八年级上册数学几何难题突破

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八年级数学初二数学几何难题

1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、NAD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．APCDBBF3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．5、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．E6、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF． D7、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．8、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．9、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．10、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝a2，PC=a3，求正方形的边长．11、如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。

12、如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接F写出构成图形的类型和相应的条件.EDAB C13、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

八年级几何难题精选(含解析)

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）APCDB AFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 的中点，AD BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）D 2 C 2B 2A 2 D 1C 1B 1CBDA A 1ANFECDMB1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）· ADHE M CBO· GA O DB ECQP NMP C GFBQADE 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 分别交于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三）· O QPB DECNM · A1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．AFDECBEDACBF求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．FEP C BA OD BFAECP求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）APCBP A DCBCBDA4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．FP DE CBAAP2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．A CBPDA CBPD4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。

三等分线八年级较难题

三等分线八年级较难题
【实用版】
目录
1.三等分线的概念和意义
2.三等分线的应用
3.解决三等分线问题的方法
4.三等分线问题在八年级数学中的重要性
正文
一、三等分线的概念和意义
三等分线是指将一个线段分割成三等分，即将线段的长度分成三个相等的部分。

在几何学中，三等分线经常出现在各种题型中，它是解决许多复杂问题的关键。

对于初中生来说，掌握三等分线的概念和应用，可以为后续高中数学学习打下良好的基础。

二、三等分线的应用
在实际应用中，三等分线可以用来解决许多几何问题，例如：在一个直角三角形中，如何通过作图将斜边分成三等分？在一个等边三角形中，如何通过作图将每条边分成三等分？这些问题的解决都需要运用到三等
分线的知识。

三、解决三等分线问题的方法
解决三等分线问题的方法有很多，其中最常见的方法是利用几何图形的性质和定理。

例如，在解决直角三角形斜边的三等分问题时，可以运用圆的性质，通过作圆找到斜边的中点，从而将斜边分成三等分。

在解决等边三角形边长的三等分问题时，可以运用角平分线的性质，通过作图找到每个角的平分线，从而将每条边分成三等分。

四、三等分线问题在八年级数学中的重要性
三等分线问题在八年级数学中具有很高的重要性。

它不仅可以帮助学生巩固和加深对几何知识的理解，还可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

同时，掌握三等分线的知识和方法，可以为学生在后续学习中解决更复杂的几何问题打下坚实的基础。

综上所述，三等分线在八年级数学中具有重要的地位和作用。

八年级上册数学几何难题突破

八年级上册数学几何难题突破-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为 .19.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM= .20.如图，在等边△ABC 中，D 为AB 上一点，连接CD ，在CD 上取一点E,∠BEC=120°，连接BE,若CD=314,BE=2,△ACD 的面积为3314，则△BCE 的面积为 .24.已知:如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD⊥AD ，垂足为D ，过D 作DE∥AC ，交AB 于E ，（1）求证：AE=ED（2）若AB=5，求线段DE 的长．ED CBA（第19题（第20题图）PNM O25．已知:如图, △ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,AD ⊥BC,AE 平分∠BAD 交BC 于点E, (1) 求证:AB=CE(2) 点M 在AB 上，BM=2DE ，连接MC 交AD 于点N ，若DN=1，求AB 的长27．已知：在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点, △ABC 的顶点A(-2,0),点B 、C 分别在x 轴正半轴上和y 轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°，（1）求点B 的坐标（2）动点E 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿BC 向终点C 运动，设点E 的运动时间为t 秒，△ABE 的面积为S ，求S 与t 的关系式（3）在（2）的条件下，点E 出发的同时，动点F 从点C 出发以每秒1个单位的速度，沿CO 向终点O 运动，点F 停止时，点E 也随之停止。

连接EF ，EFH 3E DB EDB与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE＝CD；②FA平分∠EFC；③FE＝FD；④FE＋FC＝FA.其中一定正确的结论有( )A.1B.2C.3D.417. △ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于________°.19. 如图，等边△ABC中，E在BA延长线上，D在BC上，F是DE与AC的交点.若AB＝4，AE＝2，且ED＝EC，则AF＝________.20. 已知Rt△ABC中，AB＝AC，D为AB中点，BE⊥CD于E，BE＝2，CD＝5 则DE＝________.19题 20题25.如图，已知△ABC 和△DEF 均为等边三角形，且，AD ＝2CD ，EF 的延长线交CA 的延长线于点M. 求证：EF ＝FM.25.已知Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，AD ⊥BC ， ⑴ 如图1，求证：BC ＝4CD ；⑵ 如图2，延长CA 至E ，EA ＝CA ，连接ED ，CM 是△ABC 外角的角平分线，作∠EDF ＝60°，交CM 于F ，交AC 于H ，若DE ＝4，求DH 的长.图1 图28.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=16，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=4，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．69.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．60°10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（）A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④17.如图，在凸四边形ABCD中，连接BD，已知AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC=18.如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为19.等腰△ABC被一腰上的中线分成两个三角形周长之差为2，若等腰△ABC 的底边长为6，则等腰△ABC的腰长为20.如图，在直角三角形ABC中∠BAC=90°，AB=3，M为BC上一点，连接AM．如果将三角形ABM沿直线AM翻折后，点B恰好与边AC的中点D重合，那么点M到直线AC的距离为1720 23.（7分）如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．25. 如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F．（1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数．27.在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．（1）求证：OC=AD；（2）若A到OB的距离为3，求OC的长和C点坐标.28. 如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．。

八年级上学期数学重难点突破汇总V0.2

八年级上学期数学重难点突破汇总V0.2一．选择题（共7小题）1．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°2．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M 为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点若满足PD＝PM，则OD的长度为（）A．3B．5C．5和7D．3和74．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且∠EDF ＝90°，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF．其中正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④5．如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角∠DAM，∠DCN的平分线，设∠ABC＝α，∠APC＝β，则∠ADC 的度数为（）A．180°﹣α﹣βB．α+βC．α+2βD．2α+β6．如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB ＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（）A．（m﹣60）°B．（180﹣2m）°C．（2m﹣90）°D．（120﹣m）°7．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°，下列结论正确的有（）①∠1＝∠3；②BD+DH＝AB；③2AH＝BH；④若CD＝，则BH＝3；⑤若DF⊥BE于点F，则AE﹣DF＝FH．A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤二．填空题（共12小题）8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F．AC＝6，BC＝5．则四边形FBCD周长的最小值是．9．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是．10．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX 上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．11．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④BA+BC＝2BF，其中正确的结论有（填序号）．12．在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °．13．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝．14．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO＝∠ACO；②∠APO+∠PCB＝90°；③PC＝PO；④AO+AP ＝AC；其中正确的有．（填上所有正确结论的序号）15．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，CD＝，CD是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值为．16．在直角坐标系中，已知A（6，0）、F（3，0），C（0，2），在△AOC的边上取两点P、Q（点Q是不同于点F的点），若以O、P、Q为顶点的三角形与△OFP全等，则符合条件的点P的坐标为．17．如图，任意画一个∠BAC＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AD＝AE；④PD＝PE；⑤BD+CE＝BC；其中正确的结论为．（填写序号）18．如图，在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，连接BD，则∠BDC﹣∠ADB＝度．19．若关于x的方程＝无解，则a的值是．三．解答题（共21小题）20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE＝AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线：（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．21．如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC．求证：CD＝2CE．22．【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF ＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否任然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．23．如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若∠MON＝45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．24．如图，已知△ABC是等边三角形，且AE＝CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠PBQ的度数；（2）求证：BP＝2PQ．25．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．26．如图，过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论．27．如图1，△ABC与△ADE都是以点A为顶点的等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，BD⊥AD，ED的延长线交BC于点F，探究线段BF与CF的数量关系，并说明理由．（如果你经过思考后不能找到问题的答案，可选择以下两个问题来完成）①将△ABC与△ADE改为等边三角形，其他条件不变，如图2．②将原题改为探究线段BD与EC的数量关系．28．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形．（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD＝90°时，延长EC角BD于F，①求证：∠DCF＝∠BEF；②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．29．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．（1）如图1，点E在线段DC上，若∠A＝90°，∠M＝α．①∠AEF＝；（用含α的式子表示）②求证：BD∥ME；（2）如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．30．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．31．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．32．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为．（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB＝80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．33．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q 从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？34．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连结BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．①填空：∠C＝，∠DBC＝；②求证：△BDE≌△CDF．（2）如图2，D从点C出发，点E在PD上，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．35．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？36．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？37．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．（1）证明△ACD≌△CBE；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．38．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．39．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC ＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN 的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．40．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．。

三等分线八年级较难题

三等分线八年级较难题（最新版）目录1.三等分线的概念2.三等分线的应用3.三等分线的解题技巧正文一、三等分线的概念三等分线，又称为三分线或三等分比例线，是指在平面几何中，将一个线段分割为三等分，使得分割点距离线段两端点的距离相等的线条。

三等分线在许多几何问题中都有广泛的应用，特别是在一些难度较大的题目中，掌握三等分线的解题技巧能够帮助我们快速找到解题思路。

二、三等分线的应用在初中数学中，我们学习了许多与三等分线相关的几何题目。

例如，在解决一些涉及相似三角形、比例线段和面积比的问题时，运用三等分线的概念和性质，可以简化问题，使解题过程更加清晰明了。

此外，在一些复杂的几何图形中，通过作三等分线，我们还可以发现图形之间的内在联系，从而找到解题的突破口。

三、三等分线的解题技巧在解决与三等分线相关的问题时，我们需要掌握一些基本的解题技巧。

以下是一些常用的三等分线解题方法：1.构造三等分线：在解题过程中，我们可以通过作图的方式构造出三等分线。

这需要我们熟练掌握作图技巧，如作平行线、作角平分线、作中线等。

2.利用相似三角形：在解决一些涉及三等分线的相似三角形问题时，我们可以利用相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，来简化问题。

3.利用比例线段：在解决一些涉及三等分线的比例线段问题时，我们可以利用比例线段的性质，如比例线段的乘积相等、比例线段的和差倍分等，来简化问题。

4.利用面积比：在解决一些涉及三等分线的面积比问题时，我们可以利用面积比的性质，如两个三角形的面积比等于它们对应边长的平方比等，来简化问题。

总之，掌握三等分线的概念、应用和解题技巧，对于解决初中数学中的较难题目具有重要意义。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 一线三等角模型的综合应用(解析版)

一线三等角模型的综合应用模型一一线三垂直全等模型如图一 ∠D=∠BCA=∠E=90° BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA 模型二一线三等角全等模型如图二 ∠D=∠BCA=∠E BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【类型一：标准“K ”型图】【典例1】在△ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线MN 经过点C 且AD ⊥MN 于D BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时请直接写出DE AD BE之间的等量CD EBA关系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB∴∠CAD+∠ACD＝90°∠BCE+∠ACD＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）证明：∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时AD DE BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【变式1-1】如图∠BAC＝90°AD是∠BAC内部一条射线若AB＝AC BE⊥AD于点E CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【解答】证明：∵∠BAC＝90°∴∠CAF+∠BAE＝90°∵BE⊥AD CF⊥AD∴∠CF A＝∠BEA＝90°∴∠C+∠CAF＝90°∴∠C＝∠BAE∵AB＝AC∴△ABE≌△CAF（AAS）【变式1-2】在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线l经过点A过点B、C分别作l 的垂线垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①若直线l∥BC AB＝AC＝分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°）请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°）与线段BC相交于点H请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中延长线段BD交线段AC于点F若CE＝3 DE＝1 求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝45°∵l∥BC∴∠DAB＝∠ABC＝45°∠CAE＝∠ACB＝45°∴∠DAB＝∠ABD＝45°∠EAC＝∠ACE＝45°∴AD＝BD AE＝CE∵AB＝AC＝∴AD＝BD＝AE＝CE＝1∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中∠ABD+∠BAD＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD BD＝AE∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中∠ABD+∠BAD＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD BD＝AE∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知∠ABD＝∠CAE DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE ∵∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABD∽△FBA∴AB：FB＝BD：AB∵CE＝3 DE＝1∴AE＝BD＝4∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图△ABC为等腰直角三角形∠ABC＝90°△ABD为等腰三角形AD＝AB＝BC E为DB延长线上一点∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a BE＝b CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a b c 的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°∠BAD＝2∠CAE∴∠BAD＝40°∵AD＝AB∴∠D＝∠DBA＝70°又∵∠ABC＝90°∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F过点C作CG⊥DE于点G∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°又∵AD＝BC＝AB∴∠BAC＝∠ACB＝45°∠F AB＝∠DAB＝∠CAE∵∠F AB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°∴∠F AB＝∠CBG＝∠CAE在△BAF和△CBG中∴△BAF≌△CBG（AAS）∴AF＝BG BF＝CG∵∠CBG＝∠CAE∴∠AEF＝∠ACB＝45°∴AF＝EF＝BG BF＝CG∴BF＝EG＝CG∴∠CEG＝∠AEF＝45°∴∠AEC＝90°∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF AF＝EF∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC∴S△ABC＝BE•CG＝BE•（AF﹣BE）＝．故答案为：．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图平面直角坐标系中有点A（﹣1 0）和y轴上一动点B（0 a）其中a ＞0 以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC设点C的坐标为（c d）．（1）当a＝2时则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中试判断c+d的值是否发生变化？若不变请求出其值；若发生变化请说明理由．【解答】解：（1）如图1中过点C作CE⊥y轴于E则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形∴BC＝BA∠ABC＝90°∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE∴∠BCE＝∠ABO在△BCE和△BAO中∴△CBE≌△BAO（AAS）∵A（﹣1 0）B（0 2）∴AO＝BE＝1 OB＝CE＝2∴OE＝1+2＝3∴C（﹣2 3）故答案为：（﹣2 3）；（2）动点A在运动的过程中c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E则∠CEA＝∠AOB∵△ABC是等腰直角三角形∴BC＝BA∠ABC＝90°∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE∴∠BCE＝∠ABO在△BCE和△BAO中∴△CBE≌△BAO（AAS）∵B（﹣1 0）A（0 a）∴BO＝AE＝1 AO＝CE＝a∴OE＝1+a∴C（﹣a1+a）又∵点C的坐标为（c d）∴c+d＝﹣a+1+a＝1即c+d的值不变．【变式3】点A的坐标为（4 0）点B为y轴负半轴上的一个动点分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一若点B坐标为（0 ﹣3）连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二连接CD与y轴交于点E试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形∴OB＝CB BD＝AB∠ABD＝∠OBC＝90°∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O∴∠OBD＝∠CBA∴△OBD≌△CBA（SAS）∴AC＝OD；②如图一、∵A（4 0）B（0 ﹣3）∴OA＝4 OB＝3过点D作DF⊥y轴于F∴∠BOA＝∠DFB＝90°∴∠ABO+∠OAB＝90°∵∠ABD＝90°∴∠ABO+∠FBD＝90°∴∠OAB＝∠FBD∵AB＝BD∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB＝3 BF＝OA＝4∴OF＝OB+BF＝7∴D（3 ﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F则∠DFB＝90°＝∠CBF同（1）②的方法得△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB BF＝OA＝4∵OB＝BC∴BC＝DF∵∠DEF＝∠CEB∴△DEF≌△CEB（AAS）∴BE＝EF∴BF＝BE+EF＝2BE＝4∴BE＝2．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1 已知：在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线m经过点A BD⊥直线m CE⊥直线m垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在△ABC中AB＝AC D A、E三点都在直线m上并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立请你给出证明；若不成立请说明理由；（3）解决问题：如图3 F是角平分线上的一点且△ABF和△ACF均为等边三角形D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合在运动过程中线段DE的长度始终为n连接BD、CE若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC试判断△DEF的形状并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE理由如下：∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∵BD⊥m CE⊥m∴∠ADB＝∠CEA＝90°∴∠BAD+∠ABD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴BD＝AE AD＝CE∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB∠ADB ＝∠BAC∴∠ABD＝∠CAE在△BAD和△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS）∴BD＝AE AD＝CE∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形理由如下：由（2）得△BAD≌△ACE∴BD＝AE∠ABD＝∠CAE∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+F AC即∠FBD＝∠F AE在△FBD和△F AE中∴△FBD≌△F AE（SAS）∴FD＝FE∠BFD＝∠AFE∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°∴△DFE为等边三角形．【变式4】已知在△ABC中AB＝AC D A E三点都在直线m上且DE＝9cm∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①若AB⊥AC则BD与AE的数量关系为CE与AD的数量关系为；（2）如图②判断并说明线段BD CE与DE的数量关系；（3）如图③若只保持∠BDA＝∠AEC BD＝EF＝7cm点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动它们运动的时间为t（s）．是否存在x使得△ABD与△EAC全等？若存在求出相应的t 的值；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD∴∠CAE＝∠ABD∵∠BDA＝∠AEC BA＝CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD故答案为：BD＝AE CE＝AD；（2）DE＝BD+CE由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD∴DE＝BD+CE；（3）存在当△DAB≌△ECA时∴AD＝CE＝2cm BD＝AE＝7cm∴t＝1 此时x＝2；当△DAB≌△EAC时∴AD＝AE＝4.5cm DB＝EC＝7cm∴t＝x＝7÷＝综上：t＝1 x＝2或t＝x＝．1．如图∠ACB＝90°AC＝BC AD⊥CE BE⊥CE垂足分别为D E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD DE BE之间有什么样的数量关系请说明理由．【解答】（1）证明：∵AD⊥CE BE⊥CE∴∠ADC＝∠BEC＝90°∴∠ACE+∠CAD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠ACD＝90°∴∠BCE＝∠CAD在△ACD和△CBE中∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE理由如下：∵△ACD≌△CBE∴CD＝BE AD＝CE∵CE＝CD+DE∴AD＝BE+DE．2．如图在△ABC中AB＝AC D、A、E三点都在直线m上并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α若DE＝10 BD＝3 求CE的长．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α∠BAD+∠CAE＝180°﹣α∴∠ECA＝∠BAD在△BAD与△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS）∴CE＝AD AE＝BD＝3∵DE＝AD+AE＝10∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．3．如图把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上在△ABC中∠C ＝90°AC＝BC试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转当AB∥MN时∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中分别作AM⊥MN于M BN⊥MN与N若AM＝6 BN＝2 求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置其他条件不变则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中AB＝AC∠ACB＝90°∴∠B＝∠A＝45°∵AB∥MB∴∠2＝∠B＝45°故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M BN⊥MN于N∴∠AMC＝90°∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°又∵∠1+∠2＝90°∴∠2＝∠CAM同理：∠1＝∠CBN在△AMC和△CNB中∴△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM理由：同（2）的方法得△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．4．在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线MN经过点C且AD⊥MN于D BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明；若不成立说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC∠ADC＝∠BEC＝90°∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB∴CD＝BE AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立DE＝AD+BE．不成立此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC∠ADC＝∠BEC＝90°∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．5.已知△ABC在平面直角坐标系中在△ABC中AB＝BC∠ABC＝90°．（1）如图①已知点A（0 ﹣4）B（1 0）求点C的坐标；（2）如图②已知点A（0 0）B（3 1）求点C的坐标．【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线交x轴于点D∵A（0 ﹣4）B（1 0）∴OA＝4 OB＝1∵∠ABC＝90°∠AOB＝90°∴∠CBD+∠OBA＝90°∠OAB+∠OBA＝90°∴∠CBD＝∠BAO∵AB＝BC∠AOB＝∠BDC＝90°∴△BCD≌△ABO（AAS）∴CD＝BO＝1 BD＝AO＝4∴OD＝3∴点C坐标为（﹣3 1）；（2）过B作x轴的垂线交x轴于点D过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E∵A（0 0）B（3 1）∴OD＝3 BD＝1∵∠ABC＝90°∠ADB＝90°∴∠CBE+∠OBD＝90°∠BAD+∠OBD＝90°∴∠BAD＝∠CBE∵AB＝BC∠ADB＝∠BEC＝90°∴△ABD≌△BCE（AAS）∴CE＝BD＝1 BE＝AD＝3∴DE＝4∴点C的横坐标为3﹣1＝2∴点C坐标为（2 4）．6．如图1 在平面直角坐标系中点A（0 m）B（m0）C（0 ﹣m）其中m＞0 点P为线段OA上任意一点连接BP CE⊥BP于E AD⊥BP于D．（1）求证：AD＝BE；（2）当m＝3时若点N（﹣3 0）请你在图1中连接CD EN交于点Q．求证：EN ⊥CD；（3）若将“点P为线段OA上任意一点”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”其他条件不变连接CD EN⊥CD垂足为F交y轴于点H交x轴于点N请在图2中补全图形求点N的坐标（用含m的代数式表示）．【解答】（1）证明：如图1中∵A（0 m）B（m0）C（0 ﹣m）∴OA＝OB＝OC＝m∴∠ABC＝90°∵OB⊥AC OA＝OC∴BA＝BC∵CE⊥BP于E AD⊥BP于D∴∠ADB＝∠CEB＝90°∵∠CBE+∠ABD＝90°∠CBE+∠BCE＝90°∴∠ABD＝∠BCE在△ADB和△BEC中∴△ADB≌△BEC（AAS）∴AD＝BE．（2）证明：如图1中设CD交ON于点J EN交CD于点K．∵N（﹣3 0）m＝3∴OA＝OB＝OC＝ON＝3∴AC＝BN∵∠ADP＝∠BOP＝90°∠APD＝∠BPO∴∠DAC＝∠EBN在△ACD和△BNE中∴△ACD≌△BNE（SAS）∴∠ACD＝∠BNE∵∠ACD+∠CJO＝90°∠CJO＝∠NJK∴∠CNE+∠NJK＝90°∴∠NKJ＝90°∴CD⊥EN．（3）解：如图2中∵CE⊥BP于E AD⊥BP于D ∴∠ADB＝∠CEB＝90°∵∠CBE+∠ABD＝90°∠CBE+∠BCE＝90°∴∠ABD＝∠BCE在△ADB和△BEC中∴△ADB≌△BEC（AAS）∴AD＝BE．∠BAD＝∠CBE∵∠CAB＝∠CBO＝45°∴∠CAD＝∠EBN∵EN⊥CD∴∠CFH＝∠NOH∵∠NHO＝∠CHF∴∠ACD＝∠HNO在△CAD和△NBE中∴△CAD≌△NBE（AAS）∴AC＝BN＝2m∴ON＝BN﹣OB＝m∴N（﹣m0）．7．如图1 在平面直角坐标系内A（﹣6 0）B（0 9）C（0 4）连接AB、AC点D为x轴正半轴上一点且S△ACD＝S△ABC．（1）求点D的坐标；（2）如图2 延长DC交AB于点E AE＝AC求点E的坐标；（3）如图3 在（2）的条件下点P在第三象限连接AP、BP、CP若∠CAP＝90°∠BAC＝2∠PCO BP交x轴于点K求点K的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣6 0）B（0 9）C（0 4）∴AO＝6 OB＝9 OC＝4∴BC＝OB﹣OC＝9﹣4＝5∴S△ACB＝×5×6＝15∵S△ACD＝×4•AD＝2AD S△ACD＝S△ABC．∴2AD＝×15∴AD＝10∴OD＝AD﹣OA＝10﹣6＝4∴D（4 0）；（2）过点E作FH∥AD交y轴于点H过点A作F A⊥AD交FH于点F∵x轴⊥y轴∴∠AOB＝90°∵FH∥AD∴∠FHO＝90°∵F A⊥AD∴∠F AO＝90°∵FH∥AD∴∠AFH+∠F AD＝180°∴∠AFH＝90°∴∠AFH＝∠FHO＝∠F AO＝∠AOB＝90°∴四边形AFHO是矩形∵AE＝AC∴∠AEC＝∠ACE∵OC＝OD∴∠COD＝90°∴∠CDO＝∠DCO＝45°∵FH∥AD∠CEH＝∠CDO＝45°且∠AEF+∠AEC+∠CEH＝180°∠ACO+∠ACE+∠DCO＝180°∴∠AEF＝∠ACO在△AEF和△ACO中∴△AEF≌△ACO（AAS）∴AF＝AO EF＝CO＝4∴矩形AFHO为正方形∴AO＝FH＝6∴EH＝FH﹣EF＝6﹣4＝2∴E（﹣2 6）；（3）∵∠BAC＝2∠PCO设∠PCO＝α∴∠BAC＝2α∵AE＝AC∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α∵∠DCO＝45°∴∠ACP＝180°﹣∠DCO﹣∠PCO﹣∠ECA＝180°﹣45°﹣α﹣（90°﹣α）＝45°∵∠CAP＝90°∴∠APC＝180°﹣∠CAP﹣∠ACP＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠ACP＝∠CAP∴AC＝AP过点A作HR⊥x轴．过点C作CH⊥HR过点P作RT⊥HR∴∠H＝∠CAP＝∠R＝90°∵∠HAC+∠HCA＝180°﹣∠H＝180°﹣90°＝90°∠HAC+∠RAP＝180°﹣∠CAP ＝180°﹣90°＝90°∴∠HCA＝∠RAP在△CHA和△ARP中∴△CHA≌△ARP（AAS）∴HC＝AR HA＝RP∵OA＝6 OC＝4 TB＝OB+OT＝9+6＝15∴HC＝AR＝6∴HA＝RP＝4∴PT＝RT﹣RP＝6﹣4＝2设KO＝a S△BPT＝S梯形KOTP+S△BKO∴（KO+PT）•OT+KO•OB∴×（a+2）×6+a×9解得a＝∴K（﹣0）．8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想从而借助已有经验迅速解决问题．（1）如图1 在平面直角坐标系中四边形OBCD是正方形且D（0 2）点E是线段OB延长线上一点M是线段OB上一动点（不包括点O、B）作MN⊥DM垂足为M且MN＝DM．设OM＝a请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊当基本经验有利于新问题解决的时候这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考让新问题解决不出来的时候这是基本经验的负迁移．例如如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”加上“交∠CBE的平分线与点N”如图2 求证：MD＝MN．如何突破这种定势获得问题的解决请你写出你的证明过程．（3）如图3 请你继续探索：连接DN交BC于点F连接FM下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB请你指出正确的结论并给出证明．【解答】（1）解：如图1中作NE⊥OB于E∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NME＝90°∠NME+∠MNE＝90°∴∠DMO＝∠MNE在△DMO和△MNE中∴△DMO≌△MNE∴ME＝DO＝2 NE＝OM＝a∴OE＝OM+ME＝2+a∴点N坐标（2+a a）故答案为N（2+a a）．（2）证明：如图2中在OD上取OH＝OM连接HM∵OD＝OB OH＝OM∴HD＝MB∠OHM＝∠OMH ∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°∵NB平分∠CBE∴∠NBE＝45°∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°∴∠DHM＝∠NBM ∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NMB＝90°∵∠HDM+∠DMO＝90°∴∠HDM＝∠NMB在△DHM和△MBN中∴△DHM≌△MBN（ASA）∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中在BO延长线上取OA＝CF在△AOD和△FCD中∴△DOA≌△DCF∴AD＝DF∠ADO＝∠CDF∵∠MDN＝45°∴∠CDF+∠ODM＝45°∴∠ADO+∠ODM＝45°∴∠ADM＝∠FDM在△DMA和△DMF中∴△DMA≌△DMF∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC过M作MP⊥DN于P则∠FMP＝∠CDF 由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°∵∠NMB＝∠MDO∠MDO+∠CDF＝45°∴∠NMB＝∠NMF即MN平分∠FMB．（在旋转过程中FM＝AM显然AM的长度是变化的故FM的长度是变化的或取两个特殊位置比较AM的值即可发现结论）．。

八年级上数学几何典型例题及解题思路

数学几何是初中数学的一个重要部分，也是学生们比较容易感到困惑的一个知识点。

通过典型例题的学习，可以帮助学生掌握数学几何的解题方法，提高他们的解题能力。

下面就一些典型的数学几何例题进行详细讲解，希望能够对广大学生有所帮助。

【例题一】已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC的长度。

解题思路：1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过其两条直角边的长度求得。

2. AC的长度即为三角形ABC的斜边长度，可以使用勾股定理求解。

具体步骤：1. 根据勾股定理，AC的长度可以通过AB和BC的长度求得，即AC²=AB²+BC²。

2. 代入数据，得到AC²=5²+12²=25+144=169。

3. 开平方，得到AC=√169=13cm。

AC的长度为13cm。

离心力计算题：一杯长10cm，杯口宽4cm的杯子内装满水，该杯子立在旋转盘上，旋转盘以每秒200转的角速度匀速旋转，求杯口边缘的水滴的离心力。

解题思路：1. 离心力是一个物体在旋转运动时产生的一种惯性力，可以通过公式计算得出。

2. 对于杯口边缘的水滴，可以看作是在旋转盘上做匀速圆周运动，因此可以利用离心力的公式进行计算。

具体步骤：1. 离心力的公式为F=mω²r，其中m为物体的质量，ω为角速度，r 为旋转半径。

2. 首先计算出水滴的质量，然后根据旋转盘的角速度和杯子的半径计算出离心力的大小。

这里就不再罗列具体计算步骤，具体计算过程略。

最后得出水滴的离心力为XXX。

【例题三】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，P是AB的中点，E是BC 上一点，使得PE⊥AB，求PE的长度。

解题思路：1. 首先利用矩形的性质和垂直平分线的性质进行分析。

2. 利用相似三角形的性质，通过比较辅助线的长度来求解PE的长度。

具体步骤：1. 由矩形的性质可知，AD=BC=6cm，同时由垂直平分线的性质可知，PE=EC，且PE⊥AB。

数学八年级上册难题

数学八年级上册难题一、三角形全等证明难题题目1：已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD 交BA延长线于E，交AC于F。

求证：BE = CF。

解析：1. 延长FM至N，使MN = FM，连接BN。

因为M是BC中点，所以BM = CM。

在△BMN和△CMF中，BM = CM，∠BMN = ∠CMF（对顶角相等），MN = MF。

根据SAS（边角边）定理，可得△BMN≌△CMF。

所以∠N = ∠CFM，BN = CF。

2. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。

又因为ME∥AD，所以∠BAD = ∠AEF，∠CAD = ∠AFE。

从而∠AEF = ∠AFE，所以AE = AF。

3. 因为∠CFM = ∠AFE，∠AEF = ∠N，所以∠N = ∠AEF。

所以BE = BN。

又因为BN = CF，所以BE = CF。

二、等腰三角形性质与判定难题等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求其底边上的高。

解析：1. 分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时：因为一腰上的高与另一腰的夹角为30°，所以顶角为60°。

此等腰三角形为等边三角形，底边上的高公式。

当等腰三角形为钝角三角形时：一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的外角为30°，顶角为150°。

底角为15°，设底边上的高为公式，腰长为公式。

根据三角函数关系，公式。

而公式。

所以公式。

三、整式乘法与因式分解难题题目3：已知公式、公式、公式是△ABC的三边，且满足公式，求证：△ABC是等边三角形。

1. 对公式进行变形处理。

等式两边同时乘以2，得到公式。

进一步变形为公式。

2. 因为一个数的平方是非负的，要使公式成立。

则公式，公式，公式。

即公式，公式，公式。

所以△ABC是等边三角形。

三角形重难点突破人教版八年级数学上册(含解析)

三角形重难点突破突破1 三角形(一) 三边关系类型一三边关系定三角形1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )A.9 cmB.10 cmC.11 cmD.12 cm2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )A.3个B.5个C.7个D.9个类型二三边关系求范围3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是.4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为.类型三三边关系去绝对值5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为.6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为.类型四三边关系取舍值7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )A.4B.10C.4 或7D.4 或108.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.类型五三边关系列不等式组9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.(1)化简式子|a−b+c|+|a−b−c|=_____________;(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是.10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.类型六三边关系求最值11.如图,将四根长度分别为3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点D 之间的距离可能是( )A.1 cmB.4 cmC.9 cmD.12 cm12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则BE 的最小值是.突破2 三角形(二) 三种线段类型一三角形的高1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )A.1条B.2条C.3 条D.4 条类型二三角形的中线2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. △ABD与△ACD的周长之差为.3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点E 在边AB 上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.(1)求证:BE=AE+AC;(2)若AB=10,AC=6,求AE的长.类型三三角形的角平分线4.已知AE 是△ABC的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.类型四“三线”综合5.如图,在△ABC中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误的是( )A.BF=CFB.∠C+∠CAD=90°C.∠BAF=∠CAFD.S ABC=2S ABF突破3 三角形(三) 求面积类型一多中线求面积1.如图,已知AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为.2.如图,BD 是△ABC 的中线,点E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为4cm²,,则△ABC 的面积是( )A.12cm²B.16cm²C.20cm²D.24cm²3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分==6,则S△ABC为( )A.16B.18C.24D.不能确定类型二中线+线段比求面积4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为.C突破4 三角形(四) 面积法类型一三高图与面积法1.在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,，则AB 边上的高的长度是.类型二平行线与面积法2.如图,在长方形ABCD 中,F 是BC 上(不与B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有对.类型三垂线段与面积法3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点O 作( OE⊥AB 于点E,作OF⊥AC于点F,若( OE+OF=3,△ABC的面积为12,则AB 的长为.类型四线段比与面积法的值4.如图,在△ABC中,AD 是中线, DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,若A AB=6 cm,AC=4 cm,则DEDF为.类型五线段最值与面积法5.如图,在△ABC中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( CD=2BD,AE=3BE,连接AD,CE 交于点F.当四边形时，AB长度的最小值为.BEFD 的面积为174突破5 三角形(五) 内角和类型一内角和+内角关系1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.2具备下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A =12∠B =13∠C C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3类型二内角和十角分线3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )A.56°B.58°C.22°D.28°4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE ⊥AC 于点E.(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG ∥BE.类型三内角和十平行线5.如图,在 △ABC 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D 是BC 上的点,连接EF,AD,DG,AB ∥DG,∠1+∠2=180°.(1)求证:. AD‖EF;(2)若 DG 是 ∠ADC 的平分线， ∠2=140°,求 ∠B 的度数.6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG ∥BC,求∠FEG 的度数.7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点D 作DG∥AC 交EF 于点G,(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.类型四内角和十垂线8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.(1)如图1,若AD⊥BC于点D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.突破6 三角形(六) 外角类型一外角+内角1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.C类型二外角+外角2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )A.∠3=∠2+∠1B.∠3=∠2+2∠1C.∠3+∠2+∠1=180°D.∠1+∠3=2∠2类型三外角+等角3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数为.D4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.类型四外角+平行线5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )A.β=α+γB.β=2γ-αC.β=α+2γD.β=2α-2γ6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.类型五外角+方程思想7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )A.12°B.14°C.16°D.24°类型六外角+整体思想8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )A.90°+αB.135∘−α2C.2αD.90∘+α2参考答案突破1 三角形(一) 三边关系1. B 解：当三角形三边长分别为2cm ,3cm,5cm 时,∵2+3=5,不能构成三角形,∴所摆成的三角形的周长不可能是10 cm,故选 B.2. A 解:这样的三角形有:2,6,7;3,5,7;4,5,6.共3个,故选A.3.3<a<7 解:依题意,得4-2<a-1<4+2,即2<a-1<6,∴3<a<7.4.7或9或11 解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，∴9-4<x<9+4,即5<x<13,∴x 的取值范围是5<x<13.∵△ABC 的周长x+4+9=x+13为偶数，∴x为奇数.∵5<x<13,∴x 的值为7 或9 或11.5.0 解:∵a,b,c 是三角形的三边长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,∴原式=a+b-c+c-a-b=0,故答案为0.6.-a+b+3c 解:依题意,得a-b-c<0,b-c-a<0,c-a+b>0,∴原式=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c.7. A 解：当4 为底边时，该等腰三角形的腰长为(18-4)÷2=7.∵7，7，4满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长是4；当4为腰时，该等腰三角形的底边长为18-4×2=10.∵10，4，4 不满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长不能是10.故选 A.8.解:分三种情况:(1)x+2=8,x=6,△ABC的三边长分别为8,8,12,周长为28;(2)2x=8,x=4,△ABC 的三边长分别为8,8,6,周长为22;(3)2x=x+2,x=2,△ABC的三边长分别为8,4,4,但4+4=8,不能构成三角形，故舍去.综上所述,△ABC 的周长为22 或28.9.解：(1)由三角形三边关系定理，得a+c>b,b+c>a,∴|a-b+c|+|a-b- cl=a-b+c+b+c-a=2c;(2)∵a=x+8,b=3x-2,c=x+2,∴x+8+3x−2>x+2, 3x−2+x+2>x+8, x+2+x+8>3x−2,∴83<x<12.10.解:由题意,得a+5<2a−1+a,a+5+a+2a−1≤20,解得3<a≤4,∴a的取值范围为3<a≤4.11. C 解:连接BD.在△ABD 中,7 cm-5 cm<BD<7 cm+5 cm,即2cm <BD<12 cm.在△BCD中,8cm --3cm<BD<8cm +3cm,即5cm <BD<11cm,所以5 cm<BD<11 cm.故选C.12.2 解:由折叠可知,AE=AC=8.在△ABE 中，由三角形三边关系可得BE>AB-AE.当点E 落在AB 边上时，BE=AB-AE=10-8=2,∴BE≥2,全科A早E 的最小值为2.突破2 三角形(二) 三种线段1. B 解:CF,AD 都是△ABC 的高,共2条,故选B.2.3 解:∵AD 为中线,∴BD=CD,则C△ABD—C△ACD =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3.故答案为3.3.解:(1)∵△BDE 与四边形ACDE的周长相等，∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.∵BD=DC,∴BE=AE+AC;(2)设AE=x,则BE=10-x,由(1)得 BE=AE+AC,∴10-x=x+6,解得x=2,∴AE=2.4.解:∵AE 是△ABC 的平分线, ∴∠BAE =12∠BAC.①如图1,当点 D 在边 BC 上时,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+ 30°=90°,∴∠BAE =12∠BAC =45∘;②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时,∠BAC=∠BAD-∠CAD= 60°−30°=30°, ∴∠BAE =12∠BAC =15∘.综上所述,∠BAE 的度数为 45°或15°.5. C 解:∵AF 是△ABC 的中线,∴BF=CF,A 正确,不符合题意;∵AD 是高,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠CAD=90°,B 正确,不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE=∠CAE,C 错误,符合题意；∵BF=CF,∴S ABC =2S ABF ,D 正确，不符合题意；故选 C.突破3 三角形(三) 求面积1.3 解:∵AD 是△ABC 的中线, ∴S ACD =12S ABC =12×12=6.∵CE 是△ACD 的中线, ∴S CDE =12S ACD =3.故答案为3.2. B 解:∵F 是CE 的中点,△AEF 的面积为 4 cm²,∴S ACE =2S AEF =8cm 2.∵E 是BD 的中点,∴S △ADE=S △ABE,S △CDE=S △BCE,∴S ACE =12S ABC ,∴△ABC 的面积为16 cm².故选 B.3. B 解:设S △COD=m,S △COE=n.∵AD,BE,CF 都是△ABC 的中线,∴S △AOE=n,S △BOD=m.∵S BAE =S BCE ,∴S △BAO=S △BCO=2m.∵S △BOF=S △AOF,S BOF =S AOF =m.∵S ADB =S ADC ,∴3m=2n+m,∴m=n.∵m+n=6,∴m=3,S △ABC=6m=18.故选 B.4.4 解:连接 PA.∵D 是AB 的中点,∴S △ADC=S △BCD,S △PAD=S △PBD,∴S △BPC=S △APC,∵AE:CE=3:1,S △CEP=1,∴S AEP =3S CEP =3,∴S △APC=4,∴S △BPc=4,故答案为4.5.3 解:∵E 为AC 的中点,∴S ABE =12S ABC =12×26=13.∵BD:CD=5:8,∴S ABD =513S ABC =513×26=10,∴S AEF −S BDF =(S ABE −S ABF ) −(S ABD −S ABF )=S ABE −S △ABD=13-10=3.突破 4 三角形(四) 面积法1.4.8 解:过点 C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,∴S ABC =12AB ⋅CD =12AC.BC,∴CD =AC ⋅BC AB =8×610=4.8.2.5 解:∵S △ABD=S △CBD=S △ADF= 12S 长方形ABCD,∴circle1S ABD =S CBD ,②S △ABD=S △ADF,③S △CBD=S △ADF·∵BF ∥AD,∴④S △ABF=S △BDF·∵S △ABF—S △BEF=S △DBF—S △BEF,∴⑤S △ABE=S △DEF,共有 5 对.3.8 解:连接OA.设AB=x,则AC=AB=x.∵S ABC =S ABO +S AOC ,∴12AB ⋅OE +12AC ⋅OF =12,即 12x ×3=12,解得x=8,所以 AB=8.故答案为8.4.2/3解:∵在△ABC 中,AD 为中线，∴BD=DC.∴S △ABD=S △ADC.∵DE ⊥AB 于点 E,DF ⊥AC 于点F,AB=6,AC=4.∴12AB ⋅ED =12AC ⋅DF,∴12×6×ED =12×4×DF,∴DE DF =46=23.5.22/3解:连接 BF,过点 A 作AH ⊥CB,交CB 的延长线于点H.设S △EBF=a,S △DBF=b,则S △AEF=3a,S △CDF=2b,S △ACF=2S △ABF=8a,S △ACF=3S △BCF=9b,∴8a=9b,∴b =89a,∴S 圆锥侧BEFD =179a =174, ∴a =94,∴S ABD =11,即 12BD ⋅AH =11.∵BD=3,∴AH =223. ∵AB ≥AH =223,∴AB 的最小值为22/3.突破 5 三角形(五) 内角和1.解：由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°.∵∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,∴∠A +3∠A +2∠A +60°=180°,解得∠A=20°,∴∠B=3∠A=60°,∠C=2∠A+ 60°=2×20°+60°=100°,∴△ABC 各个内角的度数分别为∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.2. C3. D 解:∵BD 平分∠ABC,∠ABC=56°,∴∠DBC =12∠ABC =28∘.∵∠ACD=56°,∠ACB=68°,∴∠BCD = ∠ACB + ∠ACD =124°,∴∠BDC =180°−∠DCB−∠DBC =28°.故选 D.4.解:(1)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵BE ⊥AC,∴∠BEC=∠BEA=90°,∴∠CBE =90°−∠C =90°−x , ∠ABE =90°−∠BAC =90°−2x,∴∠CBE−∠ABE =90°−x−(90°-2x)=x,即∠CBE--∠ABE=∠C;(2)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠DAC =12∠BAC =x,∴∠ADC =180°−∠DAC−∠C = 180°−2x.∵DG 平分∠ADC,∴∠CDG =12∠ADC =12(180∘−2x)=90°-x.由(1)知∠CBE=90°-x,∴∠CDG=∠CBE,∴DG ∥BE.5.解:(1)∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE.∵∠1+∠2=180°,∴∠DAE+∠2=180°,∴AD ∥EF;(2)∵AD ∥EF,∠2=140°,∴∠DAE=180°-∠2=180°-140°=40°.∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE=40°.∵DG 是∠ADC 的平分线,∴∠CDG=∠1=40°.∵AB ∥DG,∴∠B=∠CDG=40°.6.解:∵EF ∥DA,EG ∥BC,∴∠DEG=∠DBC,∠BFE=∠A.∵∠DEF=∠BFE+∠ABD=∠A+∠ABD,∴∠FEG=∠DEF+∠DEG=∠A+ ∠ABD + ∠DBC = ∠A +∠ABC.∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠ADC+∠C=202°,∴∠FEG=∠A+∠ABC=360°-202°=158°.7.解:(1)∵∠B=∠ADE=50°,∴DE ∥BC,∴∠AED=∠C=70°.∵DG ∥AC,∴∠EDG=∠AED=70°;(2)∵DE ∥BC,∴∠AED=∠C=α,∴∠DEC=180°-α.∵∠FEC=2∠DEF,∴∠DEF =13∠DEC =60∘−13α,∴∠DGE = ∠CEF = 2∠DEF = 120∘−23α,∠EFC =∠DEF =60∘ −13α,∴∠DGF =180°--∠DGE =60°+ 23α,∠BFG =180∘−∠EFC =120∘ +13α.∵3∠DGF=2∠BFG,∴360∘+23α=2120∘+13α,解得α=45°.8.解:(1)∵∠C=35°,∠B=2∠C,∴∠B=70°,∴∠BAC=75°.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC=37.5°.∵AD ⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-35°=55°,∴∠DAE=55°—37.5°=17.5°;(2)过点 A 作AD ⊥BC 于点 D.∵EF ⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AED+∠FEC=90°.∵∠DAE+∠AED=90°,∴∠DAE=∠FEC.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC =12∠BAC =12(180∘− ∠B−∠C)=12(180∘−3∠C )=90∘ −32∠C,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(90°−∠C)−90∘−32∠C =12∠C, ∴∠FEC =12∠C,∴∠C=2∠FEC.突破 6 三角形(六) 外角1.解:∵∠D=32°,∠C=38°,∴∠BED=∠D+∠C=32°+38°=70°.∵∠B+∠BED+∠BFE=180°,∴∠BFE=180°-∠B--∠BED=180°—45°-70°=65°.2. D 解:∵AD 平分∠BAC,∴可设∠DAC=∠BAD=x,∴∠2=∠1+x,∠3=∠2+x,∴x=∠3-∠2,∴∠2=∠1+∠3-∠2,∴∠1+∠3=2∠2.故选 D.3.56° 解:设∠CAE=α,则∠CAD=∠ADC=28°+α,∴∠BEA = ∠BAE = ∠ADC +∠DAE=56°+α,∴∠BAC+∠CAE=56°+α,∴∠BAC=56°.4. 解: 设 ∠BAM = ∠CAN = α,∠MAN=∠AMN=β,则∠BAC = ∠ACB = 2α + β,∠MAC=α+β.在△ACM 中,∠MAC + ∠C +∠AMC=180°,∴α+β+(2α+β)+β=180°,∴α+β=60°,∴∠MAC=α+β=60°.5. B 解:∵EF∥AB,∠EFC=β,∴∠B=∠EFC=β.∵CD 平分∠BCA,∴∠ACB=2∠BCD.∵∠ADC 是△BDC 的外角,∴∠ADC=∠B+∠BCD.∵∠ADC=γ,∴∠BCD=γ-β.∵∠MAC 是△ABC 的外角,∴∠MAC=∠B+∠ACB.∵∠MAC=α,∴α=β+2(γ-β),即β=2γ-α,故选 B.6.证明:∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠C,∴∠ABE + ∠BAD = ∠CBE +∠C.∵∠AFE = ∠ABE + ∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,∴∠AEF=∠AFE.∵FE平分∠AFG,∴∠AFE=∠GFE,∴∠AEF=∠GFE,∴FG∥AC.7. A 解:设∠CDE=x,∠B=∠C=y,∠AED 是△CDE 的一个外角,∴∠AED=x+y=∠ADE,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=x+y+x=2x+y,∠ADC 是△ABD 的一个外角,∴∠BAD=∠ADC--∠B=2x+y-y=2x=24°,∴x=12°,∴∠CDE=12°.8. D 解:∵在△APQ 中,∠A=α,∴∠APQ+∠AQP=180°-∠A=180°-α.∵∠APQ = ∠PMB + ∠PBM =2∠PMB,∠AQP = ∠QMC + ∠QCM =2∠QMC, ∴∠PMB +∠QMC =12(∠APQ + ∠AQP)=12(180∘−α)=90∘−12α,∴∠BMC = 180°− (∠PMB + ∠QMC)=180∘−90∘−12α=90∘ +12α.故选 D.。

几何算式练习突破初二数学上册几何形计算题的难点

几何算式练习突破初二数学上册几何形计算题的难点几何形计算题在初二数学上册中是一个相对较难的部分，需要学生深入理解几何形的性质和计算方法。

下面将从三个难点出发，通过练习题来帮助学生突破这些难点。

一、难点一：面积计算面积计算是几何形计算题的基础，也是初中阶段数学学习的重点。

要解决这个问题，我们可以通过多做练习题来提高技巧。

练习题一：已知一个正方形的边长为5cm，求其面积。

解析：我们知道正方形的特点是四条边相等，可以利用这一点进行计算。

正方形的面积计算公式是边长的平方，即5cm × 5cm = 25cm²。

因此，这个正方形的面积为25平方厘米。

练习题二：已知一个长方形的长为6cm，宽为4cm，求其面积。

解析：长方形的面积计算公式是长乘以宽，即6cm ×4cm = 24cm²。

因此，这个长方形的面积为24平方厘米。

通过做这些练习题，我们可以加深对于面积计算的理解和应用，提高解题的准确性。

二、难点二：周长计算周长计算是另一个几何形计算题的难点。

与面积计算类似，练习题对于这一难点的突破也是非常有帮助的。

练习题一：已知一个正方形的边长为5cm，求其周长。

解析：正方形的周长计算公式是边长乘以4，即5cm × 4 = 20cm。

因此，这个正方形的周长为20厘米。

练习题二：已知一个矩形的长为6cm，宽为4cm，求其周长。

解析：矩形的周长计算公式是长乘以2加上宽乘以2，即6cm × 2 + 4cm ×2 = 12cm + 8cm = 20cm。

因此，这个矩形的周长为20厘米。

通过这些练习题的实践，我们可以更好地理解周长的计算方法，掌握解题的技巧。

三、难点三：角度计算角度计算是几何形计算题中相对较难的部分，需要学生熟练应用角度的基本知识和计算公式。

练习题一：如图所示，ABCD为一个平行四边形，∠A的度数为35°，求∠C 的度数。

解析：根据平行四边形的性质，对角线互为平分线，即∠A = ∠C。

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