，对于一阶自回归模型，即p=1时，
0
,t q
E(Rt ) Y
(1 1) Y
y2,t c2 A y 2,1 1,t1 A y 2,2 2,t1 e2,t
➢其中
260 470
,
0.0146 0.6493
0.0177
0.0958
,
99.91 63.99
63.99
69.52
➢仿真200个数据。绘制MEWMA控制图，设
定预期ARL=200， 0.2，则UCL=9.65
p 0
E
(
t
)
0，Var
(
t
)
2
,
E
(
t
s
)
0,
s
t
Exst 0,s t
➢ 一个matlab仿真例子, xt 0.6xt1 t ，t N(0,1)
➢ 初始值x1 =0，仿真250个数据，第201个时刻
引入偏移。偏移量可以指定为标准差的倍数。
先忽略自相关，对前200个数据绘制单值-移
动极差控制图
99.91 63.99 Sigma= 63.99 69.52
➢估计值为
94.5947 62.9745 Sigma= 62.9745 67.1824
残差的MEWMA控制图
其他研究
➢神经网络和支持向量机对自相关问题进行 模式识别，用神经网络和支持向量机对自 相关过程进行回归，然后对残差应用传统 控制图
单值控制图，偏移2个标准差
EWMA控制图，偏移2个标准差
残差控制图的检出效果
➢平均运行链长仿真，运行1000次，可得偏 移一个标准差，自回归系数=0.6时，可得 ARL=151.95，理论值150.00。若自回归系 数=-0.6，则ARL=7.466，理论值7.05，而 在没有自相关时，休哈特控制图偏移一个 标准差的理论ARL为43.89，在不发生偏 移时残差控制图和普通控制图ARL理论值 均为370
总体标准差的无偏估计，而 不为0时，则是
有偏估计。对单值-移动极差控制图，则有
E(MR / d2(2)) 1Y
自相关的影响机制
➢回到上面的例子，xt 0.6xt1 t t N(0,1) ➢ x 1/(10.62) 1.25 ，而采用移动极差法估计的
总体标准差理论值为E(MR / d2(2)) 10.6 *1.25 0.79 ➢从而造成了控制限收紧，导致出现了大量
93.1211 29.3999 SigmaY= 29.3999 60.5394
➢使用最小二乘方法拟合模型，可得
241.06 -0.0236 0.0530 Yt 256.01 0.6183 0.1118 *Yt1
➢使用该模型进行预测，计算出残差值，然 后对残差应用MEWMA控制图。
➢而残差的理论方差-协方差矩阵为
➢对方差协方差矩阵的监控方法 ➢失控的诊断问题
p2=normcdf(3-delta*sqrt(1-fei)/sqrt(1+fei),0,1)normcdf(-3-delta*sqrt(1-fei)/sqrt(1+fei),0,1); ARLtheory=1+1*p1/(1-p2)
残差控制图的ARL
多元问题
➢考虑一个二元一阶向量自回归模型，误差 项需满足：均值为0、协方差矩阵为正定矩 阵且不存在自相关。
自相关问题
➢然而生产实际中，有时并不能满足以上的 假定，对于不符合正态性假定的情形，可 以进行正态性转换，亦有学者采用如支持 向量机分类的方法进行处理。
➢而在化工、冶金等生产领域，同时也由于 数据自动采集技术的进步，数据常常出现 自相关。
自相关对控制图表现的影响
xt 0 1xt1 2 xt2 L p xt p t
自相关过程控制简介
08级工业工程硕士 张驰
内容
➢自相关对控制图表现的影响 ➢一元残差控制图的实施方法和效果分析 ➢一元残差控制图的ARL ➢多元自相关问题简介 ➢其他研究
传统控制图的基本假设
➢自1920s Shewhart博士发明控制图以来，统 计过程控制理论得到了迅速的发展和应用
➢传统控制图，包括休哈特控制图、EWMA 控制图、CUSUM控制图和它们的多元形式 有一个关键的假定：样本序列独立且服从 正态分布
,t q ,t q
➢因此若1 0,q时刻没有检出偏移，以后残差
显示的偏移减少，检出会更加困难，残差
的单值-移动极差控制图会不太灵敏。可以
考虑用EWMA控制图或CUSUM控制图。1 0
时相反。
残差的单值控制图，偏移0.5标准差
残差的EWMA控制图偏移0.5标准差
单值控制图，偏移1个标准差
EWMA控制图，偏移1个标准差
Yt (Yt1 ) t ,t N2 (0, ) 或写成Yt c Yt1 t ,t N2 (0, )
y1,t y2,t
c1 c2
A1,1 A2,1
A1,2 A2,2
y1,t 1 y2,t 1
e1,t e2,t
y1,t c1 A y 1,1 1,t1 A1,2 y2,t1 e1,t
验证残差的自相关
验证残差的正态性
残差的I-MR控制图
残差控制图的检出效果
➢设估计的AR(p)模型Yˆt 1(Yt1 )2(Yt2 )... p(Ytp ) ➢残差序列为 Rt (Yt ) 1(Yt1 ) 2(Yt2 ) ... p(Ytp ) ➢设序列 Yt 在q时刻发生偏移Y ，即
行监控
时间序列建模
➢使用残差控制图监控自相关过程的方法最 早由Alwan和Roberts[Time series modeling for statistical process control]提出，他们证明了对自相关序列 建立恰当的时间序列模型，那么由真实值 减去预测值所得的残差序列是独立的，然 后可以对残差序列应用传统控制图。
1 1
1
ptq ( )
ptq ( )
➢在例子 xt 0.6xt1 t t N(0,1) ，设偏移1个标准
➢差，可得ARL=150.00
➢ 计算残差理论ARL的matlab语句 ➢ fei=0.6;%自回归系数
delta=1;%偏移量即多少个标准差 %p1是t=q时刻残差落在控制限内的概率
p1=normcdf(3-delta*(1/sqrt(1-fei^2)),0,1)-normcdf(3-delta*(1/sqrt(1-fei^2)),0,1); %p2是t>q各时刻残差落在控制限内的概率
的出界点，虚发警报错误较多；若是自相 关系数小于零，则控制限会放宽，容易造 成漏发警报错误。
解决方法一
➢从自相关图可以看到，当滞后期大于3时， 序列间的自相关会变得较小，直观的想法 是增大取样间隔。
方法一的缺陷
➢丢弃大量可用数据信息 ➢过程发生偏移时不能及时的检测出，会产
生大量不合格产品。 ➢可以采用修正控制限的方法 ➢更常见的方法是使用残差控制图对过程进