北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章核心素养评价卷

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九年级下册数学第一章测试题(北师大版)

九年级下册数学第一章测试题（北师大版）学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。

因此，精品编辑老师为大家整理了九年级下册数学第一章测试题，供大家参考。

填空题(每小题3分，共24分)11.(2021山东东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米.12.(2021陕西中考)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则A的度数约为________.(用科学计算器计算，结果精确到0.1)13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60，那么塔高约为 _________ m.(小兰身高忽略不计， )14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ .15.如图，已知Rt△ 中，斜边上的高，，则 ________.16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 _ .17. (2021江西中考)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD=15 cm，CBD=40，则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 200.342，cos 200.940，sin 400.643，cos 400.766，结果精确到0.1 cm，可用科学计算器).第17题图18.如图，在四边形中，，，，，则 __________.解答题(共66分)19.(8分)计算下列各题：(1) ;(2) .20.(7分)在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点看大树顶端C 的仰角为35(2)在点A和大树之间选择一点B(A，B，D在同一直线上)，测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45(3)量出A，B两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精确到0.1 m) 21.(7分)每年的5月15日是世界助残日.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡? (参考数据： )22.(8分)如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该建筑物的高度.(取 1.732，结果精确到1 m)23.(8分)已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45，沿着坡度为30的斜坡前进400米到D处(即，米)，测得A的仰角为，求山的高度AB.24.(8分)一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少?25.(10分)如图，已知在Rt△ABC中，ACB=90，CD是斜边AB 上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD= ，求BE的值.26.(10分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100( +1)海里，船C在船A的北偏东60方向上，船C在船B 的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上.(1)分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号).(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险?(参考数据： 1.41， 1.73)参考答案填空题11.10 解析：如图，过点A作ACBC,则AC= 8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB= = = =10(米).12. 27.8 解析：根据正切的定义可知 ,然后使用计算器求出的度数约为27.8.13.43.3 解析：因为，所以所以所以 ).14.15或75 解析：如图， .在图①中，，所以 ;在图②中，，所以 .15. 解析：在Rt△ 中，∵ ， sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ，sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ， .16. 解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .17. 14.1 解析：如图，过点B作BECD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的三线合一性质，得CBE= CBD=20.在Rt△BCE中，cosCBE= ， BE=BCcosCBE150.940=14.1(cm). 第17题答图18. 解析：如图，延长、交于点，三、解答题19.解：(1)(2)20.解：∵ 90 45，则 m，∵ 35，tan tan 35 .整理，得 10.5.故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设，则由题意可知， m.在Rt△AEC中，tanCAE= ，即tan 30= ，，即3x (x+100)，解得x 50+50 .经检验， 50+50 是原方程的解.故该建筑物的高度约为23.解:如图，过点D分别作于点，于点，在Rt△ 中，，米，所以 (米)，(米).在Rt△ADE中，ADE=60，设米，则 (米).在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，在Rt△ACB中，，，即，，米.24.解：由原题左图可知：BEDC， m， .在Rt△BEC中， (m).由勾股定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积=梯形的面积.解得 =80(m).改造后坡面的坡度 .25.分析：(1)根据已知条件得出DCB=CAE，可以在Rt△ACH 中求出sin B的值.(2)通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE 的长，利用BE=BC-CE得到答案.解：(1)∵ CD是斜边AB上的中线，CD=BD, DCB.∵ ACB=90，AECD，DCB=CAE, DCB=CAE.∵ AH=2CH，sin B=sinCAE= = = .(2)∵ CD= ， AB=2 .BC=2 cos B=4，AC=2 sin B=2,CE=ACtanCAE=1,BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：(1)过点C作CEAB于点E，构造直角三角形.设AE=a 海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DFAC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.解：(1)如图，过点C作CEAB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a(海里).在Rt△ACE中，AEC=90EAC=60，AC= = =2a(海里)，CE=AEtan 60= a(海里).在Rt△BCE中，BE=CE，100( +1)-a= a， a=100(海里).AC=2a=200(海里).在△ACD和△ABC中，ACB=180-45-60=75ADC,CAD=BAC，△ACD∽△ABC， = ,即 = .AD=200( -1)(海里).答：A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.(2)如图，过点D作DFAC于点F.在Rt△ADF中，DAF=60，DF=ADsin 60=200( -1) =100(3- )127100.船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.点拨：(1)解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解;(2)已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.希望为大家提供的九年级下册数学第一章测试题的内容，能够对大家有用，更多相关内容，请及时关注!。

《初中数学北师大版九年级下学期_第一章_单元测试卷》详细答案与试题解析

《初中数学北师大版九年级下学期第一章单元测试卷》一、单选题（共10题；共40分）1. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠B＝40∘，AB＝10，则直角边BC的长是（）A.10sin40∘B.10cos40∘C.10tan40∘D.10sin402. 若∠A是锐角，且sin A=14，则（）A.0º<∠A<30ºB.30º<∠A<45ºC.45º<∠A<60ºD.60º<∠A<90º3. 如果a是锐角，且cos a=45，那么sin a的值是（）A.9 25B.45C.35D.16254. 如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为( )A.1 2B.√55C.2D.2√555. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=5，AC=12，则sin B的值是（）A.5 12B.125C.135D.12136. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(3,1)，则tanα的值是().A.√1010B.√10 C.13D.37. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（）A.1 3B.3C.√24D.√10108. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，如果AC＝2，cos A=34，那么AB的长是（）A.5 2B.83C.103D.23√79. 某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米它的坡度i=1:√3.在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为（）米(sin37∘=0.60,cos37∘=0.80,tan37∘=0.75,√3=1.73)A.39.3B.37.8C.33.3D.25.710. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos x.D.a cos x+b sin x二、填空题（共6题；共24分）=________．已知∠A是锐角，且tan A=√3，则sin A2如图，当小明沿坡度i＝1:√3的坡面由A到B行走了6米时，他实际上升的高度BC＝________米．如果α是锐角，且sinα＝cos20∘，那么α＝________度．若sinα=√2cos60∘，则锐角α＝________．某人从地面沿着坡度为i＝1:√3的山坡走了100米，这时他离地面的高度是________米．，∠C=∠D，则如图，在四边形ABCD中，AB=√29，AD=7，BC=8，tan∠B=52线段CD的长为________．三、计算题（共2题；共12分）计算：2cos30∘+4sin30∘−tan60∘.+√8cos45∘+√(1−tan60∘)2．计算：3tan30∘−1cos60∘四、解答题（共5题；共44分）我们把底角为51∘的等腰三角形称为最稳定三角形．如图，已知△ABC是最稳定三角形，AB=AC，BC=232.8m．求BC边上的高AD的长．(sin51∘≈0.8，cos51∘≈0.6，tan51∘≈1.2，精确到1m)，AC＝6√3，求AB的长．如图，在△ABC中，∠A＝30∘，tan B=34周末，小强在文化广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为58∘，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米．请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60）如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，CD=12，tan A=4，求5sin C的值．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45∘，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30∘．求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）.参考答案与试题解析《初中数学北师大版九年级下学期第一章单元测试卷》一、单选题（共10题；共40分） 1.【答案】 B【考点】解直角三角形【解析】根据余弦的定义求解．【解答】在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘， cos B =BC AB，BC ＝10cos 40∘． 2.【答案】 A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据题意，由30∘的正弦值，判断得到|∠A 的度数范围即可．【解答】解：∵ sin 30∘=12又∵ 0<14<12:0∘<∠A <30∘ 故答案为：A ． 3.【答案】 C【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据题意，由cos a 的值，计算得到答案即可．【解答】解∵ sin 2a +cos 2a =1 ∵ 5ln a =√1−cos 2a=√1−(45)2=35故答案为：C ．4. 【答案】D【考点】锐角三角函数的定义勾股定理【解析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．【解答】解：过B点作BD⊥AC于D，如图，由勾股定理得AB=√12+32=√10，AD=√22+22=2√2，cos A=ADAB =√2√10=2√55.故选D.5.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】由勾股定理先求斜边，再由正弦定义可求．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理|AB=√BC2+AC2=√52+122=13inB=ACAB =1213故答案为：D．6.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】将点(3,1)设为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，然后利用正切的定义即可求出答案．【解答】将点(3,1)设为点C，过点C作CD⊥x轴于点D，C(3,1)OD=3,CD=1tanα=CD OD=13故答案为：C．7.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据余切函数的定义即可求解．【解答】∵在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，∴cot A=ba =13．8.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据cos A=ACAB =34，求出AB即可．【解答】在Rt△ABC中，∵∠C＝90∘，AC＝2，又∵cos A=ACAB =34，∴AB=83，9.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】延长AB交直线DC于点F，过点E作I5H⊥AF，垂足为点H，在RtttCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角4AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【解答】解：延长AB交直线DC于点F,过点E作EH⊥AF，垂足为点H．：在RtBC中，BFCF=1:√3∴设BF=k，则CF=√3k,BC=2k.又．BC=12k=6.BF=6,CF=6√3DF=DC+CFDF=40+6√3：在RtAEH中，tan∠AEH=AHEHAH=tan37∘×(40+6√3)≈37.785（米），⋅8H=BF−FHBH=6−1.5=4.5AB=AH−HBAB=37.785−4.5≈33.3.3.故答案为：C．10.【答案】D【考点】解直角三角形的应用【解析】作4G⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得．∠ABH=90∘AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt=ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cos x=ABAH得AH=a COSx 根据锐角三角函数正切定义tan x=BHAB得BH=a+ax，从而可得CH长，在Rt=CGH中，根据锐角三角函数正弦定义sin x=GHCH得GH=bsinxa tan x sin x，由AG=AH+HG计算即可得出答案【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，：四边形ABCD为矩形，AD=b∠ABH=90∘AD=BC=bOB⊥OC∠O=90∘又…∠HGG+∠GHC=90∘∠AB+∠BAH=90∘∠GHC=∠ABB∠BCO=x ∠HCG=∠BAH=x在Rt=ABH中，∵cos∠BAH=cos x=ABAHAB=a∴ AH=a COSx⋅tan∠BAH=tan x=BHBH=a+anxCH=BC−BH=b−a+anx在R t tGGH2中，∵ 5∠HGG=sin x=GH CH(b−−a+−a+am⋅sin x=b sinsin x−axxAG=AH+HG=acos x+b sin x−a tan x sin xa cos x +b sin x−a sin2xcos x=b sin x+a cos x.故答案为：D．二、填空题（共6题；共24分）【答案】12【考点】特殊角的三角函数值【解析】先根据tan A=√3，求出∠A的度数，然后代入求解．【解答】解：∵tan A=√3，∴∠A=60∘，∴sin A2=sin30∘=12．故答案为：12．【答案】3【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡度的概念求出∠A，根据直角三角形的性质解答．【解答】∵i＝1:√3，∴tan A=√3=√33，∴∠A＝30∘，∴BC=12AB＝3（米），【答案】70【考点】互余两角三角函数的关系【解析】直接利用sin A＝cos(90∘−∠A)，进而得出答案．【解答】∵sinα＝cos20∘，∴α＝90∘−20∘＝70∘．【答案】45∘【考点】特殊角的三角函数值【解析】根据30∘，45∘，60∘角的三角函数值解答即可．【解答】∵sinα=√2cos60∘=√2×12=√22，∴α＝45∘．【答案】50【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】∵坡度为i＝1:√3，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为√3x．∵x2+(√3x)2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【答案】6√2613【考点】解直角三角形【解析】如图，作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE=AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N．构造等腰梯形，把等腰梯形分成两个全等三角形一个矩形解决问题即可．【解答】如图，作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE=AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N．∵∠ADC=∠ECD，DA=CE，∴四边形ADCE是等腰梯形，则△ADM≅△ECN，可得AM=EN，四边形MNCD是矩形，可得CD=MN，在Rt△ABH中，∵tan B=52，AB=√29，∴AH=5，BH=2，∵BC=8，EC=AD=7，∴BE=8−7=1，∴EH=BH−BE=1，在Rt△AEH中，AE=√AH2+EH2=√26，∵△ECN∽△EAH，∴ENEH =ECAE，∴EN=7√2626，∴AM=EN=7√2626，∴CD=MN=AE−AM−EN=6√2613，三、计算题（共2题；共12分）【答案】解：2cos30∘+4sin30∘−tan60∘=2×√32+4×12−√3=2.【考点】特殊角的三角函数值【解析】代入特殊角的三角函数直接求解即可. 【解答】解：2cos30∘+4sin30∘−tan60∘=2×√32+4×12−√3=2. 【答案】解：原式=3×√33−112+√8×√22+√(1−√3)2=√3−2+2+√3−1=2√3−1．【考点】特殊角的三角函数值【解析】将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可．【解答】此题暂无解答四、解答题（共5题；共44分）【答案】高AD的长是140米．【考点】锐角三角函数的定义解直角三角形特殊角的三角函数值等腰三角形的性质：三线合一【解析】此题暂无解析【解答】根据最稳定三角形得出∠B=∠C=51∘，且AB=AC，再利用三线合一得出BD，最后利用三角函数求出AD.解：∵△ABC是最稳定三角形，∴∠B=∠C=51∘，且AB=AC，∵AD BC，∴BD=BC=116.4m，∴AD=116.4×tan51∘=139.68≈140m，∴BC边上的高AD的长是140米．【答案】如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30∘，∴CD＝AC⋅sin30∘＝3√3，AD＝AC×cos30∘＝9，在Rt△CDB中，∵tan B=34∴CDBD =34∴BD＝4√3，∴AB＝AD+DB＝9+4√3．【考点】解直角三角形【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30∘，tan B=34，AC＝6√3可求出AD与BD的长度．【解答】如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30∘，∴CD＝AC⋅sin30∘＝3√3，AD＝AC×cos30∘＝9，在Rt△CDB中，∵tan B=34∴CDBD =34∴BD＝4√3，∴AB＝AD+DB＝9+4√3．【答案】风筝离地面的高度约为10.1m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意画出图形，根据sin58∘=CEBC可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作地面的垂线CD，垂足为D，过点B作BE⊥CD于E．在Rt△CEB中，∵sin∠CBE=CEBC，∴CE=BC⋅sin58∘=10×0.85≈8.5m，∴CD=CE+ED=8.5+1.55=10.05≈10.1m，【答案】解：∵∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，tan A=45，tan A=BDAD，∴BD=4.8．∵CD=12，∴sin C=BDCD =4.812=25．【考点】解直角三角形【解析】根据∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，CD=12，tan A=45，可以求得BD的长，从而可以求得sin C的值．【解答】解：∵∠ADB=∠DBC=90∘，AD=6，tan A=45，tan A=BDAD，∴BD=4.8．∵CD=12，∴sin C=BDCD =4.812=25．【答案】27.3m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题勾股定理解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】先根据题意得出：∠BAD2CD的度数及;AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用锐角三角函数的定义可得出BD的长．【解答】解：根据题意可知：∠BAD=45∘,∠BCD=30∘,AC=20m在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45∘，得AB=BD在F加BDC中，由|tan∠BCD=BDBC，得BC=√3BD又BC⋅AB=AC,√3BD−BD=20，∴BD=√3−1≈27.3(n)答：该古塔BD的高度273m。

北师大版九年级数学下册第一章测试题(附答案)

北师大版九年级数学下册第一章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为( )A. 5sin AB. 5cos AC.D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. B. C. D.3.正方形网格中，如图放置，则的值为（）A. B. C. D. 24.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，下列判断正确的是（）A. ∠A=90°B. ∠A=45°C. cotA=D. tanA=5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（）A. B. 3 C. D.6.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.7.先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. 5cosαB.C. 5sinαD.8.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30，看这栋高楼底部C的俯角为60，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）A. 40mB. 80mC. 120mD. 160m9.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A. B. C. D.10.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO 为，则树OA的高度为（）A. 米B. 25 米C. 25 米D. 25 米11.已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（）A. B. C. D.12.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共16分）13.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是________ m．14.tan30°=________．15.如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是________米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）16.计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°=________．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是________．18.用科学计算器计算：8+sin56°≈________ ．（精确到0.01）19.某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得蒲宁之珠最高点C的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB=62m，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD约为 ________m．（sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数）20.在△ABC中，sinA= ，AB=8，BC=6，则AC=________．三、解答题（共4题；共20分）21.如图所示,在△ABC中,AB=1,AC= ,sin B= ,求BC的长.22.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）23.“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）24.如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．四、综合题（共4题；共40分）25.重庆大坪时代天街已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，时代天街从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图．已知自动扶梯AC的坡度为i=1：2.4，AC=13m，BE是二楼楼顶，EF∥MN，B是EF上处在自动扶梯顶端C正上方的一点，且BC⊥EF，在自动扶梯底端A处测得B点仰角为42°．（sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）（1）求二楼的层高BC约为多少米；（2）为了吸引顾客，开发商想在P处放置一个高10m的《疯狂动物城》的装饰雕像，并要求雕像最高点与二楼顶层要留出2m距离好放置灯具，请问这个雕像能放得下吗？如果不能，请说明理由．26.共享单车被誉为“新四大发明”之一，如图1所示是某公司2017年向信阳市场提供一种共享自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，AC⊥CD，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°=0.9659，cos75°=0.2588，tan75°=3.7321）27.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）28.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm．（1）当PA=45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）答案一、单选题1. C2. A3.A4.D5.D6.B7. B8.D9.A 10.C 11. A 12.D二、填空题13.135 14.15.12 16.1 17.18.9.44 19.189 20.三、解答题21.解:过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=1,sin B= ,∴AD=AB·sinB=1× =,DB= = = ,CD= = = .∴BC=CD+BD= + = .22.解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE=x，由题意得，EF=BE﹣CD=56﹣27=29m，AF=AE+EF=（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF=36°52′，AF=（x+29）m，则CF= ≈ = x+ ，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=x+56，则BD=AB=x+56，∵CF=BD，∴x+56= x+ ，解得：x=52，答：该铁塔的高AE为52米．23.解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，在Rt△ADC中，tan36°= ，∴AD= ，在Rt△BCD中，tan∠B= ，BD= ，∴+ =20，解得x=8.179≈8.2m．答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．24.解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，在Rt△ACH中，tan∠CAH= ，∴CH=AH•tan∠CAH，∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6× =2 ，∵DH=1.5，∴CD=2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED= ，∴CE= =4+ ≈5.7（米），答：拉线CE的长约为5.7米四、综合题25.（1）解：如图所示：延长BC交MN于H ∵BC⊥EF，EF∥MN，∴BH⊥MN，∵i=1：2.4=5：12=CH：AH，∴设CH=5k，则AH=12k在Rt△ACH中，由勾股定理AC= =13k，∵AC=13m，∴k=1，∴CH=5m，AH=12m，设BC=x，在Rt△ACH中，tan∠BAH= ，∴tan42°= ，x≈5.8 m，答：二楼层高约为5.8 m；（2）解：由题得，大厅层高为BH=BC+CH=5.8+5=10.8（m），而10+2=12m＞10.8m，∴雕像放不下．26.（1）解：∵AC⊥CD，AC=45cm，CD=60cm，∴AD= （cm），即车架档AD的长是75cm（2）解：作EF⊥AB于点F，如图所示，∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，∴EF=AE•sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，即车座点E到车架档AB的距离是63cm27.（1）解：在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE= DC=2米（2）解：过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC= = = = 米，BD= BF= x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2= +16，解得：x=4+4 ，则AB=（6+4 ）米．28.（1）解：当PA=45cm时，连结PO．∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm．∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36cm，PC= =27cm（2）解：当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO= AO=12，∴DE=DO•sin60°=6 ，EO= DO=6，∴FC=DE=6 ，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．在Rt△PDF 中，∵∠PDF=30°，∴PF=DF•tan30°=42× =14 ，∴PC=PF+FC=14+6 =20 ≈34.68＞27，∴点P在直线PC上的位置上升了。

北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案

北师大版九年级数学下册第一章测试题及答案(考试时间：120分钟满分：120分)分数：____________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)1．计算 2 sin 45°的值等于(C)A． 2 B．22C．1 D．122．某斜坡的长为100 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则这个斜坡的坡度为(C)A．30°B．60°C．33D．123．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若sin A＝513，则cos A的值是(D)A．512B．813C．23D．12134．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测量日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5˚，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为(B)A.asin 26.5˚ B．atan 26.5˚C．acos 26.5˚ D．acos 26.5˚5．如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF ∶BC ＝1∶2，连接DF ，EC.若AB ＝5，AD ＝8，sin B ＝45 ，则DF 的长等于 ( C ) A ．10 B ．15 C ．17 D ．2 5第5题图6．如图，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，cos A ＝45 ，则下列结论中：①DE ＝3 cm ；②EB ＝1 cm ；③S 菱形ABCD ＝15 cm 2.正确的个数为 ( D ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第6题图二、填空题(本大题共6小题，每小题 3分，共18分) 7. 已知α为锐角，且sin (α＋10°)＝32 ，则α等于__50__度．8．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图的形状，那么折痕PQ 的长是3__cm.9．如图，已知点C 处有一个高空探测气球，从点C 处测得水平地面上A ，B 两点的俯角分别为30°和45°.若AB ＝2 km ，则A ，C 两点之间的距离为km.第9题图10．某中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°.如图，已知原来设计的楼梯长为4.5 m ，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面4__m.第10题图11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为__4__．12．已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝27 ，∠B ＝30°，则△ABC的面积等于．选择、填空题答题卡一、选择题(每小题3分，共18分)二、填空题(每小题3分，共18分)得分：________7．__50__ 8.3 __ 9.10．4__ 11.__4__ 12．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．2cos 230°－sin30°＋1tan 60°－2sin 45°.解：原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2 －12 ＋13－2×22＝1＋ 3 ＋ 2 .14．先化简，再求代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1－2a －3a 2－1 ÷1a ＋1 的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°.解：原式＝2（a －1）－2a ＋3a 2－1 ·(a ＋1)＝1a 2－1 ·(a ＋1) ＝1a －1 . ∵a ＝2×32＋1＝ 3 ＋1. ∴原式＝13＋1－1＝33 .15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知c ＝25，b ＝15，求a ； (2)已知a ＝ 6 ，∠A ＝60°，求b ，c. 解：(1)根据勾股定理可得：a＝252－152＝20.(2)∵△ABC为直角三角形，∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴c＝2b，根据勾股定理可得：6＋b2＝(2b)2，解得b＝ 2 ，则c＝2 2 .16．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝ 2 .求：(1)BC的长；(2)sin ∠ADC的值．解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，∵cos C＝2 2，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tan B＝1 3，即AE BE ＝13 ，∴BE ＝3AE ＝3， ∴BC ＝BE ＋CE ＝4. (2)∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD ＝12 BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1， ∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°，∴sin ∠ADC ＝22 .17．(兴化市期末)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A ，B 和点C ，D ，先用卷尺量出AB ＝180 m ，CD ＝60 m ，再用测角仪测得∠CAB ＝30°，∠DBA ＝60°，求该段运河的河宽(即CH 的长).解：过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形， ∴HE ＝CD ＝60 m ，设CH ＝DE ＝x m ，在Rt △BDE 中，∠DBA ＝60°，∴BE ＝33 x m ，在Rt △ACH 中，∠BAC ＝30°，∴AH ＝ 3 x m ，由AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝180 m ，得到 3 x ＋60＋33 x ＝180，解得x ＝30 3 ，即CH ＝30 3 m ，答：该段运河的河宽为30 3 m ．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，O 是坐标原点，边长为2的菱形OABC 的顶点C 在x 轴的负半轴上，cos ∠AOC ＝12 ，函数 y ＝kx (x<0) 的图象经过顶点B ，求k 的值．解：作AD ⊥OC 于D ， ∵OA ＝2，∠AOC ＝60°， cos ∠AOC ＝OD OA ＝12 ，∴OD ＝1，∴AD ＝22－12 ＝ 3 ， ∴点A 的坐标为(－1， 3 )， ∴点B 的坐标为(－3， 3 )， ∵点B 在函数y ＝kx (x<0)的图象上，∴k ＝－3× 3 ＝－3 3 .19．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45° ，沿斜坡走2 5 米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为30° ，且斜坡AF的坡比为1∶2.则小明从点A走到点D的过程中，求：(1)上升的高度；(2)大树BC的高度(结果保留根号).解：(1)过点D作DH⊥AC交CA的延长线于H，延长BD，CE交于点G.∵AD＝2 5 ，DHAH＝12，DH2＋AH2＝AD2，∴5DH2＝20，∴DH＝2.∴上升的高度为2米．(2)由(1)可知，DH＝2，∠G＝30°，∴AH＝4，∴GH＝2 3 ，AG＝4＋2 3 ，设BC＝x，∵∠BAC＝45°，∠G＝30°，∴AC＝x，CG＝ 3 x，∵CG－AC＝AG，∴ 3 x－x＝4＋2 3 ，解得x＝5＋3 3 .答：大树BC 的高度为(5＋3 3 )米．20．如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，则点D 距观测点A 最近．依题意有∠BAD ＝45°， ∠ACD ＝60°， BC ＝30×0.5＝15(海里). 设AD ＝x 海里．∵tan ∠ACD ＝AD CD ＝ 3 ， tan ∠BAD ＝BDAD ＝1，∴CD ＝33x 海里，BD ＝x 海里． ∴33 x ＋x ＝15，解得x ＝45－1532 . ∵45－1532 ÷30＝3－34(小时)，答：渔船从B 点开始行驶3－34 小时离观测点A 的距离最近．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(房山区期末)如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架3 2 米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，问：胡同左侧的通道拓宽了多少米(结果保留根号)?解：在Rt △BCE 中， ∵BC ＝3 2 ， ∠BEC ＝90°， ∠BCE ＝45°， ∴BE ＝CE ＝BC·cos 45° ＝3 2 ×22 ＝3，在Rt △BDE 中，DE ＝BE·tan 30°＝ 3 ， ∴CD ＝CE －DE ＝3－ 3 ，答：胡同左侧的通道拓宽了(3－ 3 )米．22．重庆某中学依山而建，校门A 处，有一斜坡AB ，长度为13米，在坡顶B 处看教学楼CF 的楼顶C 的仰角∠CBF ＝50°，离B 点4米远的E 处有一花台，在E 处仰望C 的仰角∠CEF ＝63.4°.CF 的延长线交校门处的水平面于D 点，FD ＝5米.⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：tan 50°≈43，tan 63.4°≈2 (1)求斜坡AB 的坡度i ；(2)求DC 的长．解：(1) AB 的坡度i ＝1∶2.4.(2)在Rt △BCF 中，BF ＝CF tan ∠CBF ＝34CF. 在Rt △CEF 中，EF ＝CF tan ∠CEF＝CF 2 . ∵BE ＝4米，∴BF －EF ＝34 CF －CF 2＝4，解得CF ＝16. ∴DC ＝CF ＋DF ＝16＋5＝21(米).六、(本大题共12分)23．(绍兴中考)如图①，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图③是图②中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm.(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB 的度数；(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1 cm).(参考数据： 3 ≈1.732， 6 ≈2.449)解：(1)∵AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴∠DFB＝∠CAB，∵∠CAB＝85°，∴∠DFB＝85°.(2)作CG⊥AB于点G，∵AC＝20，∠CGA＝90°，∠CAB＝60°，∴CG＝10 3 ，AG＝10，∵BD＝40，CD＝10，∴CB＝30，∴BG＝302－（103）2＝10 6 ，∴AB＝AG＋BG＝10＋10 6≈10＋10×2.449＝34.49≈34.5 cm，答：A，B之间的距离为34.5 cm.。

北师大版九年级数学下册第一章综合素质评价含答案

北师大版九年级数学下册第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.【教材P5例2变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin B等于()A.35 B.45 C.34 D.43(第1题)(第3题)(第4题)(第6题)(第7题)2．【教材P4习题T2改编】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝12，则BC的长是()A．2 B．8 C．2 5 D．4 5 3．【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为()A.23 B.22 C.43 D.2234．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD等于()A.53 B.23 C.253 D.525．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°6．【2021·东营】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是()7．【教材P14随堂练习T4变式】【中考·长春】如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3 m．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为()A．3 sin α m B．3 cos α m C.3sin αm D.3cos αm8．【教材P20随堂练习T2变式】如图，大坝横截面的背水坡AB的坡比为12，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为()A．43米B．63米C．65米D．24米(第8题) (第9题)(第10题)9．如图，钓鱼竿AC长6 m，露出水面的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露出水面的鱼线B′C′长为3 3 m，则钓鱼竿转过的角度是()A．60°B．45°C．15°D．90°10．【2022·湘潭】中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α＝()A．2 B.32 C.12 D.55二、填空题(每题3分，共24分)11．【2022·广东】sin 30°＝________．12．【教材P21习题T1变式】如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠BAC＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为________m．(第12题) (第13题) (第15题)(第16题)(第17题)13．如图，P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH的值为________．14．【教材P 24复习题T 4变式】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝13，则cos B＝________．15．【教材P 15习题T 4变式】如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝__________m(结果保留根号)．16．如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向航行10 n mile 到B 处，再从B 处向正西方向航行20 n mile 到C 处，这时这艘船与A 处的距离为________ n mile. 17．如图①是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD ，BC 与桌面构成，如图②，已知OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30 cm ，∠COD ＝60°，则点A 到地面(C ，D 所在的平面)的距离是________cm.18．疫情期间在家上网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA 所在水平面的夹角(即∠AOB )为120°，此时感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO ′后，使电脑变化至AO ′B ′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C ＝12 cm.(1)∠CAO ′＝________；(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了________cm(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.73)．三、解答题(19题10分，其余每题14分，共66分)19．【2022·齐齐哈尔】计算：(3－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|＋tan 60°.20．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1.求sin ∠ECB 的值和AD 的长．21．【教材P 21习题T 4变式】2022年一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人(如图①)在某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图②，点A 为该校快递收纳站点，点B ，C 分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A 出发，沿着A －B －C －A 的路径派送快递．已知点B 在点A 的正北方向，点C 在点A 的北偏东20°方向，在点B 的北偏东60°方向，点B 与点C 相距1 000 m ，求点A 到点B 的距离(结果精确到1 m ，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，3≈1.73)．22．【2021·凉山州】王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，如图，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45°，再从C 点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比为i ＝1∶3(点E ，C ，B 在同一水平线上)．(1)求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度； (2)求大树AB 的高度(结果保留根号)．23．【2022·张家界】阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：asin A＝b sin B.证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝a sin B；在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A.∴asin A＝bsin B.根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：bsin B＝csin C.(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)．答案一、1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D7.A8．C9.C10．A 点思路:由已知可得，大正方形的面积为1×4＋1＝5.设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2＋b2＝5，a－b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2(不合题意，舍去)．故tan α＝ab＝21＝2.二、11.1212.a cos α13.51214.101015．(21＋73)16.10317.30 318．(1)30°(2)15.2点拨:(1)∵O′C⊥OA，∴∠ACO′＝90°.在Rt△ACO′中，O′C＝12 cm，O′A＝24 cm，∴sin ∠O′AC＝O′CO′A＝1224＝12.∴∠CAO′＝30°.(2)如图，过点B作BD⊥AO，交AO的延长线于点D.∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.在Rt△BOD中，BD＝OB·sin∠BOD＝24×32＝123(cm)．∵∠ACO′＝90°，∠CAO′＝30°，∴∠AO′C＝90°－∠CAO′＝60°.∵∠AO′B′＝120°，∴∠AO′B′＋∠AO′C＝180°.∴B′，O′，C在同一条直线上．∴B′C＝B′O′＋O′C＝24＋12＝36(cm)．∴显示屏的顶部比原来升高了B′C－BD＝36－123≈15.2(cm)．三、19.解：原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋(2－3)＋3＝1＋9＋2－3＋3＝12.20．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2. ∴∠B ＝∠ECB .∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x (x >0)，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴ACCD ＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝5x ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 21．解：如图，作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于点H .在Rt △BCH 中，∵∠BHC ＝90°，∠CBH ＝60°，BC ＝1 000 m ，∴BH ＝BC ·cos 60°＝500 m ，CH ＝BC ·sin 60°＝500 3 m. 在Rt △AHC 中，∵∠CAH ＝20°，∴AH ＝CH ÷tan 20°≈5003÷0.36≈2 402.8(m)． ∴AB ＝AH －BH ≈2 402.8－500≈1 903(m)．答：点A 到点B 的距离大约为1 903 m. 22．解：(1)如图，过点D 作DH ⊥CE 于点H .由题意知CD＝210米．∵斜坡CF的坡比为i＝1∶3，∴DHCH＝13.设DH＝x米，则CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(210)2，解得x＝2(负值舍去)．∴DH＝2米．答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米．(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G.由题易得四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米．设AB＝m米，则AG＝(m－2)米．∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝m米．由(1)知CH＝6米，∴BH＝DG＝(m＋6)米．∵∠ADG＝30°，∴AGDG＝tan 30°＝33.∴m－2m＋6＝33，解得m＝6＋4 3.答：大树AB的高度是(6＋43)米．23．(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，AD＝c sin B；在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C.∴bsin B＝csin C.(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E. ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×32＝403(m)．∵ACsin B＝BCsin∠BAC，∴BC＝AC·sin∠BACsin B≈80×0.90.8＝90(m)．∴S△ABC ＝12BC·AE≈12×90×403＝1 8003(m2)．∴这片区域的面积大约是1 800 3 m2.。

北师大版九年级数学下册第一章学情评估附答案 (1)

北师大版九年级数学下册第一章学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．cos 30°的值为()A.12 B.32 C.22 D.332．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则tan∠ABC等于()A.32B．1 C.22 D. 2(第2题)(第5题)3．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值()A．都扩大为原来的2倍B．都缩小为原来的1 2C．都不变D．不能确定4．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD等于()A.53 B.23 C.2 53 D.526．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是()(第6题)A.8÷sin42＝B.8÷tan42＝C.8÷cos42＝D.8×tan42＝7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，tan A＝3，则BC的长为() A．3 B．2 C. 3 D．2 38．如图，窗子高AB＝m米，窗子外面上方0.2米处有一个1米长的水平遮阳板CD，当太阳光线与水平线成60°角时，太阳光线刚好不能直接射入室内，则m 的值是()A.3＋0.8B.3＋0.2C.3－0.2D.3－0.8(第8题)(第9题)9．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE＝5 m，斜坡BC的坡比为5 ∶12，则斜坡BC的长为()A．17 m B．13 m C．12 m D．7 m10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为()A.35 B.55 C.45 D.2 55 (第10题)(第14题)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin A的值为________．12．比较大小：sin 37°________cos 37°.13．若α为锐角，且sin2α＋cos2 26°＝1，则α＝________．14．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上的一个标志物M的俯角为α，水平飞行900米后到达点B处，此时测得标志物M的俯角为β，若tan α＝23，tan β＝43，则飞机与地面的距离为________米．15．如图，AD是△ABC的中线，AD＝5，tan∠BAD＝34，S△ADC＝15，则AC的长为________．(第15题)三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．计算：sin 30°·tan 45°＋sin2 60°－2cos 60°.17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 3.解这个直角三角形．(第17题)18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D，tan∠CAD＝12，求BC的长．(第18题)四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若AB＝12，sin A＝13，求BC的长；(2)若BC＝2，AC＝6，求∠B的度数．(第19题)20．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，AB＝AD，BD＝4，tan C＝1 4.(1)求AB的长；(2)求点C到直线AB的距离．(第20题)21．一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，30分钟后到达B处，已知从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°方向和北偏东15°方向，如图所示．(1)求∠C的度数；(2)求B处与小岛C的距离．(结果保留根号)(第21题) 五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，如图，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A 的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上)．(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．(第22题)23．如图，△ABC中，AB＝AC＝3 cm，BC＝4 cm，点P从点B出发，沿BC边以2 cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿C→A→B的路径以3 cm/s 的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P的运动时间为t s，△CPQ的面积为S cm2.(1)求sin B；(2)求S关于t的函数关系式．(第23题)答案一、1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.D7.D8.C9.B 10．A二、11.3512.＜13.26°14.1 20015．210提示：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点A作AF⊥DC，垂足为F.∴tan∠BAD＝DEAE.又∵tan∠BAD＝34，∴可设DE＝3x，AE＝4x，又∵AD＝5，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x＝1(负值已舍去)．∴AE＝4，DE＝3.∵AD是△ABC的中线，∴易得S△ADC ＝S△ADB＝12AB·DE＝15，∴12AB×3＝15，∴AB＝10，∴BE＝AB－AE＝10－4＝6. 在Rt△BDE中，BD＝BE2＋DE2＝62＋32＝3 5，∴S△ADB ＝12BD·AF＝12×3 5×AF＝15，∴AF＝2 5.在Rt△ADF中，DF＝AD2－AF2＝25－20＝ 5. ∴FC＝CD－DF＝BD－DF＝3 5－5＝2 5.在Rt△AFC中，AF＝2 5，FC＝2 5，∴AC＝AF2＋FC2＝2 10.(第15题)三、16.解：原式＝12×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×12＝12＋34－1＝14. 17．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝2 3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（2 3）2＋22＝4， tan A ＝BC AC ＝22 3＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝180°－90°－30°＝60°. 18．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ADB 中，∠B ＝30°，AB ＝4， ∴AD ＝2，∴BD ＝42－22＝2 3.在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，AD ＝2， ∴CD ＝1.∴BC ＝BD ＋CD ＝2 3＋1.四、19.解：(1)在Rt △ABC 中，∵sin A ＝BC AB ＝13，AB ＝12，∴BC ＝4.(2)在Rt △ABC 中，∵tan B ＝AC BC ＝62＝3，∴∠B ＝60°.20．解：(1)如图，过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H .∵AB ＝AD ，∴BH ＝HD ＝12BD ＝2. ∵点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝4. ∴HC ＝HD ＋CD ＝6.∴tan C ＝AH CH ＝AH 6＝14，∴AH ＝32. ∴AB ＝BH 2＋AH 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52.(2)如图，过点C 作CG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G . 由(1)易知BC ＝8.∵sin B ＝AH AB ＝CGBC ，∴3252＝CG 8.∴CG ＝245.∴点C 到直线AB 的距离为245.(第20题)21．解：(1)∵∠ABC ＝90°＋15°＝105°，∠CAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠C ＝180°－105°－45°＝30°. (2)过点B 作BE ⊥AC 于点E . 由题意得，AB ＝40×3060＝20(海里)． ∴BE ＝AB ·sin 45°＝10 2海里， ∴BC ＝2BE ＝20 2海里．答：B 处与小岛C 的距离为20 2海里．五、22.解：(1)如图，过点D 作DH ⊥CE 于点H .(第22题)由题意知CD ＝210米．∵斜坡CF 的坡比为i ＝1∶3，∴DH CH ＝13. 设DH ＝x 米，则CH ＝3x 米， ∵DH 2＋CH 2＝DC 2， ∴x 2＋(3x )2＝(210)2，解得x ＝2(负值舍去)．∴DH ＝2米．答：王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度为2米． (2)如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G . 由题易得四边形DHBG 为矩形，∴DH ＝BG ＝2米．设AB ＝m 米，则AG ＝(m －2)米． ∵∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝m 米．由(1)知CH ＝6米，∴BH ＝DG ＝(m ＋6)米． ∵∠ADG ＝30°，∴AG DG ＝tan 30°＝33. ∴m －2m ＋6＝33，解得m ＝6＋4 3. 答：大树AB 的高度是(6＋4 3)米． 23．解：(1)过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝4 cm ， ∴BD ＝12BC ＝2 cm.在Rt △ABD 中，AB ＝3 cm ，BD ＝2 cm ， ∴AD ＝AB 2－BD 2＝32－22＝5(cm)， ∴sin B ＝AD AB ＝53.(2)当0＜t ≤1时，如图①，过点Q 作QE ⊥BC ，垂足为E ，∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ，∴sin C ＝sin B ＝53. 由题意得CQ ＝3t cm ，BP ＝2t cm ， ∴CP ＝BC －BP ＝(4－2t )cm.在Rt △CQE 中，QE ＝CQ ·sin C ＝3t ·53＝5t (cm)． ∵S △CPQ ＝12CP ·QE ，∴S ＝12(4－2t )·5t ＝2 5t －5t 2＝－5t 2＋2 5t ；11(第23题) 当1＜t ＜2时，如图②，过点Q 作QE ⊥BC ，垂足为E . 由题意得CA ＋AQ ＝3t cm ，BP ＝2t cm ，∴CP ＝BC －BP ＝(4－2t )cm ，BQ ＝AB ＋AC －(CA ＋AQ )＝(6－3t )cm.在Rt △BQE 中，QE ＝BQ ·sin B ＝(6－3t )·53＝2 5－5t (cm)，∵S △CPQ ＝12CP ·QE ，∴S ＝12(4－2t )·(2 5－5t )＝5t 2－4 5t ＋4 5.∴S ＝⎩⎨⎧－5t 2＋2 5t （0<t ≤1），5t 2－4 5t ＋4 5（1<t <2）.。

2019春北师大版九年级数学下第一章检测卷(含答案)

第一章检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是A. B.C. D.2.已知Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠A=30°,a+b=1,则斜边c为A.+1B.-1C.+1D.-13.若(tan A-3)2+|2cos B-|=0,则△ABCA.是直角三角形B.是等边三角形C.是含有60°的任意三角形D.是顶角为钝角的等腰三角形4.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,且3a=4b,则∠A的度数为A.53.48°B.53.13°C.53.13'D.53.48'5.若α,β都是锐角,下列说法正确的是A.若sin α=cos β,则α=β=45°B.若sin α=cos β,则α+β=90°C.若sin α>cos β,则α>βD.若sin α<cos β,则α<β6.某人在高为30米的铁塔AB的塔顶A处,向正东方向观察地面上的C处和D处,俯角分别是30°和60°.如果B,D,C三处在一条直线上,那么C处和D处之间的距离可以是下列数据中的A.20米B.30米C.40米D.50米7.若一个等腰三角形腰长为4,面积是4,则这个等腰三角形顶角的度数为A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°8.若∠B为锐角,且sin B>,那么∠BA.小于30°B.大于30°C.大于45°且小于60°D.大于60°9.如图,在△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,,则sin A的值为A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中,设点P到原点O的距离为p,OP与x轴正方向的夹角为α,则用[p,α]表示点P的极坐标,显然,点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如:点P的坐标为(1,1),则其极坐标为[,45°].若点Q的极坐标为[4,60°],则点Q的坐标为A.(2,2)B.(2,-2)C.(2,2)D.(2,2)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了25m.12.已知α为锐角,下列结论:①sin α+cos α=1;②如果α>45°,那么sin α>cos α;③如果cos α>,那么α<60°;④=1-sin α.正确的有②③④.13.计算:sin 45°-cos 60°+(-1)2019+(1-)0=.14.如图,无人机在空中C处测得地面A,B两点的俯角分别为60°,45°,如果无人机距地面高度CD为100米,点A,D,B在同一水平直线上,则A,B两点间的距离是100(1+)米.(结果保留根号)三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.(1)计算:cos245°+sin 60°·tan 30°-.解:原式==2-.(2)一个直角三角形有两条边长为3和4,求较小锐角的正切值.解:当两条边长3和4是直角边时,则较小锐角的正切值为;当3是直角边,4是斜边时,另一条边=,则较小锐角的正切值为.综上,较小锐角的正切值为.16.在△ABC中,∠C=90°,b+c=30,∠A-∠B=30°,解这个直角三角形.解:∵在△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠A-∠B=30°,∴∠A=60°,∠B=30°.∵sin B=,b+c=30,∴b=10,c=20,∴a=10.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.一块直角三角板ABC按如图放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,求点B的坐标.解:过点B作BE⊥x轴于点E.由题可知∠BEC=∠COA,∠EBC=∠OCA,∴△EBC∽△OCA,∴,在Rt△ABC中,∠CBA=30°,∴tan ∠CBA=,∴,解得BE=3,EC=,∴EO=EC+CO=+3,∴点B的坐标为(-3-,3).18.如图,在△ABC中,∠A=90°.(1)用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1;(保留作图痕迹)(2)若AB=3,BC=5,求tan∠AB1C1.解:(1)作∠CAB的平分线,在平分线上截取AB1=AB,作C1A⊥AB1,在AC1上截取AC1=AC,如图所示即是所求.(2)∵AB=3,BC=5,∴AC=4,∴AB1=3,AC1=4,tan∠AB1C1=.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10 m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒,已知∠B=30°,∠C=45°.(1)求B,C之间的距离;(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)解:(1)作AD⊥BC于点D,则AD=10 m.在Rt△ACD中,∵∠C=45°,∴CD=AD=10 m,在Rt△ABD中,∵∠B=30°,∴BD=AD=10 m,∴BC=BD+DC=(10+10) m.(2)这辆汽车超速.理由:∵BC=10+10≈27 m,∴汽车速度==30 m/s=108 km/h,∵108>80,∴这辆汽车超速.20.随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处,问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到1海里)解:在△APC中,∠ACP=90°,∠APC=45°,则AC=PC.∵AP=400海里,∴PC=AP·=200 海里.又∵在△BPC中,∠PCB=90°,∠BPC=60°,∴PB=2PC=400≈565.6 海里.答:此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里.六、(本题满分12分)21.如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m,从C点测得A点的仰角α为53°,从A点测得D点的俯角β为37°,求两座建筑物的高度.参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈解:过点D作DE⊥AB于点E,则DE=BC=60 m,在Rt△ABC中,tan 53°=,∴,∴AB=80 m,在Rt△ADE中,tan 37°=,∴,∴AE=45 m,∴BE=CD=AB-AE=35 m,答:两座建筑物的高度分别为80 m和35 m.七、(本题满分12分)22.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A,B,C,D四地,如图,其中A,B,C三地在同一直线上,D地在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向,且BC=CD=20 km.问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.4,≈1.7)解:由题意可知∠DCA=180°-75°-45°=60°,∵BC=CD,∴△BCD是等边三角形.过点B作BE⊥AD,垂足为E,由题意可知∠DAC=75°-30°=45°,∵△BCD是等边三角形,∴∠DBC=60°,BD=BC=CD=20 km,∴∠ADB=∠DBC-∠DAC=15°,∴BE=BD sin 15°≈0.25×20=5 km,∴AB==5≈5×1.4=7 km,∴AB+BC+CD=7+20+20=47 km.答:从A地到D地的路程约为47 km.八、(本题满分14分)23.如图,某办公楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE,而当光线与地面夹角是45°时,办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离(B,F,C在一条直线上).(1)求办公楼AB的高度;(2)若要在A,E之间挂一些彩旗,请你求出A,E两点之间的距离.(参考数据:sin 22°≈,cos 22°≈,tan 22°≈)解:(1)过点E作EM⊥AB,垂足为M.设AB为x.在Rt△ABF中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴BC=BF+FC=x+25,在Rt△AEM中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,tan 22°=,则,解得x=20,即教学楼的高为20米.(2)由(1)可得ME=BC=x+25=20+25=45.在Rt△AME中,cos 22°=,∴AE==48,即A,E之间的距离约为48米.。

北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套

北师大版九年级数学下册第一章测试题含答案2套第一章测试卷（1）一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos30°的值为( )A.12B.32C.22D.332．如图，已知Rt △BAC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 5(第2题) (第3题)3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin∠ACD 等于( ) A.53B.23C.253D.524．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于( )A ．14.7°B ．14°7′C ．75.3°D ．75°3′6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB ＝a ，BD＝b ，则下列求旗杆CD 长的式子中正确的是( ) A ．CD ＝b sin 33°＋a B ．CD ＝b cos33°＋a C ．CD ＝b tan33°＋aD ．CD ＝btan33°＋a(第6题) (第7题)7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A ．2B.255C.55D.128．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AB ＝2(1＋3)，则BC 等于( )A ．2B. 6C ．2 2D ．1＋ 39．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( ) A ．82 mB ．163 mC ．52 mD ．30 m(第9题) (第10题)10．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′长为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( ) A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°二、填空题(每题3分，共30分)11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y ＝kx 的图象经过点(tan30°，cos60°)，则k ＝________．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB ＝________.14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m 的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙．15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m 的牌子，当他沿山坡前进50 m 时，他又看见一个标注海拔70 m 的牌子，于是他走过的山坡的坡度是__________．16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，23)，(2，0)，且∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__________．(第16题) (第17题) (第18题) (第19题) (第20题)17．如图，一棵树的枝叶部分AB 在太阳光下的投影CD 的长是5.5 m ，此时太阳光线与地面的夹角是52°，则AB 的长约为__________ (结果精确到0.1 m ．参考数据：sin 52°≈0.79，tan52°≈1.28)．18．如图，秋千链子的长度OA ＝3 m ，静止时秋千踏板处于A 位置，此时踏板距离地面0.3m ，秋千向两边摆动，当踏板处于A ′位置时，摆角最大，此时∠AOA ′＝50°，则在A ′位置，踏板与地面的距离约为________m(sin 50°≈0.766，cos50°≈0.642 8，结果精确到0.01 m)．19．如图，轮船在A 处观测灯塔C 位于北偏西70°方向上，轮船从A 处以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h 后到达码头B 处，此时，观测灯塔C 位于北偏西25°方向上，则灯塔C 与码头B 的距离约是________n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．20．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC ，AE ＝1，连接BE ，则tan E ＝________. 三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)2－1－3sin 60°＋(π－2 020)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12；(2)12－3＋4cos60°·sin 45°－（tan60°－2）2.22．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，2a ＝3b ，求∠B 的正弦、余弦和正切值．23．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，BCCD＝32，点E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB的值和AD的长．(第23题)24．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．(第24题)25．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为30 n mile/h，在此航行过程中，该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)(第25题)26．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15 m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°.假设汽车在高架道路上行驶时，周围39 m以内会受到噪音的影响．(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39 m，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(结果精确到1 m，参考数据：3≈1.7)(第26题) 答案一、1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7．D 8.A 9.A10．C 点拨：∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°.∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°. 二、11.1 12.36 13.9 14.3 3 m 15．3∶4 16.(8，23)17．7.0 m 点拨：过点B 作BE ∥CD ，交AD 于点E .∵太阳光线与地面的夹角是52°，且太阳光线是平行的， ∴tan 52°＝ABBE ，BE ＝CD ＝5.5 m.∴AB ＝5.5×tan 52°≈5.5×1.28＝7.04≈7.0(m)．18．1.37 点拨：如图，作A ′D ⊥OA 于点D ，A ′C 垂直地面于点C ，延长OA 交地面于点B .(第18题)易得四边形BCA ′D 为矩形， ∴A ′C ＝DB .∵∠AOA ′＝50°，且OA ＝OA ′＝3 m ，∴在Rt △OA ′D 中，OD ＝OA ′·cos ∠AOA ′≈3×0.642 8≈1.93(m)．又AB ＝0.3 m ， ∴OB ＝OA ＋AB ＝3.3 m. ∴A ′C ＝DB ＝OB －OD ≈1.37 m. 19．2420.23 点拨：延长CA 到F 使AF ＝AE ，连接BF ，过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G .根据题干条件证明△BAF ≌△BAE ，得出∠E ＝∠F ，然后在Rt △BGF 中，求出tan F 的值，进而求出tan E 的值．三、21.解：(1)原式＝12－3×32＋1＋12＝12－32＋1＋12＝12；(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－(3－2)＝－2－3＋2－3＋2＝－23＋ 2. 22．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k . ∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23. 23．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵点E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2. ∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD ＝2. ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455. 24．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .(第24题)根据题意知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝300－1003(m)．答：该河段的宽度为(300－1003)m. 25．解：如图，过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x n mile.(第25题)在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°， ∠PAC ＝90°－60°＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CP AP ＝33. ∴CP ＝33x n mile.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°， ∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x n mile.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(n mile)，∴33x ＋x ＝15. 解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝15（3－3）2 n mile. ∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(h)．答：该渔船从B 处开始航行3－34 h ，离观测点A 的距离最近．26．解：(1)如图，连接PA .(第26题)由已知得AP ＝39 m ，在Rt △APH 中，PH ＝AP 2－AH 2＝392－152＝36(m)．答：此时汽车与点H 的距离为36 m. (2)由题意，隔音板位置应从P 到Q ，在Rt △ADH 中，DH ＝AH tan 30°＝1533＝153(m)；在Rt △CDQ 中，DQ ＝CQ sin 30°＝3912＝78(m)．∴PQ ＝PH ＋HQ ＝PH ＋DQ －DH ＝36＋78－153≈114－15×1.7≈89(m)．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89 m 长．第一章测试卷(2)一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知cos A ＝32，则锐角A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝32，BC ＝23，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．4 3D ．63．在锐角三角形ABC 中，若⎝⎛⎭⎪⎫sin A －322＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－cos B ＝0，则∠C 等于( )A ．60°B ．45°C ．75°D ．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为( )A ．35B ．34C ．105 D ．1(第4题) (第5题) (第6题)5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值为( )A ．45B ．35C ．34D ．436．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 两点之间距离的有( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组7．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( )A ．34B ．43C ．35D ．458．如图所示，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD 为100 m ，点A ，D ，B 在同一直线上，则A ，B 两点之间的距离是( ) A ．200 m B ．200 3 m C ．220 3 m D ．100(3＋1)m(第8题) (第9题) (第10题) 9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则()A．S1＝12S2B．S1＝72S2C．S1＝85S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋16二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan 30°sin 60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为5033，则∠A＝_________度．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3 m，cos∠BAC＝34，则墙高BC＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10 n mile/h 的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10 2 n mile/h的速度航行，当航行1 h后，甲在A 处发现自己的渔具掉在了乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B 处追上．则甲船追赶乙船的速度为________n mile/h. 三、解答题(19题12分，20题10分，21，22每题14分，23题16分，共66分) 19．计算：(1)3sin 60°－2cos 45°＋38；(2)12－3＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.20．a ，b ，c 是△ABC 的三边，且满足等式b 2＝c 2－a 2，5a －3c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．21．如图，已知▱ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF 是平行四边形．(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．23．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22 m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1 m)．(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(精确到0.1 m)(参考数据：sin 68°≈0.927 2，cos 68°≈0.374 6，tan 68°≈2.475 1，sin 50°≈0.766 0，cos 50°≈0.642 8，tan 50°≈1.191 8)答案一、1．A2．A 点拨：由tan B ＝AC BC 知AC ＝BC tan B ＝23×32＝3.3．C 点拨：由题意，得sin A －32＝0，22－cos B ＝0.所以sin A ＝32，cos B ＝22.所以∠A ＝60°，∠B ＝45°，所以∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°. 4．B 5．C6．C 点拨：对于①，可由AB ＝BC ·tan ∠ACB 求出AB 的长；对于②，由BC ＝ABtan ∠ACB，BD ＝AB tan ∠ADB ，BD －BC ＝CD ，可求出AB 的长；对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DEEF ＝BDAB ，可求出AB 的长；对于④，无法求得AB 的长，故有①②③共3组，故选C . 7．A8．D 点拨：由题意可知，∠A ＝30°，∠B ＝45°，tan A ＝CD AD ，tan B ＝CDDB ，又CD ＝100 m ，因此AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝100tan 30°＋100tan 45°＝1003＋100＝100(3＋1)(m)． 9．D 点拨：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥EF ，交FE 的延长线于点N .在Rt △ABM 中，∵sin B ＝AMAB ，∴AM ＝3×sin 50°，∴S 1＝12BC ·AM ＝12×7×3×sin 50°＝212sin 50°.在Rt △DEN 中，∠DEN ＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN ＝DN DE ，∴DN ＝7×sin 50°，∴S 2＝12EF ·DN ＝12×3×7×sin 50°＝212sin 50°，∴S 1＝S 2.故选D .10．D 点拨：依题意知：D 1E 1＝12，B 2C 2＝33，B 3E 4＝36，B 3C 3＝13，A 3C 3＝23，sin ∠A 3C 3x＝sin(30°＋45°)＝sin 75°＝2＋64，∴A 3到x 轴的距离3＋16. 二、11．1 点拨：cos 245°＋tan 30°sin 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋33×32＝1.12．60 点拨：∵BC ＝10，∴S △ABC ＝BC ·AC 2＝10·AC 2＝5033，则AC ＝1033，∴tan A ＝BC AC ＝101033＝3，∴∠A ＝60°.13．43 14．1215．13 点拨：如图，过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，则B ′D ＝x ，BC ＝2x ，BD ＝3x .∴tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．7 m 点拨：由cos ∠BAC ＝AC AB ＝34，知3AB ＝34，∴AB ＝4 m.在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝42－32＝7(m)． 17．2 点拨：由题意知BD ′＝BD ＝2 2.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝222＝ 2.18．(10＋103) 点拨：如图，由题意可知，∠DOB ＝30°，∠AOD ＝75°，∠2＝90°－60°＝30°.∵∠3＝∠AOD ＝75°，∴∠1＝90°－75°＝15°，故 ∠1＋∠2＝15°＋30°＝45°.如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则∠AOC ＝90°－∠1－∠2＝90°－45°＝45°.易知OA ＝102n mile ，∠OAB ＝∠AOC ＝45°，∴OC ＝AC ＝OA ·sin 45°＝102×22＝10(n mile)．在Rt △OBC 中， ∠BOC ＝∠AOD ＋∠BOD －∠AOC ＝75°＋30°－45°＝60°，∴BC ＝ OC ·tan 60°＝10 3 n mile ，∴AB ＝AC ＋BC ＝(10＋103)n mile.∵OC ＝10 n mile ，∠B ＝30°，∴OB ＝2OC ＝2×10＝20(n mile)，乙船从O 到B 所用时间为20÷10＝2(h )．∵甲船从O 到A 所用时间为1 h ，∴甲船从A 到B 所用时间为2－1＝1(h)，故甲船追赶乙船的速度为(10＋103)n mile/h.三、19．解：(1)原式＝3×32－2×22＋2＝32－1＋2 ＝52.(2)原式＝－(2＋3)＋4×12×22－（3－2）2 ＝－2－3＋2－(2－3) ＝－2.20．解：由b 2＝c 2－a 2，得a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°. ∵5a －3c ＝0， ∴a c ＝35，即sin A ＝35. 设a ＝3k ，c ＝5k ，则b ＝（5k ）2－（3k ）2＝4k . ∴sin B ＝b c ＝45， ∴sin A ＋sin B ＝35＋45＝75.21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ， ∴∠AFC ＝∠ADE . ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，AB ＝CD ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DHCH ， ∴DH ＝12，CH ＝5. ∵DF ＝14， ∴CE ＝14. ∴EH ＝9.∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.22．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°，∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴BD ＝BC －CD ＝200－AD . 在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝ADBD ，∴AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD )·tan 60°＝3(200－AD )． ∴AD ＋3AD ＝200 3.∴AD ＝20033＋1＝(300－1003)(m)．故该河段的宽度为(300－1003)m.23．解：(1)如图，作BE⊥AD，E为垂足，则BE＝AB·sin 68°＝22 sin 68°≈20.4(m)．即改造前坡顶与地面的距离约为20.4 m.(2)如图，作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.则∠FAG＝50°，FG＝BE.∵AG＝FGtan 50°≈20.41.191 8≈17.12(m)，AE＝AB·cos 68°＝22cos 68°≈8.24(m)，∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9 m，即BF至少是8.9 m.。

北师大版初中数学九下第一章综合测试试题试卷含答案

第一章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.若的余角为°60，则tan 的值是（）A .12 B .2 C D .3 2.ABC △在正方形网格中的位置如下图所示，则cos B 的值为（）A B C .12D .2 3.在ABC Rt△中，将各边都扩大两倍，则锐角A 的正弦值（）A .扩大两倍B .缩小为原来的一半C .不变D .不能确定4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2:，则顶角的度数为（） A .60°B .90°C .120°D .150°5.在ABC Rt△中，°90C A B C ，，，所对的边分别为a b c ，，，且°45A a b ，，则c 等于（）A .B .4C .D .6.如下图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB ，点A B C D O ，，，，在同一平面内），已知AB a AD b BCO x ，，，则点A 到OC 的距离等于（）A .sin sin a x b xB .cos cos a x b xC .sin cos a x b xD .cos sin a x b x7.如下图，某河坝的横断面为四边形ABCD AD BC AB CD ，∥，，坝顶宽10BC 米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i ，则坝底宽AD 的长度为（）A .26米B .28米C .30米D .46米8.如下图，在ABC △中，°904ACB AC BC ，，将ABC △折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕.若3AE ，则sin BFD 的值为（）A .13B .3C .4D .359.如下图，在ABC Rt△中，°903ACB BC AC AB ，，的垂直平分线ED 交BC 的延长线于点D ，垂足为E ，连接AD ，则sin CAD 的值为（）A .14B .4C .13 D .15 10.如下图，在ABC △中，10tan 2AB AC A BE AC ，，于点E ，若点D 是线段BE 上的一个动点，则5CD BD的最小值是（）A .B .C .D .10二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.在ABC △中，若21sinA tan 02B，则C 的度数是________.12.如下图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折叠，使顶点C 落在C 处，若36AB DE ，，则sin C DE ________.13.如图，已知ABC Rt△中，°90BAC ，斜边BC 上的高4AD ，4cos 5B，则AC ________.14.如下图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知乙楼的高CD 是45m ，则甲楼的高AB 是________m .（结果保留根号）15.如下图，在东西方向的海岸线上有A B ，两个港口，甲货船从A 港出发，沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行，同时乙货船从B 港出发，沿西北方向航行，2h 后两船在点P 处相遇，则乙货船的速度为________.16.在ABC △中，AD 是ABC △的高，若AB ，tan 2B 且2BD CD ，则BC ________. 三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（10分）（1）计算：°2°sin60sin 30cos45tan 60tan 45cos30；（2）已知°°075 ＜＜，且 °sin 152 1014cos 3.14tan 3的值.18.（11分）如下图，ABC △的顶点A C ，的坐标分别是 04，， 30，，且°°9030ACB ABC ，，试求点B 的坐标.19.（12分）如下图，在ABC Rt△中，°90C D ，为BC 上一点，51AB BD ，，3tan 4B.（1）求AD 的长；（2）求sin 的值.20.（12分）如下图，山顶有一塔AB ，塔高33m .计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF .从与E 点相距80m 的C 处测得A B ，的仰角分别为27°，22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度.（参考数据：°°tan220.40tan270.51 ，）21.（13分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如下图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计：如下图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC 的遮阳篷CD . 数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太阳光线DA 与遮阳篷CD 的夹角最大（°77.44ADC ）；冬至这一天的正午时刻，太阳光线DB 与遮阳篷CD 的夹角最小（°30.56BDC ）.窗户AB 的高度为2m . 问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳篷CD 的长.（结果精确到0.1m .参考数据：°°°°sin30.560.51cos30.560.86tan30.560.59sin77.440.98 ，，，，°°cos77.440.22tan77.44 4.49 ，）22.（14分）如下图1是小红家的阳台上放置的一个晒衣架，下图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB CD ，相交于点O B D ，，两点位于地面.经测量：136cm 51cm 34cm AB CD OA OC OE OF ，，.现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链EF 成一条线段，32cm EF .图1图2（1）求证：AC BD ∥；（2）求扣链EF 与立杆AB 的夹角OEF 的余弦值；（3）小红的连衣裙挂在衣架上的总长度达到122cm ，问挂在晒衣架后是否会拖落在地面？请通过计算说明理由.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】若的余角为°60，则°30，所以°tan tan 303a .故选D . 2.【答案】B【解析】如下图，连接DE ，易知DE BC ，且点D E ，都在格点上，在BED Rt△中，EB，所以cos 5BD B EB.故选B .3.【答案】C4.【答案】A【解析】因为等腰三角形的底边与底边上的高的比是2，所以底角为°60，所以顶角的度数为°60.故选A . 5.【答案】A【解析】在ABC Rt△中，°°9045C A ，，所以a b.因为a b，所以a b，所以sin 2a c AA . 6.【答案】D【解析】如下图，过点A 作AE OC 于点E ，交BC 于点M AF OB ，于点F .∵四边形ABCD 是矩形，°°9090ABC AEC AMB CME EAB BCO x ∴，∵，，∴.易知四边形AFOE 为矩形，AE FO FBA EAB x ∴∥，∴.cos sin AB a AD b FO FB BO a x b x ∵，，∴.故选D .7.【答案】D【解析】过点B 作BE AD 于点E ，过点C 作CF AD 于点F .由题意得1121.5BE i BE AE，米，所以18AE 米.因为AD BC AB CD ∥，，所以18DF AE 米，10EF BC 米，所以18101846AD AE EF DF （米）.故选D . 8.【答案】A【解析】°°90445ACB AC BC A B ∵，，∴，由折叠可得3AEF DEF DE AE △≌△，，EDF A EDF B ，∴.又CDE EDF B BFD CDE BFD ∵，∴.在CDE Rt△中，11sin sin 3CE CE AC AE CDE BFD DE，∴的值为13.故选A . 9.【答案】A【解析】设 0AD x x ＞，因为DE 是AB 的垂直平分线，所以BD x ，所以3CD x .在ACD Rt△中，由222AC CD AD ，得 2223x x ，解得4x ，所以431CD ，所以1sin 4CD CAD AD .故选A . 10.【答案】B【解析】如下图，过点D 作DH AB 于点H ，过点C 作CM AB 于点M .°90BE AC AEB ∵，∴，tan 2BEA AE∴.设 0AE a a ＞，则2BE a ，根据勾股定理，得221004a a a ，∴，2BE a ∴.同理，可得CM BEsin 555DH AE DBH DH BD CD BD CD DH BD AB∵，∴，∴，又CD DH CM ∵≥，55CD BD CD BD ∴≥的最小值为.故选B .二、11.【答案】90°【解析】由题意，得°°11sin 0tan 0sin tan 306022A B A B A B，∴，，， °°°°180306090C ∴.12.【答案】2【解析】因为36CD AB DE ，，所以12CD DE，易得°30CED ，所以°60CDE ，由折叠可知C DE CDE ，所以°60C DE，所以sin 2C DE . 13.【答案】5【解析】因为°°9090CAD BAD B BAD ，，所以CAD B ，所以4cos cos 5CAD B ，即445AD AC AC ，所以5AC . 14.【答案】【解析】由题意，得°45BDA AB AD ，∴.在ADC Rt△中，°3045CAD CD ，，°tan tan303CD CAD AD∴，即453AD AB AD ，故甲楼的高AB是m . 15.【答案】【解析】过点P 作PC AB 于点C .∵甲货船从A 港出发，沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度航行，°30428PAC AP ∴，（海里），142PC AP ∴海里.∵乙货船从B 港出发，沿西北方向航行，°°45sin 45PCPBC PB∴，∴海里.∴乙货船的速度为2 （海里/时）. 16.【答案】3或1【解析】因为tan AD B BD，所以设 0AD x ＞，则2BD x .因为222AB AD BD，所以2222x ，解得1x 或1x （舍去），即2BD .又因为2BD CD ，所以1CD .当点D 在线段BC 上时，如下图1，则3BC BD CD ；当点D 在线段BC 的延长线上时，如下图2，则1BC BD CD .图1图2三、17.【答案】（1）2sin 60sin 30cos45tan 60tan 45cos30211211142142.（2）°°075 ∵＜＜，且°sin 15°°°156045 ∴，∴.114cos 3.14tan 3411323 .18.【答案】如下图，过点B 作BG x 轴于点G .435OA OC AC ∵，，∴.°°°9030tan30ACACB ABC BC∵，，∴°°9090BCG ACO ACO CAO ∵，，BCG CAO ∴，34sin cos 55BG CG BCG BCG BC BC∴，，BG CG ∴，∴点B 的坐标是 3 . 19.【答案】（1）在ABC Rt△中，3tan 4AC B BC ，设 30AC x x ＞，则4BC x ，2222225345AC BC AB AB x x ∵，，∴，解得1x （舍去）或1x ，34AC BC ∴，. 13BD CD ∵，∴，AD ∴.（2）如下图，过点D 作DE AB 于点E ，则°90BED . 在BDE Rt△中，3tan 4DE B BE，设 30DE y y ＞，则4BE y ， 2222221341DE BE BD BD y y ∵，，∴，解得15y （舍去）或15y，3sin 510DE DE a AD∴.20.【答案】如下图，延长AB 交CD 于点H ，则AH CD . 在ACH Rt△中，°tan 27AHACH ACH CH，， °tan27AH CH ∴.在BCH Rt△中，°tan 22BHBCH BCH CH， °tan22BH CH ∴.33AB AH BH AB ∵，，°°tan 27tan2233CH CH ∴，300CH ∴.°tan27153AH CH ∴.在ADH Rt△中，°tan 45AHD D HD，， 153HD AH ∴.3001538050323EF CD CE FD CH HD CE FD ∴. 故隧道EF 的长度约为323m .21.【答案】在BCD Rt△中，°°9030.56tan BCBCD BDC BDC CD，，， °tan tan30.56BC CD BDC CD ∴.在ACD Rt△中，°°9077.44tan ACACD ADC ADC CD，，， °tan tan77.44AC CD ADC CD ∴.2AC BC AB AB ∵，，初中数学九年级下册 6 / 6 °°tan77.44tan30.562CD CD ∴，4.490.592CD ∴，解得0.5CD .答：遮阳篷CD 的长约为0.5m .22.【答案】（1）OA OC AB CD OB OD ∵，，∴，°°1118018022OAC OCA AOC OBD ODB BOD ∴，，又AOC BOD OAC OBD AC BD ∵，∴，∴∥.（2）如下图，过点O 作OM EF 于点M .34cm 32cm 16cm OE OF EF EM ∵，，∴，168cos 3417EM OEF OE ∴. （3）小红的连衣裙会拖落在地面.理由如下：如图，过点A 作AH BD 于点H .OE OF OB OD ∵，，°°1118018022OEF OFE BOD OBD ODB BOD ∴，， OEF OBD ∴，即OEM ABH ，由（2）知88cos cos 1717OEF ABH，∴，即817BH AB ， 8813664cm 1717BH AB ∴，由勾股定理可得 120cm AH . 122120∵＞，∴小红的连衣裙会拖落在地面.。

2025年北师大版九年级下册数学第1章测素质解直角三角形

坡度i＝1∶2，如果它把物体送到离地面5 m高的地方，那么物体所经过的路程为__5___5___m.
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8. [2024 深圳一模]如图，在四边形 ACBD 中，对角线 AB， CD 相交于点 O，∠ACB＝90°，BD＝CD，若∠DAB＝ 2∠ABC，则AADB的值为____12____.
则 sin A＝( C )
4
3
4
3
A. 3
B. 4
C. 5
D. 5
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4. [2024南阳期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan A ＝2，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15 cm，12 cm， 0 cm，1 cm，则直尺宽BD的长为( ) A. 1 cm B. 1.5 cm C. 2 cm D. 2.5 cm
AT＝BH，
∴△ATK≌△BHK(AAS)．
∴AK＝BK.∴AB＝2AK＝2AD.∴AADB＝12.
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9. 无动力帆船是借助风力航行的. 如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N.
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∠DAT＝∠TAK，在△ ADT 和△ AKT 中，AT＝AT，
∠ATD＝∠ATK， ∴△ADT≌△AKT(ASA)．∴AD＝AK. ∵BD＝CD，DH⊥BC，∴BH＝CH.
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∵DH⊥BC，DH⊥AE，∠ACB＝90°，
∴易得四边形 ACHT 为矩形．∴AT＝CH＝BH.
∠TAK＝∠KBH，在△ ATK 和△ BHK 中，∠AKT＝∠BKH，

北师大版九年级数学下册第一章达标检测卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章达标检测卷(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，∠ACD 的正弦值是23，则ACAB 的值是( )A.255B.23C.355D.522．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm3．在△ABC 中，sin B ＝cos(90°－∠C )＝12，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．如图，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB ＝( ) A.25B.23C.52D.325．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( )A.33B.233C.533D ．53二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝12，则tan A ＝ .8．(2019·赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)9．(2019·咸宁) 如图，某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB (这段河流的两岸平行)，他们在点C 测得∠ACB ＝30°，点D 处测得∠ADB ＝60°，CD ＝80 m ，则河宽AB 约为 ____ m ．(结果保留整数，3≈1.73)10．(2019·柳州)在△ABC 中，sin B ＝13，tan C ＝22，AB ＝3，则AC 的长为．11．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ∶BC ＝4∶5，则sin ∠DCF 的值为12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝ .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：sin 30°－(cos 45°－1)0＋32tan 2 30°.14．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个直角三角形．15.已知α为锐角，且tan α是方程x 2＋2x －3＝0的一个根，求2sin 2α＋cos 2α－ 3 tan (α＋15°)的值．16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小路同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上．若BC ＝2，求AF 的长．(请你运用所学的数学知识解决这个问题)17．(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD＝30 m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到AC的第几层？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．19．(2019·广元)如图，某海监船以60海里/小时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向．(以下结果保留根号)(1)求B，C两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．20.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD.若tan C＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019·连云港)如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里，在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．(结果保留根号)(参考数据：sin 37°＝cos 53°≈35，cos 37°≈sin 53°≈45，tan 37°≈34，tan 76°≈4)22．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB ＝25cm ，AB 与墙壁DD ′的夹角∠D ′AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 形成的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．六、(本大题共12分)23．(2019·岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD 为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，∠ACD 的正弦值是23，则ACAB 的值是( B )A.255B.23C.355D.522．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm3．在△ABC 中，sin B ＝cos(90°－∠C )＝12，那么△ABC 是( A )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．如图，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB ＝( B ) A.25B.23C.52D.325．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233C.533D ．53二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝12，则tan A ＝512.8．(2019·赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__8.1__m __．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)9．(2019·咸宁) 如图，某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB (这段河流的两岸平行)，他们在点C 测得∠ACB ＝30°，点D 处测得∠ADB ＝60°，CD ＝80 m ，则河宽AB 约为 __69__ m ．(结果保留整数，3≈1.73)10．(2019·柳州)在△ABC 中，sin B ＝13，tan C ＝22，AB ＝3，则AC 的长为3 ．11．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ∶BC ＝4∶5，则sin ∠DCF 的值为 35.12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝ 2 .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．计算：sin 30°－(cos 45°－1)0＋32tan 2 30°.解：原式＝12－1＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝12－1＋12＝0.14．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.由tan B ＝ba ，得b ＝a tan B ＝4tan 60°＝43.由cos B ＝a c ，得c ＝acos B＝4cos 60°＝8.所以∠A ＝30°，b ＝43，c ＝8.15.已知α为锐角，且tan α是方程x 2＋2x －3＝0的一个根，求2sin 2α＋cos 2α－ 3 tan (α＋15°)的值．解：解方程x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝－3.∵tan α>0，∴tan α＝1，∴α＝45°，∴2sin 2α＋cos 2α－3tan (α＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan 60°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222－3×3＝1＋12－3＝－32.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小路同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上．若BC ＝2，求AF 的长．(请你运用所学的数学知识解决这个问题)解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BCtan A ＝2tan 30°＝2 3.由题意，得EF ＝AC ＝23.在Rt △EFC 中，∠E ＝45°， ∴CF ＝EF ·sin 45°＝23×22＝6，∴AF ＝AC －CF ＝23－6.17．(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD ＝30 m ，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3 m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30°，此刻楼BD 的影子会遮挡到AC 的第几层？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)解：设太阳光线GB 交AC 于点F ，过F 作FH ⊥BD 于H ，AC ＝BD ＝3×10＝30 m ，FH ＝CD ＝30 m ，∠BFH ＝∠α＝30°，在RtBFH 中，tan ∠BFH ＝BH FH ＝BH 30＝33，∴BH ＝30×33＝103≈10×1.7＝17，∴FC ＝HD ＝BD －BH ≈30－17＝13，∵133≈4.3，所以在四层的上面，即第五层．答：此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的5层．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC.(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．解：(1)∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝92＋62＝313.∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ，∴△BEF ∽△BAD. ∴EFAD ＝BFBD ＝BEBA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23， ∴EF ＝4，BF ＝6，∴DF ＝3， ∴在Rt △DEF 中，DE ＝42＋32＝5米.19．(2019·广元)如图，某海监船以60海里/小时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D 处海监船追到可疑船只，D 在B 的北偏西60°方向．(以下结果保留根号)(1)求B ，C 两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝30°，∴BE ＝BC ×sin ∠BCE ＝12BC ，CE ＝BC ×cos ∠BCE ＝32BC ，在Rt △ACE 中，∵∠A ＝45°.∴AE ＝CE ＝32BC ，∵AB ＝60×1.5＝90，∴AE －BE ＝32BC －12BC ＝90，解得BC ＝90(3＋1)．故B ，C 相距(903＋90)海里．(2)过点D 作DF ⊥AB 于F ，由(1)，得DF ＝CE ＝32BC ，∴DF ＝135＋453，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，∴BD ＝2DF ＝270＋903，∴海监船追到可疑船只所用的时间为(270＋903)÷90＝(3＋3)h.20.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，DE ⊥BC 于E ，连接BD.若tan C ＝2，BE ＝3，CE ＝2，求点B 到CD 的距离．解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，则∠BFC ＝90°.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △DEC 中，∵tan C ＝2，EC ＝2，∴DE ＝4.在Rt △BFC 中，∵tan C ＝2，∴BF ＝2FC ，设BF ＝x ，则FC ＝12x ，∵BF 2＋FC 2＝BC 2，∴x 2＋(12x)2＝(3＋2)2，解得x ＝25，即BF ＝25. 答：点B 到CD 的距离是25.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．21．(2019·连云港)如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里，在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．(1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；(2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．(结果保留根号)(参考数据：sin 37°＝cos 53°≈35，cos 37°≈sin 53°≈45，tan 37°≈34，tan 76°≈4)解：(1)在ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－37°－53°＝90°.在RtABC 中，sin B ＝AC AB，∴AC ＝AB ·sin 37°＝25×35＝15(海里)．答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里．(2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ，由题意易知，D ，C ，M 在一条直线上．在RtAMC 中，CM ＝AC ·sin ∠CAM ＝15×45＝12(海里)，AM ＝AC ·cos ∠CAM ＝15×35＝9(海里)．在RtAMD 中，tan ∠DAM ＝DM AM，∴DM ＝AM ·tan 76°＝9×4＝36(海里)，∴AD ＝AM 2＋DM 2＝92＋362＝917(海里)，CD ＝DM －CM ＝36－12＝24(海里)．设缉私艇的速度为x 海里/小时，则有2416＝917x ，解得x ＝617.经检验，x ＝617是原方程的解．答：当缉私艇的速度为617海里/小时时，恰好在D 处成功拦截．22．22．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB ＝25cm ，AB 与墙壁DD ′的夹角∠D ′AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 形成的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE ＝50cm ，CE ＝130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．33．解：过点B 作BG ⊥D ′D 于点G ，延长EC 、GB 交于点F ， ∵AB ＝25，DE ＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB ≈25×0.60＝15，GA ≈25×0.80＝20， ∴BF ＝50﹣15＝35，∵∠ABC ＝72°，∠D ′AB ＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．六、(本大题共12分)23．(2019·岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD 为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.解：(1)四边形CDBG ，HBFE 为矩形，∴GB ＝CD ＝1.7，HB ＝EF ＝1.5，∴GH ＝0.2，在Rt AHE 中，tan∠AEH ＝AHHE，则AH ＝HE ·tan ∠AEH ≈1.9a ，∴AG ＝AH －GH ＝1.9a －0.2，在Rt ACG 中，∠ACG ＝45°，∴CG ＝AG ＝1.9a －0.2，∴BD ＝1.9a －0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD 为(1.9a －0.2)米；(2)1.9a －0.2＋a ＝52，解得，a ＝18，则AG ＝1.9a －0.2＝34. ∴AB ＝AG ＋GB ＝35.7.答：慈氏塔的高度AB 为35.7米．。

北师大版九年级数学下册第一章达标测试卷含答案

北师大版九年级数学下册第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【2022·长春】如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC＝α，下列关系式正确的是()A．sin α＝ABBC B．sin α＝BCAB C．sin α＝ABAC D．sin α＝ACAB2．已知α为锐角，且cosα＝12，则α等于()A．30°B．45°C．60°D．无法确定3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为()A．35B．34C．105D．14．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱AC高为a.冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．a sin 26.5° B.atan 26.5°C.acos 26.5°D．a cos 26.5°5．【2021·威海】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是()6．【教材P15习题T4变式】如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是()A．200 m B．200 3 m C．220 3 m D．100(3＋1)m7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝2，tan C＝12，则线段AC的长为()A．10 B．8 C．8 5 D．4 58．【教材P20随堂练习T2变式】如图，大坝横截面的背水坡AB的坡比为12，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为()A．43米B．63米C．65米D．24米9．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB 等于()A．25B．23C．52D．3210．【2022·天津南开中学月考】如图，△ABC，△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠B＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠E＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若A点到B 点的距离AB＝1.6 m，则DE的长度约为(参考数据：sin 43°≈0.7，tan 43°≈0.9，sin 20°≈0.3，tan 20°≈0.4)()A．2.6 m B．2.8 m C．3.4 m D．4.5 m二、填空题(每题3分，共24分)11．【教材P21习题T1变式】如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为__________m.12．【教材P6做一做改编】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝25，则BC的长是________．13．【2022·北京清华附中模拟】如图，P(12，a)在反比例函数y＝60x的图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________．14．【教材P24复习题T4变式】在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝12，则sin B＝________.15．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向航行10 n mile到B处，再从B处向正西方向航行20 n mile到C处，这时这艘船与A处的距离为________ n mile. 16．【2022·通辽】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE的值为________．17．【教材P26复习题T17改编】如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C 与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6 m，则旗杆AB的高度为________m.18．【2021·荆州】如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B 转动，测量知BC＝8 cm，AB＝16 cm.当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC ＝50°时，点C到AE的距离约为________cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0.94，3≈1.73)．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．【教材P24复习题T6改编】计算：(1)【2022·乐山】sin 30°＋9－2－1； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋4cos 60°·sin 45°－(tan 60°－2)2.20．【教材P 16例2改编】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，∠B ＝60°，求这个三角形的其他元素．21．【2022·杭州第十三中月考】为了承办2023年亚运会，杭州市加强城市绿化建设．如图，工作人员正在对该市某河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得该河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 和C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200 m ，求该河段的宽度(结果保留根号)．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝23，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为点E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的长；(2)tan∠CDE的值．23．【2022·长沙第一中学期中】慈氏塔位于洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的身高CD为1.7 m，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG 为45°，小琴的身高EF为1.5 m，她站在距离塔底中心B点a m远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos 62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.90)．(1)求小亮与塔底中心的距离BD(用含a的式子表示)；(2)若小亮与小琴相距52 m，求慈氏塔的高度AB.24．【2022·常德】第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成，如图②是其示意图．已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD 的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)．答案一、1．D2．C3．B4．B5．D6．D7．D8．C9．B 10．B点拨：∵FD⊥BE，AC⊥BE，AF∥BE，∴∠ACB＝∠FDE＝90°，DF＝AC.在Rt△ACB中，AC＝AB·sin B≈1.6×0.7＝1.12(m)，∴DF＝AC≈1.12 m.在Rt△DEF中，tan E＝DF DE，∴DE≈1.120.4＝2.8(m)．二、11．acosα12．22113．51214．25515．10 316．2－117．14.418．6.3点拨：如图，过点B，C分别作AE的垂线，垂足为点M，N；过点C作CD⊥BM，垂足为点D.在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16 cm，∴BM＝AB·sin 60°＝16×32＝83(cm)，∠ABM＝90°－60°＝30°.在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC－∠ABM＝50°－30°＝20°，∴∠BCD＝90°－20°＝70°.又∵BC＝8 cm，∴BD＝8×sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)．∴CN＝DM＝BM－BD≈83－7.52≈6.3(cm)，即点C到AE的距离约为6.3 cm.三、19．解：(1)原式＝12＋3－12＝3；(2)原式＝1＋4×12×22－(3－2)2＝1＋2－(2－3)＝－1＋2＋ 3.20．解：∵∠C ＝90°，∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. ∴BC ＝AC ·tan A ＝15×33＝5 3. ∴AB ＝2BC ＝2×53＝10 3.21．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，知∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝45°， ∴∠CAD ＝45°. ∴∠ACD ＝∠CAD . ∴AD ＝CD .∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ＝ADBC －AD，即AD 200－AD＝3，解得AD ＝(300－1003)m.答：该河段的宽度为(300－1003)m.22．解：(1)在Rt △DEA 中，∵DE ＝2，sin A ＝23，∴AD ＝DE sin A ＝223＝3.∵DB ＝9，∴AB ＝BD ＋AD ＝12.在Rt △ABC 中，∵AB ＝12，sin A ＝23， ∴BC ＝AB ·sin A ＝12×23＝8.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝12，BC＝8，∴AC＝AB2－BC2＝122－82＝4 5. 在Rt△DEA中，∵DE＝2，AD＝3，∴AE＝AD2－DE2＝32－22＝ 5.∴CE＝AC－AE＝3 5.∴tan∠CDE＝CEDE＝352.23．解：(1)易知四边形CDBG、四边形HBFE为矩形，∴CG＝BD，GB＝CD＝1.7 m，HE＝BF＝a m，HB＝EF＝1.5 m.∴GH＝0.2 m.在Rt△AHE中，tan∠AEH＝AHHE，则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a m，∴AG＝AH－GH≈(1.9a－0.2)m.在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG≈(1.9a－0.2)m.∴BD≈(1.9a－0.2)m.答：小亮与塔底中心的距离BD约为(1.9a－0.2)m.(2)由题意得1.9a－0.2＋a≈52，解得a≈18，则AG≈34 m.∴AB＝AG＋GB≈34＋1.7＝35.7(m)．答：慈氏塔的高度AB约为35.7 m.24．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH－EM＋EN.根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40米．∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°.在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50米，∴AH＝AF·sin∠AFH≈50×0.64＝32(米)．在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝(7－m)米，∴EM＝MG·tan∠EGM＝m tan 36°(米)，EM＝FM·tan∠EFM＝(7－m)tan 25°(米)．∴m tan 36°＝(7－m)tan 25°，解得m≈2.74.∴EM≈2.0米．∴AB＝AH－EM＋EN≈32－2.0＋40＝70(米)．答：此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．。

北师大版九年级下册九年级下册第一章核心素养评价卷

北师大版九年级下册九年级下册第一章核心素养评价卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．432=（）A ．1-B 1C 1-D 13．如图，小明为了测量其所在位置点A 到河对岸点B 之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m m ，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于 ( )A ．m ·sin αmB ．m ·tan αmC ．m ·cos αmD ．tan m αm 4．如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知100CD =米，点C 在BD 上，则山高AB =（）A ．100米B ．C ．D ．)501米 5．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（）A ．34B ．43C ．35D ．456．一人乘雪橇沿坡度为1S （米）与时间t （秒）之间的关系为S=10t+2t 2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A ．72米B ．36米C ．D ．米 7．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米8．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米二、填空题 9．等腰ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，则cos 2A =________.10．在△ABC 中，∠C=90°，cos B a ==b= ．11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D .已知AC =2BC =,那么sin ACD ∠=___________12．若锐角A 满足()2sin 15A ︒-=，则A ∠=________.13．若A ∠，B 是ABC ∆的两个内角，|2sin 0B -=，则C ∠=________.14．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110m ，那么该建筑物的高度BC 约为_____m ）．三、解答题15．（1）计算：2sin 45cos603tan30sin60︒︒︒︒+-⋅-.（2）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，AC =点D 为EC 边上一点，且2BD AD =，60ADC ︒∠=，求ABC ∆的周长.（结果保留根号）16．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A =120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．17．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．18．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin22º≈38，cos22º≈1516，tan22º≈25)参考答案1．A【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴，∴sinA=63105 BCAB==.故选：A．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．2．A【解析】【分析】a（a≥0）、tan30°【详解】解：∵tan30°=3＜1，∴原式=1-tan30°=13-．故答案选A.【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式等考点的运算．3．B【解析】∵tanα=ABm，∴AB=mtanα米.故选B.点睛：熟记三角函数公式. 4．D【解析】【分析】直角△ABC 与直角△ABD 有公共边AB ，若设AB=x ，则在直角△ABC 与直角△ABD 就满足解直角三角形的条件，可以用x 表示出BC 与BD 的长，根据BD-BC=CD ，即可列方程求解．【详解】设AB=x 米，在直角△ACB 中，∠ACB=45°， ∴BC=AB=x 米，在直角△ABD 中，∠D=30°，tanD=AB BD，∴BD=30AB tan ， ∵BD-BC=CD ，，得：x=50）．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的方法，解决的关键是注意到两个直角三角形有公共的边，利用公共边表示其它的量，从而把问题转化为方程问题．5．B【解析】试题分析：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD 是直角三角形．∴tanC=BD CD =43故选B ．考点：三角形的中位线定义、勾股定理的逆定理、三角函数6．B【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.【详解】当4t =时，210272s t t =+=，设此人下降的高度为x 米，过斜坡顶点向地面作垂线，在直角三角形中，由勾股定理得：)22272x +=，解得36x =.故选：B .【点睛】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.7．D【解析】∵坝高12米，斜坡AB 的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D ．8．A【解析】【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．4 5【解析】【分析】作AD⊥AC，交BC于点D，将△ABC分割成两个直角三角形，进而在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD 的值，根据三角函数的定义，可得cos2A ．【详解】解：作AD ⊥AC ，交BC 于点D ，易得D 为BC 的中点，在Rt △ABD 中，有AB=5，BD=3；由勾股定理可得：AD=4，故cos 2A =sinB=AD AB =45．故答案为：45 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及等腰三角形的性质、勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系．10【解析】试题分析：由cos 2B =，可求得∠B=30°，又tanB=b a =3，即可求出b 的值．∵∠C=90°，cos 2B =， ∴∠B=30°，∴∴b a∴考点：解直角三角形．11【解析】【分析】根据勾股定理可求出斜边长．易证∠ACD=∠B ，sinB=AC AB ．【详解】在Rt △ABC 中，∵AB 2=AC 2+BC 2，∴AB=3．∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B ．∴sin ∠ACD=sinB=AC AB 【点睛】考查三角函数的定义及灵活进行等量转换的能力．12．75︒【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A-15°=60°，进而求出即可．【详解】∵()2sin 15A ︒-=∴()sin 15A ︒-=∴∠A-15°=60°，∴∠A=75°．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 13．75︒【解析】，根据特殊函数值可解的∠A，∠B度数，结合根据非负数的性质可得tanA＝1，sinB＝2三角形内角和定理可求∠C．【详解】B-=|2sin0∴tanA＝1，sinB＝2∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°．【点睛】本题考查了非负性，考查了特殊三角函数值、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握30°、60°、45°这些特殊角的特殊三角函数值．14．300【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．15．（1）1-（2）5++【解析】（1）利用特殊函数值计算即可；（2）要求△ABC 的周长，只要求得BC 及AB 的长度即可．根据Rt △ADC 中∠ADC 的正弦值，可以求得AD 的长度，也可求得CD 的长度；再根据已知条件求得BD 的长度，继而求得BC 的长度；运用勾股定理可以求得AB 的长度，求得△ABC 的周长．【详解】解：（1）原式2132232⎛=+-⨯- ⎝⎭11222=+--1=-（2）在Rt ADC ∆中，90︒∠=C ，60ADC ︒∠=，∴2sin AC AD ADC ===∠，1tan tan 60AC DC ADC ︒===∠． ∴24BD AD ==．∴415BC BD DC =+=+=.在Rt ABC ∆中，AC =5BC =.∴AB ===∴ABC ∆的周长为5AB BC AC ++=+【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，以及特殊三角函数值的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．16．灯杆AB 的长度为2米．【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG=AC=11．设BF=3x知EF=4x、DF=BFtan BDF∠，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF-GF=1，再求得∠BAG=∠BAC-∠CAG=30°可得AB=2BG=2．【详解】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan∠β=34．设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=BF DF，∴DF=31=62BF xx tan BDF=∠，∵DE=18，∴12x+4x=18．∴x=4．∴BF=12，∴BG=BF-GF=12-11=1，∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°．∴AB=2BG=2，答：灯杆AB的长度为2米．【点睛】本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．17．.【解析】【分析】如图，作PC ⊥AB 于C ，构造出Rt △PAC 与Rt △PBC ，求出AB 的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.【详解】如图，过P 点作PC ⊥AB 于C ，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt △PAC 中，tan ∠PAC=PC AC ，∴，在Rt △PBC 中，tan ∠PBC=PC BC ，∴，∵40=400，∴答：建筑物P 到赛道AB 的距离为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.18．（1）12m （2）27m【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM ，利用0AM tan22ME =，求出即可．（2）利用Rt △AME 中，0ME cos22AE=，求出AE 即可．【详解】解：（1）过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x ．在Rt △ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x ，∴BC=BF ＋FC=x ＋13．在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB －BM=AB －CE=x －2，又∵0AM tan22ME =，∴x 22x 135-≈+，解得：x≈12． ∴教学楼的高12m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．在Rt △AME 中，0ME cos22AE =， ∴AE=MEcos22°≈15252716⨯≈． ∴A 、E 之间的距离约为27m ．。

2025年北师大版九年级下册数学第1章测素质锐角三角函数的计算

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9. 在△ ABC 中，∠ABC＝90°.若 AC＝10，sin A＝35，则 AB 的长是____8____.
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10.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移 a(a>0)个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转 θ 角度，这样的图形运动叫做图形的 ρ(a，θ)变换. 如：点 A(2，0) 按照 ρ(1，90°)变换后得到点 A′的坐标为(－1，2)，则点 B( 3，－1)按照 ρ(2，105°)变换后得到点 B′的坐标为 _(_－___2_，___2_)__.
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在 Rt△ ADN 中，∠ADN＝60°，AN＝3 cm， ∴AD＝sinAN60°＝ 33＝2 3(cm)．
2 ∴四边形 ABCD 的周长为 2 3×4＝8 3(cm)．
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三、解答题(共52分) 12. (12分)计算： (1)[2024 深圳]－2·cos 45°＋(π－3.14)0＋|1－ 2|＋14－1；
弦值是( D )
A.
3 4
B.
4 3
C.
3 5
D.
4 5
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2. 已知∠A＋∠B＝90°，且 cos A＝35，则 tan B 的值为( C )
4
3
A. 5
B. 5

3
4
C. 4
D. 3
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3. 2024 年 5 月 29 日 16 时 12 分，“长春净月一号”卫星搭乘
谷神星一号火箭在黄海海域成功发射. 如图，当火箭上升
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5. 在△ ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 sin A＝ 23，tan B ＝1，则△ ABC 的形状是( C )

北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章核心素养评价卷

北师大版九年级下册九年级下册第一章核心素养评价卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，在一笔直的海岸线上有两个测点，，从处测得船在北偏东的方向，从处得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离北的长为（）A．B．C．D．2 . 已知点与点A(-5,0), B(0,12),C(a,a) 是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（）D．A．B．C．3 . 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM= α（0°＜α ＜90°），给出四个结论：①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE③BN－AM ＝2 ④.上述结论中正确的个数是A．1B．2C．3D．44 . 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．B．C．D．5 . 下列说法正确的个数（）①②的倒数是-3 ③④的平方根是-4A．0个B．1个C．2个D．3个6 . 如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1B．2C．2D．37 . 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为A．9米B．6米C．6米D．（6+）米8 . 下列说法正确的是（）A．全国文明办对包头市全体市民进行文明指数测评适合采用普查的方式B．已知平面直角坐标系第二象限中一点A的坐标为(-4,-a),则点A到x轴的距离为aC．因式分解:x4+81=(x-3)(x+3)(x2+9)D．小明沿着坡度为1∶的坡面向下走了2米,那么他下降的高度为1米二、填空题9 . 如图，是边长为的等边三角形，取边中点，作交于点，交于点，得到四边形，它的面积记做，取边中点，作交于点，交于点，得到四边形，它的面积记做．照此规律作下去，则________．10 . 设β为锐角，且x2+2x+sinβ=0的两根之差为，则β=______.11 . 若锐角A满足，则________.12 . 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则sinA= ______ ．13 . △ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC= 50cm，AB+BD+DA =40cm，那么AD=_____,14 . 2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝_____（m）．三、解答题15 . 问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）创新小组在缜密小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B 与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，试求tan∠C'CH的值．16 . 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到文昌路的距离为米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为秒且∠APO=60°，∠BPO=45°．（1）求A、B之间的路程；（参考数据：，）（2）请判断此车是否超过了文昌路每小时70千米的限制速度？17 . 小明为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小明此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（sin15°≈0.2588，cos15°≈0.9659 ，tan≈.0.2677 )18 . 2021年世界园艺博览会将在扬州枣林湾举办，有一块枣林湾博览会的直传牌CD竖立在路边，其中CB是支柱．小梅同学想计算出CD的长度．于是在A处测得支柱B处的俯角为30°．测得顶端D处的仰角为42°，同时测量出AB的长度是10m，BC的长度是6m．求宜传牌CD的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：≈1.73，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、7、8、二、填空题1、2、3、4、5、6、三、解答题1、2、3、4、。

北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章核心素养评价卷

北师大版九年级下册九年级下册第一章核心素养评价卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（）A．米B．米C．米D．9米2 . 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知sinα＝，则小车上升的高度是：A．5米B．6米C．6.5米D．7米3 . 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，与轴交于、两点，的顶点记为，则的面积为（）．A．B．C．D．4 . 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．10m C．15m D．5m5 . 如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A．B．C．D．6 . 在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=2，cosB=，则AC的长为（）A．B．2C．4D．7 . 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为（）A．100m B．120m C．100m D．120m8 . 下列计算正确的是（）．A．B．C．D．二、填空题9 . 若tana=，则sina=___________________.10 . 在△ABC中，若，则∠C的度数是_____．11 . 如图，在菱形ABCD中，，垂足是点E，，，则菱形ABCD的周长是________，面积是________.12 . 如图，在一条南北走向的高速公路左侧有一古塔C，小亮爸爸驾驶汽车沿高速公路从南向北匀速行驶，上午9：00他行驶到A点时，测得塔C在北偏西37°方向，上午9：11行驶到B点时，测得塔C在南偏西63.5°方向，若汽车行驶的速度为90km/h，则在行驶的过程中，汽车离塔C的最近距离约是_____km．（sin37°≈，tan37°≈，sin63.5°≈，tan63.5°≈2）13 . 已知α是锐角，且2cosα=1，则α=______；若tan(α+15°)=1，则tanα=______.14 . 如图,已知正方形ABCD的边长为8,点O是AD上一个定点,AO=5,点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度,按照A→B→C→D的方向,在正方形的边上运动,设运动的时间为t(秒),当t的值为________ 时,△AOP是等腰三角形。

北师大版九年级数学下册第一章学情评估附答案 (4)

北师大版九年级数学下册第一章学情评估一、选择题(每小题3分，共30分) 1．tan 45°的值为( )A.12B.22C.32 D ．12．一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙脚的距离为( )A ．5cos 40°米B ．5sin 40°米 C.5tan 40°米 D.5cos 40°米3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么下列各式中正确的是( )A ．tan A ＝512B ．tan A ＝513C ．sin A ＝512D ．cos A ＝5124．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P (3，4)，则sin α＝( )A.43B.34C.45D.35(第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 5．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值中，错误的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE的值是( )A.24B.14C.13D.237．如图，港口A 在观测站O 的正西方向，AO ＝4 n mile ，某船从港口A 出发，沿北偏西30°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏西60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( ) A ．2 3 n mile B ．4 n mile C. 3 n mile D ．(3＋1) n mile8．如图为某大坝的横截面，斜坡AB的坡比为1∶2，背水坡CD的坡比为1∶1，若坡面CD的长度为6 2米，则斜坡AB的长度为()A．4 3米B．6 3米C．6 5米D．24米(第8题)(第9题)(第10题)9．将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于()A.63 B.6＋24 C.3＋13 D.3－1210．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前C处的距离DC是20米，坡长BC是12米，斜坡BC的坡度为1∶3，则大楼AB的高度为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)()A．39.4米B．37.9米C．32.1米D．30.6米二、填空题(每小题3分，共15分)11．计算18－4sin 45°的结果是________．12．如图，斜坡AB的坡度为1∶3，该斜坡的水平距离AC＝6米，那么斜坡AB 的长等于______米．(第12题)(第13题)(第14题)(第15题)13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE＝4，cos A＝35，则菱形的周长为________．14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cos C＝12，AB＝6 3，AC＝6，则BC的长为______________________________________________．15．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B(0，3)，点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是(______，______)．三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16．(10分)计算．(1)sin2 30°＋cos2 30°＋tan 30°tan 60°；(2)tan 45°sin 45°－2sin 30°cos 45°.17．(8分)如图，在△ABC中，cos B＝2，sin C＝35，AC＝5，求△ABC的面积．18．(8分)如图，小明在自己家中(点A处)分别测得正对面大楼最高处点C的仰角为60°，大楼底部点D的俯角为15°.已知两楼AB，CD之间的距离BD为60 m，求楼高DC.(参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，≈1.73，结果保留整数)19.(9分)在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5 m的测角仪(AE和BD)测得大树顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离(AB)为20 m，已知点A，E，F，C，B，D在同一竖直平面内，且FC⊥AB，求大树的高度CF.(结果保留根号)20．(10分)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶3，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．21．(10分)学校组织了公园踏青活动，同学们在公园游玩时被公园中心的一尊塑像深深吸引．综合与实践小组的同学们开展了测量这一塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，用测倾器测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．根据以上测量结果，请你帮助该综合与实践小组求出该塑像的高度AB.(参考数据：sin 35.0°≈0.57，cos 35.0°≈0.82，tan 35.0°≈0.70，sin 33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan 33.5°≈0.66，结果精确到0.01 m)22．(10分)某校建了一所图书馆以供学生阅读使用，该校“数学社团”的小玲和小红同学决定用自己学到的知识测量图书馆的高度，她们把“测量图书馆的高度”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：课题测量图书馆的高度测量示意图说明：D为斜坡上一点，斜坡与水平线的夹角∠DCE＝α，∠ADC＝β(B，C，E三点在同一条直线上).测量数据αβCD的长度BC的长度37°82° 4.5米13米(1)请帮助这两位同学根据上表中的测量数据，求图书馆AB的高．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)(2)据施工人员介绍，图书馆的高度为19.8米，请说明本次测量结果产生误差的原因，并提出一条减小误差的合理化建议．23．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．(1)如图①所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．(用含a，b，α的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图②所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．答案一、1．D 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 提示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴△BEF ∽△DAF ， ∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12AD ， ∴EF AF ＝BE AD ＝12，∴EF ＝12AF ， ∴EF ＝13AE .由点E 是边BC 的中点，易得AE ＝DE ， ∴EF ＝13DE .设EF ＝x ，则DE ＝3x ， ∴DF ＝DE 2－EF 2＝2 2x ， ∴tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 2 2x ＝24.7．B 8.C9．D 提示：过点D 作DE 垂直于BC 的延长线于点E ，可得∠CED ＝90°.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，∴∠DCE ＝45°， ∴∠CDE ＝45°，∴DE ＝CE . 设DE ＝CE ＝x ，则易得CD ＝2x ，在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝60°， ∴tan ∠ADC ＝3＝ACCD ，则AC ＝6x ，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝∠BCA ＝45°， ∴BC ＝3x ，∴在Rt △BED 中，tan ∠CBD ＝DE BE ＝x （1＋3）x ＝3－12.10．A二、11.2 12.2 10 13.40 14.1215．(1，3) 提示：∵点B (0，3)，∴OB ＝3，连接ME ，∵点B 和点E 关于直线OM 对称， ∴OB ＝OE ＝ 3.∵点E 是线段AO 的中点，∴AE ＝OE ＝3，AO ＝2OE ＝2 3， ∵AB ⊥OB ，∴∠ABO ＝90°. 根据勾股定理得AB ＝AO 2－OB 2＝（2 3）2－（3）2＝3，易知∠AEM ＝90°，∴cos A ＝AE AM ＝AB AO ，即3AM ＝32 3，解得AM ＝2，∴BM ＝AB －AM ＝3－2＝1， ∴点M 的坐标是(1，3)．三、16.解：(1)原式＝14＋34＋33×3＝2.(2)原式＝1×22－2×12×22＝0. 17．解：过点A 作AD ⊥BC 于D .∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，sin C ＝35，AC ＝5， ∴AD ＝AC ·sin C ＝5×35＝3，∴CD ＝AC 2－AD 2＝4.在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，cos B ＝22， ∴∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴BD ＝AD ＝3，∴BC ＝BD ＋CD ＝3＋4＝7. ∴△ABC 的面积是12×AD ×BC ＝12×3×7＝10.5.18．解：由题意得∠AHC ＝∠AHD ＝90°，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°， ∴四边形ABDH 是矩形． ∵BD ＝60 m ，∴AH ＝BD ＝60 m ，在Rt △AHD 中，tan ∠HAD ＝HDAH ， ∵∠HAD ＝15°，tan 15°≈0.27， ∴HD ≈0.27×AH ＝0.27×60＝16.2(m)，在Rt △AHC 中，tan ∠CAH ＝HC AH ， ∵∠CAH ＝60°，∴HC ＝3×AH ＝60 3≈103.8(m)， ∴DC ＝HC ＋HD ≈103.8＋16.2＝120(m)．答：楼高DC 约为120 m.19．解：如图，连接ED ，CF 与DE 交于点G ，可得ED ⊥CF .∵AB ＝20 m ，∴易得DE ＝DG ＋EG ＝20 m ，在Rt △CDG 中，∵∠CDG ＝45°，∴易得DG ＝CG ，在Rt △CEG 中，∵∠CEG ＝30°， ∴∠ECG ＝60°，∴EG ＝CG ·tan 60°， ∴DE ＝CG ·tan 60°＋CG ＝20 m ，即DE ＝3CG ＋CG ＝20 m. ∴CG ＝(10 3－10) m. 又∵GF ＝1.5 m ，∴CF ＝CG ＋GF ＝10 3－10＋1.5＝10 3－8.5(m)．答：大树的高度为(10 3－8.5) m.20．解：如图，过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥DH于F，∴∠AHD ＝∠OHN＝∠DFE＝∠EFH＝90°.易知四边形EFHN为矩形，∴EN＝FH·EF＝HN.∵坡面DE＝20米，山坡的坡度为1∶3，∴易得EF＝10米，DF＝10 3米，∴DH＝DF＋FH＝DF＋EN＝DF＋EC＋CN＝10 3＋10＋20＝10 3＋30(米)，在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH×tan 30°＝(10＋10 3)米，∴AN＝AH＋HN＝AH＋EF＝10＋10 3＋10＝20＋10 3(米)，∵∠BCN＝45°，∴易得CN＝BN＝20米，∴AB＝AN－BN＝10 3≈17(米)．答：条幅的长度约是17米．21．解：由题意，得AB⊥BC，CE⊥BC，EG⊥AB，DF⊥AB，∴∠B＝∠C＝∠EGB＝∠DFG＝∠FDE＝90°，∴四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，∴BG＝CE＝1.70 m，FG＝DE＝CE－CD＝1.70－1.06＝0.64(m)，EG＝DF.在Rt△AEG中，∠AEG＝33.5°，∠AGE＝90°，∴tan 33.5°＝AGEG，即EG＝AGtan 33.5°.在Rt△ADF中，∠ADF＝35.0°，∠AFD＝90°，∴tan 35.0°＝AFDF，即DF＝AFtan 35.0°，∴AGtan 33.5°＝AFtan 35.0°，即AG0.66≈AG＋0.640.70，解得AG≈10.56 m，∴AB＝AG＋BG≈10.56＋1.70＝12.26(m)．答：该塑像的高度约为12.26 m.22．解：(1)如图．过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DG⊥CE，垂足为G，在Rt△DCG中，∠DCE＝37°，CD＝4.5米，∴DG＝CD·sin 37°≈4.5×0.60＝2.7(米)，CG＝CD·cos 37°≈4.5×0.80＝3.6(米)．由题意得∠DFB＝∠FBC＝∠DGB＝90°，∴四边形BFDG为矩形．∴BF＝DG≈2.7米，DF＝BC＋CG≈13＋3.6＝16.6(米)．易知DF∥BG，∴∠CDF＝∠DCG＝37°.∴∠ADF＝∠ADC－∠FDC＝82°－37°＝45°.在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，DF≈16.6米，易得AF＝DF≈16.6米．∴AB＝AF＋BF≈16.6＋2.7＝19.3(米)．答：图书馆的高约为19.3米．(2)原因：测量过程中，测角仪的精确度不够高，导致产生误差等．建议：进行多次测量求其平均数，即可减小误差．(答案不唯一，合理即可) 23．解：(1)如图．由题意得BD ＝a 米，CD ＝b 米，∠ACE ＝α， ∠B ＝∠D ＝∠CEB ＝90°，∴四边形CDBE 为矩形，则BE ＝CD ＝b 米，BD ＝CE ＝a 米，在Rt △ACE 中，tan α＝AE CE ，即AE ＝CE ×tan α＝a tan α米，而AB ＝AE ＋BE ，故AB ＝(a tan α＋b )米，答：灯杆AB 的高度为(a tan α＋b )米．(2)由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC ＝ED ＝2米， CH ＝1米，DF ＝3米，CD ＝1.8米，由于AB ∥ED ，∴△ABF ∽△EDF ，此时ED DF ＝AB BF ，即23＝AB BC ＋1.8＋3.① ∵AB ∥GC ，∴△ABH ∽△GCH ，此时AB BH ＝GC CH ，即AB BC ＋1＝21，② 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧AB BC ＋1.8＋3＝23，AB BC ＋1＝2，解得⎩⎨⎧AB ＝3.8米，BC ＝0.9米. 答：灯杆AB 的高度为3.8米．。

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