直线上一动点到两定点距离之和最小问题
中考最短路径问题专题训练(将军饮马-胡不归-瓜豆原理-辅助圆-费马点)
最短路径问题专题训练一、将军饮马问题特征：定直线上找一动点到两定点距离之和最小. 解法:做不动点对称点 如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？例1.（一动点两定点）如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．例2.（一定点两动点）如图，点P 是△AOB 内任意一点，△AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．例3.（一定点两动点）已知P 为△AOB 内部一定点，在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
二、费马点问题若点P 满足∠PAB =∠BPC =∠CPA =120°，则PA +PB +PC 值最小，P 点称为该三角形的费马点． 在∠ABC 内找一点P ，使得PA +PB +PC 最小．PBAP OBAMNP'M NAPOOPBMABCDMN例1.如图，在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．例2.如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．三、胡不归问题从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V 的值最小．ABCPCABCDME2驿道2MM【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin △DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH △AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tanA =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．例2. 如图，平行四边形ABCD 中，△DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则PB 的最小值等于________．总结：在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．四、瓜豆原理引例：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，ABCDEABCDP任意时刻，均有△AMQ △△AOP ，QM :PO =AQ :AP =1:2． 【模型总结】为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠P AQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．例1 如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______．例2 如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．五、辅助圆（轨迹圆/隐圆） 定直线对定角/四点共圆例1 如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，△APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．例2 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，△A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．O yxA BCM POABCDEF例3 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，BC =42 ，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为__________．例4 如图，∠A O B =45°，边O A 、OB 上分别有两个动点C 、D ，连接C D ,以CD 为直角边作等腰Rt △CDE ，且CD =CE ，当CD 长保持不变且等于2cm 时，OE 最大值为__________．综合练习1. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，△A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为__________．2. 如图，在Rt △ABC 中，△C =90°，AB =17，AC =8，D 为AB 边上的一动点，E 、F 分别为AC 、BC 上两点，且DE △DF ，则EF 的最小值为__________．3. 如图，△MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =2，BC =1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________．4. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为 2 +6,则正方形的边长 .5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =5，若AC =AD 且△ACD =60°，则当对角线BD 取得最大值时，对角线AC 的长是_________．lPO CBA A'NMABCD6. 在等边△ABC 中，AB =4，点D 是BC 的中点，连接AD ，P 为AD 上一动点，则CP +12BP 最小值为____．7. 如图，在等腰直角△ABC 中，BC =8，D 为BC 中点，E 为DC 中点，P 为AD 上一动点，则2PE +2AP 的最小值________．8. 如图，在△ABC 中，AB =AC =10，tan △A =2，BE △AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +55BD 的最小值为________．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为4.点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．10. 如图，AC 为边长为4的菱形ABCD 的对角线，∠ABC =60°，点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 运动.连接AM 和BN ，交于点P ，则PC 长的最小值为________．11. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF .连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H .若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．。
动点到两定点的距离最值
浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PB-PA)max =ABˊ=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB AB；同理在MAB中有MB-MA AB，即MB-MA-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB≦MA-MB≦AB。
到两个定点距离之和为定值的轨迹
到两个定点距离之和为定值的轨迹篇一：《神奇的轨迹之谜》嘿，同学们！你们想过没有，到两个定点距离之和为定值的轨迹到底是个啥样儿？这可真是个超级有趣又神秘的问题呢！就好像我们在操场上跑步，从起点跑到终点，再跑回来，这一段路程是不是固定的？那如果有两个固定的点，我们到这两个点的距离加起来总是不变的，那我们会走出什么样的路线呢？比如说，有两个大树，一个在东边，一个在西边。
我们从东边的大树出发，要走到一个地方，使得走到东边大树和西边大树的距离之和永远是一个固定的数字。
这难道不像是在玩一个超级有趣的寻宝游戏吗？我们得找到那个神奇的地方！我和小伙伴们就曾经一起研究过这个问题。
“哎呀，这到底是怎么回事呀？”小明抓耳挠腮地说。
“我觉得吧，可能是个圆！”小红眨着大眼睛猜测道。
“怎么可能是圆呢？圆不是到一个点的距离相等嘛！”小刚立刻反驳。
“那你说是什么？”小红不服气地问。
大家七嘴八舌地讨论着，谁也说服不了谁。
后来，老师给我们讲了，这其实是个椭圆！就像是一个被压扁的圆。
我们都惊讶得张大了嘴巴，“啊？原来是这样！”那椭圆到底有什么神奇的地方呢？它的形状有时候看起来长长的，有时候又扁扁的。
这不就像我们的心情，有时候开心得像个气球，有时候又低落得像个瘪了的皮球？而且呀，椭圆在生活中也有很多的用处呢！比如说，卫星绕着地球转的轨道就是个椭圆，还有一些桥的形状也是椭圆的一部分。
你们说，这是不是很神奇？所以呀，我觉得数学真的是太有趣啦！就这么一个小小的问题，居然能引出这么神奇的答案，还能在生活中有这么多的应用。
我们可不能小瞧了数学，说不定以后还能发现更多更有趣的奥秘呢！篇二：《探索神奇的轨迹》嘿！同学们，今天我要和你们聊聊一个超有趣的东西——到两个定点距离之和为定值的轨迹。
这听起来是不是有点神秘，有点让人摸不着头脑？想象一下，在一个大大的操场上，有两根高高的旗杆，这就是我们说的两个定点。
然后呢，有一个小朋友拿着一个超级长的跳绳，跳绳的一头绑在第一根旗杆上，另一头绑在第二根旗杆上。
(完整版)中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题
“将军饮马”老歌新唱——例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？图1A地B地这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AO⊥L交L于O点，延长AO至A'，使A'O=AO；连结A'B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A'C 是相等的。
而A'B是一条线段，所以A'B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。
这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。
这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。
一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3 D分析与解：正方形ABCD 是轴对称图形，对角线AC 所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B 、D 关于对角线AC 对称,在这个问题中D 和E 是定点，P 是动点。
我们可以找到一个定点D 的轴对称点B ，连结BE ，与对角线AC 交点处P 就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE 的和的最小值恰好等于BE ,因为正方形ABCD 的面积为12，所以它的边长为23，即PD +PE 的最小值为23。
高考数学_浅析动点到两个定点的距离之和(差)的最值
浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值江苏省泰州市民兴实验中学马永华在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．许多同学在面对此类问题时感到束手无策，无从下手。
本文就此类最值问题常见题型作初步探索。
一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB=此时，点P的坐标为（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA ?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB=此时，点P的坐标为变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点B?（3，-2），则有PB=PB?当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PB??AB?(当且仅当A，P，B?三点共线时等号成立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点B?，则有PB=PB?当点P在x轴上运动时，PB- PA= PB?- PA ?AB?(当且仅当A，P，B?三点共线时等号成立)∴(PB-PA)max =AB?=此时，点P的坐标为归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．例2函数的值域为．解析：将函数进行化简得：即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：该值域为二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；解析：(1)如图5，在∆MAB中有MA-MB<AB，当M，A，B三点共线且MB>MA即点M位于M2处时，有MA-MB=AB，所以MA-MB?AB；同理在∆MAB中有MB-MA?AB，即MB-MA?-AB(当点M位于M1处时等号成立)综上所述：-AB?MA-MB?AB（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF?BF(当且仅当点M位于点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；解析：(1)如图7，在∆PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=．(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2?8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13．点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP?，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P?三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2).（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP?，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当A，P，P?三点共线，即点P位于点P1处时取等号)此时点P的坐标为P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；解析：如图11，为抛物线的准线，MM?为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：MF=MM?，可得MA+MF= MA+MM??AM?（当且仅当A，M，M?三点共线时等号成立，即当点M在M?处时等号成立）此时点M的坐标为M(，-2)（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PP?垂直y轴于点P?，则AP+ PP?的最小值为．解析：如图12，延长PP?交抛物线的准线于点P??，由抛物线的定义：PP?=PF，所以AP+ PP?= AP+ PP??-1= AP+PF-1?AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．。
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题
关于平面内动点到两定点距离之和、差的最值问题摘要：本文通过几道例题，探求了直线或圆锥曲线上一动点到平面内两定点(或一定点一定线)的距离和、差的最值问题，揭示了这一难点问题的本质及其共同解法。
关键词：动点；距离；最值在高三复习过程中经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和(差)的最值。
许多学生在面对此类问题时常常感到束手无策。
本文就此类最值问题及其常见题型作一初步探索。
一、动点在直线上时：即为动点P(x，0)到两定点A(1，1)、B(3，-2)的距离之和。
可知：该值域为总结反思：一般地，求距离之和的最小值应让两点处于直线的异侧，如在同侧则作其中一点关于直线的对称点，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与直线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于直线的同侧，如在异侧则作其中一点关于直线的对称点，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与直线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边二、动点在圆锥曲线上时1.动点在抛物线上时2.动点在双曲线上时反思感悟：一般地，动点在圆锥曲线上求这两种距离时，定点给的要相对特殊一些。
求距离之和的最小值仍然应让两点处于圆锥曲线的异侧，如在同侧则利用圆锥曲线的定义转化为异侧，异侧两点的距离即为所求的最小值，两点连线与圆锥曲线的交点即为取最小值时的动点，其依据是：三角形两边之和大于第三边；求距离之差的最大值应让两点处于圆锥曲线的同侧，如在异侧则利用圆锥曲线的定义转化为同侧，同侧两点的距离即为所求的最大值，两点连线的延长线与圆锥曲线的交点即为取最大值时的动点，其依据是：三角形两边之差小于第三边。
由此进一步体会圆锥曲线的定义在解题中的重要应用。
参考文献：[1]王朝银.创新设计[Ｍ].西安:陕西人民出版社,2009.作者单位：陕西省延安中学邮政编码：716000。
直线上一动点到两定点距离之和最小问题
直线上一动点到两定点距离之和最小问题．如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值所在直线的对称点与另一定p二、其中一定点关于动点点连结成的线段长即所求。
例题讲解）两点，3（3，），、平面直角坐标系内有A（2，-1B1 轴上一动点，求：是yP点B 距离之和最小时的坐标；P）到A、（1 距离之和的最小值；、BA2（）P到的周长的最小值。
PAB（3）三角形2，DM=2在CD上且MABCD例2、正方形的边长为8，点DN+MN的最小值是多少？在对角线动点NAC上，则3的A2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点3例．（顺OOA绕原点0），连结OA，将线段，坐标为（－2 OB.时针旋转120°，得到线段B的坐标；（1）求点、、O三点的抛物线的解析式；A（2）求经过B，使△C2）中抛物线的对称轴上是否存在点3（）在（C的周长最小？若存在，求出点的坐标和BOC.的最小周长；若不存在，请说明理由△BOCyBOA x4巩固提高边的BC中，点Q为、在边长为12㎝的正方形ABCD PQAC上一动点，连接PB、，中点，点P为对角线周长的最小值为____________㎝。
则△PBQ是等边三12，2、如图所示，正方形的面积为ABCDABE △AD内，在对角线角形，点在正方形P ACABCDE E 的和最小，则这个最小值为，使上有一点PE PDP CB（）．B．AD．C 3 ．662325，⊥BCABCD中，AD∥BC，AB3、已知直角梯形PD取P=2，BC=DC=5，点在BC上移动，则当PA+AD）APD最小值时，△中边AP上的高为（3D A、BC、、、482171717171717的两条对角线分别，荆门）如图，菱形ABCD4、（2008 分别P是对角线AC上的一个动点，点M、N8长6和，点值，则PM+PN的最小BC 是边AB、的中点是。
O在，点AMN=25、（2009，南通）如图，MN是O的直径，0上的一BAMN=30，为弧AN的中点，P是直径MN上，∠个动点，则PA+PB的最小值是。
求一动点到两定点距离问题
•（2008•广安）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是 对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为————．
.A
M B’
a
N
b
.B
求一动点到两定点之和最短①两定点在 直线同侧关键做对称点②两定点在直线 两侧关键平移一个河宽
天桥一模
市中一模
(2)也可证 △AOC∽△ACB(SAS)得 ∠ACB=∠AOC=90°
市中一模
小结：相似更简单 （3）求CM+DM最小值是联 想到修建自来水水塔问题关 键做出C或D的对称点或相似
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同侧关键 做对称点②两定点在直线两侧关键平移一个河宽
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同侧关键做对称点②两定点在直线两 侧关键平移一个河宽
三函数第4课时二次函数
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同 侧关键做对称点②两定点在直线两侧关键平移 一个河宽
1）利用交点式求表达式简单 2）因为AC一定，故关键求PC+PA最小，所以先求A点关于l 的对称点B与C点的直线表达式，其与l的交点即为P点 3）三角形为等腰三角形需分三种情况讨论
三函数第4课时二次函数
天桥一模
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线 同侧关键做对称点②两定点在直线两侧关键 平移一个河宽
县二模试题13题
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同侧关键做对 称点②两定点在直线两侧关键平移一个河宽
如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线 a的距离为2，点B到直线b 的距离为3，AB=2√30，试在直 线a上找一点M，在直线b上找一点N,满足MN⊥a且 AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=
二次函数中求一动点到两定点之和最短问题
二次函数中求一动点到两定点 之和最短问题
学习此类问题解题方法与思路
市中一模
勾股定理 的逆定理 (2)也可证△AOC∽△ACB(SAS) 得∠ACB=∠AOC=90° （3）求CM+DM最小值是联想到修建自来 水水塔问题关键做出C或D的对称点或相似
市中一模
小结：相似更简单
三函数第4课时二次函数
求一动点到两定点之和最短①两定点在直线同 侧关键做对称点②两定点在直线两侧关键平移 一个河宽
1）利用交点式求表达式简单 2）因为AC一定，故关键求PC+PA最小，所以先求A点关于l 的对称点B与C点的直线表达式，其与l的交点即为P点 3）三角形为等腰三角形需分三种情况讨论
三函数第4课时二次函数
求一动点到两定点之和最短 ①两定点在直线同侧关键做 对称点②两定点在直线两侧 关键平移一个河宽
a当点C为顶角顶点时M1(1,0)
初中几何求最小值的方法
初中几何求最小值的方法嘿，咱今天就来讲讲初中几何求最小值的那些事儿哈！你想想看，在几何的世界里，有时候我们就像是在迷宫里找最短的路一样，要找到那个最小值，可不容易呢，但一旦找到了，哇塞，那成就感，杠杠的！先来说说常见的一种方法，就是利用两点之间线段最短。
这就好比你要从 A 点到 B 点，那肯定是直接走直线最短呀，对不对？比如说在一个三角形里，要让一个动点到另外两个定点的距离之和最小，那咱就得找到那个关键的点，让它和那两个定点连成的线段最短。
还有啊，轴对称也能帮大忙呢！有时候把图形进行轴对称变换一下，就能发现新的奇妙之处。
就好像你给图形变了个魔法，一下子就找到最小值的线索啦。
比如说有一条河，河两边有两个村子，要在河上建一座桥，让两个村子的距离最短，这时候轴对称不就派上用场啦！再说说利用三角形三边关系求最小值。
三角形两边之和大于第三边，这可是个铁律呀！那咱就可以根据这个来想办法找到最小值。
好比是给几何图形戴上了一个“紧箍咒”，让它乖乖地露出最小值的真面目。
另外，还有一些特殊的几何模型，比如将军饮马问题，那可真是经典得不能再经典啦！就好像一个将军要去河边给马喝水，然后再回到营地，怎么个走法路程最短呢？这里面可藏着大学问呢！你可别小看这些方法，它们就像是几何世界里的秘密武器，能帮你在各种难题面前披荆斩棘。
就像你有了一把钥匙，能打开那扇通往最小值的神秘大门。
咱举个例子哈，在一个直角三角形里，有一个动点在斜边上移动，要让它到两直角边的距离之和最小。
这时候你就得好好琢磨琢磨，怎么利用前面说的那些方法来找到这个最小值。
你得在脑子里构想出那个图形，就像在脑子里放电影一样，把各种可能的情况都过一遍。
哎呀呀，初中几何求最小值的方法真的很有趣呢！它们让几何变得不再是那么冷冰冰的公式和图形，而是充满了挑战和乐趣。
只要你用心去钻研，就一定能掌握这些方法，在几何的海洋里畅游。
所以呀，同学们，别害怕几何里的最小值问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的无穷魅力！相信自己，你一定能行！。
PA+PB型的最小值问题的专题复习
第 1 页 共 2 页·C D PA+PB 型的最小值问题的专题复习一、设计意图有关“PA+PB ”型的最小值问题是各省市中考常见问题之一。
如：2013年广东中考第23题；2015年广东中考第23题；2014年XX 中考第23题。
这类问题常转化为：将直线上动点P 与两定点A 、B 的距离之和PA+PB 最小值转化为“两点之间线段最短”来解决。
二、教学目标1、使学生进一步巩固轴对称的性质和“两点之间线段最短”等知识的运用；2、培养学生利用轴对称性将“折线”化“直”的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的水平；3、通过对多种题型中的“线段和最短”的求解，培养学生的发散思维。
三、重点、难点重点：利用“两点之间线段最短”这一公理解决线段和的最小值问题 难点：找出对称点、并求出最小值 四、教学方法1、交互性教学方式2、构建性教学方式3、归纳比较法4、创设情境法 五、复习提问：1.有关线段的性质？2.三角形的三边关系？3.轴对称的性质？六、看图思考1.“将军饮马”的问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？1.从A 地到B 地有五条道路,时间紧急，张先生要从B 地赶往A 地乘车，问：此时张先生应该怎么走？七、最小值问题：直线上一动点到两定点的和最小值（PA+PB 和最小） （1）两定点在直线的同侧（2）两定点在直线异侧总结：求和最小时，应把点转移到直线的两侧例1:如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在CD 上，且DM=2，P 为AC 上一动点，求PD+PM 的最小值？练习1:(2016龙岩)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP+FP 的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 练习2:（2012贵港）如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是AAB●● B● ●● ● AAB●●● A PP M B AB⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB 的最小值是.例2:(2013广东)23.已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.（1）略(2)如题23图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.练习3:(2016北京房山)抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0)和点B,与y轴的交点C坐标为(0,-3).(1)求抛物线的表达式.略y=x2-2x-3(2)点D为抛物线对称轴上的一动点,若DA+DC的值最小,求点D的坐标.八、课堂小结1、最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．九、课外作业：1、(2010湖北)如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN＝30°,B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点,则PA＋PB的最小值为( )A.22 B.2 C.1 D.22、(2015广东)如右上图,反比例函数kyx(k≠0,x＞0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.(1)求k的值;(略k=1)(2)求点C的坐标( , );(3)在y轴上确实一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD,求点M的坐标.3、(2014年XX)如图8，已知抛物线y=83x2-43x-3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C。
关于定直线上的动点到两定点间距离和(差)的极值问题
关于定直线上的动点到两定点间距离和（差）的极值问题09年1月（08学年第一学期）的鄞州区初三数学期末试卷中最后一道题的第2小题：关于在一条直线上的动点到两定点间距离的和（或差）的极值问题，学生的得分率不高，大约为50﹪左右。
本着数学归类、归纳的理念，在这里把同一类问题作一整理、归纳、延展。
一、和的最小值问题例1、在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－4，－1）和（－2，－5）；点P 是y 轴上的一个动点，求点P 在何处时，PA ＋PB 的 和为最小？并求最小值。
解：（1）∵点P 在y 轴上，∴以y 轴为对称轴，作点B 的对称点B 1， 连接AB 1与y 轴交于点P ，P 点就是所求的点。
此时，PA ＋PB ＝PA ＋PB 1 ＝AB 1；理由如下：取点P 以外的点P 1，可知，P 1A ＋P 1B ＝P 1A ＋P 1B 1＞AB 1＝ PA ＋PB ，所以P 1A ＋P 1B ＞PA ＋PB ，即P 为符合要求的点。
求点P 的坐标，可用三角形相似或可以通过经过A 、B 1两点的直线解析式与y 轴的交点坐标的方法。
点P 为（0，311） （2）求PA ＋PB （AB 1）的值，可用勾股定理来求。
即PA ＋PB ＝AB 1＝132。
例2、已知菱形ABCD 中，∠DAB ＝600；AB ＝6，M 为AB 的中点，点P 在对角线AC 上，求点P 在何处时，PM ＋PB 的和为最小？并求最 小值。
解：（1）由上例可知，AC 为对称轴，点B 的对称点为点D ，连接DM 与AC 的交点为点P ，P 点就是所求的点。
此时，PB ＋PM ＝PD ＋PM ＝DM 。
（2）根据题意得，△ABD 为等边三角形，边长为12，DM为边上的高线。
所以DM＝36，即PB ＋PM ＝36。
例3、在正方形ABCD 中，AB ＝12，点M 在BC 上，且BM ＝5，点P 在对角线BD 上，求点P 在何处时，PM ＋PC 的和为最小？并求最小值。
曲线上一动点到两定点距离之和的最值
曲线上一动点到两定点距离之和的最值
最短距离可以定义为曲线上一动点到两定点距离之和的最值。
这样的问题，在日常生活中比较常见，比如你想选择一条把家和公司连接起来的路线，同时又尽量缩短行程的路程，比如有一个旅行者，他要从一个城市出发，经过两座城市，最终到达第三个城市。
此时，这个旅行者需要求出这三个城市之间最短路线，这有可能是由两个路线构成，一条是从始发城市到经由城市的路线，另一条是从经由城市到目的地的路线，如果两个路线的和最小，就是最短的路线。
求出最短距离的关键就是如何求出曲线上各点数据的地址编码，以及确定两定点的距离。
这要依赖地图或者用曲线上的一个点作为切割点将此曲线分为两条曲线，每条曲线再根据特定的定点及他们的距离关系来继续计算。
最后的结果就是曲线上到两定点的最近点。
一般来说，求最小距离要求用求交点法来寻求，有梯度下降法，梯度下降求交点法，牛顿迭代法，有偏梯度法，二次剩余收敛等方法。
最短距离的求解具有重要的实际意义，比如行车路线或者儿童教育，都要考虑到安全。
求最短距离也需要考虑到各地的地形条件，以确保路线的安全性，有效性，而最短距离的求解方法，正是帮助我们确定正确的路线。
中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题(最新整理)
A′C+CB′最短，点 C 应在直线 A′′B′上，将点 C(-2，0)代入直线 A′′B′的解析式，解得 m 14 5
故 将 抛 物 线 y 1 x2 向 左 平 移 14 个 单 位 时 A′C+CB′最 短 ， 此 时 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为
2
5
y
A′
8
6
4
B′′ B′ 2
(1)求该函数的解析式； (2)O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PC＋PD 的最 小值，并求取得最小值时 P 点的坐标．
图9
分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y＝－2x＋4；求 PC＋PD 的最小值时 既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使 PC+PD 的值最小的
例 4（2009 孝感）在平面直角坐标系中，有 A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点 C（1，n），
当n=
时，AC + BC 的值最小．
分析与解：点 A 和 B 在直角坐标系下的位置 如图 8，此问题中 A,B 是定点，而点 C（1，n） 在直线 x=1 上,可以找出 A 点关于直线 x=1 的 对称点 Aˊ坐标是(–1,-2),经过点 B 和 Aˊ的
妙的解题方法。
这一流传近 2000 年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此 故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学 知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学 习能力，现从 2009 年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。
点 D 应在直线 A′′B′′上，将点 D(-4，0)代入直线 A′′B′′的解析式，解得 b 16 ．故将抛物线向 5
初中数学精品试题：将军饮马问题
将军饮马问题“将军饮马”模型1.异侧型：问题1：如图1-1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB最小.2.同侧型：（转化为“异侧型”解决）问题2：如图2-1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.1.异侧型：问题3：如图3-1，已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB最小.2.同侧型：问题4：如图4-1，已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB最小.3.变式1：问题5：如图5-1，已知A、B是两个定点，两条平行直线l与m之间的距离为定值d，在定直线l上找一动点M，在定直线m上找一动点N，且MN始终垂直于定直线l（或m），使AM+MN+NB最小.问题6：如图6-1，已知A、B是两个定点，在定直线l上找一动点M，在平面内找一动点N，MN的方向确定，即MN与直线l右侧部分相交所得的锐角为α ，且MN等于定长d，使AN+NM+MB最小.点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）.（1）求a的值及A，B两点坐标；（2）点P（m，n）是该抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次联结A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由.如图1，二次函数y=mx^2+(m^2-m)x-2m+1的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1.（1）求二次函数的解析式及A、B的坐标；（2）若点P（0，t）（t<-1）是y轴上的一点，Q（-5，0），将点Q绕着点P按顺时针方向旋转90°得到点E，当点E恰好落在该二次函数的图像上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE，若点M是该二次函数图像上的一点，且∠DAE=∠MCB，求点M的坐标.。
直线上一动点到两固定点之间距离的最值
直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。
当P 点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。
【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之和最小。
【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解；（定理1）2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。
”（定理2）3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
”（定理3）【几种不同情况的详细解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当两固定点在直线同侧时，如图1图 1假设直线上任意一点P’点，连接P’点与B点，P’点与A点，形成△P’BA，根据“定理3”，得知|P’A-P’B|<AB；当P’点移动到P”点时，分别连接A、B两点，形成△P”BA，根据“定理3”，得知|P”A –P”B|<AB；只有移动到P点，即BA连线的延长线与直线L的交点时，|PA-PB|=AB。
结论：当直线上一动点，与直线一侧的两固定点之间距离之差的绝对值最大时，P点位于两点连线的延长线与直线的交点处。
计算：P点的位置（或坐标）以及最大值。
如图1，过A点做直线垂直与直线L，垂足为M，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’这样，AM∥BM’因此，在直角△PBM’中，AM/BM’=PM/PM’所以，PM’=PM+MM’最终得出：PM=（AM×MM’）÷|BM’-AM|，以此确定P点的位置（或坐标）。
同样道理，PM/MM’=PA/AB所以，最大值AB=MM’/PM×PA，根据勾股定理计算出PA后，就计算出了AB的长度。
（2）当两固定点在直线异侧时，如图2图2对于处于直线异侧的两点，先通过其中一点A做一条垂直与直线L的直线，垂足为M，且使AM=A’M（即做A点对于直线L的对称点），将异侧问题转化为同侧问题。
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如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值
解题思路和步骤：
一、作出点p的位置：即其中一定点关于点p所在直线的对称点与另一定点的连线跟点p所在直线的交点。
1、作其中一定点关于点p所在直线的对称点；
2、连接该对称点和另一定点，所得直线与点p所在直线的交点即点p的位置。
二、其中一定点关于动点p所在直线的对称点与另一定点连结成的线段长即所求。
例题讲解
1、平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求：
（1）P到A、B距离之和最小时的坐标；
（2）P到A、B距离之和的最小值；
（3）三角形PAB的周长的最小值。
例2、正方形ABCD的边长为8，点M在CD上且DM=2，动点N在对角线AC上，则DN+MN的最小值是多少？
例3．（2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标和△BOC的最小周长；若不存在，请说明理由.
A D E P
B
C
巩固提高
1、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ， 则△PBQ 周长的最小值为____________㎝。
2、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，
点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．23
B ．26
C ．3
D ．6
3、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取
最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ）
A 、17
17
2
B 、
17174 C 、 17
178
D 、3
4、（2008，荆门）如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别
O
x
y
B
D A
C P 是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 。
5、（2009，南通）如图，MN 是O 的直径，MN=2，点A 在O 上，∠AMN=300，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上的一
个动点，则PA+PB 的最小值是 。
6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ ED 的最小值为_______。
7、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB
上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
8、一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
9、已知：抛物线的对称轴为x =－1，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标和此时PBC △的周长．
10、如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、
，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
C （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与P
D 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；
作 业
1、已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是AD ︵
的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，且BP+AP 的最小值=
1题图2题图2题图
2、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN
的周长为________。
3、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则
△AEC的周长为__________。
4、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝
8，△ABE的周长为14，则AB的长
4题图5题图
5、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△BDC的周长为________．
6、（1）如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE
的最小值为；
（2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值
7、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。
试 画出图形，并说明理由。
8、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动
点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．
9、（温州中考）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上,AD=2CD ，
点P 是
半径OC 上一个动点，那么AP+PD 的最小值是
.
10、如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．则PB +PE 的最小值是 ．
P A
D
C
O B
11、已知A (－2，3)，B (3，1)，P 点在x 轴上，若PA ＋PB
长度最小，则最小值为
．
12、已知在对抛物线的对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小，请求出点P 的坐标和△PBC 的周长。
第10题
第11题
y
–1
–2
–3
–4
1
2
–1–2–3
1
23O
A
B
C
P
THANKS !!!
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