现代控制理论 第十七章 模型参考自适应控制

图（17-1）模型参考自适应系统基 本结构图
模型参考自适应控制问题的提法可归纳：根据获得的有关受 控对象及参考模型的信息（状态、输出、误差、输入等）设 计一个自适应控制律，按照该控制律自动地调整控制器的可 调参数（参数自适应）或形成辅助输入信号（信号综合自适 应），使可调系统的动态特性尽量接近理想的参考模型的动 态特性。 由图17-1可见，参考模型与可调系统的相互位置是并联的， 因此称为并联模型参考自适应系统。这是最普遍的一种结构 方案。除此之外，还有串并联方案及串联方案，其基本结构 如图17-2所示。
K o = Be1 y M
设 r ( t ) = ro ，对式(17-26)求导得
ɺ a2ɺɺɺ + a1ɺɺ1 + e1 = K o K s ro e1 e ɺ
(17-29)
假设 y M ( t ) 动态响应比 e1 ( t ) 的自适应调整过程要快得多，因此可 认为在研究e1 ( t ) 调节过程时，y M ( t ) 已达到稳态，即 yM = K M ro ，则式 (17-30)可表示成
函数的正实性 凡满足以下两个条件的实有理函数 W ( s ) ，称为正实函数： ⑴ W ( s )只能含有s 左半平面的极点及虚轴上的其留数为正的一 阶极点：
Re ⑵ 对任意 ω， W ( jω ) ≥ 0 。
如果Re W ( jω ) > 0 ，则称为严正实函数。
卡尔曼-雅库波维奇定理
(17-11)
N (s) 1 r (s) = yM ( s ) D (s) KM
∂e1 ( t ) ∂Ko =− Ko yM ( t ) KM
(17-12) (17-13)
代入式(17-7)，则得
K ɺ Ko = − B1 ⋅ 2e1 ( t ) o y M ( t ) KM
(17-14)
令 B = 2 B1
(17-8)
故有
D ( s ) e1 ( s ) = ( K M − Ko K s ) N ( s ) r ( s )
(17-9)
上式对 Ko 求导：
D (s) ∂e ( s ) ∂Ko = −Ks N ( s ) r ( s )
(17-10)
由参考模型传递函数可得
KM N ( s ) yM ( s ) = D (s) r (s)
Pb = c − 2d l
(17-36) (17-37)
一般情况下，对于输入输出间存在惯性的系统有 d = 0 ，则系统状 态空间表示为
x = Ax + bu
y = cx
.
(17-38) (17-39)
则式(17-36)、式(17-37)可化简为
AT P + PA = −ll T = −Q Pb = c
由于在一般情况下，被控对象的参数是不便直接调整的，为 了实现参数可调，必须设置一个包含可调参数的控制器。这 些可调参数可以位于反馈通道、前馈通道或前置通道中，分 别对应地称为反馈补偿器、前馈补偿器、前馈补偿器及前置 滤波器，例如航天飞机的姿态控制系统。
为了引入辅助输入信号，则需要构成单独的自适应环路。 它们与受控对象组成可调系统。模型参考自适应控制系 统的基本结构如图17－1所示。
模型参考自适应系统的基本设计方法有以三种： ⑴ 参数最优化方法： ⑵ 基于李雅诺夫稳定性理论的设计方法： ⑶ 基于波波夫超稳定性及正性概念的设计方法。 下面，我们将对各种设计方法分别进行介绍。
第一节
按局部参数最优化设计自适应控制的方法
这是以参数最优化理论为基础的设计方法。它的基本思想 是：假设可调系统中包含若干个可调参数，取系统性能指 标为理想模型与可调系统之间误差的函数，显然它亦是可 调参数的函数，因此可以将性能指标看作参数空间的一个 超曲面。
在可调系统中仅设置了一个可调的前置增益 K M ，由自适应机构来进 行调节。选取性能指标为
J = ∫ e12 (τ ) dτ
t 0
(17-3)
式中，e1 = yM − ys 为输出广义误差。要求设计调节 K 0 的自适应律，使 以上性能指标达到最小。下面，用梯度法来求它的自适应律。 为使J达最小，首先要求出J对 K0 的梯度；
{ 设系统传递函数为W ( s ) ，满足 W ( j∞ ) = a，A，b，c，d} 为 W ( s ) 的一 个最小实现，即系统状态空间表示为
ɺ x = Ax + bu
y = cx + du
(17-34) (17-35)
则W ( s )为正实函数的充要条件是存在正定矩阵 P 及向量 l ，满足
AT P + PA = ll T
(17-25)
由于 e1 的系数 BK s ro2 K M (1 − e − t / T ) > 0 ，可见系统是稳定的。
例17-2
设对象为二阶系统，其传递函数为
Ws ( s ) = Ks a2 s 2 + a1s + 1
Ks 已知： a1、a2 为已知常值，K s 受环境影响而改变。选取参考模 型传递函数为
(17-6)
。对式(17-6)求导可得 (17-7)
ɺ = − B d ∂J = − B ⋅ 2e ∂e1 Ko 1 1 1 dt ∂Ko ∂Ko
为了计算 ∂e1 / ∂Ko先求传递函数
e1 ( s ) N (s) We ( s ) = = ( K M − Ko K s ) r (s) D (s)
t ∂J ∂e = ∫ 2e1 1 dτ 0 ∂K 0 ∂K 0
(17-4)
按梯度法， Biblioteka Baidu 0 的调整值应为
∆K 0 = − B1 ∂J ∂K 0
(17-5)
式中， B1 为步长，是经适当选定的正常数。经一步调整后 K0 值为
Ko = Ko0 − B1 ∂J 可以通过如下运算来求梯度 ∂Ko ∂J ∂Ko
解:
本例自适应控制系统的数学模型可表示成
ɺ 输出误差： Te1 + e1 = ( K M − Ko K s ) r
(17-19) (17-20) (17-21)
模型输出： 自适应律：
ɺ Ty M + y M = K M T Ko = Be1 y M
现在来检查系统的稳定性。设 r ( t ) = ro ，对式(17-19)进行求导得
WM ( s ) = KM a2 s 2 + a1s + 1
试按M.I.T.自适应方案设计自适应系统。
解:
系统数学模型为 输出误差： 模型输出： 自适应律：
ɺ a2 ɺɺ1 + a1e1 + e1 = ( K M − Ko K s ) r e
(17-26) (17-27) (17-28)
ɺ a2 ɺɺM + a1 y M + y M = K M r y
a2ɺɺɺ + a1ɺɺ1 + e1 + K s K M Bro2 e1 = 0 e1 e ɺ
(17-31)
根据劳斯稳定性判据可知，当满足以下不等式时：
K M K s Bro2 > a1 a2
(17-32)
系统将不稳定。
局部参数优化法除了前面介绍的M.I.T.可调增益方案外，还有反 馈补偿器，前置反馈补偿器等多个参数同时可调的方案，这里就不 一一介绍了。这类方案有共同的缺点，即不能保证自适应系统的稳 定性，最后均必须对整个的稳定性检验。另外，由于各种参数优化 方法都要求对参数进行搜索，这就需要一定的搜索时间，所以自适 应速度比较低。还要求参考模型应相当精确地反映受控系统的动态 特性，以使参数的误差不致过大以免造成系统过度扰动。
(17-15) (17-15) (17-15)
D ( s ) yM ( s ) = K M N ( s ) r ( s )
ɺ K o = Be1 ( t ) y M ( t )
其结构图如图17-3所示。由图可见，自适应机构包括了一个乘法 器及一个积分器。M.I.T.自适应控制方案的优点是结构比较简单， 并且自适应律所需信号只是参考模型的输出 y M ( t ) 以及参考模型输 出与可调系统输出之误差 e1 ( t )，它不需要状态信息，因此这些都是 容易获得的。但是M.I.T.方案不能保证自适应系统总是稳定的，因 此，最后必须对整个系统的稳定性进行检验，这可以通过以下例 子来说明。
第十七章 模型参考自适应控制
模型参考自适应控制在原理及结构上与自校正控制有很大差 别，这类系统的性能要求不是用一个指标函数来表达，而是 用一个参考模型的输出或状态响应来表达，例如导弹的稳定 控制系统。
参考模型的输出或状态相当于给定一个动态性能指标，通 过比较受控对象及参考模型的输出或状态响应取得误差信 息，按照一定的规律（自适应律）来修正实际系统的参数 （参数自适应）或产生一个辅助输入信号（信号综合自适 应），从而使实际系统的输出或状态尽量跟随参考模型的 输出或状态。参数修正的规律或辅助输入信号的产生是由 自适应机构来完成的。
ɺ ɺ Te1 + e1 = − Ko K sTo
(17-22)
考虑式(17-21)有
ɺɺ ɺ Te1 + e1 + BK s ro y M e1 = 0
(17-23)
由式(17-20)得
y M ( t ) = K s ro (1 − e − t / T )
(17-24)
代入式(17-23)
ɺɺ ɺ Te1 + e1 + BK s ro2 K M (1 − e − t / T ) e1 = 0
线性时不变系统的稳定性定理
ɺ 线性时不变自治系统 x = Ax 在平衡点 x = 0 是渐近稳定的，当且仅 当对任意给定的正定对称矩阵Q ，都存在一个正定对称矩阵 P ，并 满足如下李雅普诺夫方程：
A T P + PA = −Q
(17-33)
则标量函数 V ( x ) = xT Px 即为该系统的李雅谱诺夫函数。
第二节 基于李雅诺夫稳定性理论按对象 状态信息设计自适应控制的方法
由于模型参考自适应系统的时变及非线性特性，因此稳定性问题 是设计中必须考虑的固有问题。基于李雅普诺夫稳定性理论的设计 方法设计出来的系统变不必耽心系统是否稳定的问题。为了说明该 设计方法首先对李雅普诺夫线性时不变系统的稳定性定理（其证明 详见第一篇）作一回顾，并介绍函数的正实性概念及判断函数正实 性的卡尔曼-雅库波维奇定理。
当外界条件发生变动或出现干扰时，受控对象特性会发 生相应变化，由自适应机构检测理想模型与实际系统之 间的误差，例如水箱液面控制系统。对系统的可调参数 进行调整，且寻求最优的参数，使性能指标处于超曲面 的最小值或其邻域内。
最常用的参数最优化方法有梯度法、共轭梯度法等。这种设 计方法最早是由M.I.T.在五十年代末提出来的，故M.I.T.法。 M.I.T.提出的自适应方案假定受控对象传递函数为：
Ks ，则得 KM
Ko = Be1 ( t ) y M ( t )
(17-15)
这就是可调整参数Ko的自适应律。于是M.I.T.自适应控制系统的 数学模型可归结为 输出误差： 模型输出： 自适应律：
D ( s ) e1 ( s ) = ( K M − Ko K s ) N ( s ) r ( s )
ɺ xs = A (t ) xs + B (t ) r
(17-42)
给定参考模型为
ɺ x M = A M x M + BM r
(17-43)
设状态广义误差为
e = xM − xs
(17-44)
例17-1
设对象为一阶系统，其传递函数为
Ws ( s ) = Ks 1 + Ts s
式中，Ts 为已知常数，K s 受环境影响而改变。设参考模型传递函数 为
WM ( s ) = KM 1 + TM s
式中 TM = Ts = To 。试根据M.I.T.自适应控制方案，设计自适应控制系 统。其结构如图17-4所示。
(17-40) (17-41)
以上卡尔曼-雅库波维奇定理又可叙述为：传递函数 W ( s ) 为正实函 数的充要条件是存在正定矩阵 P、Q ，并满足式(17-36)、式(17-37)。
下面来讨论受控对象全部状态可直接获取的情况下，基于李雅普 诺夫稳定性理论进行自适应控制系统设计的方法。 设可调系统数学模型为
WS ( s ) = K s N (s) D (s)
(17-1)
式中，只有 K s 受环境影响而变化，是未知的； N ( s )及 D ( s ) 则 为已知的常系数多项式。所选择的参考模型传递函数为：
N (s) WM ( s ) = K M D (s)
(17-2)
式中， K M 根据希望的动态响应来确定。