《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修)
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
一、教学内容
本节课的教学内容是函数的单调性与奇偶性。
二、教学目标
1.了解函数的单调性与奇偶性两个概念；
2.会判断函数的单调性与奇偶性；
3.熟练掌握解决实际问题时如何利用函数的单调性与奇偶性的知识；
三、学习重点
1.了解概念：单调性与奇偶性；
2.学会判断函数的单调性与奇偶性；
3.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
四、学习难点
1.学会判断函数是否单调，是否为奇偶函数；
2.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
五、教学方法
1.根据学生的学习习惯，采用以讲授课为主的教学方法，结合实例演示；
2.针对学生的实际能力，采用视频讲授、讨论和实例分析来讲解；
3.通过练习，让学生加深对函数的单调性与奇偶性的理解。
六、教学过程
一、导入
1.情境描述：以赛博士排比赛为例，展开课程教学：从一个单调函数的概念开始，讲解单调函数的定义和例子；再讲解奇偶函数的概念及其定义和例子。
2.引入问题：以赛博士排比赛为例，借助函数的单调性与奇偶性，能不能有效的解决实际问题？
二、讲授
1.讲解函数的单调性，包括定义、例子、注意事项等；。
【公开课】高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章《函数的奇偶性》教案
3.2.2函数奇偶性的教学设计一、教材分析《奇偶性》位于高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章3.3.2节。
本节课是在学生学习函数单调性之后，教材从学生熟悉的函数图象情境出发，让学生从形的角度认识函数的奇偶性，从数的角度探究函数奇偶性的本质，再通过数形结合来解决函数的相应问题。
二、学情分析本节课是面对普通班的学生进行讲解的,他们数学基础相对一般，但部分同学思维比较敏捷，大多数同学对数学比较热爱。
学生对函数及对称图形有一定的知识储备，在前面经历过探究和学习函数单调性的过程，对于根据函数的图象转化为数字特征并抽象为数学概念有了初步认识，但是由于初步接触，有一定的困难，为了让大部分学生掌握本节课的知识与方法，能够实现教学目标，突出重点、突破难点，我制定了后面的教学方案。
三、教学目标（一）学科目标1.知识与技能：了解函数的奇偶性的概念和几何意义；学会判断函数的奇偶性；学会运用奇偶性研究函数的图象。
2.过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合、分类讨论的思想。
3.情感态度与价值观：展示优美的函数图象加强学生对数学美的体验。
（二）核心素养目标1.数学抽象：函数的奇偶性的定义及图象的对称性；2.逻辑推理：根据偶函数的探究过程，探究和总结奇函数的概念；3.数学运算：判断函数奇偶性过程中的运算；4.直观想象：根据函数解析式画出函数图象、根据函数关于y轴对称画出大致图像研究函数的性质。
5.数学建模：通过具体函数实例，培养学生发现问题解决问题的能力。
四、教学重难点（一）重点：函数奇偶性的概念、简单性质及应用。
（二）难点：感悟数学奇偶性含义的数学抽象过程。
五、教学策略分析（一）.通过观察所展示的函数图象及动态图象演示，让学生形成对奇（偶）函数的直观认识；通过数量关系刻画函数的对称性，得出奇（偶）函数的定义。
是学生在函数奇偶性的数学抽象过程中在轻松愉快的环境下掌握，从而突破教学难点。
奇偶性教案
1.3.2《函数的奇偶性》教学设计一、教材分析“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，刚刚学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
三、教学目标【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。
2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。
【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
四、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
难点：判断函数奇偶性的方法和格式。
五、教学方法引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。
六、教学手段PPT课件七、教学过程（一）设疑导入、观图激趣：出示一组轴对称和中心对称的图片。
设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。
（二）指导观察、形成概念：观察下列两个函数图象，它们有什么共同特征吗？设计意图：从学生熟悉的与入手，顺应了同学们的认知规律。
填函数对应值表，找f(x)与f(-x)有什么关系？x -3 -2 -1 0 1 2 3x -3 -2 -1 0 1 2 3设计意图：从“形”过渡到“数”，为形成概念做好铺垫。
高中数学《函数的奇偶性》公开课优秀教学设计
函数的奇偶性教学设计1教材分析函数的奇偶性是继函数的单调性之后的又一重要性质。
“奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
在函数的单调性学习中，教材先是从几个特殊的函数图象开始，学生通过对函数图象的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图象的上升和下降，又进一步从“数”的角度给出函数的单调性定义。
在奇偶性的教学中教材的教学方式和单调性的教学方式是一致的，因此在教学中采用类比的方法进行。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，也是为继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数奠定基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
2学情分析初中时学生已经学习过中心对称和轴对称图形的相关概念。
学生对xk x f ax x f kx x f ===)(,)(,)(2等函数的图象比较熟悉。
因此在此基础上引入“奇偶性”的概念。
在引入概念时始终结合具体的函数图象，学生在学习时始终处于“最近发展区”，符合学生的认知规律。
3教学目标知识与技能：《数学课程标准(实验)》要求，结合具体函数，了解奇偶性的含义。
能够说出函数奇偶性的定义；根据奇偶性的定义学会判断函数的奇偶性；根据函数的奇偶性能够说出函数的分类；能够领悟判断函数奇偶性的一般方法和步骤。
并能进一步领悟数形结合思想。
过程与方法： 通过几个具体函数，学生能够获得直观上的奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，发现定义域中的任意一个x 都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
通过具体的特例学生进一步形成对函数奇偶性的深刻认识。
情感、态度与价值观：数学是美的也是自然的，但需要学生的领悟，不但能够直观看到函数曲线的对称美，还要体会逻辑美。
因此概念的生成不能僵硬，要调动学生参与数学学习的热情和兴趣，这样的课堂不但能够更好的学习知识还具有很强的育人作用。
4教学重点与难点重点：（1）函数的奇偶性定义及几何意义（2）数形结合思想的体现难点：（1）学生通过对几个函数图象的观察，从“形”的角度能观察出函数图象关于y 轴对称或关于原点对称，但如何将观察到的“形”的问题转化成“数”的形式是本节课的难点。
函数的奇偶性教学设计-优秀
函数的奇偶性教学设计一．教材分析1 . 教材的地位与作用内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 . 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
二．目的分析教学目标知识与技能目标：……理解函数奇偶性的概念……能利用定义判断函数的奇偶性过程与方法目标：……培养学生的类比，观察,归纳能力……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法情感态度与价值观目标：……对数学研究的科学方法有进一步的感受……体验数学研究严谨性，感受数学对称美重点与难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断难点：函数奇偶性概念的探究与理解三．教法、学法教法借助多媒体和几何画板软件以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式 遵循研究函数性质的三步曲学法根据自主性和差异性原则以促进学生发展为出发点着眼于知识的形成和发展着眼于学生的学习体验四．过程分析（一）情境导航、引入新课问题提出源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？ （二）构建概念、突破难点考察下列两个函数：(1) (2) 思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
3.2.2函数的奇偶性教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.随堂测试：通过随堂测试，能够检验学生们对函数奇偶性的掌握程度。大部分学生能够正确判断函数的奇偶性，但仍有部分学生在解释原因和应用上存在困难。
4.作业完成情况：学生们能够按时完成课后作业，大部分作业质量较好，能够正确判断函数的奇偶性。但仍有部分学生的作业存在错误，需要在今后加强指导。
b)偶函数
c)奇函数
d)非奇非偶函数
3.判断以下函数在x=0处的奇偶性：
a) f(x) = x^3
b) f(x) = x^2
c) f(x) = x
d) f(x) = 1
答案：
a)奇函数
b)偶函数
c)奇函数
d)偶函数
4.找出以下函数的奇偶性并解释原因：
a) f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1
b) f(x) = x^4 - 4x^2 + 5
c) f(x) = sin(x) - cos(x)
d) f(x) = e^x - 1
答案：
a)非奇非偶函数
b)偶函数
c)奇函数
d)非奇非偶函数
5.利用函数的奇偶性解决实际问题：
假设有一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，其发动机的功率P与速度v的关系为P(v) = 120v - 0.5v^2。
学情分析
本节课的授课对象为2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册的学生。这一阶段的学生在知识、能力和素质方面具有一定的基础。
1.知识方面：学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念和相关性质，如函数的定义、图像、单调性等。部分学生对函数的性质已经有了初步的了解，但仍有部分学生对这些概念的理解较为模糊。此外，学生还学习了初中阶段的数学知识，如代数、几何等，这为学习函数的奇偶性提供了基础。
《函数单调性与奇偶性的应用》教学课例
《函数单调性与奇偶性的应用》教学课例-中学数学论文《函数单调性与奇偶性的应用》教学课例浙江乐清柳市中学杨成蒙一、课题选定人教A版必修“1关于函数基本性质的学习”有两小节，“1.3.1单调性与最大（小）值”和“1.3.2奇偶性”。
二、课前分析（一）函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用。
其重点是函数单调性与奇偶性定义的理解（从形到数，从文字语言到符号语言），其难点是判断和证明函数的单调性、奇偶性。
（二）学生对于函数的单调性与奇偶性的定义有初步的认识，对于借助图象运用数形结合来研究函数的方法应该记忆犹新。
三、教学设计和课堂实录（一）知识回顾在本节课的开始笔者设计了下列知识内容：函数的单调性：对于函数定义域内某个区间上任意两个数x1、x2，当x1＜x2时若有f（x1）＜f（x2）则函数是该区间上的增函数，对于函数定义域内某个区间上任意两个数，当时若有则函数是该区间上的减函数，如果函数在某个区间是增函数或是减函数，则称函数在这一区间具有单调性，这一区间叫单调区间。
函数的奇偶性：对于函数定义域内的任意一个x，定义域关于原点对称，若,则是偶函数，若，则是奇函数。
这一部分设计意图是让学生回顾所学知识，为本节课学习做预热。
其中划线部分为填空。
在实际上课时笔者给出以上内容后，学生统一回答，并对下划线填空，基本达到预期效果。
（二）双基自测这一部分笔者设计了下列3个小练习，1.下列函数中，在（—∞，0）上为增函数的是（）在实际教学中笔者选取了两位学生分别回答上述问题，其中第一位回答了1,2两小题，学生答题速度较快、思路清晰、结论正确。
第二位学生回答了第三小题，笔者引导学生回顾判断奇偶性的方法，结合分类讨论的思想，由学生回答各个步骤，笔者在黑板板演，最终得出结论。
对于第三小题第二个函数奇偶性的判断，学生解答较慢，在引导学生回答过程中笔者直接给出了解题思路，没能由学生得出，这一部分没能完成课前预设。
“函数的奇偶性”教学设计
一、教学内容解析“奇偶性”是人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“教材”）第一册第三章“函数的概念与性质”中“函数的基本性质”第二节的内容.从单元整体来看，函数的奇偶性是继单调性后的又一重要性质，是函数概念与表示的进一步拓展与深化，是研究函数单调性的思想方法（代数运算、图象直观）的又一次实践应用，为研究函数的另一个整体性质——周期性提供活动经验，也是后续研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基础.教材在处理函数的奇偶性时，沿用处理函数单调性的方法，概括起来就是：具体函数—图象特征（对称性）—数量刻画—符号语言—抽象定义—奇偶性判定.在函数性质的教学中，用什么方式引导学生的数学思维活动，使学生在掌握知识的过程中学习数学思考方法，从学会思考走向学会学习，是教学的主要任务.教学中既要注意体现函数数学性质的一般思路，又要注意函数性质的特殊性——变化中的规律性和不变性；在方法上，要加强通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导和明示；要构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，归纳概括出用严格的数学语言精确刻画函数奇偶性的方法，从而提升学生的数学运算、直观想象等素养，锻炼学生的抽象思维.基于以上分析，本节课的教学重点为：函数奇偶性的概念及简单函数的奇偶性判断.二、教学目标设置本节课教学目标设置如下.（1）通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念和几何意义.（2）让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题.（3）让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.三、学生学情分析从学生的认知基础来看，学习本节课之前，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形的相关“函数的奇偶性”教学设计王志红摘要：本节课按照“具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—概念辨析”的函数性质研究思路展开，基于单元整体教学的问题情境，问题启动、自主探究帮助学生养成严密的逻辑表达习惯；直观演示、类比迁移帮助学生完成函数奇偶性概念的建构；任务驱动、合作交流帮助学生理解函数奇偶性的本质.关键词：整体设计；问题引导；直观想象；数学抽象；类比建构收稿日期：2020-12-24作者简介：王志红（1985—），男，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究.知识，对一次函数、二次函数、反比例函数的图象比较熟悉，有一定的函数储备.因此，学生很容易从函数图象来判断函数的对称性，即获得对函数的奇偶性的“图形表征”.加上前面学生已经了解了全称量词、充分条件和必要条件，并经历了研究函数单调性的方法的学习过程，会用符号语言表达函数的单调性，这些为学生学习本节课内容奠定了认知基础和方法基础.从能力发展分析，学生从函数的图形表征提炼数字特征，再抽象出符号语言有些困难，对用数学符号语言表达函数的性质的方法尚不熟练，概念形成的经验不足，自主探究和合作交流能力有待提高.因此，教学中必须从单元整体出发，引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识.本节课教学难点：如何从函数的图象特征中抽象出函数奇偶性的符号表达.四、教学策略分析通过前面函数单调性与最值概念的学习，学生已经初步学会了研究函数性质的“具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—概念辨析”方法，本节课将继续采用这种方法研究函数的奇偶性.在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，教师通过设置各种问题情境，引导学生在自主探究的数学活动中获得数学概念.整节课将以“图形特征—数量表征—符号抽象”为研究主线，先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得对函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化的特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域内的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇函数和偶函数的概念.在学法上，精心设置了层次清晰的问题串，采用“设问—探究—归纳—定论”层层递进的方式来突出重点和突破难点，由浅入深、循序渐进.培养学生的探究精神，着眼于知识的形成和发展过程，注重学生的学习过程体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的舞台.在教学手段上，为了加强学生对定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中对“任意”的理解可能遇到的障碍，教师利用几何画板软件动态研究，使学生能够更好地利用图形直观与数形结合的方法，感悟函数的奇偶性，顺利完成数学概念的建构.五、教学过程设计引导语：在上一节课中，我们用符号语言精确描述了函数的图象在定义域的某个区间“上升”（或“下降”）的性质，是函数的单调性，既有“形”的直观认识，又有“数”的定量分析.今天我们继续用同样的方法研究函数的其他性质.【设计意图】好的开始是成功的一半，教师的几句引言对本节课的学习起到提纲挈领的作用，也为学生的学习指明方向.1.画图操作，直观感知师：请同学们完成下列表格，并作出函数f()x=x2和函数f()x=2-||x的图象.xf()x=x2f()x=2-||x………-3-2-10123………学生作出函数f()x=x2和函数f()x=2-||x的图象，如图1和图2所示.|【设计意图】本环节让学生动手操作，经历列表、描点、连线画出函数图象的过程，“由数得形”唤醒函数的三种表示方法，从“形”的角度获得对函数图象的局部与整体的直观认识.问题1：观察函数f()x=x2和f()x=2-||x的图象，你能得出哪些结论？【设计意图】复习函数概念的三要素、图象、单调性和最值，有利于学生对本单元知识的整体建构和研究函数性质的基本方法的迁移.观察发现函数图象的共同特征，明确本节课的研究内容，为“以数解形”做准备.2.探究关系，刻画对称问题2：尝试改变函数f ()x =x 2和f ()x =2-||x 的定义域，仔细观察，函数图象的对称性有什么变化？预设：学生可能的探究情况如图3~图6所示，图象关于y 轴对称的有图3和图5，图4和图6的图象不具有对称性.图6追问1：原来的图象关于y 轴对称，现在发生什么变化而引起图象不关于y 轴对称呢？追问2：图象关于y 轴对称的函数的定义域有什么特征？追问3：定义域关于原点对称是图象关于y 轴对称的什么条件？总结：对于一般的函数y =f ()x ，定义域关于原点对称是函数图象关于y 轴对称的必要条件.【设计意图】从“形”的角度认识函数的对称性，通过观察和分析图形的特征，抓住变化中的不变性和规律性.学生自主探究，通过小组活动改变函数的定义域得到新函数，通过对比对称性的变化，发现：对于一般的函数y =f ()x ，定义域关于原点对称是函数图象关于y 轴对称的必要条件.同时，引导学生用数学符号描述定义域关于原点对称，即“∀x ∈I ，都有-x ∈I ”，第一次突破对“任意”的理解障碍，分解本节课偶函数概念建构的难点.3.归纳类比，构建概念体系问题3：以函数f ()x =x 2为例，能用数学符号语言描述“函数图象关于y 轴对称”这一特征吗？函数f ()x =2-||x 有类似的符号表达吗？问题4：你能给偶函数下个定义吗？问题5：你能再举出几个偶函数的例子吗？并说明理由.【设计意图】通过具体的例子引导学生计算，观察取值规律，从实例中归纳两者的“共性”特征.当自变量取一对相反数时，函数值相等，经历将图象的对称性转化为点的对称性，再将点的对称问题转化为点的坐标的数量关系，指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识到数学符号表示.教师在几何画板软件上演示在x 轴上任取一点Q ，当点Q 移动时，点Q 关于原点的对称点Q ′也在x 轴上移动.学生通过观察，将自变量由具体数值推广到定义域内“对任意的x 都有f ()-x =f ()x ”，突破对“任意”的认知障碍，得出偶函数的定义.通过启发式提问，实现学生从图形语言到文字语言再到符号语言认识函数的奇偶性，实现由“形”到“数”的转换，学生通过举例加深对偶函数概念的理解.问题6：类比偶函数概念的建构过程，思考并讨论以下问题.（1）函数f ()x =x 和函数f ()x =1x的图象有什么共同特征？（2）如何用数学符号语言表示函数图象的这个特征的呢？问题7：你能给奇函数下个定义吗？问题8：你能再举出几个奇函数的例子吗？并说明理由.【设计意图】类比偶函数概念的建构过程，放手让学生经历直观感知、抽象概括的过程，学生合作交流、自主建构奇函数的概念，让学生再一次领会在数形结合思想指导下研究函数性质的方法，加深对概念本质的理解，积累数学概念建构的基本活动经验.4.概念应用，深化理解例1判断下列函数的奇偶性.（1）f ()x =x 4；（2）f ()x =x 5；（3）f ()x =x +1x；（4）f ()x =1x2.【设计意图】师生共同分析f ()x =x 4的奇偶性.教师板书判断函数奇偶性的过程，学生自主完成剩下三个函数奇偶性的判断，并总结用定义法判断函数奇偶性的一般步骤.此过程教师示范引领，规范推理演绎，当堂检测形成教学反馈与评价.例2（1）判断函数f()x=x3+x的奇偶性.（2）图7是函数f()x=x3+x的图象的一部分，你能根据函数f()x的奇偶性，画出它在y轴左侧的图象吗？图7（3）一般地，如果知道函数y=f()x的奇偶性，那么我们怎样简化对它的研究？【设计意图】这是奇偶性的应用：巩固函数奇偶性的概念，再次熟练判断函数奇偶性的步骤；利用函数的奇偶性画函数的图象，学生的思维由“数”到“形”体现研究函数奇偶性的意义；研究函数奇偶性的目的是如果一个函数具有奇偶性，那么在研究这个函数时，只要研究x≥0()x≤0的情况就可以了，然后运用对称性把整个定义域内完整函数的性质研究清楚.5.回顾总结，提升能力（1）回顾本节课的研究过程，我们是怎样展开对函数奇偶性的研究的？（2）偶函数与奇函数有什么相同点和不同点？有什么方法可以判断函数的奇偶性？（3）根据函数的奇偶性，你如何简化分析它的单调性、最值呢？【设计意图】回顾研究过程，总结研究方法，感悟研究函数性质的一般方法，提升学生的思维品质和数学素养.对比、分析奇函数和偶函数的异同，比较过程中，需要从“数”和“形”两个方面对概念进行整体思考，即从定义域、定义、图象三个方面对比，能够反映学生对奇偶性概念的理解情况.促使学生深入思考函数奇偶性与函数单调性的关系，建立关于函数的整体认识，形成章节知识结构，使学生体会到在研究函数时利用函数的奇偶性能收到事半功倍的效果，进一步明确研究函数奇偶性的必要性.6.分层要求，达标检测必做题：（1）教材第85页练习第1题.【设计意图】让学生借助函数的奇偶性画函数的图象.（2）判断下列函数的奇偶性.①f()x=2x4+3x2；②f()x=x3-2x；③f()x=x2+x；④f()x=x3-x2x-1；⑤f()x=x2-1+1-x2.【设计意图】让学生熟练运用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，同时让学生认识到并不是所有的函数都具有奇偶性.（3）填空.①偶函数f()x=||x，x∈()-5，a，则a的值为.②函数f()x=x+b为奇函数，则b的值为.③二次函数f()x=ax2+bx+c为偶函数，则b的值为.【设计意图】加深学生对函数奇偶性概念的理解.选做题：已知函数f()x为定义在()-2，2上的奇函数.（1）求f()0的值；（2）若f()x在定义域上单调递增，且有f()2+a+ f()1-2a>0，求实数a的取值范围.【设计意图】分层布置作业，意在必做题保证本节课知识和方法的落实，选做题安排了函数的单调性和奇偶性相结合的题目，注重函数性质的综合应用，加深学生对函数性质的整体认知，让学有余力的学生得到更好的发展.参考文献：［1］宋秀云.恰当孕育合理生长提升素养：《函数的奇偶性》教学思考［J］.数学通报，2018，57（11）：43-46.［2］王洁.在深度学习中发展自主探究能力：以“函数的奇偶性”教学为例［J］.中国数学教育（高中版），2020（6）：7-11.［3］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.。
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.
新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
【导入新课】
1.通过对函数 、 、 及 的观察提出有关函数单调性的问题.
高中数学《函数的奇偶性》说课稿 新人教A版必修1
函数的奇偶性说课稿一、说教材1、说课内容：函数的奇偶性2、教材的编写意图：教材从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，层次分明，循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活中具有对称美的事物，进入数学领域观察、归纳，同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想，形成函数奇偶性概念。
3、教学目标〔1〕、从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性.〔2〕、在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.〔3〕、在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.4、教学重点函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断5、教学难点对函数奇偶性的概念的理解二、说教法根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
三、说学法根据学法指导自主性和差异性原那么，让学生在“观察一归纳一检验一应用〞的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
四、说程序设计：课堂教学是学生数学知识的获得、技能技巧的形成、智力、能力的发展以及思想品德的养成的主要途径。
为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了四个主要的教学程序是：〔一〕设疑导入观图激趣，。
〔二〕指导观察，形成概念。
〔三〕给出例题、加深理解。
〔四〕、学生探索、发展思维。
五、说课过程：〔一〕、设疑导入、观图激趣、。
1、让学生感受生活中的美：对称美学生举例，出示一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志〕〔通过让学生观察麦当劳的标志导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为新知作好铺垫。
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数奇偶性》教学设计(杨瑞)
《函数奇偶性》教学设计科目：数学教学对象：高一学生课时：第一课时提供者：杨瑞单位：开封市第二十五中学一、教学内容分析：奇偶性是既函数的单调性之后学生接触到的又一重要性质,在高考中占有重要的地位，也是高考中的热点，它常常会在和函数的单调性、周期性相结合的情况下出现在高考题中。
为了今后更加优化对本部分内容的教学，二、教学目标：1.了解函数的奇偶性及其含义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系；三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。
最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）四、教学策略选择与设计：多媒体辅助教学，合作探究的教学方法；五、教学重点及难点：教学重点：函数的奇偶性及其含义；教学难点：判断函数的奇偶性的方法；易混点：函数奇偶性与图象的对称性之间的关系。
六、教学过程：一、课堂引入“对称”是大自然的一种美，请大家欣赏一组图片，并判断图形是否具有对称性？四川曹家大院一景通过观察，同学们发现了这些图形有的关于一条直线对称，有的关于一个点对称，而这样的对称在数学中也有体现。
二、 新课探究观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x). 定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．雪铁龙 奔驰观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数且()(||)f x f x =奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.且f(0)=0注意：1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个先决条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论.若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 三、 巩固应用例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性例2．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数（2）32()1x x f x x -=-为非奇非偶函数（3）x x x f +=3)( 奇函数 常用结论：(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 四、知识小结• 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x 换成-x ，(x,-x 均在定义域内）xxx]2,1[,)(2-∈=x x x f x偶奇奇偶①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
高中数学《函数的单调性》教学设计 新人教A必修1
《函数的单调性》教学设计一、设计理念：1、重视数学概念、公式的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力2、重视学生的学习过程，在教学中注重培养学生独立思考、相互交流、合作探究的能力3、重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中要体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质二、设计思路：1、以函数的单调性的概念为主线，贯穿于整个教学过程中对函数单调性概念的深入而准确的认识往往是学生认知过程的难点。
因此在教学中突出对概念的分析一方面是为了分析函数单调性的定义，另一方面让学生掌握如何学会、弄懂一个概念的方法，也为今后对其他数学概念的学习有所帮助。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是教学中的又是一个难点。
使用单调性的定义证明具体函数的单调性是对单调性定义的深层理解，给出“作差、变形、定号”的具体步骤是非常必要的，一方面是有利于学生理解函数单调性的概念；另一方面有利于学生掌握证明方法、形成证明思路。
另外也为今后学习不等式证明中的作差法做一定的铺垫。
2、加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象、由特殊到一般的数学思维能力的培养始终贯穿于函数单调性概念教学过程中函数单调性的研究方法很具有典型性，体现了对函数研究的一般方法。
在函数单调性的教学中要引导学生逐步学会“直观感受---定性描述---定量刻画---具体应用”的探究方法，这样一方面为了便于对单调性概念有更好地理解，同时也为今后学习函数的其他概念和性质提供一定的参考方法。
3、在单调性概念的教学与研究中要体现出单调性是函数的一个局部性质函数的单调性是研究“当自变量不断增大时，函数值随着增大还是减小”，即函数图像的升降性，与函数奇偶性不同，函数的奇偶性是研究“当自变量的值互为相反数时，函数值是否也互为相反数”，即函数图像的对称性。
函数的单调性与函数的极值是函数的局部性质，与函数的奇偶性、最大（或小）值有着本质的区别，后者是函数的整体性质，在教学中要体现出函数的单调区间是函数定义域上的一个子集（区间），关注的是函数在这个子集上的增减性。
函数奇偶性教学设计
一、课题函数奇偶性二、教材普通高中课程标准实验教科书人教A版，数学必修1三、教学内容第一章1.3.2函数的奇偶性四、对“函数奇偶性”教学的基本认识就中小学生与奇偶性相关的经历而言，学生认识函数奇偶性可分为2个阶段：（1）形象描述阶段（初中阶段）：知道图像具有轴对称的性质，如“蝴蝶是左右对称的”，“埃菲尔铁塔是左右对称的”等；（2）抽象概括阶段（进入高中后）：已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解，能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括与操作，即教材中“函数奇偶性”的定义与运用。
“函数奇偶性”的教学，应根据思维“最近发展区”理论，以“概念同化”的形式进行教学。
“函数奇偶性”的教学通过学生较为熟悉的函数的图像入手，是数形结合的一个范例，发现函数奇偶性的过程，就是将函数图像翻译成函数奇偶性的解析表达的过程。
函数奇偶性教学处理成功的关键是让学生对函数图像的观察得到的结论用数学符号语言表达出来，该过程分成两个步骤：一是让学生经历多个函数图像对称性的观察，形成对函数奇偶性的本质特征认识；而是用形式化的数学语言概括出函数奇偶性的本质特征，回到解析定义上。
五、教学目标与重难点（一）教学目标： 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力。
（二）教学重难点：1． 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性；2. 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的。
六、教学过程设计（一）情境导航，引入概念（1）情境创设函数源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？①考察下列两个函数的图像：(1) (2) ②让学生思考这两个函数的图象有何共同特征？对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？③提出问题：偶函数的图像性质是什么？函数的定义域有什么特征？函数的解析式有什么特征？引导学生从数、形两方面来解释：对函数解析式来说，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等，即 f(-x)=f(x)；2()f x x =()||f x x =对函数图像来说，函数y=f(x)的图象关于y 轴对称。
人教版高中数学必修一《函数的单调性和奇偶性》教学设计
函数的单调性与奇偶性（教学设计）《函数的单调性与奇偶性》教材分析《函数的单调性与奇偶性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性与奇偶性的定义与判断及其证明。
在初中学习函数时，借助图像的y直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
《函数的单调性与奇偶性》课标分析在初中学习函数时，借助图像的y直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
函数的单调性教学设计
《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析本节内容是人教A版必修一教材第一章第三节内容，是一节概念性知识，属于函数的基本性质．本节内容是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分的运用，另一方面，函数的单调性与前一节函数的概念和图像的知识的延续有着密切的联系，函数的单调性与后面的奇偶性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等其他函数的基础．学生在观察函数图像时，首先注意到的是图像的上升或下降，但是由图像直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以论证．教学中充分利用函数图像，让学生观察图像获得函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合思想，也为下一步学习函数其他性质提供了方法依据．由此确定本节课的教学重点为：重点：函数单调性的概念及判断．研究函数性质时的“三步曲”是：第一步，观察图像，描述函数图像特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质．本节课特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程，并引导学生用数学语言表达出来，正是形成数学概念，培养学生探究能力的契机．由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，教学中充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．二、教学目标设置根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标：知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．三、学生学情分析本节课的教学对象是长春市实验中学高一年级的学生．1.学生已有认知基础一是学生通过初中的数学学习，已有研究一次函数、二次函数等初等函数的直接经验，对函数的简单性质有初步的认识；二是前一节已经学习过函数的概念，对函数的图像也有一定的感性认知；三是能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力．2.达成目标所需要的认知基础学生需要对研究目标、方法和途径有初步认识，具备知识整合和主动迁移的能力，从形的直观认识、感性认知到形成抽象的数学概念，具有数形结合的意识和归纳推理的能力．3.难点及突破策略对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．由此确定的难点及突破策略为：难点：（1）函数单调性概念的形成；（2）理解自变量在区间[a，b]上的“任意”取值的意义．突破策略：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．（3）教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程．四、教学策略分析根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——函数单调性的判断和证明，教学中采用直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的教学过程，先通过讨论具体函数图像的上升或下降直观描述发现问题，再把具体的、直观形象的单调性特征抽象出来，用数学符号语言描述．本节课的难点之一是单调性概念的得出．教学中采用教师启发引导，学生自主、合作、探究的教学方法，以及多媒体直观教学的恰当应用，使学生从感性认识上升到理性认识，从“形”的直观到“数”的推理，从“无限”验证转化为“有限”证明，使学生对单调性概念的理解水到渠成，逐层深入，步步升华．本节课的另一个难点是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的实数21x x ，．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生通过对图像的观察、分析，自主形成认识；二是通过小组研讨的方式让学生进行合作探究，加深对概念中“任意”含义的理解．五、教学过程设计【教学过程】一、创设情境，明确目标生活中的实例：情境一：我市某日24小时内的气温变化图．情境二：艾宾浩斯记忆遗忘曲线这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持两逐渐减小，第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢，这一规律提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆．生活中很多与数据相关的问题：比如燃油价格， 股票行情，水位高低等等，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助．而这些数据的变化，用函数的观点看，其实就是随着自变量变化时，函数值的变化规律．【学生活动】感受生活中的数学，体会了解函数的变化规律有助于把握事物的变化规律．【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．二、自主学习，启发引导概念生成——“形”的直观感知问题：函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律．在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质．观察下图中各个函数的图像，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？【学生活动】从个人观察的角度，描述图像反映的函数的变化规律．【教师活动】肯定学生多角度发现函数变化规律，并纠正学生语言表述的准确性．提出函数的性质有很多，引出本节课要研究的是随着自变量不断增大，函数值是增大还是减小这个特征．【学生活动】观察函数2+=x y ，2+-=x y ，2x y =，x y 1=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？【教师活动】引导学生读图分析，直观感知单调性这一性质．【设计意图】函数的变化规律反映了函数的性质，研究函数的变化规律使我们更能够把握相应事物的变化规律，引出研究函数性质的实际意义．培养学生读图和分析总结规律的能力．函数单调性的描述性．．．理解：设函数的定义域为I ，区间I D ⊆，在区间D 上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D 上是增函数，区间D 称为函数的单调增区间；在区间D 上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D 上是减函数，区间D 称为函数的单调减区间．【学生活动】学生完成对函数单调性的直观认识．．．．．完成教材29页例1: 定义在区间[]5,5-上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．【教师活动】引导学生理解函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．并提出图像解决问题不够精确严谨，还要有数量上的准确刻画．【设计意图】从“形”的角度直观理解函数单调性的意义，并铺垫单调性是一个区间概念．三、合作探究，互助研讨● 概念生成——“数”的抽象刻画探究一：根据函数的定义，对于自变量x 的每一个确定的值，变量y 有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调递增（或单调递减）时，相应的，自变量的值．．．．．与对应的函数值．．．．．．的变化规律．．．．是怎样的？（几何画板演示） 【设计意图】从“形”到“数”的转化，从图像的直观认识，到变量的数值增减理解，形象的“上升”和“下降”的规律对应到函数在变量值上的变化规律．● 概念生成——单调性的严格定义探究二：函数)(x f 在区间),(b a 上有无数个自变量x ，满足当b x x a <<<<Λ21时，有)()()()(21b f x f x f a f <<<<Λ，那么)(x f 在区间),(b a 上一定单调递增吗？说明理由（可举例或画图）【设计意图】自变量不能被穷举的情况下，引导学生在给定区间内任意取两个自变量1x ，2x ，体会无限向有限的转化思想．探究三：如何从解析式的角度说明2)(x x f =在[)+∞,0为增函数？ 【设计意图】通过讨论，学生发现结合解析式进行严密化、精确化的研究的方法．在区间[)0,+∞上，任取两个12,x x ,得到221122(),()f x x f x x ==,当12x x <时，有12()()f x f x <则说明函数2()f x x =在[)0,+∞为增函数． 【学生活动】通过先自主再合作，小组互助研讨解决探究问题，并展示自己的观点．【教师活动】提出问题，放手学生解决，巡视、适当点拨．【设计意图】从“数”的角度深入严谨理解函数单调性的意义，培养学生思考的习惯和探究问题的能力，通过合作学习互促提升，突破难点．通过上述探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．板书定义: 一般地，设函数)(x f 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x ，,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x x ，,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数．判断与证明单调性判断以下说法是否正确？（1）已知x x f 1)(=，由于)1()2(f f <-，所以函数)(x f 是增函数 （2）若函数)(x f 满足)2()1(f f <，则函数)(x f 在区间]2,1[上是增函数．（3）若函数)(x f 在区间(]2,1和)3,2(上均为增函数，则函数)(x f 在区间(1,3)上为增函数．（4）因为函数x x f 1)(=在区间)0,(-∞和),0(+∞上都是减函数，所以x x f 1)(=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数.【学生活动】先自主思考，再小组交流，得出结论．【教师活动】纠正学生语言的准确性，给出合理评价．【设计意图】1.从特殊到一般，从“形”到“数”，从直观到抽象，提升理解的高度和严谨性，加深理解单调性的严格定义，并培养学生类比、归纳的能力．2.通过概念辨析，强调（1）单调性是对定义域内某个区间而言的，因此谈单调性离不开区间；（2）定义中的“任意”是关键；（3）函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在B A ⋃上是增（或减）函数．四、精心点拨，启发引导1.例题：物理学中的玻意耳定律V k p =（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明之．2.巩固练习：画出反比例函数xx f 1)(=的图象. （1）这个函数的定义域I 是什么？（2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论.【学生活动】自主完成，展示过程．【教师活动】引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、比较、变形、定号、结论． 投影学生证明过程，进行点拨和要点强调．【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．五、归纳小结，整理提高学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、感性到理性、无限到有限．(2) 证明方法和步骤：取值、比较、变形、定号、结论．(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本第39页 习题1.3 A 组第1、2、3题． 课后探究：研究函数xx y 1+=的单调性，并证明你的结论． 板书设计：教学反思：一．对于函数的单调性概念的认识函数的单调性是函数的基本性质之一，它是学习了函数的概念和表示法之后第一个基本性质，因此它不仅是性质的基础更是探索方法的引领，因此本节课对概念的理解分为三个层次：“形”的直观感知“数”的抽象刻画单调性的严格定义．二．对于函数单调性的判断方法的处理函数的单调性的判断可分为“形”法和“数”法，“形”法可以帮助我们直观的感知增减进而进行粗略的判断，但需强调若是数学严谨证明，仍要用定义，也就是“数”法去完成的，并且应注意用定义证明的严谨的步骤．三．对于培养学生思维习惯的考虑在学生自主探索的过程中，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化的观点、数形结合的思想和分类讨论的方法去分析和处理问题，转化的思想也得到了充分的体现．学生不仅学到了数学知识，也初步体验了研究问题的基本方法．。
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1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计【教学目标】1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.【导入新课】1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、xy 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.新授课阶段一、函数的单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；减函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.例1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，及在每一单调区间上，)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[)[)[,1,1,2,2,5---其中)(x f y =在区间[)2,5-，[)3,1[)[]5,3,1,2-上是增函数.注意：1.单调区间的书写2．各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x ，03)(3)23()23()()(212121<∆=-=+-+=-=∆x x x x x x f x f y .所以，23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 证明：设21,x x 是),0(+∞上的任意两个实数，且21x x <，则021<-=∆x x x 2112212111)()(x x x x x x x f x f y -=-=-=∆. 由),0(,21+∞∈x x ，得021>x x ，且012>∆-=-x x x .于是0>∆y . 所以，xx f 1)(=在),0(+∞上是减函数. 利用定义证明函数单调性的步骤：（1） 取值；（2） 计算x ∆、y ∆；（3） 对比符号；（4） 结论.二、奇函数、偶函数的概念：1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称.例4 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【提示】①不对，如函数21()f x x=是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答案为A.（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 【提示】由2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0.又定义域为［1,2a a -］，∴(1)20a a -+=，∴31=a ．故答案为A. 例5 判断下列函数的奇偶性：（1）()(f x x =-(2)()f x ； （3）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（4）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩. 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数. (2)222101110x x x x ⎧-≥⎪⇒=⇒=±⎨-≥⎪⎩，∴()0f x =∴()f x 既是奇函数又是偶函数. （3）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-U ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x =， ∴()f x 为偶函数. （4）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数.例 6 若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式：2(2)(4)0f a f a -+-<.解：由已知得2(2)(4)f a f a -<--，因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是2(2)(4)f a f a -<-.又()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，从而223224121132141a a a a a a a a a ⎧⎧-<<-<-⎪⎪-<-<⇒<<⇒<⎨⎨⎪⎪-<-<<<⎩⎩， 即不等式的解集是2).例7 已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3f =-. （1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 在R 上是减函数；（3）求()f x 在[3-，6]上的最大值与最小值.（1）证明：令0x y ==，可得 (0)(0)(00)(0)f f f f +=+=，从而，f(0) = 0.令y x =-，可得 ()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. （2）证明：设12,x x ∈R ，且12x x >，则120x x ->，于是12()0f x x -<．从而121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-<.所以，()f x 为减函数.（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f -，最小值为(6)f .(3)(3)[(2)(1)][2(1)(1)]3(1) 2.f f f f f f f -=-=-+=-+=-=，(6)(6)[(3)(3)]4f f f f =--=--+-=-.于是，()f x 在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4. 课堂小结1. 单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.2. 求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.3. 判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.作业见同步练习部分拓展提升1.下列四个函数：①1x y x =-; ②2y x x =+； ③2(1)y x =-+; ④21x y x =+-，其中在(-,0)∞ 上为减函数的是（ ）（A ）① （B ）④ （C ）①、④ （D ）①、②、④2.函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定3. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范围为( )A.m>0B.30<m<2C.-1<m<3D.1322m -<< 4．下列命题中，真命题是（ ）A ．函数1y x=是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数30(1)y x x =-是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数2y x =是偶函数，且在（-3，0）上为减函数D ．函数2(0)y ax c ac =+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数5．若)(x ϕ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－36()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a < 7．函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <8．已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-9．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++10．根据函数单调性的定义，证明函数在 上是减函数．11.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ； （3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围.参考答案1. A2. D3.B4.C 【提示】A 中，1y x=在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a <时，2(0)y ax c ac =+≠在（0，2）上为减函数，答案为C.5.C 【提示】)(x ϕ、()g x 为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数.又()f x 有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3.∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．答案为C.6.D【提示】2a-1<0时该函数是R上的减函数.7. A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象.8.D【提示】0a b+≤可转化为a b≤-和b a≤-在利用函数单调性可得.9.解：(1)2221(0)21(0)x x xyx x x⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩即22(1)2(0)(1)2(0)x xyx x⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和.（2）当2230,13x x x-++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x=-++=--+当2230,13x x x x-++<<->得或，函数2223(1)4y x x x=--=--，即22(1)4(13)(1)4(13)x xyx x x⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或.如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和.(1) (2)10.证明：设1212,x x R x x∈<且，则33221221212121()()()(),f x f x x x x x x x x x-=-=-++ 12x x<因为，21x x->所以，且在1x与2x中至少有一个不为0，不妨设2x≠，那么222222121123()24xx x x x x x++=++>，12()()f x f x>所以，故()f x在(,)-∞+∞上为减函数.11.解：(1)取m=0，n=12则11(0)()(0)22f f f+=⋅，因为1()02f>所以(0)1f=. (2)设0x<则0x->，由条件可知()0f x->，又因为1(0)()()()0f f x x f x f x==-=⋅->，所以()0f x>.∴Rx∈时，恒有0)(>xf.（3）设12x x <则121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x --.因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x -->，又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x -->，所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数.(4)因为()(2)1f x f x ⋅->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ⋅-=->，所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或.。