2019-2020学年广西贺州市昭平县九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年广西贺州市昭平县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把符合题意的标号填在相应的括号内）1．（3分）下列二次函数的开口方向一定向上的是（）A．y＝﹣3x2﹣1B．y＝﹣x2+1C．y＝x2+3D．y＝﹣x2﹣52．（3分）已知＝，则的值是（）A．B．C．2D．3．（3分）两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：84．（3分）下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣，2 ）5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则∠B的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．（3分）关于二次函数y＝2x2+4，下列说法错误的是（）A．它的开口方向向上B．当x＝0时，y有最大值4C．它的对称轴是y轴D．顶点坐标为（0，4）7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：28．（3分）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3B．3：2C．4：5D．4：99．（3分）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元10．（3分）如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为（）A．（+1）米B．（+）米C．3米D．（+1）米11．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝90°，点D在线段AC上，∠BDC＝60°，AD＝1，则BD 等于（）A．B．+1C．﹣1D．12．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（）A．B．1C．D．二、填空题：（每小题3分，共18分，请将答案直接写在题中的横线上）13．（3分）计算：cos45°＝．14．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是．15．（3分）已知P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1y2．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）16．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC边上的中点，则三角形CDE的面积与四边形ABED的面积比等于．17．（3分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin B的值为．18．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若△P AB与△PCD是相似三角形，则BP的长为．三、解答题：（本大题共8小题，共计66分）19．（6分）计算：（）﹣1﹣cos45°﹣（2020+π）0+3tan30°20．（6分）已知正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝交于点P（﹣1，n），求反比例函数的表达式21．（6分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，BC＝，∠B＝60°，求△ABC的面积22．（8分）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B，CD＝4，BD＝2，求AC的长23．（8分）已知抛物线y＝2x2﹣12x+13（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式24．（10分）如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD （1）求证：△ABF∽△CEB．（2）若△DEF的面积为2，求△CEB的面积25．（10分）某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由．26．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．2019-2020学年广西贺州市昭平县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把符合题意的标号填在相应的括号内）1．【解答】解：二次函数的开口方向一定向上，则a＞0，故选：C．2．【解答】解：由和比性质，得＝＝，故选：D．3．【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为1：2，∴两个相似三角形的相似比为1：2，∴它们对应中线之比为1：2．故选：A．4．【解答】解：因为k＝xy＝﹣6，符合题意的只有D（﹣3，2），即k＝xy＝﹣3×2＝﹣6．故选：D．5．【解答】解：∵∠C＝90°，cos B＝，∴∠B＝60°，故选：B．6．【解答】解：∵y＝2x2+4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝0，顶点为（0，4），当x＝0时，有最小值4，故A、C、D正确；B 错误，故选：B．7．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE＝AD，∴＝．故选：D．8．【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴＝故选：A．9．【解答】解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．10．【解答】解：由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．∵cos45°＝＝，∴；而cos60°＝＝，∴BO＝．∴AB＝AO+BO＝＝．故选：A．11．【解答】解：设CD＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x+1，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2x，由勾股定理得，BC2+CD2＝BD2，即（x+1）2+x2＝（2x）2，解得，x1＝（舍去），x2＝，∴BD＝2x＝+1，故选：B．12．【解答】解：在正方形ABCD中，OB＝OC，∠MON＝90°，又∵点M、N分别为OB、OC的中点，∴ON＝OM，∴∠OMN＝45°，∴sin∠OMN＝sin45°＝．故选：C．二、填空题：（每小题3分，共18分，请将答案直接写在题中的横线上）13．【解答】解：cos45°＝×＝1故答案为：1．14．【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）15．【解答】解：∵比例函数y＝﹣中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵﹣2＜﹣1＜0，∴P（﹣2，y1），Q（﹣1，y2）在第二象限，∵函数图象在第二象限内为增函数，∴y1＜y2．故答案为：＜．16．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴△CDE的面积与四边形ABED的面积比＝1：3；故答案为：1：3．17．【解答】解：作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，∵AE＝BE＝4，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴sin B＝sin45°＝，故答案为．18．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∵CP＝BC﹣BP，①当＝，即＝时，△ABP∽△DCP，解得：PB＝1，②当＝，即＝时，△ABP∽△PCD，解得：x1＝1，x2＝2，∴BP＝1或BP＝2，故答案为：1或2．三、解答题：（本大题共8小题，共计66分）19．【解答】解：（）﹣1﹣cos45°﹣（2020+π）0+3tan30°＝2﹣×﹣1+3×＝2﹣1﹣1+＝20．【解答】解：把点P（﹣1，n）代入y＝﹣3x得，n＝﹣3×（﹣1）＝3，∴P（﹣1，3），把点P（﹣1，3）代入y＝得，3＝，解得m＝2，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．21．【解答】解：作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，sin B＝，∴AD＝AB•sin B＝4×＝2，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×3×2＝9．22．【解答】解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴＝，即AC2＝BC•CD，∵CD＝4，BC＝BD+CD＝2+4＝6，∴AC2＝6×4＝24，∴AC＝2．23．【解答】解：∵y＝2x2﹣12x+13＝2（x2﹣2x+9）﹣5＝2（x﹣3）2﹣5，∴抛物线开口向上，顶点为（3，﹣5），对称轴为直线x＝3，（1）当x＝3时，y有最小值，最小值为﹣5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到新抛物线的表达式为y＝2（x﹣5）2﹣3．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∵DF∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴＝（）2，∵DE＝CD∴＝，∴＝，∴S△CEB＝9S△DEF＝9×2＝18．25．【解答】解：（1）已知AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝，答：舞台的高为米；（2）已知∠ADC＝30°．∴AD＝2AC＝2．CD＝AD•cos30°＝2×＝＜3答：修新楼梯AD时底端D不会触到大树．26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，∴B的坐标为：（﹣3，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x+3），把C（0，3）代入，﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得：，∴直线y＝mx+n的解析式为：y＝x+3；（2）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得：t1＝，t2＝；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．。