轴对称的应用-将军饮马最短路径问题
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
最短路径问题(将军饮马为题) 优秀教案
人教版八年级上册第十三章轴对称课题学习最短路径问题教学设计课题人教版八年级上册第十三章轴对称教具准备多媒体课件，正方体纸盒13.4课题学习最短路径问题学具准备正方体纸盒，三角板课时共（1）课时，第（1）课时执教教师教材分析本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”“垂线段最短”的基础上，借助轴对称研究以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．学情分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。
教学目标知识与技能1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
3.感悟转化思想。
过程与方法1.在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力。
；2.渗透数学建模的思想。
情感态度与价值观1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学教学重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；培养学生解决实际问题的能力.教学难点路径最短的证明教学过程设计设计意图一、以旧引新，激情引趣1、利用101PPT中本课的一道习题，复习“两点之间，线段最短”为了激发学生的求知欲，利用蚂蚁爬行最短路径问题激情引趣。
充分利用101PPT学科工具中立体展开还原的动画过程，让学生通过观察纸盒的打开过程，寻找蚂蚁的爬行捷径。
从而引出线段公理：两点之间线段最短和垂线段的性质：垂线段最短让学生体会新知识是在原有知识基础上“生长”出来的。
以旧引新，给予学生亲切感，树立学好本节课的信心。
二、展示目标，合理定位利用思维导图，展示本节课的学习目标三、探究新知，教师主导1、师生一起借助信息技术探究“将军饮马问题（一）”传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡出发，到军营，途中马要到小溪边饮水一次。
课题学习 最短路径问题——将军饮马
教师活动学生活动设计意图【活动一】问题引入前几节课，我们学习了轴对称性质在等腰三角形中的应用,本节课，我们将继续探究轴对称性质的另一个实际应用——经典的“将军饮马问题”，请看视频。
【活动二】解决问题问题1：你能把“将军饮马”这个问题抽象为数学问题吗?问题2：注意观察，当饮马点C的位置改变时，你能确定使AC+CB最小的饮马点C的位置吗？问题3：当点A、B在直线l的异侧时，你能在直线l上确定一点C，使线段AC与CB的和最小?问题4 回到“将军饮马”问题，怎样将直线同侧两点转化为直线异侧两点?问题5：你能用所学的知识证明AC+CB最小学生认真观看视频，明晰本节课要探究的问题。
将A、B两地抽象为两个定点，将河抽象为一条直线l。
学生回答并相互补充，最后达成共识。
已知：直线l和直线l的同侧两点A，B;求作：直线l上一点C，使得AC+CB 最小.通过老师的引导启发，使同学们想到作定点的对称点，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异侧的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，感悟转化的数学思想。
教师引导点拨，从数学史上久负盛名的“将军饮马”问题引入，增加学生们的数学底蕴，提高其人文思想，同时引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题。
从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。
让学生进一步吗？小结：“将军饮马”问题的已知条件是什么？求什么？“将军饮马”的实质是什么？“将军饮马”的作图步骤是什么？跟踪练习：如图P、Q是△ABC的边AB、AC 上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？【活动三】“将军饮马”变式1如图，点A 是∠MON 内的一点，分别在OM、ON上作点B、C，使△ABC 的周长最小。
结合几何画板的演示，师生共同完成证明过程。
学生回答，并相互补充，最后由教师总结。
要求学生用两种方法画图，学生独立思考，画出图形，点名一名学生在黑板上画图。
《最短路径-将军饮马问题》教学设计
《最短路径问题》教学设计一、内容和内容解析1、教学内容《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章课题学习第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”以及“两线一点”，“两线两点”等最短路径问题.2、教学内容解析本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典问题一“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.3、教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短问题”二、教学目标及其解析1、教学目标:(1)理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。
(2)能利用轴对称解决简单的最短路径问题。
(3)通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2、目标解析:要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”把实际问题抽象为数学的线段和最小问题:能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题:能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短:在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
三、学生学情分析八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(学生版)
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.142(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.133(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4，点E 在BC 上，且BE =2，点P 在∠ABC 的平分线BD 上运动，则PE +PC 的长度最小值为()A.1B.2C.3D.44(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB =15°，M 是边OA 上的一个定点，且OM =12cm ，N ，P 分别是边OA 、OB 上的动点，则PM +PN 的最小值是．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C的位置，点B的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B与AC的位置关系是；(2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点(不与点A、B、C重合)，已知△BB C的面积为36，BC=8，求PB+PQ的最小值；(3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB E是直角三角形？8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=2km，BD=5km，CD=6km，现在要在河岸CD上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？小明的解法如下：如图，作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且PA+ PB的最小值为A B．问题提出：(1)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y=kx+b的图像经过两点A4,0，B0,8．点D m,4在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m的值；(3)点C为OA的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l1经过点A4,0，与直线l2：y=x交于点B a,43．(1)求a的值和直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点C，求△BOC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得PB+PA的值最小，若存在，请求出PB+PA的最小值，若不存在，请说明理由．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l1:y=-14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为( -2,0)，点P的横坐标为-45．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线l2的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线l2于点M，点Q是线段AM上的一动点，连接QD，QC，当△QDC 的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l1:y=x-1与y轴交于点A，直线l2:y=-2x-4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．(1)求点A,C的坐标；(2)点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标；(3)点D(2,0)为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出DQ-BQ的最大值．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y= x交于点C(a，7)．-73(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-7x于点F，交直线y=kx+b于点G，若3点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN的最大值为，此时P点坐标为．(直接写答案)3如图，在直角坐标系中，直线l：y=43x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x=-2交AB于点C，D是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设D(-2，m)(1)求点O到直线AB的距离；(2)当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E(8，0)，在y轴上找一点M，使|ME-MD|最大，请求出|ME-MD|的最大值以及M点的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线l：y=43x+8左右平移，平移的距离为t(t>0时，往右平移；t<0时，往左平移)平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．。
最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型
13.4最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型一．【知识要点】题方法是关键。
二．【经典例题】1．如图，已知∠AOB，点P在∠AOB内部，请在射线OA上确定点M，在射线OB上确定点N，使△PMN的周长最小。
【问题 1】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【问题 3】“将军饮马”作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长。
【问题 5】作法作图原理在 l1上求点 A，在 l2上求点 B，使 PA+AB 值最小．作点P 关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥ l2于B，交l1于 A．点到直线，垂线段最短PA+AB 的值最小为P＇B三．【题库】 【A 】1．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘内养鱼，他住的地方在P 点，每天早上必须去池塘边投放鱼食，试问他怎么走才能走最少的路程完成放食回到住地？说明理由.2.如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．【B 】1.如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△A MN 周长最小时，则∠MAN 的度数为____________。
P 2P 1N MO PB A2.如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7【C 】1.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
第11讲最短路径探究之将军饮马(原卷版)
第11讲最短路径探究之将军饮马【知识点睛】❖将军饮马模型总结：，❖其他“两动一定”型最值问题模型：、，❖ “造桥选址”类将军饮马模型：村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A 与B 之间的距离最短❖ 特别地：的两邻边中，一边是间距d 、另一边是定动线段AM 或BN 【类题训练】1．如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝60°，∠BAC AD和AB 上的动点，当BM +MN 取得最小值时，AN ＝（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．10D ．23．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，点E 是高AD 上任意一点，点F 是边AB 上任意一点，AB ＝5，BD ＝3，AD ＝4，则BE +EF 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．D ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP +PE 的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ） A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°6．如图，钝角三角形△ABC 的面积是20，最长边BC ＝10，CD 平分∠ACB ，点P ，Q 分别是CD ，AC 上的动点，则AP +PQ 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5A`7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．7B．C．5D．8．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．69．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m10．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（）A．2B．4C．D．11．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a12．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．13B．15C．16D．1713．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（）A．B．C．D．414．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD＝AB，则P A+PD的最小值为．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC的平分线上一动点，连接PC，PD，则PC+PD的最小值为．16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝2，AD＝4，P、Q分别是边BC、CD上的动点，连接AP，AQ，PQ，则△APQ周长的最小值为．17．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出△ABC关于直线MN的对称图形；（2）求△ABC的面积；（3）在直线MN上取一点P，使得AP+CP最小（保留作图痕迹）．18．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线/交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：（1）证明：如图3，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，∴CB＝，C'B＝，∴AC+CB＝AC+CB'＝．在△AC'B'中，∵AB'＜AC'+C'B'，∴AC+CB＜AC'+C'B'．∴AC+CB＜AC'+C'B'，即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．（2）问题解决如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程，即△PEF的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）19．（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝．20．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．。
最短路径问题 ---“将军饮马” 问题
【重要考点】 两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、
二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等．
【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称
的性质考查学生的综合能力。
【考查方向】 最短路径问题(即“将军饮马”模式)，动点问题下的最
塔P向A村、B村铺设管道最短需__5_0_0__米。
y
B
A
O
P
M
X
H
B′
知识应用
（利用正方形的对称性找对称点）
2. 已知正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点， P为 对角线BD上的一动点，要使 PF+PC的值最小，试确定点P 的位置，并求出最小值。
因为点C关于BD的对称点为
点A,连接AF，交BD于P点。
坐标为(2,−3)
总结
【思想方法】 (1) 最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰(边) 三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到 三角形(四边形)的周长最值问题、面积最值等问题。 (2)“将军饮马”问题就是利用对称性“化折为直”。
方法提升：（PA+PB最小）
1.点的分类及确定： 两个定点+一个动点
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1， AF=3，点P为BD上一动点，求：线段EP+FP和的最小值。
3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时， 求点C的坐标。
值问题在中考中一般放置在选择题、填空题或解答题最后， 以压轴题的形式出现．
最短路径(将军饮马)问题(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 24-25学年八年级数学上册
专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。
“将军饮马问题最短路径问题”支架式教学策略的探讨——从一道中考压轴题说起
考点聚焦“将军饮马问题最短路径问题”支架式教学策略的探讨——从一道中考压轴题说起■禤泳棋摘要：“将军饮马问题”有着强大的现实生活联系性、多变性，其对学生理解和应用的要求较高。
本文首先分析一道有关“将军饮马问题”的中考压轴题，突出强调“将军饮马问题”的特点，引出笔者的观点：教师在教授“将军饮马问题”时，应当采用以学生为中心的支架式教学策略。
接着，笔者针对“将军饮马问题”探讨了践行支架式教学策略的思路：第一步，引导学生数学化问题；第二步，引导学生尝试转新为旧；第三步，引导学生严谨证明。
为学生提供适当、小步调的提示（支架），让学生通过支架一步步攀升，逐渐发现和解决问题，转化和证明问题，提高独立解决问题的能力。
关键词：将军饮马问题；最短路径问题；支架式教学策略“将军饮马问题”是人教版数学八年级上轴对称一章的最后一节《课题学习最短路径问题》。
“将军饮马问题”背后有一个著名的古罗马将军饮马小故事，最早解决这个问题的是著名数学家海伦。
“将军饮马问题”是轴对称知识的应用与推广，与现实生活联系密切，同时对学生思维能力要求较高，因此在教学时对教师的引导作用有一定要求。
本文将从一道中考压轴提说起，探讨“将军饮马问题最短路径问题”贯彻支架式教学策略。
此处给出一道广西北部湾的中考真题：（2018北部湾）如图，抛物线y =ax （^2）-5ax+c 与坐标轴分别交于A 、B 、E 三点，其中A （-3，0），C （0，4），点B 在x轴上，AC=BC ，过点B 作BD ⊥x 轴，交抛物线于点D ，点M 、N 分别是CO 、BC 上的动点，且CM=BN ，连接MN 、AM 、AN 。
（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）当△CMN 是直角三角形时，求点M 的坐标；（3）试求出AM+AN 的最小值。
首先来分析此道压轴题，对于第一问：考查用待定系数求二次函数解析式和等腰三角形对称性。
第二问考查的是分类讨论的思想、相似三角形的判定及性质，有一定难度。
“将军饮马”常见模型 路径最短问题
两
点
·A
之
间
P
m
， 线
段
B·
最 短
第二关： “两点一线”两点在线的同侧
如图，将军您在A处接到最新消息，有人欲偷袭粮仓B， 需要您前去支援，但马儿已经口渴难耐，无法支撑至B处， 需先到河边饮水，您将选择在何处饮马？
同侧----异侧
·A
两点之间，线段最短
B·
m
·P
B1
第三关： “一点两线”点在两线中间
难点：如何理解通过轴对称解决路径一定是最 短
【路径最短问题】
知识点回顾
1、从A到B有三条路径，选择哪个路径最短？ 理由是__两_点 __之__间__，__线__段__最_短 __。___
2、图中点C与直线AB上点的连线中哪条最短？
理由是__垂 __线__段__最__短____
C
①
②
A
B
第一题 ③
或 者转化为垂线段最短问题
3、基本思想：转化的思想
谢 谢！
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BM+MN最小。
因为BAC的平分线交BC于点D。
由角平分线性质可知，ME=MN，
A
N
当BE是点B到直线AC的距离时 B （垂线段最短）
AB= 2，BAC=45o
BE=AB sin 45o 1
课堂总结：
1、基本知识点：两点之间线段最短 垂线段最短
2、基本方法：求线段和最短的问题通过对 称转化为两点之间线段最短 问题，实现“折”化“直”，
如图，将军您接到一个寻找水源的任务，行至P处，发现前方有两 河A,B交汇，您需派出一位侦察兵前往探测两河情况，并回到P处复命。 则侦察兵应在OA,OB上的何处侦察才能最快？
13.4将军饮马-最短路径问题(教案)
13.4 最短路径问题
教学目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题
2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点：
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
教学过程：
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡
B，途中马要到小溪边饮水一次。
问将军怎样走路
程最短？
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途
中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路
程最短？
练习1：已知：P、Q是△ABC的边AB,AC上的点，
你能在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短
吗？
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草
地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地
A，问：这位将军怎样走路程最短？
练习2：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边
饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短
路线。
练习3：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、
白两球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击
白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反
弹击中黑球？
例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到
城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河
上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B
的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的
直线，桥要与河垂直）。
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计
13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。
最后让学生对所学知识加以应用。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。
二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。
数学来源生活，服务生活。
（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。
但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。
本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。
关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。
四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。
最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计课题
最短路径问题——将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。
2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。
3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。
此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。
2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。
”以及“垂线段最短”。
以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。
教学条件分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。
教具准备：直尺、ppt教学过程：环节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。
1、两点之间，线段最短。
2、两边之和大于第三边。
从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学
轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。
连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。
两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。
二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。
作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。
化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。
三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。
点P 2，连接P 1P 2。
的和最小。
四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。
将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。
两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。
注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。
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QB、QB/，如图所示。
由轴对称的性质知
PB=PB/，QB=QB/
∴PA+PB=PA+PB/=AB/
QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和
大于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB
即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
典型例题：
1.要在河边修建一个水泵，分别向张村、李 庄送水（如图），修在河边什么地方，可使 所用水管最短？
照镜子：物和像关 于镜面成抽对称， 镜面上的任意一点 到物和像对应点的 距离相等。
探索新知 5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮 助将军解决问题的了吗？
B A
l
P B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短 呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
离之和最短吗？
图形 B
A
O
L
L P
B
语言描述
两点之间，线段最短。
直线外一点与直线上 所有点的连线中，垂 线段最短。
将直线异侧的两点A、 B直接连接，交直线L 于点P，此时PA+PB 最短。
任务驱动 启迪智慧
问题
李庄
张村
●
●
3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是 12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、 F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动 点，则 BDM的周长的最小值为（ ）
A.6
B.8
C.4
D.10
课堂小结：
本节课研究问题的基本过程是什么？
把实际问题变成数学问题或数学模型 →推理 →猜想 →证明 ↓
轴对称的应用-----将军饮马问题
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
将军饮马
激疑引趣
相海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其 解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这 个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？
B A
l
任务驱动 启迪智慧
问题
A
1、截至目前， 你学到那些最短 问题？
应用到实际问题中← 得出结论
今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎 么样找到它们的最短路径呢？
1、确定对称轴，找出定点的对称点。
2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对 称点确定所求位置点）。
作业 课本习题5.3第5题
2016.4
图形
语言描述
3、你能把“将军
饮马问题”转化成
A
具体的数学问题吗？
4、怎样才能找到 符合条件的点P呢？ 问题3与问题2的区 别在哪？你能把问 题3转化成问题2的
情形吗？通过照镜 A
子：你能得到什么 启发呢？
镜子
B
？ L
P
p 像
A′
A、B两点位于直线L 的同侧，在直线L上 找一点P，使得点P 到A、B两点的距离 之和最小。