《利息理论》复习提纲
利息理论总复习
1 + i0 = (1 + i )
k
则年金的现值和终值分别为： 则年金的现值和终值分别为：
& a& n i 和 &&n i s
0
0
3、永续年金
1）期末付
lim a kn sk
n→∞
1 − v kn 1 1 = lim ⋅ = （i为每次的利率） n→∞ i sk is k
2）期初付
i ( m ) = m(e m − 1)
δ
1、期末付年金的现值与终值
( ( anm ) (∞) = anm ) = i
1− v i ( m)
n
=
1 − e − nδ m(e m − 1)
δ
。
( ( s nm ) ( ∞ ) = s n m ) i
(1 + i ) n − 1 = i (m)
2 、期初付年金的现值与终值
第一章
利息的基础知识
1、积累函数
a ( t )=
或：
a n − a n −1 an
=
i 1+ i
d = i ⋅v i=
d 1−d
贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1− v
及：
vt = v = (1 − d )
t
t
及：
v = 1− d
at = (1 − d )
同理： 同理：
&&n m = &&n (1 + i ) = &&m + n − &&m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
利息知识点总结
利息知识点总结
以下是利息知识点总结：
1. 利息计算公式：I = P r n。
其中，I是利息，P是本金，r是年利率，n 是存款年限。
2. 复利计算公式：A = P (1 + r/n) ^ (nt)。
其中，A是终值，P是本金，r 是年利率，n是每年计息次数，t是存款年限。
3. 连续复利计算公式：A = P e ^ rt。
其中，A是终值，P是本金，r是年利率，t是时间（以年为单位）。
4. 贴现计算公式：V = F / (1 + r)^n。
其中，V是现值，F是未来值，r是年贴现率，n是贴现期（以年为单位）。
5. 简单利率和复利利率的区别：简单利率是指在存款期间利率不变，而复利利率则是在每个计息周期结束时将利息计入本金再计息。
6. 零存整取和整存整取的区别：零存整取是在每个计息周期结束时将利息计入本金再计息，而整存整取则是在存款期间利率不变。
7. 存款期限和利率的关系：一般来说，存款期限越长，相应的利率越高。
这是因为银行需要为长期资金提供更高的风险补偿。
8. 存款准备金和存款保险的区别：存款准备金是银行按照规定必须留存在银行的资金，而存款保险则是为了保障存款人的利益而设立的保险制度。
9. 贷款和债券的区别：贷款是银行或其他金融机构向借款人提供的直接融资方式，而债券则是借款人向投资者发行的债务证券。
10. 利率风险和信用风险的区别：利率风险是指因利率变动而导致的投资收益的不确定性，而信用风险则是指借款人违约而导致的损失。
第一章 利息理论基础
A (5 )
5000
1 5 2%
( 4 ) 2 % 复贴现计息
5556
5000 A ( 5 ) （ 1 2 % ）5 5531
3、名义（年）利率和名义（年）贴现率
（1）名义利率
名义利率
i m ，是指每
1 m
个度量期支付利息一
次，而在每 1 个度量期的实质利率为：i m
m
m
A nA n 1 In an an 1 d n A n A n an
n1,n为整数
同样有，第 1期的实质贴现率为：
d1A1 AA 111a1a 1a01a11 a111d1
（3）利率与贴现率之间的等关系
等价——相同的本金经过相同的计息周期 产生相同的累积值。
(1)d i v i(v 1 折现因子,discountfactor）
i 1 i
d m m
1
m im
m
d m
m im m im
1 d m
1 m
1 im
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例1.3答案
季、月、日、小时、分钟、秒等等。利 率通常是指年利率。） 时期长度（计息周期，Measure period）
举例说明：利率的度量期与计息周期
二、积累函数与贴现函数
1、积累函数（Accumulation Function）
a(t)
1--------------------------------- a (t )
1、单利和复利（假设时间t内利率相 同）
《利息理论》复习提纲
《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
利息理论知识点
利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。
在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。
第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。
它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。
第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。
其中最常见的是简单利息和复利息。
简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。
它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。
复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。
它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。
第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。
利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。
例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。
2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。
当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。
3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。
风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。
第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。
1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。
了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。
2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。
通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。
3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。
低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。
高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。
利息理论 第1章 利息的基础知识
第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息， 元为期初利息 是期末值的减少额。 -贴现额。 贴现额。 贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。 以An为标准的减少额。 年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。 以An-1为标准的增加额。
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
利息理论复习资料
贴现函数(discount function)
单利的贴现函数 a1(t) 1 (1 it)1 1 it
复利的贴现函数
a1(t)
1 1
i
t
(1 i)t
14
几个术语：
v 1 1i
vt
(1+ i)
(1 i)t
贴现因子： discount factor t年贴现因子： t-year discount factor 累积因子： accumulation factor
(1 dt)2 (d ) (1 dt)1
d, 1 dt
0 t 1/ d
单贴现的利息力是时间的递增函数。
32
复利在时刻 t 的利息力
因为
a(t) (1 i)t
a '(t) (1 i)t ln(1 i)
所以时刻 t 的利息力为
t
a '(t) a(t)
ln(1
i)
复利的利息力是常数！与时间无关。 ln(1 i)称为复利
m
1
d (m) m
m
（3）如果把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 计息期内等价的实 际利率和实际贴现率，则
i(m) d (m) i(m) d (m) m m mm
27
利息力(force of ) interest
定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小 的时间区间内）增长的强度。
问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？
答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存 1000元满3个月可得利息 1000 × 1.8 / 4 = 4.5 元。
21
名义利率与实际利率的关系： 名义利率与等价的实际利率有如下关系：
《利息理论》教学大纲
§6.1利息理论的应用
§6.2金融分析
本章教学要求：掌握诚实信贷、不动产抵押贷款的概念。会计算银行信贷业务的收益率、投资成本和固定资产的折旧。
第七章 利息的随即处理
§7.1随机利率
§7.2模型
本章教学要求：掌握随机利率的概念。会用资产估价模型分析不同类型投资收益率的变化规律，会用Black-Scholes模型和两项模型计算期权价值。
（2） 基本内容：利息、年金、收益率、债务偿还、偿债基金、债券与证券、随机利率。
（3） 基本要求：通过本课程的学习，使学生掌握应用数学工具对金融保险业务中与利息 有关的方面进行定量分析的一些方法，并为今后对现代金融业务作进一步研究或实务打下坚实的基础。
3．教 材：《利息理论》 刘占国编，南开大学出版社，2000年。
第四章 债务偿还
§4.1分期偿还计划
§4.2偿债基金
本章教学要求：掌握偿还贷款的两种主要方法：分期偿还方法和偿债基金方法。会计算在任何时刻的未偿还贷款余额，会划分还款对本金的偿还和利息的支付。
第五章 债券与其他证券
§5.1债券
§5.2其它类型的债券与证券
本章教学要求：掌握债券、股票的概念。会计算债券、股票的价格、收益率和其在被购买后的一给定日期的价值。
参考书：《 The Theory of Interest 》 S.G.kellison RICHARD D. IRWIN, INC. 1991.
二、讲授纲要
第一章 利息的基本概念
§1.1利息度量
§1.2利息问题求解
本章教学要求：掌握实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息效力、贴现效力的概念，知道利息度量中所涉及的基本原则与基本假设。会用时间图建立价值方程，从而求出原始投资的本金、投资时期的长度、利率或本金在投资期末的积累值。
《利息理论》期末复习
基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值 较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定 理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次 符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题
《利息理论概述及其应用3300字》
利息理论概述及其应用1 利息理论总结1.1 新凯恩斯主义的信贷配给理论新凯恩斯主义认为，信贷配给的大量存在是金融市场的突出特征，而利率的“逆向选择效应”和“风险承担刺激效应”的存在是产生信贷配给的根本原因。
信贷配给理论要求重新认识利率机制和信贷配给机制，该理论认为，在金融市场上，利率并不能迅速调整以使市场出清，与利率机制相比，信贷配给机制更为重要些。
关于利率的决定，新凯恩斯主义认为，投资者面临的利率变动并不能简单的由资金或货币的供求来解释，“借主偿付的实际利率的主要决定因素是投资的风险项目和安全项目的概率”，即他们之间的相对风险及其变化。
关于货币政策，新凯恩斯主义认为，即使利率在“流动性陷阱”中不变，货币政策仍可通过对信贷量的影响作用于经济。
政府干预能提高信贷市场资金配置效率，降低市场风险，稳定金融。
并指出政府干预信贷的必要条件是借款人的还款概率不可观察且借款人之间的还款概率存在差异。
还款概率差异越大，政府干预市场的效果越明显。
1.2 利率结构理论预期理论是最早用来解释长短期利率关系的，该理论认为，金融市场上实际存在的利率取决于贷款的期限结构。
任何长期证券的利率都同短期证券的预期利率有关，长期利率是该期间内预期短期利率的几何加权平均数，因此，预期理论对期限不同的利率存在差异的解释是因为人们对短期利率有着不同的预期。
市场分割理论认为，债券市场可以分割为不同期限的互不相关的市场，这些市场的利率由各自的供求所决定，彼此之间并无影响。
因此，不能简单地把长期利率看成是预期的短期利率的函数，长期利率的高低应该决定于长期债券市场各自资金的供求状况。
流动性偏好利率结构理论将预期理论和市场分割理论进行了综合，认为普遍避免风险的现象和对未来利率变动的预期都会影响利率结构。
由于经济活动存在风险，对未来短期利率是不能完全预期的，因此长期债券比短期债券的利率风险要大。
投资者为了减少风险，偏好于流动性较强的短期债券，而对于流动性相对较差的长期债券，投资者则要求给予风险补偿。
利息理论总结
第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。
总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。
A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。
那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。
2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。
3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。
利息知识点
利息知识点
定义：利息是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者（债权人）因贷出货币或货币资本而从借款人（债务人）手中获得的报酬。
包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。
计算公式：利息的计算公式为：利息=本金×利率×时间。
其中，本金是我们存入银行的钱，利息是取款时，银行多付的钱，利率是利息与本金的百分比。
利息理论：利息理论是金融数学的一个重要部分，主要研究的是利息的计算方法和利息的应用。
包括单利、复利、连续复利等不同的计算方式。
利率：利率是计算利息的一个重要参数，它表示的是单位本金在单位时间内产生的利息。
例如，如果你在银行里存了1000块钱，一年后，你的银行账户钱变成了1025元。
那么，多出来的25块钱就是利息，1000块就是你的本金，25÷1000 x 100%=2.5%。
这个2.5%就是利息率，也就是利率。
利息理论利息的基础知识共73页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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利息理论利息的基础知识
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
利息理论复习资料
一、名词解释1.价值等式2. 收益率3.债券的账面值4.银行家规则5.标准型年金6.利息强度的定义及其表达式7.债券的平价与市价8.延期年金9.偿债基金10．名义利率，实际贴现率，并请写出二者之间的等价关系11.永续年金12.债券溢价，债券折价二、简答题1.利息度量的主要方式有哪些？假设以复利计息，请写出各度量方式之间的等价关系式。
（需要写出4种以上）2.(1)1(,)(,)ni is n is n i+=+表示期末付标准型年金终值系数。
试简要说明该等式的经济含义。
3.利率变动型年金的利率变动形式有哪两种？请以期末付年金为例，分别写出其年金现值表达式。
4. 实际利率i与实际贴现率d之间有如下关系，i-d=id，试说明该等式的经济含义。
5. 设m大于1，按大小增加的次序排列i、m i、d、md与δ（需做简要推导）。
三、推导题1．推导首期付款额为P,以后每期付款额比前一期增加Q的期末付永续年金的现值公式。
2. 证明下列恒等式，其中，a(k),s(k)分别表示标准型期末付年金现值、终值系数。
（1）()()()ma m n a m a n v +=+（2）()()(1)()ms m n s m i s n +=++四、计算题1．确定10000元在3年末的积累值：（1） 名义利率为每季度计息一次的年名义利率6% （2）名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%2. 某人在第1、2年初各投资1000元到某基金，第1年末积累额为1200元，第2年末积累额为2200元。
（1） 根据投资额加权法，计算年收益率； （2）根据时间加权法计算年收益率。
3. 某投资者在每年初投资1000元，投资5年。
假设原始投资的利率为6％、而利息的再投资利率为5％：试计算该投资者在第5年末的积累值。
4.某投资者在每年初投资1000元，投资5年。
假设原始投资的利率为6％、而利息的再投资利率为5％：试计算该投资者在第5年末的积累值。
5. 假设债券A 的期限是5年，利率为8%；债券B 的期限是8年，利率是7%。
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《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=。
例题：1.1.12要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。
习题：1、2、3、4、15、16、19、24。
第二节 利息问题求解一. 价值等式 例题：1.2.1 二. 投资期的确定计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。
三. 未知时间问题72律：利率为i 时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i 。
例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1．线性插值法2．迭代法 例题：1.2.7重点：价值等式；利用线性插值法求利率。
习题：37、40、46。
第二章 年金第一节 年金的标准型 一. 期末付年金 现值为 211nn n n v a v v vv i--=++++=终值为 221(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n i s i i i i i--+-=+++++++++=n a 与n s 的关系：（1） (1)n n n i a s +=（2）11n ni a s =+ 例题：2.1.2、2.13 二. 期初付年金 现值为 ..22111n n n n v a v v vvd---=+++++=终值为 ..21(1)1(1)(1)(1)(1)n n nn i s i i i i d-+-=++++++++=..n a 与..n s 的关系： （1） ....(1)n n n i a s += （2）....11nnd a s =+期初付与期末付年金现值与终值之间的关系：..(1)n n a i a =+，..(1)n n s i s =+..11n n a a -=+，..11n n s s +=-例题：2.1.5 三. 永续年金（1） 期末付永续年金的现值21111lim n n n nn n a v v v v v v i i -∞∞→∞==+++++-===∑（2） 期初付永续年金..211111lim n n n nn n a v v v v v v d d ∞-∞→∞==++++++-===∑例题：2.1.6四. 年金的未知时间问题还款方式：（1） 标准式付款：按照规则的付款期进行支付（2） 上浮式还款：最后一期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头 （3） 扣减式付款：最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头 这三种方式付款的最后零头一般都不一致。
五. 年金的未知利率问题有关年金时间的计算方法：（1） 对于n 较小的情形，求解一元n 次方程，其有效根即为利率（2） 对于n 较大的情形，可用已知的年金值以及其倒数进行展开，再利用线性插值法求未知利率的有效数值解（3） 对于n 较大的情形，利用迭代法获得任意精度的数值解，此方法最为常用 只要求（1），迭代法不要求。
例题：2.1.10习题：4、5、7、8、22。
第二节 年金的一般型一. 付款频率与计息频率不同的年金1． 付款频率低于计息频率（1） 期末付年金 年金现值为：2(1)1111(1)1(1)1n k kkkn k k kk n k kkn n kk n kv v vv v v v v v v v i i i i a s ++++--==----==⋅+-+-=年金积累值为：2(1)(1)(1)11(1)1(1)1(1)1(1)n k n k k n n k k n ki i i i i i i i i s s --+++++++-+-+==⋅-+-+=例题：2.2.3、2.2.4（2） 期初付年金年金现值为：(1)2....1111111n k kkkn k n k k k n k n n kkv v vv v v v v i i v a a a a -++++--==---=⋅-==年金积累值为：....(1)(1)(1)(1)(1(1))(1(1)1(1)1(1)11n n k kk n n k k n k n n kki i i i i i i v i i i v s s a a -+++++++-+-+==-+-+-=⋅-==（3）永续年金 其现值为211(1)11k k nk k k k kv v v v v i is ++++==-+-=2． 付款频率低于计息频率设m 为每个计息期内的付款次数，n 为计息期数，i 为每个计息期的利率，m 、n 为正整数，总付款次数为mn 次。
（1） 期末付年金假设每个付款期期末付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。
()1/2/(1)/1/1/1/1/()1()1111(1)11m m mmn m n n m n m m nm n m a v v v v mv v m v vm i v i-+=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭⎛⎫-=⎪+-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()()()(1)1(1)(1)1m m nn n nn m n m s a i v i ii i =+-=⋅++-=显然()()()()11n n m m m m nn v v i i aa i i i i--==⋅= ()()()()(1)(1)m n m n m m n n n n i i s i a a i s i i =+⋅=⋅+=例题：2.2.7（2） 期初付年金假设每个付款期期初付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()..m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。
()..1/2/(1)/1/1/1(1)1111m n m m mn m n m n ma v v v mv m v v d-=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()....()()1(1)(1)(1)1m m n n nnnm nm vs a i i di d -=+=⋅++-=显然()....()()()11m n nn n m m m v v d d aa d d d d--==⋅= ()()........()()(1)(1)m m n n nnn nm m d d si ai a s d d=+=+⋅=例题：2.2.8永续年金的现值分别为()()1m m a i ∞=，()..()1m n m a d =二. 连续年金连续付款（付款频率无限大）的年金叫做永续年金。
连续付款n 个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值为001ln ntnntn t v v a v dt v δ=-===⎰其中t v 为时刻t 到时刻0 的折现因子。
连续年金的积累值为000(1)(1)1(1)(1)ln(1)ns n nnn t sn n s i i s a i dt i ds i δ-=++-==+=+==+⎰⎰三. 基本变化年金1. 各年付款额成等差数列关系1....11()1(1)(1)n n n n nn n n n nnn n a nv v a nvv Ia i i ia n va n v iia nv i+--+--=+=+-+-+==-=....()()(1)(1)n n nnnn n a nv Is Ia i i is n i -=+=+-=同理可得, ()nn nn n nn n a nv n nv a nv n a Da na iii---+-=-==(1)()()(1)n n nn n n i s Ds Da i i+-=+=要求计算它们的值。
2. 各年付款额成等比数列关系假设期末付款，第一次付款额为1，并且每次付款额都是前一次付款额的1+k 倍，共支付n 次，每个付款期的利率为i ，则该年金的现值为23212211(0)(1)(1)(1)[1(1)(1)(1)]1[(1)]()1(1)11()1n n n n n n V v v k v k v k v v k v k v k v k vi k v k k i i k---=+++++++=+++++++-+=≠-++-+=-四. 更一般变化年金1. 付款频率小于计息频率的情形(0)n nkka mv a V is -=2. 付款频率大于计息频率的情形（1） 每个计息期内的m 次付款额保持不变11()()()()()11()n n n n m m m m nnn m v niv v niv Ia ivi di ivia nv i++---==--= （2） 每个计息期内的m 次付款额按等差数列递增()()()()()n m nm m m n a nv I a i-=五. 连续变化年金(0)()n t V f t v dt =⎰注：四、五、部分不要求。