八年级数学一元二次方程知识点总结及典型习题,推荐文档

一元二次方程

(一)、一元二次方程的概念

1理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式；

2•正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

(1)明确只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。

(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).

3•—元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解

(二)、一元二次方程的解法

1•明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2•根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3•值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如x2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解

形如x2 n的方程的解法：当n 0时，x 、. n ；当n 0时，x1 x2 0 ；当n 0时，方程无实数根。

(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②“系数化1 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1 ；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式；

④求

解:

若n0时，方程的解为x m . n，若n 0 时, 方程无实数解。

(3)公式法：

一兀二次方程ax bx c 0(a 0)的根x -b b24ac

2a

当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；

当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为X1 X2

b 2a

当b24ac0时，方程无实数根•

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b2 4ac中计算其值，判断方程是

否有实数根；④若b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

(4)因式分解法：

因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

(三)、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参 数取值范围。 （ 1） =b 2 4ac

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 例：求证：方程 （a 2 1）x 2 2ax （a 2 4） 0 无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分 类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为

0，一元二次方程可能会有两个实

数根或无实数根。

（四） 、一元二次方程的应用

1. 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2. 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何 知识检验。

3. 增长率问题（下降率） ：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），变化后的 基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式 a （1 x ）n b 表示。

4. 其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 。

（五） 新题型与代几综合题

（1）有 100 米长的篱笆材料， 想围成一矩形仓库， 要求面积不小于 600平方米， 在场地的北面有一堵 50米的旧墙， 有人用这个篱笆围成一个长 40米、宽 10米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与 宽才能符合要求呢？

（ 2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄） ：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位 学子算得

准，多少年华属周瑜？

2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程

ax 2 bx c 0 （ a 0 ）

a ①当

0 0时 方程有实数根；②当

a0

0时

方程无实数根；

2 2 r ---

⑶已知：a,b,c 分别是 ABC 的三边长，当m 0时，关于x 的一元二次方程c(x m) b(x m) Z max 0 有两个相等的实数根，

求证：

ABC 是直角三角形。

(4)已知：a,b,c 分别是 ABC 的三边长，求证：方程 b 2x 2 (b 2 c 2

数？ ( m 1)

当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

(六) 相关练习

(一) 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项:

(1) 5x 2 2 3x

2 2

(2) (5a 1)

4(a 3)

2 •应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m 为何值时，关于 x 的方程(m <2)x m (m 3)x 4m 是一元二次方程。

(2)若分式

x 2

7x 8 —x —厂

0，则 x _____

a 2)x c 2 0没有实数根。

(5)当m 是什么整数时，关于

x 的一元二次方程 mx 2 4x 4

0 与 x 2 4mx 4m 2 4m 5 0的根都是整

(6)已知关于x 的方程x 2

2x

m 2 1 x 2

2x 2m

0，其中m 为实数，(1)当m 为何值时，方程没有实数根?

(2)

答案：(1)m 2( 2)x