离散数学习题答案

离散数学习题答案

习题二及答案：（P38）

5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧ 解：原式()p q q r

⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧

()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，

所以成真赋值为011，111。

6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨

解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，

所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧

()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧

()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧

13567m m m m m ⇔

∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨⌝∧ 解：公式的真值表如下：

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式

1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨

习题三及答案：（P52-54）

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→

结论：s 证明：

① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r

s → 前提引入

⑦ s ⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：

p u →

证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 ②

p q ∨ ①附加

③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理： （1）前提：

p q →⌝，r q ⌝∨，r s ∧⌝

结论：p ⌝ 证明：用归谬法

① p 结论的否定引入 ②

p q →⌝ 前提引入

③ q ⌝ ①②假言推理 ④ r q ⌝∨ 前提引入 ⑤ r ⌝ ③④析取三段论 ⑥ r s ∧⌝ 前提引入 ⑦ r ⑥化简 ⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取

由于0r r ∧⌝⇒，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：

只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。 则前提：()p q r ∧⌝→，p ，q s →，s ⌝

结论：r 证明：

① q s → 前提引入 ② s ⌝ 前提引入 ③ q ⌝ ①②拒取式 ④ p 前提引入 ⑤

p q ∧⌝ ③④合取引入

⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理

习题五及答案：（P80-81）

15、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明： （3）前提：(()())x F x G x ∀∨，()xG x ⌝∃ 结论：()xF x ∃ 证明：

① ()xG x ⌝∃ 前提引入 ② ()x G x ∀⌝ ①置换 ③ ()G c ⌝ ②UI 规则 ④ (()())x F x G x ∀∨ 前提引入

⑤ ()()F c G c ∨ ④UI 规则 ⑥ ()F c ③⑤析取三段论 ⑦ ()xF x ∃ ⑥EG 规则

22、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：

（2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。 解：设F(x)：x 为大学生，G(x)：想是勤奋的，c ：王晓山 则前提：(()())x F x G x ∀→，()G c ⌝ 结论：()F c ⌝ 证明：

① (()())x F x G x ∀→ 前提引入 ② ()()F c G c → ①UI 规则 ③ ()G c ⌝ 前提引入 ④ ()F c ⌝ ②③拒取式

25、在自然推理系统N ξ中，构造下面推理的证明：

每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）

解：设F(x)：x 是科学工作者，G(x)：x 是刻苦钻研的，H(x)：x 是聪明的，I(x)：x 在他的事业中获得成功，c ：王大海 则前提：(()())x F x G x ∀→，(()()())x G x H x I x ∀∧→，()()F c H c ∧ 结论：()I c 证明：

① ()()F c H c ∧ 前提引入 ② ()F c ①化简 ③ ()H c ①化简