概率论与随机过程习题答案

概率论与随机过程习题
答案
标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]
《概率论与随机过程》第一章习题答案
1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⨯=n n n
n S 100,
,1
,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品
都取出，记录抽取的次数。

解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解： {} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职
务），观察选举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其
中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几
种颜色。

解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如
连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为
正品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装
一只球，观察装球的情况。

解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示
球a 放在盒子A 中，余者类推。

（10）测量一汽车通过给定点的速度。

解：{}0>=v v S
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，
第三段的长度。

#
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。

解：C B A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。

解： C AB
（3） A ，B ，C 都发生。

解： ABC
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。

解： C B A ⋃⋃ （5） A ，B ，C 都不发生。

解： C B A
（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。

解： A C C B B A ⋃⋃ （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。

解： C B A ⋃⋃
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。

解： CA BC AB ⋃⋃. #
3. 设{
}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。

解： {}5=B A ；
（2）B A ⋃。

解： {}10,9,8,7,6,5,4,3,1=⋃B A ； （3）B A 。

解：{}5,4,3,2=B A ； （4） BC A 。

解： {}10,9,8,7,6,5,1=BC A
（5）)(C B A ⋃。

解： {
}10,9,8,7,6,5,2,1)(=⋃C B A . #
4. 设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x
A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=234
1
x x B ，具体写出下列各式。

（1）B A ⋃。

解： ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=⋃223410x x x x B A
（2）B A ⋃。

解： ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤⋃⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤⋃⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧<≤=⋃22
312
1410x x x x x x B A
（3）B A 。

解： {}φ=B A （4）B A 。

解：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
≤<⋃⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤=231214
1
x x x x
B A . #
5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求
A ，
B ，
C 至少有一个发生的概率。

解：由题意可知：0)(=ABC P ，故
()()()()8
5)()()()(=
+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。

或 φ=⋃⋃B C A )( ，
∴()()()()8
5
)()()())((=
+-+=+⋃=⋃⋃=⋃⋃B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。

#
6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。

（2） 至少有2个次品的概率。

解：（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛2001500110110090400； （2） 设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为： ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=∑=200150019911001400200150020011001)1()0(1)(200
2
P P k P k . #
7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）
（2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少
解：（1） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间
中，某指定房间中至少有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有
()k
n k n
k n N N N k n N N k n k P --⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(。

故，某指定房间中至少有一人的概率为：
n
n k N N P k P ⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=-=∑
=11)0(1)(1。

所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：
74634.025366.013653641500
=-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-
（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间
中，至少有二个人在同一间房中的概率。

设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。

“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：
!
n)(N !
N -。

所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。

0.42710.57291124-(12!12114
=-=-
=--
！
）n
N !
n)(N !N 。

#
8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都
找到为止。

求第4只次品管子在下列情况发现的概率。

（1） 在第5次测试发现。

（2） 在第10次测试发现。

解：（1） 10526789101234634=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；或1052
!6!4!10!3!441034=⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛； （2） 52
9106634=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

#
9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。

以A ，B 分别表示甲，乙二城市
出现雨天这一事件。

根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ⋃。

解： 7.04.028.0===
P(B)P(AB)P(A/B)；704
028
0...P(A)P(AB)P(B/A)== 5202804040....P(AB)P(B)P(A)B P(A =-+=-+=⋃。

#
10.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求
下列事件的概率。

（1） 二只都是正品。

（2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。

（4） 第二次取出的是次品。

(2) 45110!2!821022=⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！； (3) 451610!2!8282101218=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！；或45169810292108=⨯+⨯； (4)
45
9
9110292108=
⨯+⨯。

#
11.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需
的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
解：(1) 3.010!7!37!2!!931029=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！; (2) 6.05!
2!32!2!!43524=⨯⨯⨯=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛！。

#
12.某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。

它们生产的产品中分别有
5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。

问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少
解：设A 为“次品”，
已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；
05.0)/(1=B A P ，04.0)/(2=B A P ，02.0)/(3=B A P ，
0345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(3
1
=⨯+⨯+⨯==
∑=j j
j
B P B A P A P 。

故由，
)
()
()/()/(A P B P B A P A B P i i i =
可得：
36232.06925
0345.025.005.0)()()/()/(111≈=⨯==
A P
B P B A P A B P ；
40580.06928
0345.035.004.0)()()/()/(222≈=⨯==A P B P B A P A B P ；
23188.069
16
0345.040.002.0)()()/()/(333≈=⨯==
A P
B P B A P A B P 。

#
13.将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为，而B 被误收
作A 的概率为。

信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。

若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少
解：设：B A '',分别表示收到信息是A 和B 。

由已知条件可知:
020./A)B P(='，010./B)A P(='，980./A)A P(='，990./B)B P(='32/P(A)=，31/P(B)=。

300/197='+'='/A)A P(A)P(/B ）A P(B)P()A P(
9499.07
9196
1)()/()()/(==''=
'∴A P A A P A P A A P 。

#
14.如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。

假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设
各继电器接点闭合与否相互独立。

求L 至R 连通的概率是多少
解: ]6543231[)()()(P ⋂⋃⋃⋂⋃⋂
)P()P()P()P()P()P()P()
P()P()P()P()P()P()P()P(6542316543265431652314231654653243265314312316543231⋂⋂⋂⋂⋂-⋂⋂⋂⋂+⋂⋂⋂⋂+⋂⋂⋂⋂+⋂⋂⋂+⋂⋂-⋂⋂⋂-⋂⋂-⋂⋂⋂-⋂⋂-⋂⋂-⋂++⋂+⋂=
6542343p p p p p -+-+=。

#
15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为，第二次为，第三次为。

飞机击中一
次而被击落的概率为，击中二次而被击落的概率为，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

解: 设i A ：为第i 次射击命中飞机；i B ：飞机击中i 次而被击落。

C ：射击三次而击落飞机
[
]
+
++=)()()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P C P
[
]
)()()()()()(32133213213212A A A P B P A A A P A A A P A A A P B P +++
458.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0=++=++++++=。

#
16. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。

以X 表示取出的三只
球中的最大号码，写出随机变量X 的概率质函数。

解： ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=3521x x p
17. (1) 设随机变量X 的概率质函数为!
}{k a k X P k
λ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常
数a 。

（2）设随机变量X 的概率质函数为N
a
k X P ==}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。

解： （1）1!!
}{0
=====∑∑∑∞
=∞
=∞
=λλλae k a
k a
k X P k k
k k
k ， λ-
=∴e a
(2) 1N
a
*N N a }k X {P 1N 0
k 0
k ====∑
∑-=∞
= ， 1=∴a 。

#
18. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。

（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

设：n X X X Y +++= 21，则k
k k K Y P -⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==57.03.0}{。

（1）5=n 时，16308.07.03.05)3(55
3=⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≥-=∑k
k k k Y P （2）7=n 时，353.07
.03.07)3(7
37=⨯⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≥∑=-k k
k k Y P 。

#
19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼
唤的概率。

（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

解: 参数为4的泊松分布为：!4}{4
k e k X P k -⨯==， ,2,1,0=k 。

故，
(1) 02977.0!8*4}8{4
8===-e X P ； (2) ∑
===-
=≥10
00284350.0}{1}10{k k X P X P 。

#
20. 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥-=-.0,0,
0,1)(x x e x F x 求}3{},
2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。

解：（1）8647.01)2(}2{2=-==≤-e F X P
（2）04979.0)3(1}3{=-=>F X P (3) ⎪⎩⎪⎨
⎧≤≥='=-0
0,
0,)()(x x e x F x f x 。

#
21.
一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求
80.0}200120{≥≤<X P ,允许σ最大为多少
解： ]2)160(exp[21)(2
22
σπσ
--=
x x f
80
.05.0]2exp[212]2exp[21]2)160(exp[21}200120{2
/402
/40/
402
2
200
120
2
≥⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-=
--=
≤<∴⎰
⎰⎰
∞--dy y
dy y
dx x x P σσ
σ
ππσ
πσ
即，
9.0]2exp[21
2/40≥-⎰
∞
-dy y σ
π, 查表可得： 28.140
≥σ
25.31max =∴σ。

#
22
．设随机变量求X Y =解：由2X Y =可知：}9,4,1,0{=Y S 。

故有
23. 设X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧<<=其它,
00,2)(2
ππx x
x f ，求sinX Y =的概率密度。

解：1sin 0,0<=<<<x y x π ，故⎩
⎨⎧-=Y Y
X arcsin arcsin π。

又}arcsin {}arcsin 0{}sin {)(ππ<<-+≤<=≤==X y P y X P y X Y P y F Y
y dx x
dx x
y
y
arcsin 2
22arcsin 2
arcsin 0
2
π
π
π
π
π=+=
⎰
⎰
-， 10<<y
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-='=∴
其它,010,112
)()(2y y
y F y f Y Y π 。

# 24. 设概率变量（X ，Y ）的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它.020103
2,,
y ,x ,xy x )y ,x (f 求}1{≥+Y X P 。

解： ⎰⎰
⎰⎰-==≥+10
2
11dx ]dy )y ,x (f [dydx )y ,x (f }Y X {P x
Ω
dx )y x
y x (dx ]dy )xy
x ([x
x ⎰
⎰⎰
--+=+=1
02
122
1
02
12
6
3
72
65
4
1942452134651
2
341
023=
++=++=⎰
x x x dx )x x x (。

# 25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
⎩⎨
⎧≤≤=其它.,0,10,1)(x x f X ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-.000)(y ,,
y ,e y f y Y 试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。

解： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤≤≤Ω>-≤≤≤≤Ω≤≤=⎰⎰
⎰⎰
ΩΩ,0,0)0,10(,1,),()
0,0(,10,),()(21
21
z x z y x z dxdy y x f x z y z x z dxdy y x f z F z
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<>--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=------⎰⎰⎰⎰,
0,0,1),1e (1,10,110000z z e dx dy e z e z dx dy e z x
z y z z
x z y
⎪⎩
⎪
⎨⎧<>-≤≤-='=∴
--.0,0,
1,)1(,10,1)()(z z e e z e z F z f z z z z 。

#
26. 设概率变量（X ，Y ）的概率密度为
),2exp(21),(2
222
σ
πσ
y x y x f +-
=
+∞
<<∞-+∞<<-∞y x ,。

求22Y X Z +=的概率密度。

解：⎰⎰
⎰⎰≤+≤++-
==
z
y x z
y x Z dxdy y x dxdy y x f z F 2222)2exp(21
),()(2
222
σ
πσ
z y x ≤+22是以原点为中心，z
为半径的圆域。

且0>z ，故0<z 时，0)(=z F Z 。

令θθsin ,cos r y r x ==，则
)2exp(1)2exp()2()2exp()2exp(21)(20
20
22
22200
2
2
2
σσσθσπσπ
z
r r d r d rdr r z F z
z
z
Z --=--=-=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-=
⎰
⎰⎰
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥-
==
∴0,00),2exp(21
)()(2
2'z z z z F z f Z
Z σσ。

# 27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，
求其中没有一只寿命小于180 小时的概率。

解： 设k X 为取出的第k 只管子的寿命，故，
⎰
⎰
∞
-∞
-=--=⨯--
=
1
2
2
2180
0.8413y )2y exp(21
20
)160()202)160(exp(2201)180(d x y dx x F k X ππ
令
令),,,min(N 43214X X X X =。

因为}{k X 相互独立，且同分布，所以，
[]{}[
]
444min 44)1597.0()180(1)180(111)180(1}180{1}180{=-=---=-=≤-=>k k X X F F F N P N P 。

##
28. 设随机变量X 的概率质函数为
求)(),(),(53X E X E X E +
解：2.03.023.004.02)(-=⨯+⨯+⨯-=X E ，
8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ， 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E 。

#
29. 设X 服从二项分布，其概率质函数为
{}.10.,,2,1,0,)1(<<=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-p n k p p k n k X P k
n k 求)(X E 和)(X D 。

解：∑∑=-=-⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛===n
k k n k n
k p p k n k k X kP X E 0
)1(}{)( np
p p np p p k k n n n n np
p p k k n n n n k
n n
k k n k n
k k
n k
=-+=-------=-----=
-=----=-∑
∑
10
)
1()1(1
)1()1(!
)1()]2()1[()2)(1()1(!
)]1([)2)(1(
∑
=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-=n
k k
n k np p p k n k k X E X X E X X X E X E 0
2)
1()1()
()]1([])1([)(
np
p n n np p p p n n np
p p k k n n n p
n n n n
k k n k +-=+-+-=+--------=-=----∑
2220
)2()2(2
2
)1()1()1()1(!)2()]3()2[()3)(2()1( [])1()1()()()(22222p np p n np p n n X E X E X D -=-+-=-=。

#
30. 设X 服从泊松分布，其概率质函数为
{}.0,
,2,1,0,!
>==
=-λλλ
k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。

解： λλλλλλλλ
λ
=⨯=-==-
∞
=--∞
=-∑∑e e k e
k e k
X E k k k k 1
1
0!)1(!
)(，
λ
λλλλλλλ
λ+=+-=+-=
+-=+-=∑∑
∞
=--∞
=-22
2
20
2!
)2(!
)
1()
()]1([])1([)(k k k k k e
k e k k X E X X E X X X E X E
[]λλλλ=-+=-=2
2
2
2
)()()(X E X E X D 。

#
31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=，
其它0,,1
)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。

解： 2
1)(b
a dx a
b x
X E b
a +=
-=⎰， []()1221)()()(22
2
2
2
a b b a dx a b x X E X E X D b
a
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=
-=⎰。

#
32. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为
()+∞<<∞->⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-=
x x f ,02-x exp 21
)(2
2σσμσπ，。

求)(X E 和)(X D 。

解： ()⎰
∞
+∞-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=dx x X E 222-x exp 21
)(σμσπ， 令t x =-σμ
，则 ()
μ
ππ
μ
πμ
μσπμσπ==
-=
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=
⎰
⎰
⎰
∞
+∞
-∞
+∞-∞
+∞-222/exp 22exp )(212exp )(21
)(222dt t dt t t dx t t X E
其中，)2/exp()(2
t t t f -=为奇函数，故0)2/exp(2⎰+∞
∞
-=-dt t t ；
而()()()π22
1
2exp
2
2
/2/exp 22/exp 0
1
21
20
22==
-=-=-⎰
⎰⎰∞
+-∞
+∞
+∞
-)Γ(
dy y y t y dt t dt t
()παα=Γ-=
Γ⎰
+∞
-)21
(,exp )(01dx x x 。

()⎰
∞+∞-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--=
dx x X D 2
22
2-x exp )(21)(σμμσπ （令t x =-σμ） (
)
(
)
22
2
2
/22
2
2
222/exp 22/exp 22σππσπσπσ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-+-=
-=
⎰
⎰
+∞
∞-+∞∞
--+∞
∞
-dt t te
dt t t t 。

#
33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。

将球独立地，随机地放入4只盒子中
去。

以X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。

解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。

按题意，
X=4时的放法有13
3
=C 种，故64/1)4(==X P ； X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。

其的放法有
71333
32313=++=++C C C ，故64/7)3(==X P ；
X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。

其的放法有
3311012322120213][][C C C C C C C C +++++
191]11[3]121[3=+++++=种，故64/19)4(==X P ；
X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。

其的放法有
331111010123221202122212020213])([])()([C C C C C C C C C C C C C C C +++++++++
371]1)11[(3]1)11(2)121[(3=+++++++++=种，故64/37)4(==X P ；
1625
64146473641926437)(][4
1
=⨯+⨯+⨯+===
∴∑=i i X iP X E 。

16
48
641166479641946437)(][4
1
22
=⨯+⨯+⨯+=
==
∑
=i i X P i X E ， 5586.016143
16251648][][][2
222
2
≈=-=-=∴X E X E X D 。

#
34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立：
（1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； （2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

证： []{
}[][][][]{})()(2)()()()()(222Y E Y X E X Y E Y X E X E Y E Y X E X E Y X D --+-+-=-+-=+ []{
}[]{}[][]{})()(2)()(22Y E Y X E X E Y E Y E X E X E --+-+-= ),(2)()(Y X Cov Y D X D ++=
∴ ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+；
[][]{}{}
)()()()()()(),(X E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov ---=--=
)()()(Y E X E XY E -=
∴ )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

#
35. 设随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000x ,
x ,e f(x)x 。

求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期
望。

解：[]22220
0=-===+∞-+∞
-⎰x
x e dx xe X Y E ；
[
]3/13
1
30
22=-===+∞
-∞
+---⎰
x
x
x X
e dx e e
e
Y E 。

#
36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为
⎩
⎨
⎧<<<<=其它，,x,
y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。

解：
1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ， 故1210100===⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎰
⎰⎰K Kxdx dx Kdy x ，∴ 2=K 4
1
2),()(1
31
00=
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=
=
⎰
⎰⎰
⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dx x dx ydy x dxdy y x xyf XY E x 。

# 37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。

利用契契比
雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。

解： 已知：7300=μ，700=σ。

()μ==+73002/94005200 故令210073009400=-=ε
{}8889.09/821007*********
2
22≈=-=-≥=<-εσεμX P
∴ {}8889.09/82100≈≥<-μX P 。

#
38. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-000x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。

求)(X E 和)(X D 。

解： λ
λ
λ
λλ1
)2(1
1
)(0
0=
Γ=
=
=⎰
⎰+∞
-+∞
-dy ye dx xe X E y x ， （ !)()1(n n n n =Γ=+Γ）
[]2
2
2
2
22
20
2221
1
)3(1
1
1
1
)()()(λλλλλλλλ=
-
Γ=
-
=
-
=
-=⎰
⎰
+∞
-+∞
-dy e y dx e x X E X E X D y x 。

#
39. 设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=0,00),2exp()(22
2x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。

求)(X E 和)(X D 。

解： σ
ππ
σσσσ
σ2/2
2)1(22)2exp()(2
10
2
22
2
21
==+Γ==-
=⎰
⎰
+∞
-+∞
dt e t dx x x X E t ，
（ πn
n n 2
!!)12()(2
1-=+Γ）
[]2
2
2
2
2
2
22
32
2
2
42
2)exp(22
)2exp()()()(σππσσσ
πσσσ-=
-
=-=--
=
-=⎰
⎰
+∞
+∞
dt t t dx x x X E X E X D 。

# 40. 设随机变量X 的概率质函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。

其中p q ,p -=<<110为常数，则
称 X 服从参数为p 的几何分布。

试求)(X E 和)(X D 。

解：()p q p q p q p kpq
X E k k k k 1
1111)(21
1
1
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∑
∑∞=∞
=-， [][]21
1
2
2
2
11)1()()()]1([)()()(p
p pq
k k X E X E X X E X E X E X D k k -+
-=
-+-=-=∑∞
=-
=
()22
32211211p q p q q pq p q q pq p q q pq k k =
-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-"⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑
∞=。

#
41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20,20,)(8
1
),(≤≤≤≤+=y x y x y x f 。

求)(X E 、)Y (E 、
)Y ,X (Cov 。

解： 6
7
)(4
1)2(8
1
])([
8
1
),()(2
22
2
022
2
2
2=
+=
+=
+==⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰
∞+∞
-∞
+∞-dy x x dx xy y x dx dy xy x dy dx y x xf X E ， 6
7
)(4
1)2(8
1
])([
8
1
),()(2
22
2
22
2
2
2=
+=
+=
+==
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
∞+∞
-∞
+∞-dy y y dy y x x y dy dx xy y dy dx y x yf Y E ， 36
1676734)()()(),(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ， 3
4
)43()2
3(8
1
])([8
1
),()(2
22
2
22320
2
22=+=+=
+==
⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰
∞+∞
-∞
+∞-dy y y dy y x y x dy dx xy y x dy dx y x xyf XY E 。

# 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相
互独立的，且它们都在（，）上服从均匀分布。

（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为
解： 设X 为取整误差，则0)(=X E ,1212/σD(X)==。

（1） ⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
≈>=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>∑∑==34.1125/1512
/15001
1515001
1500
1k k k k X P X P
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨
⎧≤-=∑
=34.1125
1115001
k k X P
]34.1125134.11251[11500
1
15001⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑
∑==k k k k X P X P ⎰
⎰-∞--∞--+-=34.12/34.12/2
221211dt e dt e t t ππ
1802.00901.09099.01=+-=
或：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
≈>=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧>∑
∑==34.1125/1512/15001
151500
11500
1k k k k X P X P ]34.112511[21500
1
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑
=k k X P 1802.0]9099.01[2]211[234.12/2
=-⨯=-=⎰
∞--dt e t π
（2） 90.0]21
1[21/121012/110/12102/112=--=⎭
⎬⎫⎩
⎨
⎧<=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<⎰
∑
∑∞--==n t n k k n
k k dt e n X n P X P π 95.0]21/12102
/2
=⎰
∞
--n
t
dt e π
，645.1/1210≈n ，
∴ 443=n 。

#
43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。

在整个运行期间每个部
件损坏的概率。

为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。

每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为。

且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为。

解： 设每个部件损坏的概率10.0}0{==k X P ，则每个部件未损坏的概率90.0}1{==k X P 。

令∑==100
1100k k X η，由此可知100η具有参数为100=n ，90.0=p 的二项分布， 故整个系统工作
的概率为：
(1) }310
)
1(35{}390100)1(39085{
}10085{100100100100100≤--<-=-≤--<-=≤<ηηηηηp np np P p np np P P 9520.00475.09995.0213
/103
/52
/2
=-==
⎰
--dt e t
π
(2) }3)
1(3{}09.09.0)
1(09.09.08.0{
}8.0{100100n
p np np n P n
n n p np np
n
n n P n n P n n n ≤--<-
=-≤
--<
-=≤<ηηηηη 95.0]211[21213
/2
/3
/3
/2
/2
2
=-
-==
⎰
⎰
∞
----n t
n n t
dt e dt e π
π
975.0213
/2
/2
=⎰
∞
--n t
dt e π
⇒
96.13
=n
, ∴35=n 。

# 44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。

设每个电话分机有5%的时间要使用外
线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。

问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

解：设要m 条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

已知：05.0}1{==k X P ，95.0}0{==k X P
令∑==200
1k k n X η, 则n η具有参数为200=n ，05.0=p 的二项分布。

⎰
--=
⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤--<-=≤<5
.9/)10(5
.9/102
/2
215.910)1(5.910}0{m t
n n dt e m p np np P m P π
ηη
22∞
-∞
-π
π
9007.090.00007.090.021215
.9/102
/5
.9/)10(2
/2
2
=+=+=
⎰
⎰
-∞
---∞
--dt e dt e t
m t
π
π
32.15
.910=-m ⇒ 14=m 。

#。