四川大学线性代数课件第三章第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法
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初等矩阵与逆矩阵的求法共30页
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
30
初等矩阵与逆矩阵的求法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 Байду номын сангаас才能 所向披 靡。
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1
1
1
1 A) 。 A
0
a2n
a n 2 a nn
0 0 1 0 0 0 1
【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。
16
例2 设
1 1 1 A 1 1 1 1 1 1
PP t t 1
1 P ( A , E ) ( E , A ) 1
1
15
或
初等行变换 ( A, E ) ( E, A1 )
即对矩阵 ( A, E ) 作初等行变换，当把
A 化为 E
时，
E 就化成了 A ( A
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a1n
求 A 1 。 解
( A, E )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 r r2 r1 +r3 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
所以
A 1
1 2 1 2 0
1 2 0 1 2
0 1 2 1 2
18
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
逆矩阵。这时，对
2n n
An 阶矩阵 E 进行初等列变换， n
1
当上半子块化为 En 时，A可逆，且下半子块就是 A 。即
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。Ei (k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
2
（3）以数
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
上两式表明：A 经一系列初等行变换化为 E ，则 E
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
【全版】线性代数初等变换与逆矩阵的初等变换求法副本推荐PPT
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
0010
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
《线性代数》
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结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
《线性代数》
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结束
6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
例: 下面是几个4阶初等矩阵：
换法矩阵
1000
1000
E=
0100
r2r4
———
000
1 =E(2, 4)
0010
0010
0001
0100
1000
1000
E= 0
1
0
0
c2c4
———
0
0
0
1 =E(2, 4)
0010
0010
第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
r3-3r1
———
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； ----换法变换 (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； ----倍法变换 (3)把矩阵的某一行(列)的k消法变换
0010
0040
0001
0001
1000
1000
E=
0100
4 c3
———
010
0 =E(3(4))
0010
0040
0001
0001
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结束
6.2 初等矩阵
对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
四川大学线性代数课件第三章第二节 初等矩阵和逆矩阵的求法
Ps P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps P2P1 )E A1
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps P2P1 E,
E Ps P2P1 A1,
2019/7/21
即，
A E
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.
2019/7/21
19
推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：
如果对可逆矩阵 等行变换，那么当
A 和同阶单位矩阵 A 变成单位矩阵 E
E 作同样的初 时，E 就变成 A1。
0
1
0
0 0 1
212源自 0 0 1
1
2
2
0 1 0
1
12
c2 ( 110)
0
2
1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
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8
初等矩阵
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
2019/7/21
A Ps P2P1 1 P11P21 Ps1
线性代数课件-逆矩阵与矩阵的初等变换
所以
0 1 A . 1 2
1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
1 A 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所 得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是
（1） 互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵
（2） 用（ 0）乘E的第i行（列）所得之矩阵
将E的j行（i列）的倍加到i行（j列）上去（ i j）所得之矩阵 （3）
引理：对矩阵 A (aij )mn 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左 （右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C 2 0 , 设 A 2 2 1 , B 5 3 3 4 3 3 1
0 1 A . 1 2
1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
1 A 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所 得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是
（1） 互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵
（2） 用（ 0）乘E的第i行（列）所得之矩阵
将E的j行（i列）的倍加到i行（j列）上去（ i j）所得之矩阵 （3）
引理：对矩阵 A (aij )mn 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左 （右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C 2 0 , 设 A 2 2 1 , B 5 3 3 4 3 3 1
线性代数课件第三章
的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形矩阵.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
逆矩阵的计算ppt课件
有
A-1 AXBB-1 = A-1 CB-1 ，
即
X = A-1 CB-1 。
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解
A1 13
2 1
3 3 1
52,B1 21
35
21,
于是XA 1CB 1
13
2 1
3 3 1
5221132
10335
21
1 0
0
122
3 5
21
2 10 10
1 4. 4
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由定义即得：当B为A 的逆矩阵时，A也是B 的逆
矩阵。
例如
设 A2 3
2 1
0 2,
1 2 4 B2 3 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB = BA = E，所以B是A的逆矩阵，同样A 也
是B 的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A 的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C 都是 A的逆矩阵， 则有
B = BE = B（AC）=（BA）C = EC = C，
所以 A 的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A -1。 即若AB = BA = E，则 B = A -1 。
例如
设 A2 3
2 1
0 2,
1 2 4 B2 3 6,
2 1 1
0 1 1
因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即 A -1 = B
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§3 逆 阵
★逆矩阵的概念 ★矩阵可逆的条件 ★逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
定义7 对于n阶方阵A，如果有一个n 阶方阵B，使 AB = BA = E，
矩阵的逆及其求法PPT课件
(A
E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6 1 1 2 1 1 8 1
B
1 2
4 8
0 1
2
2
3 2
6 1
4
3
1 2
4 8
2 1
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
1
2
.
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
21
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例7 求下列矩阵的逆
矩阵 1 0 1
1. A 2 1 0 3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
A A1 E 1 0 , 因此 A 0.
充分性．设 A 0, 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
9
第9页/共36页
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
2
第2页/共36页
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 B A1 .
线性代数 逆矩阵
矩阵的运算(2)⏹逆矩阵⏹正交矩阵逆矩阵●逆矩阵的概念和性质●逆矩阵的求法定义对于n 阶矩阵A ,如果有一个n 阶矩阵B ,,E BA AB 使得则说矩阵.A A B 是可逆的,并把矩阵称为.的逆矩阵.A .1A 的逆矩阵记作逆矩阵逆矩阵的概念若设B 和C 是A 的逆矩阵,则有,,E CA AC E BA AB 因为EB B B CA AB C .C CE .1A CB 所以的逆矩阵是唯一的, 即A 逆矩阵证明若A 是可逆矩阵, 则A 的逆矩阵是唯一的. 逆矩阵的唯一性定理1矩阵可逆的充要条件是，且A 0 A 证明若可逆，A ,11 A AAA 其中为矩阵的伴随矩阵.A ,11 E A A .0 A 故所以1 A .1E AA即有使逆矩阵逆矩阵的充要条件,0时当 A nn n n n n nn n n n n A A A A A A A A A a a a a a aa a a AA212221212111212222111211逆矩阵A 伴随矩阵,A A AO O 0|A | (00)0|A |……………00…|A |E A A A AA ,E A A A A A A1.A A A按逆矩阵的定义得逆矩阵E A A A AA逆否命题：矩阵A 不可逆的充要条件是|A |=0.●奇异矩阵与非奇异矩阵的定义0 A ●当时，A 称为奇异矩阵；●当时，A 称为非奇异矩阵.0 A 由此可得●A 是可逆矩阵的充要条件是A 为非奇异矩阵.●A 是不可逆矩阵的充要条件是A 为奇异矩阵.逆矩阵,1 E B A ,0 A故,1存在因而 A 于是EB B B A A )(1 A AB 1 . , 1 A B E BA E B A n n 则或若证明推论逆矩阵.A E A 1-1.111 A A A 0 (2)若A 可逆,数,则可逆,且逆矩阵.,,)1(111A AA A 且亦可逆则可逆若若A 可逆,由推论：证明则有-1=AA E11.A A 逆矩阵的运算性质11AB B A 1 AEA ,1E AA .111 A B AB 证明（）-1=AB .1212 A A 1A m A 1 m A 11A 推广(3) 若A ,B 为同阶可逆方阵，则AB 亦可逆，且逆矩阵-1-1B A 11A BB A1=T T A A TE ,E .11T T A A证明 .,,4A A AA T 且亦可逆则可逆若T T 1 1 有为整数时当,,,0 A , A A A .A A (k 为正整数).,10k k A A E A 0 A 另外,当时,定义逆矩阵1T A AE AA 1 11A A .11 A A 证明.11 A A (5)若A 可逆，则有因此逆矩阵逆矩阵例1求方阵的逆矩阵.343122321A 解343122321 A ,02 .1存在 A ,2341211 A ,3331212 A 逆矩阵逆矩阵的求法同理可得,2,6,6,223222113 A A A A ,2,5,4333231 A A A ,222563462A 故A A A 1122256346221.11125323231得逆矩阵逆矩阵,d c b a A 问a , b , c , d 满足何条件时, 矩阵A 可逆? 当A 可逆, 求A -1.若|A | 0, 则A 可逆, 即ad -bc 0时, A 可逆.当A 可逆时,a cb d bc ad 111a b d b c d ad bc c a 例2设解 2212211111A A A A A bc ad逆矩阵例3设方阵A 满足A 2+3A -2E =O , 根据推论：矩阵A +E 可逆,且由A 2+3A-2E =O ,有即于是()(2)4,A E A E E O ()(2)4,A E A E E 1()((2)).4A E A E E 11()(2).4A E A E 证证明A +E 可逆，并求(A +E )-1.逆矩阵AX=b ，解方程组的矩阵形式为2211x y z x y x y其中111210,110A ,x X y z 21.1b由于111||21010,110A 例4 解线性方程组逆矩阵从而A 可逆,于是方程组的解为x =-2,y =3,z =1. 1111221011101x y z112201213,10111则有逆矩阵解110121,100A 1230.03B110|2|10130102E A 所以矩阵2E -A 可逆, 1(2)X E A B 例5解矩阵方程2X =AX +B ,其中由2X =AX +B ,因为得(2E -A )X =B .(2)*.|2|E A B E A逆矩阵2112211321303330110311逆矩阵我们还可以把上面例题中的方法推广到一般形式的矩阵方程AX=C,XA=C,AXB=C其中A、B均为可逆矩阵，则上述矩阵方程分别有唯一解：X=A-1C，X=CA-1，X=A-1CB-1.;5104023211120111112X .1125103241230111111120111113 X 例6 解矩阵方程逆矩阵15321;1414X。
线性代数第三章 初等矩阵和矩阵的逆
a11 a12 a1n a j 1 a j 2 a jn ( ri ) p( i , j ) A a ai 2 ain ( r j ) i1 a am 2 amn m1 a11 a1 j a1i a1n a21 a2 j a2 i a2 n AEn ( i , j ) a amj ami amn m1 (c j ) (c )
P Pt P2 P1 , Q Q1Q2 Qm .
故B Pt P2 P1 AQ1Q2 Qm .由于初等矩阵 左（右）乘矩阵相当与对矩阵作初等行（列） 变换，故A可经过一系列初等变换变为B，即 : A与B等价。
三、初等矩阵的应用
| A | 0 A p1 p2 ps A1 ps 1 p2 1 p11 A
一、初等矩阵的概念
ET E P , P 就称为初等矩阵. 定义4 一次
相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. １、对调 1 0 1 ( ri ) 1 0 记作 p(i,j) ( r ) 1 0 0 1 j 1 (c j ) ( ci )
1
例
设
1 2 3 1 3 2 1 A 2 2 1 , B , C 2 0 , 5 3 3 4 3 3 1
求矩阵X使满足 AXB C .
1 2 3
1 0, 解 A 2 2 1 2 0, B 5 3 3 4 3
1 b12 0 1 B C 0 0 0 0 b1,n1 0 1 0 b1n 0 b ( i行 ) (1行 ) 1i n En i 2, 3,..., 0 1
线代课件-逆矩阵
則
A1
|
1 A|
A*
A*
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32
A33
M11 M12
M21 M 22
M 31 M32
7 6
4 3
9
7
M13 M23 M33 3 2 4
| A | 0
方陣A可逆
此時，稱矩陣A 為非奇異矩陣
A1 1 A* | A|
定理: 方陣A可逆的充要條件是 | A | 0 ．
A B
A B 1
1
1
( AT )1 ( A1 )T
例 设A为3阶方阵，且 | A| 1 , 求 | 3A1 2A* |。 2
答案： | 3A1 2A* | 4A* 或 2A1 16
（矩陣方程的求解） 例： 書上P45 例8, 9
例 设 A可逆. 证明:( A* )1 ( A1 )* A 。 A
amn xn bm ：
线性方程组的向量表示
1x1 2 x2 n xn b 其中 j =（a1j ,a2 j , amj）T, j 1,2, , n
例：證明克蘭姆法則. （見書上P52）
3、分块对角矩阵
设
A
B O
O C
，其中
B,C
均为方阵，则：
（ⅰ） A B C
；
（ⅱ）
An
x2
b2
amn
xn
bm
：
a11 a12
其中
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
x1
，
x
x2
,
b1
b
b2
.
3_2初等矩阵和逆矩阵的求法
4 2 B1 2 9
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 3 2 0 5 1 r4 1 3r 3 0 3 9 6
r2 4 r3 r3 0 2r1 B2 r4 6 3r1 3
（1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
Page 4
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1 0 0 c5 4c1 3c2 3c3 0
c3 c4 c4 c1 c2
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
Page 12
特点：F的左上角是一个单位矩 阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 ( ri krj ).
Page 21
类似地，以 En ( ij ( k )) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j列上 (c j kci ).
AEn ( ij ( k )) a11 a1i a1 j ka1i a1n a21 a2 i a2 j ka2 i a2 n a ami amj kami amn m1
线性代数课件_第3章_矩阵的初等变换与线性方程组
-13-
定理 (等价标准形定理 等价标准形定理) 等价标准形定理 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形 等价标准形（ 用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称 相抵标准形）： 相抵标准形）：Er Fra bibliotek O O
等价标准形是唯一的。 等价标准形是唯一的。
-14-
例2
（接例1） 接例 ）
1 2 1 1 1 2 1 1 4 6 2 2 3 6 9 7
1 0 0 0
0 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
-10-
只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 定理 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形， 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形 从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一， 唯一。 唯一。
-8-
在 m × n 的矩阵集合 R 中的一个等价关系? 中的一个等价关系
m×n
A r 中, 如果
B ,
具有行相抵的关系,问行相抵是不是 行相抵的关系 则称 A 与 B 具有行相抵的关系 问行相抵是不是 R m × n
Gauss消元法的思想又可表述为 在与方程组增 消元法的思想又可表述为, 消元法的思想又可表述为 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的 找一个最简单的,然后求解 广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解 这个最简单的矩阵所对应的方程组. 这个最简单的矩阵所对应的方程组 以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行 最简阶 以后我们把这个最简单的矩阵叫做 行)最简阶 梯形矩阵. 梯形矩阵
a11 = a 21 a 31
a12
a 22 a 32
a13 1 0 0 a 23 0 1 0 a 33 0 0 k
线性代数课件-2.3逆矩阵
§3 逆矩阵
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.
对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
An En En An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位： a * 1 = 1 * a = a.
若设 B 和 C 是 A的可逆矩阵， 则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的，即 B C A1.
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
结论：AA* A* A | A | E.
例3 已知A 0 0 3 0 0 求A1.
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A 5! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
2 3 4 5 0
0
0
0
1
0 0
1345 0 0 1245
0 0
0 0
5!
0
0
0 1235 0
0
0
0
0 1 2 3 4
1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0
概念的引入
在数的运算中，当数 a 0时，有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中
的1， 那么，对于矩阵 A，如果存在一个矩阵 A1,
使得
AA1 A1 A E ,
•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵.
对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有
An En En An An
从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位： a * 1 = 1 * a = a.
若设 B 和 C 是 A的可逆矩阵， 则有
AB BA E, AC CA E,
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以 A 的逆矩阵是唯一的，即 B C A1.
下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？
结论：AA* A* A | A | E.
例3 已知A 0 0 3 0 0 求A1.
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
解 因 A 5! 0, 故A1存在.
由伴随矩阵法得 A1 A A ,
2 3 4 5 0
0
0
0
1
0 0
1345 0 0 1245
0 0
0 0
5!
0
0
0 1235 0
0
0
0
0 1 2 3 4
1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0
概念的引入
在数的运算中，当数 a 0时，有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中
的1， 那么，对于矩阵 A，如果存在一个矩阵 A1,
使得
AA1 A1 A E ,
§3.2 初等矩阵与逆矩阵的求法
即 E 可经有限次初等行变换化为 A .
r
即E~A.
推论 1 方阵A可逆的充分必要条件是
c
E~A.
推论2 m n 矩阵 A等价B 的充要条件是存在 m 阶
可逆方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q,使 PAQ B.
定理2 方阵A可逆的充分必要条件是A可 经过一系列初等行变换化为单位矩阵E.
5、利用初等行变换求逆阵的方法：
a11
Pm
(i
(k
))A
kai1
am1
a12 kai2 am2
a1n
kain
第
i
行
amn
相当于以数 k 乘 A 的第 i 行 (ri k)；
类似地，以 En(i(k)) 右乘 矩阵 A，其结 果相当于以数 k 乘 A的第 i 列 (ci k).
以 Pm (i, j(k)) 左乘矩阵A，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i
行上记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是
把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变 换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ;
ri
k
逆变换
ri
(1) k
即可得Y T ( A1 )TCT ( AT )1CT,即可求得 Y .
三、小结
一次初等变换
1. 单位矩阵
初等矩阵.
2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:
1 构造矩阵 A , E 或 A ;
E
2 对 A , E 施行初等行变换, 将 A 化为单位矩阵 E
后 , 右边 E 对应部分即为 A1 (或对 A 施行初等列 E
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17
1 a12
a1n
P1m
P12
P11
A
0
a22
a2 n
0 an1
ann
1 0
A
B,
其中P11,P12,...,P1m是对A所作初等行变换所对应的 初等矩阵. 由于|A1|=|P1m...P12P11A|0, 故对B中 A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对
角元为1的上三角矩阵, 即
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18
1 a12
P2l
P22 P21B
1
a1n
a2n
C.
1
再将C中第n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前 面的第n-1,n-2,...,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即
P3k...P32P31C=I.
综上就有
(P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I
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1
初等变换
什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？
我们来看线性方程组的一般形式：
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
2021/4/18
2
用矩阵形式来表示此线性方程组：
a11 a12
a21
a22
am1
am 2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn
xn
bm
令 A aij mn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
Ax b 则，线性方程组可表示为
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3
如何解线性方程组？ 可以用高斯消元法求解。
其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证.
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19
推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
推论2：
如果对可逆矩阵 等行变换，那么当
A 和同阶单位矩阵 A 变成单位矩阵 E
E 作同样的初 时，E 就变成 A1。
Ps P2P1 A E, 等号两边右乘 A1,
(Ps P2P1 )E A1
即可得Y T ( A1 )TCT ( AT )1CT ,
2021/4/18 即可求得 Y .
28
矩阵方程
AX B XA B AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1C B1
条件：A，B可逆，否则不能用此方法。
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29
2 0
2 1
2 1
2 1
课后 已知 n 方阵 A 0 0 1 1,
1
0
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
1
19 c1 c2 12 0
1
c3 c2 19
0
3
0.8
2
1.4
0
1.2
0 1 0 0.1 0.2 0.1
0
0
1
1.1
1.8 1.9
A-1
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24
注： 1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.（作列变换时也一样）
1
P(i, j(k))
1k
第i行
1
第j行
1
12
1、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
变换 ri rj 的逆变换是其本身， 则EP (i, j)1 EP(i, j) ；
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1， k
则 EP (i(k ))1 EP (i( 1 )); k
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成
“c”)．
初等行、列变换统称初等变换。
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7
矩阵的等价
对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩
阵A与B等价，记作 A B.
等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。 故是一种等价关系。即：
若记
a11 a12
B
(A
b)
a21
a22
am1
am 2
a1n b1
a2n
b2
amn
bm
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵B（方程组的增广矩阵）的行的变换．
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5
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵
施行3种初等运算：
统称为矩阵的初
等行变换，对矩
阵而言同样可以
(1) 对调矩阵的两行。
3 1
6 1
5 1
1 0 0 1 3 2
r2 ( 2 ) r3 (1)
0
1
0
3
3
5
2
2
0 0 1 1 1 1
1 3 2
A1
3
3
5
.
2
2
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1 1 1
22
例2：用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵
2 3 4
A 5 2 1,
1
2
3
解：用初等列变换
求A1.
r2 2r1 r3 3r1
1 0 0
2 2 2
3 5 6
1 2 3
0 1 0
0 0 1
r1r2 r3 r2
能否
写成
“=”？
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21
1 0 2 1 1 0
1 0 0 1 3 2
0 0
2 0
5 1
2 1
1 1
0 1
r1 2 r3 r2 5r3
0 0
2 0
0 1
3 4 3
4 3
解： 若 A 可逆，则 X A1B.
方法1：先求出 A1，再计算 A1B 。 方法2：直接求 A1B 。
( A B)初等行变换 (E A1B)
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26
1 2 3 2 5
(A B) 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
r2 2r1 r3 3r1
1 2 3 2 5 0 2 5 1 9 0 2 6 2 12
即， A, E 初等行变换 E，A1
又AA1 E , A Ps P2P1 E,
E Ps P2P1 A1,
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即，
A E
初等列 变换
E A1
20
1 2 3
例1：
设
A 2
2
1 ,求 A1.
3 4 3
1 2 3 1 0 0
解：
A
E
2
2
1
0
1
0
3 4 3 0 0 1
变换 ri krj 的逆变换为ri (k )rj，
则 EP (ij(k))1 PE(ij(k)) .
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13
2、设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，
相 当 于 在A的 左 边 乘 一 个 相 应 的m阶 初 等 矩 阵 ； 对A施 行 一 次 初 等 列 变 换 ，相 当 于 在A的 右 边 乘 一 个 相 应 的n阶 初 等 矩 阵 。
A A;
A BB A;
A B,BC AC
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8
初等矩阵
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.
定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1
1
P(i(c))
c
第
i
行
1
1
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(3) 以数 k 0 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj ) 或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
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2 3 4
2 1 2
5 1 1 c2 c1 2 5 12 14 c2 (1)
EA
1 1
2 0
3 c3 c1 3
1
0
0
1 2
0
c3 (1)
3
0
1
0
0
1
0
0 0 1
0 0 1
2 1 2
5 12 14
1
0
0
1 2 3
0
1
0
0 0 1
2 5
1 12
r1r2 1
r3 r2 0 0
0 2 0
2 5 1
1 1 1
4
9 3
r1 2 r3 r2 5r3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 6 3
1 0 0 3 2
3 2
r2 ( 2 ) r3 (1)
0 0
1 0
0 1
2 13， 3 来自XA1B2 1
33 .
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A Ps P2P1 1 P11P21 Ps1
初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，充分性得证。
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必要性： n 阶可逆矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n a2n