243正多边形和圆

24.3 正多边形和圆（第1课时）

学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，让学生尽可能讲出生活中的多边形.

重难点：1、正多边形和圆的关系．

2、通过例题使学生理解正多边形的半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学过程：

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？

其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•偶数边的正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能

够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形

ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、

C、•

D、

E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可

以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，

下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF

又∴∠A=1

2

BCF=

1

2

（BC+CD+DE+EF）=2BC

∠B=1

2

CDA=

1

2

（CD+DE+EF+FA）=2CD

∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正五边形ABCDEF的外接圆．

整个证明思路可总结为：

弧相等弦相等、圆周角相等多边形各边相等、各角相等多边形是正多边形为了今后学习和应用的方便，

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

探究1：正多边形的边和半径形成了怎样的三角形？

探究2：正多边形的边心距有什么特点？

探究3：正多边形的半径和边心距又形成了怎样的三角形？

探究4：正多边形的中心角跟边数n有怎样的关系？

F D

E C B

A O

M 三、例题应用

例：有一个亭子，它的地基是半径为4cm 的正六边形ABCDEF ，如图所示，求地基的周长和面积． 分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，

因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作 OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM•中便可求得AM ，又应用垂径定理可

求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606

︒

=60°， •△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12

a 利用勾股定理，可得边心距2

21()2a a -12

3 ∴所求正六边形的面积=6×12×AB ×OM=6×1

2×a ×32a=

32

3 2

正多边形的边数

内角 中心角 半径 边长 边心距

周长 面积 3 60° 120° 23

6 3 18 93 4 90° 90° 6

23 3 83 12 6

120°

60°

2

2

3

12

63

五、练习巩固：

1、课本P108第5题：如图，要拧开一个边长mm a 12=的六角形螺帽，

扳手张开的开口d 至少要多少？

2、课本P108第6题：如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个

正八边形.求这个正八边形的边长和面积.

3、《学评》P75第4题：

4、《学评》P75 拓展训练1-4

六、小结反思：翻开《3年5年》P61 填完知识清单，之后翻开《学评》P74核对 七、作业：《3年5年》P61:1-5 P62:3年1-4 作业本：《学评》P76:6 §24.3 正多边形和圆

正多边形 例题： 练习： 投影幕

中心 半径 中心角 边心距

九、课后反思：

24.3 正多边形和圆（第2课时）

学习目标：运用正多边形和圆的有关知识，画正多边形的，并掌握画多边形的方法，运用知识解决实际

问题，尝试解决综合性的圆的问题. 重难点：研究等分圆和正多边形的画法。如何融会贯通解决圆的综合问题. 教学过程： 一、复习旧知 翻开《学评》第74页，阅读知识要点，回忆昨天所学内容.

1、正多边形和圆的关系

2、正多边形的中心、半径、中心角、边心距

二、引入新课

实际生活中，经常会遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺母的平面图，画一个五角星等，这些问题都今天所要学习的与等分圆周有关。

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 怎样画一个正多边形呢？

问题1：已知⊙O 的半径为2cm ，求作圆的内接正三角形.

①由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为2cm 的正三边形时，我们可以以2cm 为半径作一个⊙O ，用量

角器画两个等于3601203

︒

︒=的圆心角，与圆分别交于A 、B 、C 三点． ②用量角器度量，使∠AOB=120°，然后在圆上依次截取与弧AB 相等的弧，就得到圆的3个等分点，顺次连接各分点，即可得出正三边形。

问题2：用尺规在圆中作出正六边形.

对于特殊的正六边形，还可以用圆规和直尺来作。例如，我们可以这样来作正六边形。由于正六边形的边长等于半径，所以半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，就可以将圆六等分。顺次连接各分点即可得到半径为R 的正六边形。

归纳：正多边形的画法：用量角器等分圆周作正n 边形；或者利用正多边形的特殊边长等分圆。 三、典型例题：

例：要在一个形状为圆的纸上截出一个面积最大的正方形，试用尺规作出这个正方形。 （不要求写作法，保留作图痕迹）

O D C B

A E F G