离散数学习题答案

离散数学习题答案习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。

6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s 证明：① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ rs → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u →证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入 ②p q ∨ ①附加③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理： （1）前提：p q →⌝，r q ⌝∨，r s ∧⌝结论：p ⌝ 证明：用归谬法① p 结论的否定引入 ②p q →⌝ 前提引入③ q ⌝ ①②假言推理 ④ r q ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ⌝ ③④析取三段论 ⑥ r s ∧⌝ 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取由于0r r ∧⌝⇒，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。

A 曾到过受害者房间。

如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。

看门人没有看见他。

所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。

则前提：()p q r ∧⌝→，p ，q s →，s ⌝结论：r 证明：① q s → 前提引入 ② s ⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入 ⑤p q ∧⌝ ③④合取引入⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理习题五及答案：（P80-81）15、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： （3）前提：(()())x F x G x ∀∨，()xG x ⌝∃ 结论：()xF x ∃ 证明：① ()xG x ⌝∃ 前提引入 ② ()x G x ∀⌝ ①置换 ③ ()G c ⌝ ②UI 规则 ④ (()())x F x G x ∀∨ 前提引入⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论 ⑦ ()xF x ∃ ⑥EG 规则22、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：（2）凡大学生都是勤奋的。

王晓山不勤奋。

所以王晓山不是大学生。

解：设F(x)：x 为大学生，G(x)：想是勤奋的，c ：王晓山 则前提：(()())x F x G x ∀→，()G c ⌝ 结论：()F c ⌝ 证明：① (()())x F x G x ∀→ 前提引入 ② ()()F c G c → ①UI 规则 ③ ()G c ⌝ 前提引入 ④ ()F c ⌝ ②③拒取式25、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是科学工作者，并且是聪明的。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

（个体域为人类集合）解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是刻苦钻研的，H(x)：x 是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：王大海 则前提：(()())x F x G x ∀→，(()()())x G x H x I x ∀∧→，()()F c H c ∧ 结论：()I c 证明：① ()()F c H c ∧ 前提引入 ② ()F c ①化简 ③ ()H c ①化简④ (()())x F x G x ∀→ 前提引入 ⑤ ()()F c G c → ④UI 规则 ⑥ ()G c ②⑤假言推理 ⑦ ()()G c H c ∧ ③⑥合取引入 ⑧ (()()())x G x H x I x ∀∧→ 前提引入 ⑨ ()()()G c H c I c ∧→ ⑧UI 规则 ⑩ ()I c ⑦⑨假言推理习题七及答案：（P132-135） 22、给定{}1,2,3,4A =，A 上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试（1）画出R 的关系图； （2）说明R 的性质。

解：（1）● ●● ●（2）R 的关系图中每个顶点都没有自环，所以R 是反自反的，不是自反的；R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对称的；R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是传递的。

26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图所示：（1）求23,RR 的集合表达式；（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。

解：（1）由R 的关系图可得{1,5,2,5,3,1,3,3,4,5R =所以{}23,1,3,3,R R R =︒=，{}323,1,3,3,3,5R R R =︒=， 可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2nR=当；（2）{Ar(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6=U ，{1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,,4,5,s R R -==U {}232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,3,5t R R R ===U U U U46、分别画出下列各偏序集,A R ≤的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。

（1）{}A ,,,,,,,,,,,,,I R a d a c a b a e b e c e d e ≤=U解：哈斯图如下：A 的极大元为e 、极小元为a ； A 的最大元为e 、最小元为a 。

48、设,B,S A R 和为偏序集，在集合A B ⨯上定义关系T 如下：112211221212,,,A B,,,a b a b a b T a b a Ra b Sb ∀∈⨯⇔∧证明T 为A B ⨯上的偏序关系。

证明：（1）自反性：1111111111112212121111,A B R R S b Sb R b Sb ,,,,T a b a a a a a b T a b a Ra b Sb a b T a b ∈⨯∴∴∴∧⇔∧∴Q Q 任取，则：为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，又，，故满足自反性（2）反对称性：112211222211121221211221121221121122,,,A B ,,,,R S b b ,,T a b a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a Ra b Sb a Ra a Ra a a b Sb b Sb a b a b ∈⨯∧∧∴∧=∴∧=∴=任取，若且，则有：（1）（2），又为偏序关系，具有反对称性，所以，又为偏序关系，具有反对称性，所以，故满足反对称性（3）传递性：11223311222233112212122233232312231312231313131133,,,,A B ,,,,,,,,,R ,S b Sb b Sb ,,T a b a b a b a b T a b a b T a b a b T a b a Ra b Sb a b T a b a Ra b Sb a Ra a Ra a Ra b Sb b Sb a Ra a b T a b ∈⨯⇔∧⇔∧∴∧∴∧∴∧⇒任取，，若且，则有：又为偏序关系，具有传递性，所以又为偏序关系，具有传递性，所以，故满足传递性。

综合（1）（2）（3）知T 满足自反性、反对称性和传递性，故T 为A B ⨯上的偏序关系。

习题九及答案：（P179-180） 8、S=Q Q,Q S a,b ,x,y a,b x,y ax,ay+bS ⨯*∀∈*=为有理数集，为上的二元运算，有（1）S *运算在上是否可交换、可结合？是否为幂等的？（2）S *运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出中所有可逆元素的逆元。

解：（1）,a,b xa,xb+y ax,bx+y a,b ,x y x y *==≠*∴*运算不具有交换律()()(),a,b c,dax,bx+y c,d acx,adx+bx+y ,a,b c,d ,*ac,ad+bxac,xad+xb+y acx,adx+bx+y ,a,b c,d x y x y x y x y **=*=**====**∴*而运算有结合律2a,b s a,b a,b a ,a,b ad b ∈*=+≠∴*任取，则有：运算无幂等律（2）()()a,b *,a,b a,b s ax,ay+b a,b a,b s ax a a x 10a,b ay b b ay 0x 10x 1y 0y 0101010x y =∀∈=∀∈⎧=⎧-=⎪∴⇒∀⎨⎨+==⎪⎩⎩-==⎧⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩∴**∴*令对均成立则有：对均成立对成立必定有运算的右单位元为，，可验证，也为运算的左单位元，运算的单位元为，()()()a,b *,,,a,b s a,b *,,ax,ay+b ,a 1x 0ax x a 1y+b 0ay b y a 1y+b 0a,b s a,b *,,a,b s x y x y x y x y x y x yx y x y =∀∈=⇒=⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=+=⎪⎪⎩⎩-=∀∈=∀∈令，若存在使得对上述等式均成立，则存在零元，否则不存在零元。