基于最小二乘法的曲线拟合

可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，存在唯一解。从 式（4）中解出ak (k = 0，1， ⋯ ，n)，可得多项式
i Pn (x) = ∑n i=0 a i x
(5)
3 实例一——在光纤光栅波长调节中的应用
式（5）中的Pn (x)即为所求的拟合多项式。
波长解调式光纤传感领域的核心工作， 通过光纤光栅传感器与光谱解调模块 连接，对返回解调波长数据实时分析，可以有效实现在非煤矿山、大型变电站等 恶劣环境条件下对温度、压力、位移等参数的有效监测。以前对中心波长的检测 一般应用光谱仪法，操作简单、工作稳定可靠，但体积大、重量大，价格昂贵， 不利于现场使用。为提高波长检测精度，更好的适应现场检测，本文提出一种基 于最小二乘曲线拟合的波长解调方法，该方法不但能精确测量光栅中心波长，而 且工作稳定，更能适宜在现场对温度、应变等外界参量的有效检测。 波长解调中，通过对解调光谱波长及功率数据的适当选取，对每一组离散缝 制数据点做二次曲线拟合，充分利用每个数据点对中心波长的影响，降低中心波 长漂移，提高解调精度。本系统采用乙炔气体在 1531.582nm 的吸收峰作为波长 参考值，并对乙炔气体吸收峰做二次曲线拟合检测其中心波长变化。构造系统模 型如图 1 所示。
结合系统实验数据，以 1531.582nm 段吸收峰为例说明最小二乘曲线拟合在 波长解调中的应用，吸收峰的波长及功率实验数据如表 1 所示。
根据实验数据， 在Leabharlann Baidu角坐标系上标出每个实验数据点， 得出曲线如图 2 所示， 在坐标图中可以得到解调波长和解调功率之间的大致趋势。
根据这些特点，并结合常用数学模型，设 y = F(t) 是二次函数 y = a2 x 2 + （5）得该二次拟合正规方程组式（6） a1 x + a0 。由（4） � 25803110.29 39519527756.867 −485.544 = � −743657.318 � −1138970718.34 11 16847.38 16847.38 25803110.29 a0 25803110.29 39519527756.867� �a1 � 6.05273 + 13 a2
i=0 n
学号 1014202030 精仪学院
光电子与光子学技术专业
要求在给定点 xi 上的误差按欧氏范数‖δ‖2 作为误差度量的标准， 使误差平方和达 到最小。
n m k 2 2 I = min ∑m i=0[Pn (x i ) − yi ] = min ∑i=0(∑k=0 a k x i − yi )
基于最小二乘法的曲线拟合
车永莉 1 概述 曲线拟合问题是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐 标之间的函数关系的一种数据处理方法， 广泛应用于科学实验数据和工程实测数 据的处理。拟合的目的是为实验数据寻求最佳拟合曲线，通过对曲线的相关特性 参数的分析研究，试图找到数据内在的规律。 最小二乘法是曲线或者曲面拟合最常用最有效的方法。 最小二乘法由勒让德 和高斯分别在十八世纪初期分别创立。 但是勒让德和高斯发现最小二乘法是从不 同的角度入手的，前者是为解线性方程组，后者是寻找误差函数；前者用的是整 体思维，考虑方程组的均衡性，后者用的是逆向思维，首先接受经验事实；前者 是代数方程，后者致力于应用。 最小二乘算法是以误差的平方和最小为准则根据观测数据估计线性模型中 未知参数的一种参数估计方法。 它的基本思路是选择估计量使模型输出与实测输 出之差的平方和达到最小。这种求误差平方和的方式可以避免正负误差相抵，而 且便于数学处理。线性最小二乘法是应用最广泛的参数估计方法，它在理论研究 和工程应用中都具有重要的作用，同时它又是许多其他更复杂方法的基础。 最小二乘法是一种数学优化技术。 它通过最小优化误差的平方和寻找数据的 最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求的未知的数据，并使得这些求得的 数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可以用于曲线拟合。其 他一些优化问题也可以通过最小能量或最大化熵用最小二乘法来表达。 等精度测 量的有限测量系列，寻求一个真值，使得误差的平法和达到最小。 最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。 如果以不同 精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须 加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值得权数的总和为最小。因此称最小二 乘法。所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。 简单的说， 最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到 最小。这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近， “最小”指 的是参数的估计值要保持各个观测点与估计点的距离的平方达到最小。 2 最小二乘拟合算法原理 最小二乘法是对离散数据进行线性处理的常用方法， 可以得到较好的曲线拟 合。最小二乘法一般是：对给定的一组数据（xi，yi） （i=0，1，…，m） ，φ为所 有次数不超过 n（n≤m）的多项式构成的函数类，求 Pn (x) = � ai x i ∈ ∅
(1)
满 足（1） 式的Pn (x)称为最小二乘拟合多项式， 显然式 （1） 为a0 ，a1 ， ⋯ ，an 的多元函数，由多元函数求极值的必要条件得
∂aj ∂I n k = 2 ∑m i=0(∑k=0 a k x i − yi )x i j
j=0，1，…，n 即
=0
(2)
j=0，1，…，n
j+k m ∑n k=0(∑i=0 x i )a k
= ∑m i=0 x i yi
j
(3)
式（4）称为正规方程组或法方程组
m+1 m ∑ xi � i=0 ⋯ ∑m i=0 x i
式（3）是关于a0 ，a1 ， ⋯ ，an 的线性方程组，用矩阵表示为 ∑m i=0 x i ∑m i=0 x i ⋯ m ∑i=0 xi ∑m a0 ⋮ ∑m i=0 yi i=0 x i m m ⋮ ∑i=0 xi � �a1 � = � ∑i=0 xi yi � ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ m n ⋯ ∑i=0 xi an ∑m i=0 x i yi (4)