利息理论 第4章 变额年金

( Ia ) n v 2v 3v nv
2 3
n
两边同乘(1+i):
(1 i )( Ia ) n 1 2v 3v 2 nv n1
2 n 1 n
两式相减：
i ( Ia ) n (1 v v v ) nv
an nv
v( Ia ) n v 2v 2 nv n
两式相减： )n (1 v v 2 v n1 ) nv n (1 v)( Ia
an nv
( Ia)n d
n
n nvn a
终值
( I) n (1 i ) ( Ia ) n s
k 2k nk
n
akn sk
~ ( Da )n
n
ank sk
isk
2）期初付
ank sk
n ~ ( Da )n
iak
七、每年支付m次的变额年金
等差跳跃式递增年金
等差均匀递增年金
（一）、等差跳跃式递增年金
1、期末付 设年利率为i，第一年内每次给付1/m；第二年内 每次给付2/m；----；第n年内每次给付n/m。则： (m) 第一年给付现值为 a 1 (m) 第二年给付现值为 2va1 ---n 1 ( m ) 第n年给付现值为 nv a
k
两式相减
~ [(1 i ) k 1](Ia ) n (1 v v
k 2k
v
( n1) k
) nv
ank
nk

akn ak
nv
nk
~ ( Ia )n
ak
nvnk isk
永续年金
ank ( Ia) lim
n
ak
nv isk
nk
1 2 isk i sk ak
讨论

1）若i=r
2 2 3 n1 n
a v (1 i)v (1 i) v (1 i) v
v v v nv n 1 i
2)当r<i时，收敛，有永续年金。
1 r n 1 ( ) lim a lim 1 i n ir n
( Ia)n i
n
n nvn a
终值
( Is ) n (1 i ) ( Ia ) n
n

n n s i
1）期初付 各年初支付如下： 1，2，3，-----，n 现值：

) n 1 2v 3v 2 4v 3 nv n 1 ( Ia
两边同乘V:
1 (m) ( an nv n ) m
( I ( m ) a ) (nm ) ( anm ) nvn m[(1 i ) 1]
1 m

( anm ) nvn i ( m)
2、终值
(I
( m)
s)
( m) n

( nm) nvn a
i
( m)
(1 i)
两边同乘(1+i):
(1 i )( Da ) n n (n 1)v (n 2)v 2 v n1
两式相减：
i ( Da ) n n (v v v )
2 n
n an
( Da)n n an i
终值
( Ds ) n (1 i ) ( Da ) n
(m ) n
( Ia )
(m) n

3、终值
( Is )
(m) n

n n s i (m )
n n s d (m)
( I) s
(m) n

4、永续年金
( Ia )
(m)
lim
n
an nv i
( m)
n
1 (m) i d
1 (m) d d
t 0
n
例：一项期限为6年的连续变额年金，支付率均 匀递增，已知
1 iak
2）期初付
ank ak ~ ( Ia )n nv iak
nk
永续年金
ank ( Ia) lim ak
n
nv iak
nk
1 2 2 iak i ak
1 iak
2、n年期递减型
1）期末付：每次的利率为i，各年末的给付如 下 n，n-1，n-2，---，2，1 现值
1 ir
例、一项年金在第一年末付款为1，000元，以后每年 增长10%，共计10年，i=5%，求该年金的现值。
解：r=10% n=10 年金现值为：

i=5%
1 r 10 1 ( ) 1 i a 1000 (i r ) ir 1184666元 .
六、每年结转k次利息的变额年金
已知：n=5 m=4 i=4%
解：i(4)=0.039414 1)

4000 Ia)54) ( (
a5 5v5 4000 ( 4) i
5279390元 . 6423178元 .
4000 Is)54) ( (
5 5 s 4000 ( 4) i

2）
1 1 2 m 16
1 v i
an
an1 an
五、几何级数年金
各年末给付如下 1，(1+r)，(1+r)2，----，(1+r)n-1 现值：

a v (1 r )v (1 r ) v (1 r ) v
2 2 3
n1 n
两边同乘(1+r)v，得：
a n an
四、平顶虹式年金
各年末的给付如下 1，2，3，---n，n，n-1，---3，2，1 现值：

( Ia ) n

v ( Da) n
n
an nv i
n
v
n
n an i

an v an
n
.
i
n 1

an vn (van ) i
(1 r )va (1 r )v (1 r ) v (1 r ) v
2 2 3 n n1
两式相减得：
[1 (1 r )v]a v (1 r ) v
n n1
ir 1 r n a v[1 ( ) ] 1 i 1 i
1 r n 1 ( ) 1 i a (i r ) ir
n

s
( m) n
n
i
( m)
3、永续年金
(I
( m)
a)
( m) ( anm) nvn lim ( m) n
i
1 (m) (m) d i
4、对于期初付年金
(I
(I
( m)
a)
) s
( m) n
( m) n

( anm ) nvn d ( m)
1、n年期递增型年金 1）期末付：每次的利率为i，各年末的给付如 下 1，2，3，---，n 现值

~ ( Ia )n v k 2v 2 k nv nk
两边同乘(1+i)k,得：
~) 1 2v k nv ( n 1) k (1 i ) ( Ia n
第四章 变额年金
主要内容
标准递增型年金 标准递减型年金 虹式年金 平顶虹式年金 几何级数年金 每年结转k次利息的变额年金 每年支付m次的变额年金 连续变额年金

一、标准递增型年金
1、n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-----，n 现值：


解：该年金的现值为：
900 a10 100 ( Ia )10
900a10 100 1088699元 . a10 10v i
10
二、标准递减型年金
n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-----，1 现值：

(Da)n nv (n 1)v 2 (n 2)v3 v n
n

n(1 i) sn
n
i
2、期初付
现值：
( Da)n
终值：
n an d
n
( D) n (1 i ) ( Da ) n s
n(1 i)n sn d
三、虹式年金
各年末的给付如下 1，2，3，---n，n-1，---3，2，1 现值：

( Ia ) n
( m)

nm) n s( d ( m)
(I
( m)
a)
( m)
1 (m) (m) d d
例：某期末付年金，每年支付4次，共支付5
。 年，每年利息结转1次，年利率为4%，现采
用两种方式付款。 （1）第一年每次支付1000元，以后每年各 次支付额比前一年各次支付增加1000元； （2）首次支付1000元，以后每次支付额比 前次付款增加1000元。 求两种付款方式下的年金现值与终值。

解：1）现值为：
200 ( Ia )10
200 n nvn a i 5807 18元 .
2）终值为：
5807.181 i） 15062.33 （ 元
10
例2、某人希望购买一项年金，该年金在第一年末的 付款为1，000元，以后每年末比前一年增加100元， 共付10年，设i=5%，求该年金的现值。

v ( Da )n1
n
n nvn a i
v
n
(n 1) an1 i
.
1 n n n n (an1 1 nv nv v v an1 ) i 1 n n [(1 v )an1 1 v ] i 1 n (1 v )( an1 1) i
t 0
n

an nvn

( Is ) n
sn n

。

或：
Biblioteka Baidum
lim ( I
( m)
a)
( m) n
lim
a
( m) n
nv
n
n
m
i ( m)

an nv

。
2、一般连续递增年金 付款率 ：单位时间的付款额。


(t )
( Ia ) n (t )v dt
n

n n s d
2、永续年金
期末付
( Ia) lim
n
an nvn i
n nvn a d
1 d i
期初付
( Ia) lim
n
1 2 d
例1：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付 额比前一年增加200元，若i=5%,求该年金支付10年的 现值和终值。
( Ia )
an nv (m) lim ( m) n d
n
（二）、等差均匀递增年金
第一次末给付1/m2; 第二次末给付2/m2 第三次末给付3/m2 -- 第mn次末给付mn/m2 1、现值

(I
( m)
a)
( m) n
1 2 (v 2v 3v m nv ) m
( a54) 5v5 16000 ( 4) i
( 16000 I ( 4) a)54) (
18387131元 . 22370727元 .
( 16000 I ( 4) s)54) (
5 4) 5 s( 16000 ( 4) i
八、连续变额年金

1、连续均匀递增年金
( Ia ) n tv dt

1
该年金的现值为：
( Ia )
(m) n
a1( m ) 2va1( m ) nv n 1a ( m ) 1 n 1 (m) (1 2v nv )a1
an nvn d i i
( m)
a1

an nv i
(m )
n
2、期初付
an nv d

~ ) nv k (n 1)v 2 k v nk ( Da n
两边同乘(1+i)k,得：
~ (1 i ) k ( Da ) n n (n 1)v k v ( n1) k
两式相减
~ [(1 i ) k 1](Ia ) n n (v v v )
1 m
2 m
3 m
mn m
两边同乘 (1 i)
(1 i) ( I ( m ) a) ( m ) n
1 m
1 m
1 m m m m 2 (1 2v 3v m nv ) m
1
2
mn
1
两式相减：
1 ( m) ( m) m m m m m ( I a) n [(1 i) 1] 2 [(1 v v v v ) m nvn ] m 1 m 1 2 3 mn 1