2017年苏州市中小学教师专业素养竞赛模拟试卷答案

2017年苏州市中小学教师专业素养竞赛模拟试卷
高中数学参考答案
一、选择题
1-5 BACDC 6-10 BDABD 11-15 DCABB 二、填空题
16.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅< 17.()f x x =等（答案不惟一）
18.200xx yy r +=
19.13
20.
1
49 21.1k ≥ 22.7.5米
23.23
24.
4
3
25.1233a ≤≤或34
a = 26.看必修四课本
27.（1）证明：连接，设，连接
∵是三棱柱，侧棱底面.且
∴是正方形，是中点， 又为中点 ∴∥ 又平面，平面 ∴平面
（2）在平面中过点作的垂线，交于.由于
底面面，且为两平面交线，∴面. △中，，所以，且. 在△中，
由于，所以 ∴由等积法可得. 1AC E C A AC =11 DE ABC C B A -1111AA ⊥ABC 31==AA AC C C AA 11E 1AC D AB ED 1BC ⊂ED CD A 1⊄1BC CD A 1//1BC CD A 1ABC D AC AC H ABC ⊥
11ACC
A AC DH
⊥
11ACC A
ABC
2AB ==30BAC ∠=1AD =ADC 1sin 302
HD AD ==
132AC C
S
=
111
11313
3224
D AC C
AC C
V DH S -=⋅⋅=⋅⋅=1111
4
C A DC
D AC C V V --==
28.解（1）若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．
若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，
即(1)1m a q q --＋(1)1l a q q --＝2(1)1
n a q q --，整理得q m ＋q l ＝2q n .
所以a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －
1(q m ＋q l )＝2aq n
＋k －1
＝2a n ＋k .即所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．
（2）由2n S n =可得12-=n a n ．
因为数列kl m l m m a a a ++,,是等比数列，所以2
l m kl m m a a a ++=⋅，
所以2)2()2(l a kl a a m m m +=+， 化简整理得l a ka m m 22+=，所以m a k l 2
2
-=
． 要使得对于任意给定的正整数m ，都存在正整数l ，使得数列kl m l m m a a a ++,,为等比数列，由12-=m a m 是正奇数可知，
2
2
-k 必为正整数， 不妨设
)(2
2
*∈=-N t t k ，则22+=t k )(*∈N t ， 所以正整数k 的取值集合为{}
*
∈+=N t t k k ,22|．
29.（1）由题意知
c e a =
=，22c =，所以
1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2
212
x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y
，联立方程2
211,2
x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得(
)
22114210k x x +--=，由题意知0∆>
，且()
12122
111
221x x x x k +=
=-+， 所以
121AB x -=由题意可知圆M 的半径r
为1r =
由题设知12k k =
，所以21k =，由此直线OC
的方程为1
y =.
联立方程22
11,
2,
4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得222
1221181,1414k x y k k ==++，因此
OC ==由题意可知 1
sin
21SOT r
OC r OC
r ∠==++
，而1OC r =
=
2112t k =+，则()1
1,0,1t t
>∈， 因此
1OC r
=
==≥，
当且仅当11
2
t =，即2t =
时等号成立，此时12k =±，
所以 1sin
22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤，所以 SOT ∠最大值为3
π
. 综上所述：SOT ∠的最大值为
3
π
，取得最大值时直线l
的斜率为1k =.
30.解：（1）由3
2
()1f x x ax bx =+++，得2
2
2()323()33
a a f x x ax
b x b '=++=++-.
当3a
x =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.
所以33()1032793a a a ab f -=-
+-+=，又0a >，故223
9a b a
=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231
(27a )039a b a -
=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '
有两个相异的实根1=3a x -
，2=3
a x -.
列表如下
故()f x 的极值点是12,x x .从而3a >，因此223
9a b a
=+，定义域为3+∞（，）。

（2）由（12
9=。

设23
()9t g t t
=+，则222
23227()99t g t t t -'=-=，当)t ∈+∞时()0g t '>，从而
()g t 在(
,)2
+∞上单调递增。

因为3a >，所以>(g g
因此2>3b a . （3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且122
3
x x a +=-，
2221
2
469
a b
x x -+=.
从而3232
12111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++
2222
121122121212(32)(32)()()23333
x x x ax b x ax b a x x b x x =
++++++++++ 346420279
a a
b ab -=-+=
记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为2213
39a b a a -=-+，所以213()9h a a a =-+，3a >。

因为223
()09h a a a '=-
-<，于是()h a 在
3+∞（，）单调递减。

因为7
(6)2
h =-，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤。

因此a 的取值范围为(36]，.。