2017年苏州市中小学教师专业素养竞赛模拟试卷答案

2017年苏州市中小学教师专业素养竞赛模拟试卷

高中数学参考答案

一、选择题

1-5 BACDC 6-10 BDABD 11-15 DCABB 二、填空题

16.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅< 17.()f x x =等（答案不惟一）

18.200xx yy r +=

19.13

20.

1

49 21.1k ≥ 22.7.5米

23.23

24.

4

3

25.1233a ≤≤或34

a = 26.看必修四课本

27.（1）证明：连接，设，连接

∵是三棱柱，侧棱底面.且

∴是正方形，是中点， 又为中点 ∴∥ 又平面，平面 ∴平面

（2）在平面中过点作的垂线，交于.由于

底面面，且为两平面交线，∴面. △中，，所以，且. 在△中，

由于，所以 ∴由等积法可得. 1AC E C A AC =11 DE ABC C B A -1111AA ⊥ABC 31==AA AC C C AA 11E 1AC D AB ED 1BC ⊂ED CD A 1⊄1BC CD A 1//1BC CD A 1ABC D AC AC H ABC ⊥

11ACC

A AC DH

⊥

11ACC A

ABC

2AB ==30BAC ∠=1AD =ADC 1sin 302

HD AD ==

132AC C

S

=

111

11313

3224

D AC C

AC C

V DH S -=⋅⋅=⋅⋅=1111

4

C A DC

D AC C V V --==

28.解（1）若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列．

若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，

即(1)1m a q q --＋(1)1l a q q --＝2(1)1

n a q q --，整理得q m ＋q l ＝2q n .

所以a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －

1(q m ＋q l )＝2aq n

＋k －1

＝2a n ＋k .即所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．

（2）由2n S n =可得12-=n a n ．

因为数列kl m l m m a a a ++,,是等比数列，所以2

l m kl m m a a a ++=⋅，

所以2)2()2(l a kl a a m m m +=+， 化简整理得l a ka m m 22+=，所以m a k l 2

2

-=

． 要使得对于任意给定的正整数m ，都存在正整数l ，使得数列kl m l m m a a a ++,,为等比数列，由12-=m a m 是正奇数可知，

2

2

-k 必为正整数， 不妨设

)(2

2

*∈=-N t t k ，则22+=t k )(*∈N t ， 所以正整数k 的取值集合为{}

*

∈+=N t t k k ,22|．

29.（1）由题意知

c e a =

=，22c =，所以

1a b ==，因此 椭圆E 的方程为2

212

x y +=. （2）设()()1122,,,A x y B x y

，联立方程2

211,2

x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

得(

)

22114210k x x +--=，由题意知0∆>

，且()

12122

111

221x x x x k +=

=-+， 所以

121AB x -=由题意可知圆M 的半径r

为1r =

由题设知12k k =

，所以21k =，由此直线OC

的方程为1

y =.

联立方程22

11,

2,

4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

得222

1221181,1414k x y k k ==++，因此

OC ==由题意可知 1

sin

21SOT r

OC r OC

r ∠==++

，而1OC r =

=

2112t k =+，则()1

1,0,1t t

>∈， 因此

1OC r

=

==≥，

当且仅当11

2

t =，即2t =

时等号成立，此时12k =±，

所以 1sin

22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤，所以 SOT ∠最大值为3

π

. 综上所述：SOT ∠的最大值为

3

π

，取得最大值时直线l

的斜率为1k =.

30.解：（1）由3

2

()1f x x ax bx =+++，得2

2

2()323()33

a a f x x ax

b x b '=++=++-.

当3a

x =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.

所以33()1032793a a a ab f -=-

+-+=，又0a >，故223

9a b a

=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231

(27a )039a b a -

=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；

3a >时，()=0f x '

有两个相异的实根1=3a x -

，2=3

a x -.

列表如下