瞬态过程的性能指标例2
时域瞬态响应性能指标
时域瞬态响应性能指标包括：
（1）上升时间 （Rise
Time ） ：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零时刻上升到达稳态值所需的时间。
如系统无超调，理论上到达稳态值时间需无穷大，则上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。
（2）峰值时间 （Peak Time ） ：响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从零上升到第一个峰值点所需的时间。
（3）最大超调量 （Maximum Overshoot ） ：单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值之差。
通常用百分数表示。
（4）调整时间 （Settling Time ） ：响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。
（5）延迟时间 （Delay
Time ） ：响应曲线从零上升稳态值50％所需的时间。
（6）振荡次数 ：在调整时间响应曲线振荡的次数。
上升时间、峰值时间、调整时间、延迟时间反映系统的快速性，而最大超调量 、振荡次数反映系统的相对稳定性。
欠阻尼：
1.上升时间
2.峰值时间
3.最大超调量
4.调整时间
5.上升时间
r t p t p M s t d t )(11)(12βπζωβπω--=-=n d r t 21ζωπωπ-==n d p t 221)1(ζζπζωπζω----==e e M n n p n s t ζωζ2
1ln 05.0ln ---=n d t ωζ7.01+=。
机电控制理论及应用第4章 稳态与瞬态性能分析
54
55
56
根据以上三式可得出表 4.3 的数据及图 4.3.2 所示 的响应曲线。
57
58
可见 , 一阶系统的时间响应具有如下特征 : 1 ) 无论衰减或上升 , 过渡过程总是单调指数曲线 , 不振荡 , 无峰值。 2 ) 经过 3 T ～4T 时间 , 响应曲线已达到稳态值的 95% ～98% , 可认为过渡过程已基本结束而进入稳态 ( 由此关系可确定出时间常数 T ) 。 3 ) 经过时间 T, 图 ( a) 脉冲响应曲线衰减到稳态值 的 367% ; 图 ( b) 阶跃响应曲线上升到稳态值的 63 2% ( 由此关系也可确定出时间常数 T ) 。 4 ) 一阶系统的开环传递函数是 I 型的 , 故对阶跃 输入无误差 , 对斜坡输入有恒值误差 es p= 1 / K = T。
50
( 1 ) 输入前馈补偿 在输入端引入一个前馈补偿器 , 如图 4.2.7 上图所 示 ( 下图为等效图 ) 。在第 1 章对图1.3.2 已进行过定 性解释 , 这里将要具体确定出补偿器 Gr( s) 的表达式。 根据叠加原理 , 系统输出为
51
52
(2)扰动前馈补偿 当扰动可以被观测时,则可利用扰动信息进行补偿, 如图 4.2.8 所示。在第1 章对图1.3.3 进行过定性解释,现 在来确定 Gn(s) 的表达式, 它应当使扰动 n(t) 对输出 xo(t) 没有影响, 或称xo(t) 对n(t) 具有不变性。 对扰动的闭环传递函数为
5
6
7
4.1.2 瞬态性能指标 控制系统除了要满足一定的稳态精度 ( 准 ) 要求 外 , 对其响应过程还要满足一定的稳定程度 ( 稳 ) 和响 应速度 ( 快 ) 的要求 , 它们均由瞬态性能指标来表征 , 分为时域和频域两类。
二阶瞬态响应特性与稳定性分析
二阶瞬态响应特性与稳定性分析二阶系统是指具有两个自由度的动力学系统，广泛应用于控制系统、信号处理等领域。
瞬态响应特性与稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
本文将从瞬态响应特性和稳定性两个方面进行分析，以深入理解二阶系统的行为。
瞬态响应特性是指系统对于输入信号的临时响应过程。
对于一个二阶系统，其瞬态响应特性主要包括过渡过程、超调和振荡频率等。
过渡过程是指系统从初始状态到最终稳态的响应过程。
具体地说，对于一个二阶系统，过渡过程的特性由系统的自然频率和阻尼比决定。
自然频率是指系统在没有任何外部干扰的情况下自由振荡的频率。
阻尼比是指系统阻尼量与临界阻尼量之比，描述了系统的阻尼程度。
超调是指系统响应过程中达到的最大偏离稳态值的幅度。
超调的大小与系统的阻尼比有关，当系统的阻尼比增大时，超调量会减小。
振荡频率是指系统在过渡过程中振荡的频率，与系统的自然频率相关。
稳定性是评估系统的动态性能和可靠性的重要指标。
一个二阶系统是稳定的，当且仅当其系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
稳定性分析可以通过系统的传递函数进行。
传递函数是系统输入转换为输出的比例关系，在频域上可以用于确定系统的稳定性。
当传递函数的所有极点都位于左半平面时，系统是稳定的。
极点是指传递函数分母方程为零的点，也可以看作传递函数的零点。
对于一个二阶系统，其稳定性主要取决于极点的位置。
当极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
当极点的实部大于等于零时，系统是不稳定的。
稳定性分析还可以通过系统的阶跃响应特性进行。
阶跃响应是指系统对于阶跃输入信号的响应。
稳定系统的阶跃响应的幅值会在一些临界值附近趋于稳定。
当系统是不稳定的时，系统的阶跃响应会无限增大或者振荡。
综上所述，瞬态响应特性和稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
瞬态响应特性包括过渡过程、超调和振荡频率等，可以通过自然频率和阻尼比进行调节。
稳定性分析可以通过传递函数的极点位置和阶跃响应特性进行评估。
§3-4瞬态响应的性能指标
n t p
1 2
Mp e
1 2
100%
最大超调量
仅与阻尼比ξ有关， 故可以通过实验 求取最大超调量, 然后可求系统阻 尼比。 ξ越大，Mp 越小， 系统的平稳性越好 ξ =0.4~0.8 Mp = 25.4%~1.5%。
Mp e
1 2
100%
调节时间 ts
＋ T0=0.25s。 － （1）求系统的超调量和调整时间ts。 （2）若使系统的超调量为10%，T0保 持不变的情况下，K0应是多少？
解（1） T
K 01 T0 s 1
K 02 C(s) s
T0 0.25 1 1 1 1 0.25 0.125( s) 2 K 0T0 2 16 0.25 K0 16
0.5, n 4(弧 度/秒) 当 输
入信号为单位阶跃 号时 信 , 试求系统的动态 能指标 性 . 解:
n2 s ( s 2 n )
arctg
tr tp
1 2
arctg
1 0.5 2 0.5
60 1.05(弧 度)
d n 1 2 4 1 0.5 2 3.46
解：系统的闭环传递函数为
GB s Kk / s 2 s Kk ,
写成标准形式
由此得 自然振荡角频率 阻尼比 超调量 调节时间
2 n GB ( s) 2 2 s 2 n s n
Kk 4
n Kk 2
由
2 n 1
得
1 2 n
0.25
峰值时间 tp
ent Sin (dt ) C(t ) 1 2
第六章--瞬态响应指标及其与系统参数的.
P
c(t P ) c() c()
100 %
式中，c(tP ) 为输出响应的最大值；c() 为稳态值。 4．延迟时间 td ：响应曲线第一次达到终值一半所需
的时间。 5．调整时间 ts （或过渡过程时间）：它定义为阶跃
响应曲线衰减到与稳态值之差不超过某一个特定百 分数△（又叫误差带）带所需要的时间。△一般取 ±2%或±5%。
3
上述5个动态性能指标，基本上可以反映 出系统的动态过程特性，通常用 tr 或 tP 评价 系统的响应速度；用 P 评价系统的阻尼程度； 而 是同ts 时反应响应速度和阻尼程度的综合 指标。
实际中用得最多的是： 最大超调量： P 过渡过程时间：t s
4
二、瞬态指标与系统参数的关系 1. 上升时间 根据定义，当 t tr 时， c(tr ) 1 ，即系统输出：
允许误差 ：0.05或0.02
0.1
0
tr
t
tp ts
1．上升时间 tr ：动态响应曲线从零到第一次
上升到稳态值所需的时间。(0—1或0.1－0.9)
2
2．峰值时间 tP ：对应于最大超调量发生的时间。 3．最大超调量 P (或 M p ) ——定义为阶跃响应超过
稳态值的最大值与稳态值之比的百分数，即
即用二阶系统的分析方法来近似原来的三阶系统。
19
20
响系统超调量的情况下，减少调整时间，加 快系统的响应速度。
P e 1 2 100%
3
ts n
10
例 系统如图所示。要求性能指标为 P 20%, 秒， tP 1
试确定系统的 K0 和 K 值，并计算 ts 和 tr 。
R(s)
实验二 二阶系统的瞬态响应分析
姓名：学号：年级专业：实验二二阶系统的瞬态响应分析一、实验目的1、熟悉二阶模拟系统的组成。
2、研究二阶系统在不同参数状态下的单位阶跃响应，并分别测量出系统的超调量σp、峰值时间t p和调整时间t s。
3、研究增益K对二阶系统阶跃响应的影响。
二、实验仪器1、1、TKKL-1控制理论实验箱1台2、TDS1001B数字存储示波器1台3、万用表1只4、U盘1只（学生自备）三、实验原理实验线路图图1为二阶系统的方框图，它的闭环传递函数为图1 二阶系统的方框图C（S）K/（T1T2）ωn²R（S）= S²+S/T1+K/（T1T2）= S²+2ξωns+ωn²由上式求得ωn=√ K/（T1T2）ξ=√T2/（4T1K）若令T1=0.2S，T2=0.5S，则ωn=√10K ，ξ=√0.625/K因此只要改变K值,就能同时改变ωn和ξ的值,由此可以得到过阻尼(ξ>1)、临界阻尼（ξ=1）和欠阻尼（ξ<1）三种情况下的阶跃响应曲线。
四、实验内容与步骤1、按开环传递函数G（S）= K/（0.5S(0.2S+1)）的要求,设计相应的实验线路图。
令r（t）=1V,在示波器上观察不同K（K=10，5，2，1，0.625，0.5，0.312，其中K=10,5，1,0.625必做，其他K值选做）下闭环二阶系统的瞬态响应曲线,并由图求得相应的σp、t p和t s的值。
2、调节K值，使该二阶系统的阻尼比ξ=1/√ 2 ,观察并记录阶跃响应波形。
3、实验前按所设计的二阶系统，计算K=10,K=1,K=0.625三种情况下的ξ和ωn值。
据此，求得相应的动态性能指标σp、t p和t s，并与实验所得出的结果作比较。
4、写出实验心得与体会五、实验思考题1、在电子模拟系统中如何实现负反馈及单位负反馈？六、报告的形式与要求：1、完成实验并画出二阶系统在不同K值下的瞬态响应曲线，并注明时间坐标轴。
瞬态过程的性能指标
A
(t)
d dt
[ A1(t)]
d2 dt 2
[ At]
d3 dt3
[1 2
At 2 ]
⒌ 正弦函数：x(t) ASint ，式中，A为振幅，为频率。
其拉氏变换后的像函数为：
L[ Asin t]
n
s2
2 n
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
四、线性微分方程的解
时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和 性能指标。设微分方程如下： an y(n) (t) an1 y(n1) (t) ... a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) ... b0 x(t)
式中，x(t)为输入信号，y(t)为输出信号。
（一）衰减振荡：
具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：
y
ymax
⒈ 延迟时间 td ：
y()
输出响应第一次达到稳 y() 态值的50%所需的时间。 2
0.05 y()
或
0.02 y()
Saturday, August 24, 2019
0
td tr tp
t
ts
13
瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
⒉ 上升时间 tr ：
如某系统的单位阶跃响
y
应曲线如图所示：
瞬态过程
稳态过程
Saturday, August 24,
0
2019
t
12
瞬态过程的性能标（衰减振荡）
五、瞬态过程的性能指标
通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过 程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃 响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
第四章 控制系统的瞬态响应(时间响应)
(4-3)
r(t)=t
式中，t-T为稳态分量 t Te T 为瞬态分量，当t→∞时， 瞬态分量衰减到零。
o T
C(t) T
t
图4-4 一阶系统的单位斜坡响应
系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上 升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但 它们之间存在跟随误差。
e(t ) r (t ) c(t ) T (1 e
●1为稳态分量， e 为瞬态分量 （衰减系数为 1/T）； ●当t→∞时 ，瞬态分量衰减为零； ●不会超过稳态值1。-----非周期响应。
t T
●响应曲线的初始（t=0时） 斜率为 1 . T 如果系统保持初始响应的 变化速度不变，则当t=T时， 输出量就能达到稳态值。
1
斜率
0.632
1 T
在分析时域响应时，选择典型输入信号的好处： ⑴数学处理简单。给定典型系统下的性能指标，便
于分析、设计系统。
⑵典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时的 系统性能的依据。 ⑶便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
总结：选择哪种函数作为典型输入信号，应 视不同系统的具体工作条件而定。
控制系统的输入量随时间变化→斜坡函数 导弹发射→脉冲函数 往复运动→正弦 突然闭合断点→阶跃
二、二阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲：R(s)=1
∴
C ( s) 2 2 2 s 2 n s n s n n2 2 n2
2 n 2 n
n 2 1 n 1 2
2
2
2 s 1 n n
xo (t ) 1 cos nt
t≥0
其响应曲线如图。
柴油发电机组瞬态标准
柴油发电机组瞬态标准
柴油发电机组的瞬态标准是指其在瞬态工况下的性能要求和规范。
瞬态工况是指发电机组在启动、负载变化或故障恢复等突发情
况下的工作状态。
瞬态标准通常涉及以下几个方面：
1. 启动性能，包括发电机组从停止状态到达额定工作转速所需
的时间、起动过程中的机械振动和噪音等指标。
2. 负载响应，即发电机组在负载突变时的响应速度和稳定性。
这包括发电机组的调速性能和调压性能，以确保在负载变化时输出
电压和频率的稳定。
3. 过载能力，指发电机组在短时间内承受超负荷工作的能力，
通常以额定负载的倍数来衡量，这对于应对突发大功率负载是非常
重要的。
4. 故障恢复，即发电机组在发生故障后的自动或手动恢复能力，包括停机后的再次启动时间和恢复正常工作状态的稳定性。
5. 瞬态稳定性，指发电机组在外部扰动（如电网故障）下的稳
定性和恢复能力，确保在外部变化影响下仍能保持稳定的工作状态。
总的来说，瞬态标准旨在保证柴油发电机组在各种突发情况下
的可靠性、稳定性和安全性，以满足电力系统对其瞬态性能的要求。
这些标准通常由国际标准化组织和国家标准化机构制定，并根据实
际应用和技术发展不断进行更新和完善。
衰减振荡瞬态过程的性能指标
s1,2 jn
s1,2 n jn 1 2
s1,2 n (重根 )
s1,2 n n 2 1
一对共轭虚根
一对共轭复根(左 半平面）
一对负实重根
两个互异负实根
等幅周期振荡 衰减振荡
单调上升 单调上升
Sunday, January 12,
2020
2 n
(s)称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为无阻 尼振荡圆频率或自然频率。
Sunday, January 12,
2020
1
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为：s1,2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点）
有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振 荡和非振荡两种情况。
阶跃响应为：
C(s)
1 s
s
2
n2 2 ns n2
1 s
s2
s 2 n
2
n
s
2 n
1 s n
n
s
s2
2
ns
2 n
s2
2 ns
2 n
c(t) 1 e nt[cos( 1 2nt)
sin( 1 2
两阶系统的瞬态响应
➢当 1 时， 极点为： s1,2 n
阶跃响应函数为：C(s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
1 s n
实验题目 二阶系统瞬态响应和稳定性_2
实验题目 二阶系统瞬态响应和稳定性一 实验要求1 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及二阶闭环系统的传递函数标准式；2 研究二阶闭环系统的结构参数――无阻尼振荡频率ωn 、阻尼比ξ对过渡过程的影响；3 观察和分析欠阻尼，临界阻尼和过阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的瞬态阶跃响应曲线，并记录欠阻尼二阶闭环系统的动态性能指标Mp 、tp 、ts 值，并与理论计算做对比。
二 实验原理1 二阶闭环系统模拟电路2 实验电路的系统框图3 理论计算开环传递函数：)1()(+=TS TiS K S G 闭环传递函数标准式：2222)(1)()(nn n S S S G S G s ωξωωφ++=+= 自然频率（无阻尼振荡频率）：TiTK=n ω ； 阻尼比：KT Ti 21=ξsT i 1 TsK+1 R(s) C(s)超调量 ：%10021⨯=--eP M ξξπ； 峰值时间： 21ξωπ-=n pt积分环节（A2单元）的积分时间常数 11*1i T R C S == 惯性环节（A3单元）的惯性时间常数 22*0.1T R C S == 可变电阻R=4k 时, K=100/4=25, 81.15=n ω , 316.0=ξ(欠阻尼)%12.35=P M , S n pt 21.012=-=ξωπ;R=40k 时,K=100/25=4, 5=n ω , 1=ξ(临界阻尼) R=100k 时,K=100/100=1, 16.3=n ω , 58.1=ξ(过阻尼)三 实验步骤1 用信号发生器（B1）的‘阶跃信号输出’ 和‘幅度控制电位器’构造输入信号（Ui ）2 构造模拟电路：按实验指导书图3-1-7安置短路套及测孔联线，3 联接虚拟示波器（B3）的：示波器输入端CH1接到A6单元信号输出端OUT ，CH1选×1’。
（4）运行、观察、记录：四 实验结果。
自动控制原理实验二__典型系统的瞬态响应
实验二 典型系统的瞬态响应3．实验方法与步骤（1）进入Window 后，通过双击桌面上的MATLAB 图标即可启动该程序，这时将出现如下图所示的界面。
在该界面下的“>>”标志为MATLAB 的命令提示符，用户可以在该提示符后输入MATLAB 命令，进入MATLAB 后，键入“zksy ”（注意：用小写字母），按照实验三的方法找到本实验内容，即：点击实验四 典型系统的瞬态响应和稳定性分析和下一级相应的子菜单，就会出现本次实验的内容窗口。
（2）下面以二阶系统的瞬态响应为例说明如何进行下面的实验。
点击二阶系统的瞬态响应菜单将会出现如下的窗口：这就是我们典型系统的瞬态响应（二阶系统）的模型窗口，即排题图。
其中输入信号为阶跃响应输入模块（可以改变大小），示波器观察输出结果（可以改变设置），中间为仿真对象的模型（也可以改变）。
（3）进行典型二阶系统瞬态性能指标的测试，首先设置仿真对象的模型，根据前面的实验原理，设置相应的K 和T ，确定阻尼系数ζ和振荡频率n ω，分别作出系统欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的情况。
（4）建立起来系统结构之后，当所有参数设置完成（输入信号大小、示波器的量程、模型参数等）以后，打开Simnulation （仿真分析）菜单，可得到如下图所示菜单结构。
在进行仿真过程之前，选择Simulation|Parameters 选项来设置仿真控制的参数（一定要合理设置否则影响结果），参见附录设置好有关仿真控制参数，则可以选择Simulation|Start选项启动仿真过程，记录仿真结果。
（5）同样按照上述步骤完成三阶系统的性能测试，要求自己设置好K1、K2、T1、T2各参数，确定不同的系统增益K，观察系统的响应曲线，确定系统的稳定性。
4．实验结果记录要求（1）二阶系统图一ξ=14.142>1 过阻尼K=0.05，T=0.025图二ξ=20>1 过阻尼K=0.025，T=0.025图三ξ=1 临界阻尼K=1，T=0.25图四0<ξ=0.707<1 欠阻尼K=2 ，T=0.25图五0<ξ=0.577<1 欠阻尼K=3 ，T=0.25图六0<ξ=0.500<1 欠阻尼K=4 ，T=0.25图七0<ξ= 0.447 <1 欠阻尼K=5 ，T=0.25三阶系统图一：T1=0.1，T2=0.51，K1=2，K2=1，K=2图二：T1=0.1，T2=0.51，K1=3，K2=3，K=2图三：T1=0.1，T2=0.51，K1=4，K2=2.99，K=11.96图四：T1=0.1，T2=0.51，K1=3，K2=4.5，K=13.5图五：T1=0.1，T2=0.51，K1=3.5，K2=5，K=17.58．思考题（1）在前面二阶系统的原理图中，改变增益K会发生不稳定的现象吗？答：不一定，阻尼比是由增益K 和T 有关，两者同时改变时，阻尼比变化不定，系统的稳定性不确定。
衰减振荡瞬态过程的性能指标
Tuesday, July 30,
2019
1
这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。
一、典型二阶系统的瞬态响应
下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。
R(s)
-
2 n
C(s)
s(s 2 n )
开环传递函数为:
G(s)
s2
n2 2 ns
闭环传递函数为:
阶跃响应为：
C(s)
1 s
s
2
2 nLeabharlann 2ns
2 n
1 s
s2
s 2 n
2
n
s
2 n
1 s n
n
s
s2
2
ns
2 n
s2
2 ns
2 n
c(t) 1 e nt[cos( 1 2nt)
sin( 1 2
点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应 有振荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼
系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。
⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称
为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系
1 T2
)
7
两阶系统的瞬态响应
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
实验二二阶系统时域分析
实验二 二阶系统时域分析一、 实验目的1. 学习瞬态性能指标的测试技能2. 了解参数变化对系统瞬态性能及稳定性的影响二、 实验要求观测不同参数下二阶系统的阶跃响应曲线并测出性能指标：超调量σ、峰值时间p t 、调节时间s t 。
三、 实验仪器1. GSMT2014型直流伺服系统控制平台；2. PC 、MA TLAB 平台。
四、 实验原理采用转速为输出的直流伺服电机为被控对象，设控制器为ss K s G c )1052.0()(+=，K 为开环增益，构成新的单位负反馈闭环系统。
已知被控对象的数学模型为：112.011052.01)()()(0+⨯+==s s s n s n s G u c 开环传递函数为：)112.0(112.011052.01)1052.0()()()(0+=+⨯+⨯+=⨯=s s Ks s s s K s G s G s G c 设典型二阶系统的结构图如图2.1所示。
图2.1 典型二阶系统结构图其中，当01T =、12.01=T 、21K =时，开环传递函数为：)112.0()1()(1021+=+=s s Ks T s T K K s G 其中，开环增益为1021K T K K K ==。
闭环传递函数为其中，1T K n =ω 11121T K =ξ (2.1) （1）当10<<ξ，即欠阻尼情况时，二阶系统的阶跃响应为衰减振荡，如图2.2中曲线1所示。
()1)(0)n T d C t t t ξωωθ=-+≥ (2.2)式中 21ξωω-=n d1tgθ-=峰值时间可由式（2.2）对时间求导，并令它为零，得：p d t πω== (2.3)超调量()()()p p C t C t C t σ∞∞-=，求得p eσ= (2.4)调节时间s t ，采用2%允许误差范围时，近似地等于系统时间常数1()n ξω⨯的四倍，即：n s t ξω4=(2.5)（2）当1=ξ，临界阻尼时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线，如图2.2中曲线2所示)0()1(1)(≥+-=-t t e t C n t n ωω令输出为98.0可求得s t 。
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6
两阶系统的瞬态响应
当 1 时， 极点为： s1, 2 n n 2 1 即特征方程为 2 s 2 2 n s n [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)]
2 n C (s) R ( s ) [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)]
s1, 2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极 特征根为： 点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应 有振荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼 系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 ⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
1 C ( s) ( s) , s 1 1 c(t ) L [ ( s ) ] s
s
[分析]：
s jn 当 0时， 极点为： 2 n 1 s C ( s) 2 2 2 2 s( n s ) s s n
c(t ) 1 cosnt , t 0
e n t 1 2
2 1 sin( 1 2nt tg 1 ), t 0
2 1 n 决定了指数衰减的快慢，虚部 d n 极点的负实部
d 为阻尼振荡圆频率。 Friday, August 17, 是振荡频率。称
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两阶系统的瞬态响应
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
c(t ) 1 e
n t
[cos( 1 nt )
2
1 2
sin( 1 2 nt )] , t 0
c(t ) 1
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统， 系统的阶跃响应为非振荡过程。
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当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
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式中
T1
1
T2
1
典型两阶系统的瞬态响应
上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应 如下表所示： 阻尼系数
0, 无阻尼
o 1, 欠阻尼
特征根
极点位置
单位阶跃响应
s1,2 jn
s1, 2 n j n 1 2
2 G( s ) n 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n
尼振荡圆频率或自然频率。
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n 称为无阻 ( s )称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，
2
2 特征方程为： s 2 2 n s n 0
第四节 二阶系统的瞬态响应
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这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。 一、典型二阶系统的瞬态响应
下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。
R( s )
-
2 n C递函数为: 2 n G( s) 2 s 2 n s
1 C (s) [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)] s
( 2 1 ) n t ( 2 1 ) n t 1 e e c(t ) 1 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1)
2 n
特征方程还可为
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1 1 s 2 n s ( s )(s ) T1 T2
2 2 n
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两阶系统的瞬态响应
n ( 2 1) n ( 2 1) 1 2 于是闭环传函为： 这里 T1 T2 ， n T1T2 1 C ( s) 1 T1T2 R( s) ( s 1 )(s 1 ) (T1s 1)(T2 s 1) T1 T2 因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串 联，其单位阶跃响应为 1 1 1 T1 1 T2 1 C ( s) 1 (T1s 1)(T2 s 1) s s T2 T1 ( s ) T1 T2 ( s 1 ) T1 T2 t t T1 T2 T1 c(t ) 1 e e T2 T2 T1 T1 T2 Friday, August 17,
n 称为无阻尼振 此时输出将以频率 n 做等幅振荡，所以， 荡圆频率。 Friday, August 17,
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两阶系统的瞬态响应
2 s j 1 极点为： 当0 1时， 1, 2 n n
阶跃响应为：
2 n s 2 n 1 1 C ( s) 2 2 2 s s 2 n s n s s 2 2 n s n
当 1 时， 极点为： s1, 2 n
n n 1 1 1 阶跃响应函数为：C (s) 2 2 s s 2 n s n s s n (s n ) 2
2
c(t ) 1 ent (1 nt )
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