高中数学定积分

a c
c
b
y y=f (x)
O
a
c1 a
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c1
c2
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx =a
y
b
c
f (x)dx
y=f(x)
b
c
f (x)dx。
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
解：4）在图④中，被积函数f ( x) = ( x - 1) 2 - 1在[-1，] （ 2
上连续，且在 -1 0]上f ( x) 0, 在[0，]上f ( x) 0， [ ， 2 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
a b
y y=-f (x)
上述曲边梯形面积的负值。
S = [- f ( x)]dx
a b
S = [- f ( x)]dx
a
b
=b
a
b
f ( x) dx ． ，
c b
O a
b c
b x
= a f (x)dx =-S f (x)dxc a
b
f (x
= a f (x)dx =-S f (x)dxc a
i
点的取法无关。 3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

b
a
f ( x)dx = f (t )dt = f (u)du
a a
a b
b
b
4．规定： b f ( x)dx = -a f ( x)dx

a
a
f ( x)dx = 0
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
曲 线y = 1 - x 2 , x轴 ，x = 0及x = 1所 围 的面积（见下图）
面积值为圆的面积的
1 4
y
所以
1
0
1 - x dx =
2

4
1 x
n n 分割---近似代替----求和------取极限得到解决. b-a 小矩形面积和S= f (xi )Dx = f (xi ) n i =1 i =1
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分， n b b 记作 f (x)dx，即 f (x)dx =lim f (x i)Dx
A = [( x - 1) - 1]dx - [( x - 1) - 1]dx
0 -1 2 2 0 2
例3：
利用定积分的几何意义说明等式

2 -

2
sin xdx = 0
y f(x)=sinx
成立。
解： 在右图中，被积函数f ( x) = sin x
在[-

， ]上连续，且在 - ，]上 [ 0 2 2 2
b n
即 定积分的定义：
b
a
b-a f ( x)dx = lim f (xi ) n n i =1
n
按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
S=
b
a
f (x)dx；
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
2
④
（ 2 解： 2）在图②中，被积函数f ( x) = x 在[-1，] 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A =

2 2 -1
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2
y
f(x)=1
y
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
2
-1 0
2 x
①
②
③
④
（ 解： 1）在图①中，被积函数f ( x) = x 在[0，a] 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为 A =

a 0
x 2 dx
i
f(xi)Dx近似之。
y=f(x)
n
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值： S
f (x )Dx
i =1 i
(3)取极限:，所求曲边梯形的 面积S为
S = lim f (xi )Dx
n i =1

O
a
xi xi xi+1 Dx

b
x
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
s=
b
a
v(t)dt。
O
a
t
b
根据定积分的定义右边图形的面积为 S=
v
2
1 0
y
1 f ( x)dx = x dx = 0 3
1 2
f(x)=x2
S= 1 3
1
g gg
D S1 DS2 D S3 DS4
g
v(t ) = - t 2 + 2
D Sj
O
n
x
gD S
g
根据定积分的定义左边图形的面积为 5 S = v(t )dt = (-t 2)dt = 0 0 3
a
b a
a
0
即
b-a f ( x)dx = lim f (xi ) n n i =1
n
i =1
b-a 即 f (xi ) 定积分的定义： f ( x)dx = lim a n n i =1 定积分的相关名称： y = f (x) ———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， x b O a a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。

-

2
1
A2
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 = A2 , 所以

A1 -1
2
x

2
-

2
f ( x)dx = A2 - A1 = 0
练习：
利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。
1）． sin xdx
2 0

2）. -1
2
x 2 dx
f (x)dx。
y=f (x)
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中 阴影部分的面积?
y y=f (x)
S = S1 - S2 = f ( x)dx - g ( x)dx
a a
b
b
S1 = y = f ( x) dx g ( x)
b
S2 = g ( x)dx
a
a
b
O
a a
定积分的概念
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1 , x2 , xi -1 , xi ,, xn-1 , b , 每个小区间宽度⊿x =
b-a n
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
(2)取近似求和:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
x dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=1
y
f(x)=(x-1)2-1
0
a
x
-1 0
2
x
a
0
b x
-1 0
2 x
①
②
③
④
（ 解： 3）在图③中，被积函数f ( x) = 1在[a，b] 上连续，且f ( x) 0, 根据定积分的几何意 义，可得阴影部分的面积为
A = b dx a
1）． sin xdx = 0
0
利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：
2
2）.

0
sin xdx = 2 2 sin xdx
0
试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y y=x2 y y=f(x)
0 1 2
x
0 a
y=g(x) b x
例4 计算积分

1
0
1 - x dx
2
解：由定积分的几何意 义知，该积分值等于
y y=f (x)
b
a f (x)dx =a
O a
b
b
c
f (x)dx
b
c
f (x)dx。
b x
特别地，当 a=b 时，有
a
f (x)dx=0。