坐标系内三角形面积的求法
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形的面积可以使用割补法来计算。
割补法是一种计算几何图形面积的方法，特别适用于计算不规则图形的面积。
在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标点的位置关系来计算三角形的面积。
首先，我们假设三角形的顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)。
然后，我们可以利用以下公式来计算三角形的面积：
S = |(x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2))/2|。
其中，S表示三角形的面积，|...|表示取绝对值。
这个公式实际上是利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积，具体推导过程可以参考向量的叉乘定义和性质。
另外，割补法还可以通过将三角形划分为多个简单形状的组合来计算面积。
例如，我们可以将三角形划分为一个矩形和两个三角形，然后分别计算这些简单形状的面积，最后将它们相加即可得到原三角形的面积。
除了割补法，我们还可以使用海伦公式或者行列式的方法来计算三角形的面积。
海伦公式适用于已知三边长度的情况，而行列式的方法则可以通过顶点坐标直接计算面积。
总之，平面直角坐标系三角形的面积割补法是一种简单而有效的计算方法，通过合理的划分和计算可以得到准确的结果。
希望这些信息能够帮助你理解如何使用割补法来计算三角形的面积。
已知三角形三顶点坐标求三角形面积
已知三角形三顶点坐标求三角形面积三角形是初中数学中最基础的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过已知三角形三个顶点的坐标来求解三角形的面积。
我们需要确定三角形的三个顶点的坐标。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
接下来，我们可以利用向量的方法来求解三角形的面积。
我们可以将向量AB和向量AC表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以通过向量的叉积来求解三角形的面积。
向量的叉积公式为：AB × AC = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和向量AC的模长，θ表示向量AB和向量AC之间的夹角。
由于我们已知向量AB和向量AC的坐标，因此可以通过向量的叉积公式来求解三角形的面积。
具体计算过程如下：AB × AC = (x2 - x1, y2 - y1) × (x3 - x1, y3 - y1)= (x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)因此，三角形的面积为：S = 1/2 × |AB × AC| = 1/2 × |(x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)|通过这个公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
需要注意的是，如果三角形的面积为负数，则表示三个点不在同一条直线上，否则三个点在同一条直线上。
通过向量的叉积公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
这个方法不仅简单易懂，而且计算精度高，是求解三角形面积的常用方法之一。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
例析平面直角坐标系中三角形面积的求法
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为〔－3，0〕，〔0，3〕，〔0，－1〕，你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC ＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-〔-1〕=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A〔4，1〕，B〔4，5〕，C〔-1，2〕，求三角形ABC的面积.分析：由A〔4，1〕，B〔4，5〕两点的横坐标一样，可知边AB与y轴平行，因而AB 的长度易求.作AB边上的高CD，那么D点的横坐标与A点的横坐标一样，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标一样，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，那么D点的横坐标为4，所以CD=4-〔-1〕=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，点A〔-3，-1〕，B〔1，3〕，C〔2，-3〕，你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想方法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形〔长方形〕的上下底〔长〕与其中一坐标轴平行，高〔宽〕与另一坐标轴平行.这样，梯形〔长方形〕的面积容易求出，再减去围在梯形〔长方形〕边缘局部的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，那么四边形ADEC为梯形.因为A〔-3，-1〕，B〔1，3〕，C〔2，-3〕，所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=〔AD+CE〕×DE-AD×DB-CE×BE=×〔4+6〕×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题〔提高篇〕“割补法〞的应用一、点的坐标，求图形的面积。
坐标系中如何求三角形的面积
坐标系中如何求三角形的面积
问题描述
在平面直角坐标系中，给定三角形的三个顶点坐标 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3)，如何通过坐标计算出这个三角形的面积呢？
基本原理
要计算三角形的面积，我们可以利用向量的知识来求解。
设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则向量a的坐标为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量b的坐标为 (x3 - x1,
y3 - y1)。
具体步骤
1.计算向量a和向量b的叉乘，即 a × b = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 -
x2y1 - x3y2。
2.三角形的面积等于叉乘结果的绝对值的一半，即 area = |a × b| / 2。
3.最终得出的结果即为这个三角形的面积。
例子
例子：
假设三角形ABC的三个顶点坐标为A(1, 2), B(4, 5), C(3, 7)。
计算过程如下：
向量a = AB = (4 - 1, 5 - 2) = (3, 3)
向量b = AC = (3 - 1, 7 - 2) = (2, 5)
叉乘结果为 a × b = 15 + 42 + 33 - 17 - 45 - 32 = 5 + 8 + 9 - 7 - 20 - 6 = -1
三角形的面积为 area = |-1| / 2 = 0.5
所以，三角形ABC的面积为0.5。
结论
通过向量的方法，我们可以方便地在坐标系中计算三角形的面积。
这种方法简
单直观，可以很好地应用于实际问题中。
直角坐标系中求三角形面积的方法
直角坐标系中求三角形面积的方法文章一《在直角坐标系里找三角形的面积》小朋友们，今天我们来一起探索一个有趣的数学知识——在直角坐标系中求三角形的面积！你们看，直角坐标系就像是一个大大的棋盘，上面有很多的点。
假如有一个三角形，它的三个顶点分别在这个坐标系里的不同位置，那我们怎么算出它的面积呢？比如说，有一个三角形，它的三个顶点分别是(0, 0)，(3, 0)和(0, 4)。
我们先画出这个三角形，然后发现，这个三角形的一条边就在 x 轴上，长度是 3，另一条边就在 y 轴上，长度是 4。
这时候，我们就可以用一个简单的方法来算面积啦，那就是用底乘以高除以2。
这个三角形的底是 3，高是 4，所以面积就是3×4÷2 = 6。
是不是很有趣呀？小朋友们，快来自己试试看吧！文章二《轻松算出直角坐标系中三角形的面积》小朋友们，你们知道吗？在直角坐标系里，我们也能算出三角形的面积哦！比如说，有个三角形的三个顶点是(1, 1)，(5, 1)和(3, 3)。
那我们先在纸上把这个直角坐标系画出来，然后把这三个点标上去。
再比如，有个三角形的顶点是(2, 2)，(6, 2)和(4, 4)，你们能自己算算它的面积吗？文章三《学会在直角坐标系里求三角形面积》小朋友们，咱们一起来玩个数学游戏！今天要在直角坐标系里找三角形的面积。
假设这里有个三角形，它的顶点是(0, 0)，(2, 0)和(0, 3)。
那我们想想哦，从(0, 0)到(2, 0)这条边是底，长 2。
从(0, 0)到(0, 3)这条边是高，长 3。
然后用2×3÷2 = 3，这就是面积啦。
又比如，三角形的顶点是(1, 1)，(4, 1)和(1, 4)。
底就是 4 1 = 3，高是 4 1 = 3，面积就是3×3÷2 = 4.5。
是不是很简单呀？你们也试试吧！文章四《直角坐标系中三角形面积的秘密》小朋友们，今天来告诉你们一个直角坐标系中三角形面积的小秘密！想象一下，在直角坐标系里有个三角形，三个顶点分别是(3, 3)，(6, 3)，(3, 6)。
坐标系中三角形的面积公式
坐标系中三角形的面积公式给定三个顶点的坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积=，(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/2这个公式实际上是利用向量叉乘来计算的。
向量的叉乘是一个向量运算，它的结果是一个向量。
对于两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的叉乘结果等于A和B确定的平行四边形的面积。
因此，三角形的面积等于它的任意两边所确定的平行四边形的面积的一半。
考虑三角形ABC，我们可以先计算两个向量AB和AC，然后计算这两个向量的叉乘，最后取这两个向量叉乘的模长的一半即可得到三角形的面积。
具体步骤如下：1.计算向量AB的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)。
2.计算向量AC的分量：AC=(x3-x1,y3-y1)。
3.计算向量AB和AC的叉乘：AB×AC=(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)。
4.计算叉乘的模长：，AB×AC，=√[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]²。
5.三角形的面积等于叉乘的模长的一半：面积=，AB×AC，/2需要注意的是，这个公式适用于无论顶点的坐标是否为整数、是否为正数、是否为负数的情况。
因为计算的是叉乘的模长，所以结果总是非负数。
下面以实际的例子来说明如何使用这个公式来计算一个三角形的面积。
假设我们有一个三角形ABC，其中A点的坐标为A(1,2)，B点的坐标为B(4,6)，C点的坐标为C(7,1)。
我们可以按照上述步骤计算三角形ABC的面积。
1.计算向量AB的分量：AB=(4-1,6-2)=(3,4)。
2.计算向量AC的分量：AC=(7-1,1-2)=(6,-1)。
3.计算向量AB和AC的叉乘：AB×AC=(3)(-1)-(6)(4)=-3-24=-274.计算叉乘的模长：，AB×AC，=√[(-3)(-3)-(-24)(-24)]²=√[9-576]²=√567²=5675.三角形的面积等于叉乘的模长的一半：面积=，AB×AC，/2=567/2=283.5因此，三角形ABC的面积为283.5平方单位。
切线与坐标轴构成的三角形面积
切线与坐标轴构成的三角形面积我们知道在平面直角坐标系中，一条直线与其相切的曲线在相切点处的切线平行于坐标轴。
而这时，切线、x轴和y轴所构成的三个边所连成的三角形面积我们可以进行计算，这就是我们所说的“切线与坐标轴构成的三角形面积”。
以下将对相关内容进行讲解。
一、三角形面积的公式在计算“切线与坐标轴构成的三角形面积”之前，我们先来了解一下三角形面积的公式。
在平面直角坐标系中，若给定三个定点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，则它们所构成的三角形面积为： S = 1/2 * | x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2) |其中，| | 表示绝对值的符号。
二、切线与坐标轴构成的三角形面积的计算方法当一条直线与其相切的曲线在相切点处的切线平行于x轴时，我们可以通过以下步骤来计算切线与坐标轴构成的三角形面积。
1. 确定切点坐标：首先要找出切线与曲线的相切点的坐标(x0,y0)。
2. 计算斜率：计算出切线的斜率k。
3. 计算三角形面积：以(x0,y0)为顶点，x轴上的投影点为(x0,0)，y轴上的投影点为(0,y0)，则切线与坐标轴构成的三角形面积为：S = 1/2 * | x0 * y0 |其中，x0是横坐标，y0是纵坐标。
三、实例分析假设有这么一条曲线：y = x^2 + 1以点(1,2)处的切线与x轴和y轴所围成的三角形面积应该怎么算呢？1. 确定切点坐标：我们需要求出y = x^2 + 1这个曲线在点(1,2)处的切线，该切线斜率等于曲线在该点的导数f'(1)，因此需要先求出曲线在该点的导数f'(x)。
利用求导数公式有：f'(x) = 2x因此，在点(1,2)处，切线的斜率k = f'(1) = 2。
接着，我们可以得到切线方程：y = 2x - 1。
由于切线平行于x轴，因此y0 = y(1,2) = 2。
2. 计算三角形面积：以(1,2)为顶点，x轴上的投影点为(1,0)，y轴上的投影点为(0,2)，则切线与坐标轴构成的三角形面积为：S = 1/2 * | 1 * 2 | = 1因此，切线与坐标轴构成的三角形面积为1。
直角坐标系中求三角形面积的方法
面积问题直角坐标系中求三角形面积的方法：1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点；(1)求△AOB的面积；(2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积；(3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积；2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．。
坐标三角形面积公式推导过程
坐标三角形面积公式推导过程1. 坐标三角形的定义。
- 在平面直角坐标系中，由三角形三个顶点的坐标来确定的三角形称为坐标三角形。
设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)为三角形ABC的三个顶点。
2. 坐标三角形面积公式推导（行列式法）- 我们可以利用行列式来推导坐标三角形的面积公式。
- 三角形ABC的面积S=(1)/(2)<=ftbegin{array}{ccc}x_1y_11 x_2y_21x_3y_31end{array}right的绝对值。
- 推导过程如下：- 已知向量→AB=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)，向量→AC=(x_3 - x_1,y_3 - y_1)。
- 根据向量叉乘求三角形面积的原理，三角形ABC的面积S =(1)/(2)|→AB×→AC|。
- 对于二维向量→a=(m,n)，→b=(p,q)，它们的叉积→a×→b=mq - np（这里的叉积结果是一个标量）。
- 所以→AB×→AC=(x_2 - x_1)(y_3 - y_1)-(x_3 - x_1)(y_2 - y_1)。
- 展开可得：- →AB×→AC=x_2y_3 - x_2y_1 - x_1y_3+x_1y_1-(x_3y_2 - x_3y_1 -x_1y_2+x_1y_1)- 进一步整理得→AB×→AC=x_1y_2 + x_2y_3+x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 - x_3y_2。
- 而(1)/(2)<=ftbegin{array}{ccc}x_1y_11 x_2y_21 x_3y_31end{array}right展开为：- (1)/(2)[x_1(y_2 - y_3)-y_1(x_2 - x_3)+(x_2y_3 - x_3y_2)]- 进一步展开(1)/(2)(x_1y_2 - x_1y_3 - y_1x_2 + y_1x_3+x_2y_3 - x_3y_2)- 整理后得到(1)/(2)(x_1y_2 + x_2y_3+x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 -x_3y_2)，与(1)/(2)|→AB×→AC|结果相同。
专题06 直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)
专题06 直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)在直角坐标系中，三角形是几何学的基本形状之一，它由三条线段组成，其中两条线段是边，第三条线段是斜边。
本文将探讨直角坐标系中三角形的面积计算方法和与面积相关的问题。
1. 三角形的面积计算方法三角形的面积计算方法有多种，其中最常用的是海伦公式和鞋带公式。
(1) 海伦公式海伦公式适用于任意三角形，包括不是直角三角形。
假设三角形的边长分别为a、b、c，则该三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中，p为半周长，p = (a + b + c) / 2。
(2) 鞋带公式鞋带公式适用于直角三角形，即一个角度为90度的三角形。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则该三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = (a × b) / 22. 直角坐标系中三角形的面积计算在直角坐标系中，我们可以通过三个顶点的坐标来计算三角形的面积。
假设三角形的顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则该三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = 0.5 × |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|3. 相关问题解析在直角坐标系中，三角形的面积与许多相关问题息息相关。
下面将讨论一些常见的问题。
(1) 判定三角形类型可以通过计算三角形的边长或角度来判定三角形的类型。
例如，若三条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形；若三条边的长度均相等，则该三角形为等边三角形。
(2) 三角形的位置关系根据三个顶点的坐标，可以判断三角形的位置关系。
例如，若三角形的三个顶点均在x轴上或y轴上，则该三角形为退化三角形；若三角形的某一个内角为180度，则该三角形为直线。
直角坐标系中求三角形面积
直角坐标系中求三角形面积
平面直角坐标系中三角形的面积计算问题一直以来是中考的常考题型，近几年的中考中又演变出了在函数背景下的三角形面积的最大值问题等，这类是初高中数学结合的问题，涉及的知识面广，综合度强.通常有以下两种解决方案：
这两种方法已经运用得相当广泛了，都需要一定的数学技巧，本文考虑直接从坐标的角度出发，探求解决这类问题的一种“通法”.
直角坐标系中求三角形的面积
若在坐标系第一象限有△ABC，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3 ，y3)，求△ABC的面积.
推导过程：
若△ABC不在第一象限时，可以通过平移变换：
考虑到坐标的正负数关系，若在坐标系第一象限有△ABC，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3 ，y3)。
则△ABC的面积为：
延伸
若在平面直角坐标系中有凸四边形ABCD，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3，y3)、D(x4，y4)，求凸四边形ABCD的面积。
可以转化为两个三角形的面积和：
在直角坐标系中求三角形的面积，关键是求点的坐标，掌握点的坐标的定义，利用三角形面积的计算公式以及同底等高，同底不等高，同高不等底，相似等方法进行割补，实质是要提炼出构造和坐标轴平行的矩形减去三个直角三角形的面积的通性通法。
坐标系中三角形面积求法
《坐标系中三角形面积求法》
在数学中，求坐标系中三角形的面积有多种方法。
一种方法是利用三角形的底和高来求面积。
如果三角形的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，可以先求出三角形的底边长和高。
比如，以线段AB 为底，那么底边长可以通过两点间距离公式求出。
高可以通过点 C 到直线AB 的距离来求。
然后根据三角形面积公式S = 1/2×底×高，即可求出三角形的面积。
另一种方法是利用向量的叉积来求面积。
设向量AB=(x2 - x1,y2 - y1)，向量AC=(x3 - x1,y3 - y1)，则三角形ABC 的面积S = 1/2×|AB×AC|，其中向量叉积的模可以通过计算得到。
例如，在一个坐标系中，有一个三角形的三个顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)。
我们可以用第一种方法来求面积。
先求出线段AB 的长度，根据两点间距离公式可得AB = √[(3 - 1)²+(4 - 2)²]=2√2。
然后求点 C 到直线AB 的距离。
直线AB 的方程可以通过两点式求出，设直线AB 的方程为y = kx + b，将A、B 两点坐标代入可得k = 1，b = 1，即直线AB 的方程为y = x + 1。
点C 到直线AB 的距离可以根据点到直线的距离公式求出，d = |5 - 6 + 1|/√(1²+(-1)²)=√2。
最后根据三角形面积公式可得S = 1/2×2√2×√2 = 2。
(完整)平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。
现举例说明如下。
一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），(0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y 轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解。
解：因为B（0,3),C（0，—1）,所以BC=3—（—1）=4。
因为A（-3，0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4,5），C（-1，2）,求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.解:因为A,B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（—1）=5，所以=。
三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1）,B（1，3），C（2，—3），你能求出三角形ABC的面积吗?分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法。
根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行。
这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积。
解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线,与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（—3，—1），B（1，3）,C(2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5。
求平面直角坐标系中三角形的面积
求平面直角坐标系中三角形的面积一、一边平行于坐标轴或与坐标轴重合的三角形此类问题的求解，只需确定此边上的高即可.例1 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（-4，0），（0，4），（0，-1），求△ABC的面积.分析：根据三个顶点的坐标可以看出三角形ABC的边BC在y轴上，且BC边上的高就是点A的横坐标的绝对值，由此利用三角形的面积公式可直接求解.解：由点B，C的坐标可得BC=5，点A到BC边的距离就是点A到y轴的距离，所以S△ABC=12×BC×AO=12×5×4=10.温馨提示：当两点在平行于x轴的直线上时，两点之间的距离是两点的横坐标的差的绝对值；当两点在平行于y轴的直线上时，两点之间的距离是两点的纵坐标的差的绝对值.二、没有边与坐标轴平行或重合的三角形此类问题的求解一般是要通过转化，使之成为比较规则的图形.例2 如图2，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（-3，-1），C（3，3），D（0，1），三角形ABC的边BC过点D，求△ABC的面积.分析：通过画图可以发现△ABC的每一条边都不与坐标轴重合，也不与坐标轴平行，因此，以△ABC的任意一边为底边都不容易求△ABC的面积.为了方便求解，可通过补形的方法，使之成为比较规则又易于求解的图形，从而利用相应的图形面积公式求解.解：方法一：将△ABC补成如图3所示的长方形GEFB或梯形BCEG.S△ABC=S长方形GEFB-S△AEC-S△BFC-S△BAG=BG·BF-12AE·EC-12CF·BF-12AG·BG=5×6-12×3×1-12×4×6-12×3×5=30-32-12-152=9.图3 图4方法二：如图4，分割成两个三角形，根据铅垂线与水平线求三角形的面积.S△ABC= S△ABD+ S△ACD=12AD·BE+12AD·CF=12×3×3+12×3×3=92+92=9.牛刀小试：如图5，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（0，4），C（-3，2），求△ABC的面积.图5答案：如图6，过点C作CD⊥x轴于点D，则S△A BC=S梯形O BC D+S△O A B-S△A C D=12×（2+4）×3+12×2×4-12×5×2=8.图6。
初中数学坐标系内三角形面积的求法学法指导
初中数学坐标系内三角形面积的求法学法指导王竞进我们常常会遇到在坐标平面内求三角形面积的问题。
解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。
现举例说明如下。
一. 三角形的两个顶点在坐标轴上例1. 如图1，已知A （-1，0），B （4，0），C （-3，3），求ABC ∆的面积。
分析：由于点A 、B 都在x 轴上，因此，我们可以AB 作为三角形的底边，过点C 作x CD ⊥轴，垂足为D ，再根据坐标的意义分别求出AB 的长和AB 边上的高CD 的长，即可解决问题。
解：过点C 作x CD ⊥轴，垂足为D 。
如图2。
因为A （-1，0），B （4，0），所以514AB =+=。
又因为C （-3，3），所以点C 到x 轴的距离为3，即AB 边上的高CD 的长为3。
所以2153521S ABC =⨯⨯=∆。
点悟：当三角形的两个顶点同时在x 轴（或y 轴）上时，求面积的关键就是求出另一个顶点到x 轴（或y 轴）的距离，这个距离就等于这个点的纵坐标（或横坐标）的绝对值。
例2. 如图3，已知A （0，2），B （3，0），C （4，3）。
求ABC ∆的面积。
分析：由于点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，点C 是坐标平面内的一点，要求这样的三角形的面积，可把它看成是从一个规则的四边形中减去一个或几个三角形。
解：过点C 分别作y CE ⊥轴、x CD ⊥轴，垂足分别为E 、D 。
如图4。
因为C （4，3），所以1234S CEOD =⨯=四边形。
又因为A （0，2），B （3，0），C （4，3），所以 233121S ,33221S ,21421S BCD AOB ACE =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=∆∆∆。
211233212S S S S S BCD AOB ACE CEOD ABC =---=---=∆∆∆∆四边形。
点悟：当三角形的两个顶点分别在x 轴、y 轴上时，求面积往往采用割补法。
二. 三角形有一边平行于坐标轴例3. 如图5，已知A （-3，-2），B （3，-2），C （-2，2），求ABC ∆的面积。
坐标系内三角形面积的求法
坐标系内三角形面积的求法平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？一、三角形的一边在坐标轴上例1如图1,三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC的面积.ffl 1分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高•由图1可知，三角形ABC的边AB在x轴上，容易求得AB的长，而AB边上的高，恰好是C点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-(-2)=6.因为C(2,4),所以C点到x轴的1距离，即AB边上的高为4,所以三角形ABC的面积为1 6 4 12.2二、三角形有一边与坐标轴平行例1如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(4, 5)，C(-1，2)，求三角形ABC的面积.H 2分析：由A(4, 1)，B(4, 5)两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4,这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A, B两点的横坐标相同，所以边AB // y轴，所以AB=5-1=4.作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4,所以CD=4- (-1) =5,所以三角形ABC1 的面积为-4 5 10.2三、坐标平面内任意三角形的面积例3如图3,在直角坐标系中，三角形ABC的顶点均在网格点上.其中A点坐标为（2,-1）,则三角形ABC的面积为_______________ 方单位.H 3分析：本题中三角形ABC的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解•可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.解：由题意知，B（4, 3），C（1,2）.如图4,过点A作x轴的平行线，过点C 作y轴的平行线，两线交于点E.过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D，交EA的延长线于点FJ则长方形BDEF的面积为3M=12，三1i角形BDC的面积为-1 3 1.5,三角形CEA的面积为-1 3 1.5，三角形2 21ABF的面积为-2 4 4.所以三角形ABC的面积为：长方形BDEF的面积-2（三角形BDC的面积+三角形CEA的面积+三角形ABF的面积）=12-（1.5+1.5+4）=5 （平方单位）.图4。
三角形面积公式 坐标系
三角形面积公式坐标系在咱们的数学世界里，三角形面积公式和坐标系那可都是相当重要的角色呀！先来说说三角形面积公式吧。
这就好比是我们打开数学宝藏的一把神奇钥匙。
咱都知道，三角形面积等于底乘以高除以 2 ，用字母表示就是 S = 1/2 × a × h 。
这公式看起来简单，可作用大着呢！我记得有一次去逛商场，看到一个促销活动的场地布置。
那是一个三角形的区域，工作人员正为了计算场地面积头疼。
我凑过去一看，嘿，这不就是运用三角形面积公式的好机会嘛！我测量了一下底边的长度和对应的高度，心里默默一算，很快就把面积告诉了他们。
他们那惊讶又感激的眼神，让我心里别提多得意了。
这就是三角形面积公式的厉害之处，能在生活中实实在在地帮上忙。
再聊聊坐标系。
坐标系就像是给每个点都安了一个独特的“家庭住址”，让我们能准确地找到它们的位置。
通过横坐标和纵坐标，就能精准定位一个点。
想起之前学校组织的一次户外活动，老师让我们根据给出的坐标去寻找隐藏的“宝藏”。
大家拿着地图，对照着坐标，在校园里跑来跑去。
我特别认真，仔细分析着每个坐标的数值，想象着它们在坐标系中的位置。
终于，我率先找到了一个“宝藏”，那种成就感，就像在数学的海洋里挖到了珍珠！在数学的学习中，三角形面积公式和坐标系可不仅仅是用来解决这些小问题的。
当我们深入学习数学，解决更复杂的几何问题或者进行图形的变换时，它们都是不可或缺的工具。
比如说，在求解一些涉及多个三角形组合的图形面积时，我们就得灵活运用三角形面积公式，先分别算出每个三角形的面积，再相加或者相减，才能得出最终的结果。
这时候，要是对公式不熟悉，那可就抓瞎啦！而坐标系在解析几何中的作用更是无可替代。
通过建立坐标系，那些弯弯绕绕的曲线都能被我们用方程表示出来，从而进行各种计算和分析。
总的来说，三角形面积公式和坐标系虽然看似简单，但它们却是数学大厦的重要基石。
就像我们盖房子，没有稳固的基石，房子可盖不高、盖不牢。
平面直角坐标系三角形面积公式
平面直角坐标系三角形面积公式
在平面直角坐标系中，三角形的面积可以用这样一个简单的公式表示：S=1/2|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|。
其中，S表示三角形的面积，x1,y1,x2,y2,x3,y3分别表示三角形三个顶点的横纵坐标。
首先，我们可以用这个公式求出三角形的面积，它可以让我们快速准确地计算出三角形的面积。
这个公式可以让我们更容易地计算出三角形的面积，而不用去摆弄复杂的公式。
其次，这个公式还可以让我们更深入地了解三角形的性质。
它可以把三角形的面积分解成三个顶点的横纵坐标，让我们可以更加细致的去探索三角形的形成原理。
最后，这个公式还可以让我们有效地解决一些实际问题。
比如，我们可以利用这个公式快速准确地计算出某一个区域内三角形的总面积，从而可以有效地提高空间利用率。
总之，平面直角坐标系三角形面积公式是一个非常有用的公式，它不仅可以让我们快速准确地计算出三角形的面积，而且还可以让我们更深入地了解三角形的性质，同时还可以解决一些实际问题。
因此，平面直角坐标系三角形面积公式在数学研究、实际应用中都有着重要的地位。
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坐标系内三角形面积的求法
平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？
一、三角形的一边在坐标轴上
例1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC 的面积.
分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.
解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的
距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为12462
1=⨯⨯. 二、三角形有一边与坐标轴平行
例1 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积.
分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积.
解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC
的面积为105421=⨯⨯. 三、坐标平面内任意三角形的面积
例3 如图3，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点均在网格点上.其中A 点坐标为（2，-1），则三角形ABC 的面积为______平方单位.
分析：本题中三角形ABC 的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.
解：由题意知，B （4，3），C(1,2).如图4，过点A 作x 轴的平行线，过点C 作y 轴的平行线，两线交于点E.过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F.则长方形BDEF 的面积为3×4=12，三
角形BDC 的面积为5.13121=⨯⨯, 三角形CEA 的面积为5.1312
1=⨯⨯，三角形ABF 的面积为4422
1=⨯⨯.所以三角形ABC 的面积为: 长方形BDEF 的面积 - （三角形BDC 的面积+三角形CEA 的面积 + 三角形ABF 的面积）=12-(1.5+1.5+4)=5（平方单位）.。