全等三角形全章复习与巩固(提高)

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人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形单元复习与巩固教案

全等三角形单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；●探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；●掌握尺规作图作角平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质和判定，并会利用角的平分线的性质和判定进行证明；●能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题。

重点难点：●重点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；三角形全等的性质和条件以及角平分线的性质。

●难点：掌握用综合法证明的格式；选用合适的条件证明两个三角形全等。

学习策略：●通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。

在三角形全等知识的基础上，探究理解角平分线的性质和判定，并通过练习加深本章知识的理解及灵活运用。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识网络知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

知识点一：全等形能够完全的两个图形叫做全等形．知识点二：全等三角形能够完全的两个三角形叫做全等三角形．要点诠释：（1）互相重合的顶点叫做，互相重合的边叫做，互相重合的角叫做．（2）在写两个三角形全等时，通常把的字母写在对应位置上，这样容易写出对应边、对应角．例如，△ABC与△DFE全等，点A与点，点B与点，点C与点是对应顶点，记作△ABC≌△DFE，而不写作△ABC≌△EFD等其他形式．知识点三：全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角．知识点四：两个三角形全等的条件（一）边角边：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）．注：运用边角边公理判定两个三角形全等时要抓住角是两边的夹角，边是夹这个角的两边，不要错误认为：两个三角形只要有两条边和一个角对应相等，这两个三角形就一定全等．（二）角边角：有和它们的对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．（三）边边边：对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．以简写成“角角边”或“AAS”）（五）斜边、直角边（HL）：在两个直角三角形中，和一条对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《全等三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；2．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；4．理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；5．理解并掌握角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的性质和判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定2——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定3——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.全等三角形判定4——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等.（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.判定直角三角形全等的特殊方法——斜边直角边定理斜边直角边定理（或简记为HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.要点诠释：判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.要点二、等腰三角形1.等腰三角形的性质及其作用性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.3.等边三角形的性质和判定：性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：由等边三角形的“三线合一”可得：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．要点诠释：（1）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.（2）掌握五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线．并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法．2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题.（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分.（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.3.定理与逆定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：（1）定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.（2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线性质定理及其逆定理角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型二、全等三角形的性质和判定1、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E 三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．【思路点拨】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．【答案与解析】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE 特殊位置关系为BD⊥CE．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．举一反三：【变式】如图，已知：AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，∴∠EAB ＝∠DAC ＝90° ∴∠EAB ＋∠DAE ＝∠DAC ＋∠DAE ，即∠DAB ＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.2、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【思路点拨】过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．【答案与解析】证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．类型二、等腰三角形3、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD ＝BE ，∠BAD ＝∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和 ∠FCA 的关系．因为∠BAD ＝∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．【答案与解析】解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：在△BAD 与△BCE 中，∵∠B ＝∠B ，∠BAD ＝∠BCE ，BD ＝BE ，∴△BAD≌△BCE，∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形．【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．举一反三：【变式】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．4、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．【思路点拨】（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°，可得AD＝BD＝CB,∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：5、已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．已知：求作：【思路点拨】作射线BP，再作∠PBQ=∠α；在射线BQ上截取BA=c；以点A为圆心，线段c 为半径作弧交BP于点C；连接AC．则△ABC为所求．【答案与解析】解：作法：（1）作射线BP，再作∠PBQ=∠α；（2）在射线BQ上截取BA=c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC．则△ABC为所求．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】此题主要考查三角形的作法，是一些基本作图的综合应用．举一反三：【变式】已知△ABC，按下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）（1）作BC边上的高AD；（2）作△ABC的平分线BE．（尺规作图）【答案】解：如图：类型四、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理6、如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）∠EAD＝∠EDA．（2）DF∥AC．（3）∠EAC＝∠B．【思路点拨】（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE＝DE，再根据等角对等边可得到∠EAD＝∠EDA；（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF＝DF，进而得到∠BAD＝∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换可得∠ADF＝∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．【答案与解析】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠BAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，∵∠ADE＝∠BAD+∠B，∠BAD＝∠CAD，∴∠EAC＝∠B．【总结升华】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．举一反三：【变式1】如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．【答案】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD＝PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴PF＝PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【变式2】如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）．A．150° B．210° C．105° D．75°2.（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF3. 下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行D.一个角的补角大于这个角4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）． A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定5. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）．A.7B.14C.17D.206. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.57.如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形 B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）．A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，则∠A的度数为________．13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是 .15.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．16. （2016•抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD 时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．19．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等 B．不全等 C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°，求证：△ABC≌△DEF．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.3. 【答案】C；【解析】答案A是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C是真命题；答案B是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可.5. 【答案】C；【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．6. 【答案】A；【解析】延长BD交AC于E，由题意，BC＝CE＝3，AE＝BE＝5－3＝2，且BD＝DE＝12BE＝1.7. 【答案】D；【解析】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．8. 【答案】A；解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，故S＝12（6＋4）×16－3×4－6×3＝50．二.填空题9. 【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm.10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】135°；【解析】点O 为角平分线的交点，∠AOC ＝180°－12（∠BAC ＋∠BCA ）＝135°. 14. 【答案】30°或75°或15°；【解析】根据不同边的高分类讨论.15.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF 的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF ＝x ，EF ＝y ，则有x ＋1＋3＝x ＋y ＋2＝3＋3＋2＝8所以x ＝4，y ＝2，六边形ABCDEF 的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P 在正方形的边AB 上时，Rt △OCD ≌Rt △OAP ，∴OD=AP ，∵点D 是OA 中点，∴OD=AD=OA ，∴AP=AB=2，∴P （4，2），②当点P 在正方形的边BC 上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P （2，4）．三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC 上取点F ，使AF ＝AE ，连接OF ，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEO ≌△AFO （SAS ）．∴ ∠EOA ＝∠FOA ．∵ ∠B ＝60°，∴ ∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC ＋∠BCA) ＝180°－12(180°－60°) ＝120°．∴ ∠AOE ＝∠AOF ＝∠COF ＝∠DOC ＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）．∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18．【解析】解：（1）如图．∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝(18030)2-÷＝75°．∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴∠1＝∠ABC －∠DBC ＝75°－30°＝45°．∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ．∴AD 平分∠BAC ．∴∠2＝21∠BAC ＝ 3021⨯＝15°． ∴∠ADE ＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．（2）证明：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．∵△ADM 中，DM ＝DA ，∠ADE ＝60°，∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB ＝AE ，N 为BE 的中点，∴BN ＝NE ，且AN ⊥BE ．∴DN ＝NM ．∴BN －DN ＝NE －NM ，即 BD ＝ME ．∵DB ＝DC ，∴ME ＝DC ．19.【解析】解：第二种情况：如图1所示：以F 为圆心，AC 长为半径画弧，交射线EM 于D 、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF 和△ABC 不全等；故选：C ；第三种情况：证明：如图2所示：过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠B=∠E，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG 和△FEH 中，，∴△CBG≌△FEH（AAS ），∴CG=FH，在Rt△ACG 和Rt△DFH 中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL ），∴∠A=∠D，在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC≌△DEF（AAS ）．20．【解析】证明：问题1：21，2 ；问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG ＝AC ，连接GD ．（如图） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2．在△AGD 和△ACD 中，AG AC 12 A D AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AGD ≌△ACD ．∴DG ＝DC ．∵△BGD 中，BD －DG ＜BG ，∴BD －DC ＜BG ．∵BG ＝ AB －AG ＝ AB －AC ，∴BD －DC ＜AB －AC ．（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD ＝CD ，∠4 ＝∠3＝60°．∴∠5 ＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°． ∴∠5 ＝∠3．在△BGD 和△ECD 中，53DB DE DG DC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△BGD ≌△ECD ．∴∠B ＝∠6．∵△BFC 中，∠BFC ＝180°－∠B －∠7 ＝180°－∠6－∠7 ＝∠3， ∴∠BFC ＝60°．。

人教版八年级上册第十二章全等三角形知识点复习

A. ①④
B.①②
C.②③
D.③④
2．如图，ABD ≌ CDB ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（）
A. ABD和CDB 的面积相等
A
D
B. ABD和CDB 的周长相等 C. A + ABD = C + CBD
B
C
D.DAD//BC 且 AD=BC
3．如图， ABC ≌ BAD ，A 和 B 以及 C 和 D 分别是对应点，如果
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
AB = DE 如图，在 ABC 和 DEF 中 BC = EF
AC =
【典型例题】
例1．如图， ABC ≌ ADC ，点 B 与点 D 是对应点， BAC = 26 ，且 B = 20 ， SABC = 1，求 CAD , D, ACD 的度数及 ACD 的面积．
数及 BC 的长．
E
F
A
BC
D
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11．如图，在 ABC与ABD 中，AC=BD，AD=BC，求证： ABC ≌ ABD
D A
C B
全等三角形（一）作业
1．如图， ABC ≌ CDA ，AC=7cm，AB=5cm.，则 AD 的长是（）
求证：（1） DE ⊥ AB ；（2）BD 平分 ABC （角平分线的相关证明及性质）
B
A E
D
C
【巩固练习】 1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的
形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）

人教版初二数学上册：全等三角形判定二(ASA,AAS)(提高)知识讲解

全等三角形判定二（ASA ，AAS ）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边” 1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C ，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF 【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠CBF ∵∠ABC＝2∠ADG ∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ） ∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例7】【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、（2016•黄陂区模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过C 点作直线l ，点 D ，E 在直线l 上，连接AD ，BE ，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC ≌△CEB ．【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB ，根据AAS 证△ADC ≌△CEB ．【答案与解析】证明：∵∠DAC +∠DCA=∠ECB +∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．举一反三：【变式】（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE，∠B=∠E ．BC=EF ； ③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ； ④AB=DE，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】C ．解：第①组满足SSS ，能证明△ABC ≌△DEF ．第②组满足SAS ，能证明△ABC ≌△DEF ．第③组满足ASA ，能证明△ABC ≌△DEF ．第④组只是SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ．所以有3组能证明△ABC ≌△DEF ．故符合条件的有3组．故选：C ．3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB ＝90°）和一直线MN ．过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．当点E 与点A 重合时（如图1），易证：AF ＋BF ＝2CE ．当三角板绕点A 顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B 作BH ⊥CE 与点H ，易证△ACE ≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF ＋BF ＝2CE ．【答案与解析】解：图2，AF ＋BF ＝2CE 仍成立，证明：过B 作BH ⊥CE 于点H ，∵∠CBH ＋∠BCH ＝∠ACE ＋∠BCH ＝90° ∴∠CBH ＝∠ACE在△ACE 与△CBH 中，90ACH CBH AEC CHB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBH ．（AAS ） ∴CH ＝AE ，BF ＝HE ，CE ＝EF ，∴AF ＋BF ＝AE ＋EF ＋BF ＝CH ＋EF ＋HE ＝CE ＋EF ＝2EC ．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键. 举一反三：【变式】已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.【答案】解：图2成立；证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A BAD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ） ∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°， ∴∠ MDE ＝∠NDF 在△DME 与△DNF 中，图2ADBCEMN F90EMD FDN DM DNMDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ） ∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形， ∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△ 类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2015春•龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A 视线PA 与地面夹角∠APB=54°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB 是多少米？【思路点拨】根据题意可得△CPD ≌△PAB （ASA ），进而利用AB=DP=DB ﹣PB 求出即可．【答案与解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD 和△PAB 中∵，∴△CPD ≌△PAB （ASA ）， ∴DP=AB ，∵DB=36，PB=10， ∴AB=36﹣10=26（m ），答：楼高AB 是26米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△PAB 是解题关键．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm和10cm，则它的第三边长不可能为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm和10cm，∴第三边长的取值范围是：4＜x＜16，∴它的第三边长不可能为：17cm．故选：D．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°．∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°．∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。

新人教版八级数学第章全等三角形教案(全章)

第1课时全等三角形第2课时三角形全等的判定（1）第3课时三角形全等的判定（2）只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。

问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。

，∠EOC=∠DOC，即OC平的平分线OC，在于怎样第4课时三角形全等的判定（3）第5课时三角形全等的判定（4）第6课时三角形全等的判定（5）综合探究）两直线平行，同位角或内错角相等；）等腰三角形两底角相等根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条第7课时三角形全等的判定（6）为半径画弧，交射线C′N于点【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF ，也就是∠ABC+∠DEF=90°．第8课时角的平分线的性质（1）即为所求．．在上面作法的第二步中，去掉“大于1MN的长”这个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样交AC于D，有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线第9课时角的平分线的性质（2）【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，第10-11课时《全等三角形》小结与复习ED CB A，请你从下面三个条件中，再选出两GF。

17《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

17《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】D【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数，所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x 为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).2.如图，O 是△ABC 内一点，连接OB 和OC ．(1)你能说明OB+OC ＜AB+AC 的理由吗?(2)若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，你能写出OB+OC 的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO 交AC 于点E ，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE 中，AB+AE ＞BE ；在△EOC 中，OE+EC ＞OC ，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC ＞BE+OC ．由图可知，AE+EC ＝AC ，BE ＝OB+OE ．所以AB+AC+OE ＞OB+OC+OE ，即OB+OC ＜AB+AC ．(2)因为OB+OC ＞BC ，所以OB+OC ＞7．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三：【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。

《三角形》全章复习与巩固(培优篇)(含答案)

《三角形》全章复习与巩固（培优篇）（含答案）一、单选题1.如图，ZkABC的面积为3（）C∏Λ AE=ED, BD=2DC,则图中四边形EDCF的面积等于（）A. 8.5B. 8C. 9.5D. 92.如图，41/,。

“平分/^位＞和/88,若/8 = 34。

，/0 = 42。

，则NΛ∕=（）A. 34oB. 38oC. 40oD. 42°3.已知MBC中，CD是A8边上的高，C£平分ZAC8.若NA =机。

，ZB = ∕ιo, m≠n,则NQCE的度数等于（）A. -m oB. -n oC. ，（〃?。

一〃。

）D. -∖m o-n o2 2 2v f2l4.如图，AD∕∕BC,N力=NA8C,点E是边力。

上一点，连接4E交5C的延长线于点儿点尸是边A8上一点，使得NFBE= ∕FEB,作NFE"的角平分线EG交5〃于点G.若N8EG=40。

，则NOE”的度数为（）A. 50oB. 75oC. 100oD. 125°5.如图，在第1个4A∕3C中，ZB=3（）o, A1B=CB,在边A/3上任取一点力，延长C4/到使A∕A2=A∕O,得到第2个△ A lΛ2D i在边4。

上任取一点E,延长4/2到4,使A2A3=A2E,得到第3个AA2λ3E,…按此做法继续下去,则第2021个三角形中以A2O2O为顶点的底角度数是（）7 .如图，在四边形A5CO 中，AD//BC,若ND45的角平分线A£交。

于E,连接8E,且8E 边平分NABC,得到如下结论：(l)ZAEB=90o ；(2)I3C+AD=AB ；③BE=^CD ； ®BC=CE-⑤若 A8=x,则 BE 的取值范围为 0<3EVx,那么以 8 .如图，已知AB = AC,点。

、E 分别在AC 、A8上且ΛE = AD,连接EC, BD, EC 交BD 于点、M,连接AM,过点A 分别作AE_LC£AG_L8O,垂足分别为F 、G,卜.列结论：①.EBM 咨&DCM ；②NEMB = NFAG ；③M4平分NEMD ；④如果 S.BEM =S,ADM ,则E 是的中点；其中正确结论的个数为（）9 .“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下:A. (!) 2020∙75oB.弓)2020∙65oC. (；) 2021 ∙75D. (!) 2021 ∙6506.如图所示，锐角^ABC 中，D, E 分别是AB, AC 边上的点，2∖ADC/ z √iOC, ∆AEB^ ^AEB ,, 且C'D∕∕EB f "BC, BE 、CD 交于点F,若NBAO40。

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 要点二、直角三角形 1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线. 要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD ，CE=CB ， ∵在△ACE 与△DCB 中， ,AC DCACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ）， ∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ； ∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．（1）求证：AF+EF=DE ；（2）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BEBF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ， ∴CF=EF ； ∵△ABC ≌△DBE ， ∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

新编：人教版八年级上册数学第12章《全等三角形小结与复习》

图7
达标测试
1.如图8，点M是AB的中点，∠1＝∠2，∠C=∠D，判定 △AMC≌△BMD的方法是(
D)
图8
A.SAS
C. SSS
B. ASA
D. AAS
2.下列方法中，不能判定两个三角形全等的是( D ) A. SAS B. ASA C. SSS D. SSA
3、如图，已知AD∥BC，AE＝CF，根据所给条件能否证明
课堂练习 1．如图1，△AOC≌△BOD，则
∠A和∠B, ∠C和∠D,∠AOC和∠BOD ，对应角是__________________________________________
AO和BO，OC和OD,AC和BD 对应边是__________________________________________ 。
C O A
B
B
图1
D
图2
A
3.如图3所示，图中两个三角形能完全重合，下列写法正确的是（
B）
B．△ABE≌△ABF D．△ABE≌△FAB B
F
A E
A．△ABE≌△AFB C．△ABE≌△FBA
基础知识
（二）全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边相等；
2.全等三角形的对应角相等；
3.全等三角形的对应中线.对应角平分线.
课堂练习
1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是（C ） A. 有两边和夹角对应相等； B. 有三边分别对应相等；
C. 有两边和一角对应相等；
D. 有两角和一边对应相等。
2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（）
D
A. 有三个角相等;
C. 有一条边和一个角相等;
B. 有一条边和一个角相等;

全等三角形全章知识点归纳与复习(习题)

全等三角形知识点归纳与复习（一）1。

的两个三角形全等；2．全等三角形的对应边_ ；对应角 ;对应边上的高 ;对应角的平分线；对应边的中线；对应周长，对应面积。

3．证明全等三角形的方法（1）三边的两个三角形形全等,简写为“”或“”。

（2）的两个三角形全等，简写为“边角边”或“”。

(3）的两个三角形全等,简写为“角边角”或“”。

（4）的两个三角形全等，简写为“角角边”或“”.（5）和对应相等的两个直角三角形全等，简写为“”或“HL”（6）和对应相等的两个直角三角形全等，简写为“ "或“HH”（7）两边及第三边上的对应相等的两个锐角三角形（8）两边及其中一边上的对应相等的两个锐角三角形4。

证明全等三角形的基本思路（1）已知两边（2）已知一边一角（3)已知两角5。

角平分线的性质：_______________________________用法:∵_____________;_________;_________∴QD=QE6。

角平分线的判定：______________________________用法：∵_____________；_________；_________∴点Q在∠AOB的平分线上二、基础过关1．下列条件能判断△ABC和△DEF全等的是（ )A．AB=DE，AC=DF,∠B=∠E B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC．∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D2．在△ABC和△DEF中，如果∠C=∠D，∠B=∠E，要证这两个三角形全等,还需条件（ )A．AB=ED B．AB=FD C．AC=DF D．∠A=∠F3．在△ABC和△A’B’C’中，AB=A'B'，AC=A’C’,要证△ABC≌△A'B’C’，有以下四种思路证明：①BC=B’C’；②∠A=∠A’；③∠B=∠B’；④∠C=∠C’,其中正确的思路有（）A．①②③④B．②③④C．①②D．③④4．在△△中，已知,，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．如图5,已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充条件（ )A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DEC．AC＝AE,BC＝DE D．以上都不对6．如图6,AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C C．∠A＝∠C D．∠1＝∠2 7．△ABC和中,若，，则需要补充条件可得到△ABC ≌．8．如图3所示，AB 、CD 相交于O,且AO ＝OB，观察图形，明显有,只需补充条件 ,则有△AOC≌△ (ASA)．三、综合提高1．如图所示，已知AE⊥AB,AF⊥AC ，AE=AB ，AF=AC。

《三角形》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

《三角形》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．一个多边形的对角线共有27条，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D． 114．已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是 ( ) A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm5．下列不能够镶嵌的正多边形组合是（）A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形6．下列说法不正确的是 ( )A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．(四川绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( )A．0根 B．1根 C．2根 D．3根8．（2015•郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC 等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°二、填空题9．三角形的外角和等于它的内角和的倍；2013边形的外角和是．10．如果三角形的两边长分别是 3 cm和 6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．11．已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为；这个多边形一共有条对角线．12. 一个多边形的每个外角都是18°，则这个多边形的内角和为．13.如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14. （2016•南京一模）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°．15.（2015春•南京校级月考）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D=度．16．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为_________.三、解答题17．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．18．（2015春•丹江口市期末）如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．19. 多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数．20.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；【解析】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD．3. 【答案】B；【解析】根据多边形的对角线的条数公式列式，把所给数值代入进行计算即可求解．4. 【答案】B；【解析】根据三角形的三边关系进行判定．5. 【答案】B；【解析】A、正六边形的内角是120°，正三角形内角是60°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；B、正六边形的内角是120°，正方形内角是90°，不能组成360°，所以不能镶嵌成一个平面，故本选项符合题意；C、正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；D、正五边形的内角为108°，正十边形的内角为144°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意．故选B．6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线的交点与三条角平分线的交点一定都在三角形内部，但三角形的三条高线的交点不确定：当三角形为锐角三角形时，则交点一定在三角形的内部；当三角形为钝角三角形时，交点一定在三角形的外部．7. 【答案】B；8. 【答案】B；【解析】解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．故选B．二、填空题9．【答案】2，360°；【解析】三角形内角和为180°，任意多边形外角和等于360°．10.【答案】5 cm或7 cm；11.【答案】5 ，5；【解析】根据n边形的内角和定理得到关于n的方程∴（n﹣2）•180°=540°，解方程求得n，然后利用n边形的对角线条数为计算即可．12.【答案】3240°；【解析】由一个多边形的每个外角都等于18°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．13．【答案】15cm2，30cm2；【解析】△ABC的面积是△ABE面积的2倍．14．【答案】540°；【解析】连接∠2和∠5，∠3和∠5的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°．故答案为540．15.【答案】70°．【解析】解：∵∠A=40°，∴△ABC的∠B和∠C的外角和为：180°﹣∠1+180°﹣∠2=360°﹣（∠1+∠2）=360°﹣（180°﹣40°）=360°﹣140°=220°．由于CD、BD的平分线交于点D，则∠4+∠5=×220°=110°，根据三角形内角和定理，∠D=180°﹣110°=70°．16.【答案】10°．三、解答题17.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．18.【解析】解：连结BC，∵∠E+∠D+∠EFD=∠1+∠2+∠BFC=180°，又∵∠EFD=∠BFC，∴∠E+∠D=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ABD+∠ACE+∠1+∠2=∠ABC+∠A+∠ACB=180゜．19.【解析】解：设这个外角度数为x，根据题意，得（n﹣2）×180°+x=1350°，解得：x=1350°﹣180°n+360°=1710°﹣180°n，由于0＜x＜180°，即0＜1710°﹣180°n＜180°，解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故多边形的边数是9．20.【解析】解：如图。

全等三角形全章复习教案

第11章《全等三角形》复习教案教学目标：1．了解图形的全等，经历探索三角形全等条件及性质的学习过程，掌握两个三角形全等的条件与性质。

2．能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题 3．培养逻辑思维能力，发展基本的创新意识和能力教学重点难点：1．重点：掌握全等三角形的性质与判定方法 2．难点：对全等三角形性质及判定方法的运用教学过程：一.全等三角形：⒈什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？⒉全等三角形有哪些性质？⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。

⑵全等三角形的周长相等、面积相等。

⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

例1.已知如图（1），ABC ∆≌DCB ∆,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,对应角:______与_______,______与_______,______与_______. 例2.如图（2），若BOD ∆≌C B COE ∠=∠∆,.指出这两个全等三角形的对应边；若ADO ∆≌AEO ∆,指出这两个三角形的对应角。

（图1）（图2）（图3）例3．如图（3）, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.⒊全等三角形的判定方法边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”)⑴三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )例1．如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)(可编辑修改word版)

《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形3的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是 a ，面积是23a2；含有 30 4°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有 SSS,SAS,ASA,AAS,一共有 5 种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线1分别以线段的两个端点 A、B 为圆心，以大于2作直线 MN，则直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线.要点诠释：AB 的长为半径作弧，两弧交于点 M、N；①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么⎨ ⎩1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交 CD 于点 F ，BD 分别交 CE 、AE 于点 G 、H ．试猜测线段 AE 和 BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知 CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即 AE=BD ， ∠CAE=∠CDB；又因为对顶角∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即 AE⊥BD．【答案与解析】猜测 AE=BD ，AE⊥BD；理由如下： ∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC=CD，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，⎧ AC = DC ⎪∠ACE = ∠DCB , ⎪EC = BC ∴△ACE≌△DCB（SAS ）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DHF=∠ACD=90°， ∴AE⊥BD．故线段 AE 和 BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 1 方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A= ∠D=30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F ．（1）求证：AF+EF=DE ；（2）若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 α，且 0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图 2 中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图 1 中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β，且 60°＜β＜180°，其它条件不变，如图 3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF 、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接 BF（如下图 1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图 2.（1）中的结论 AF+EF=DE 仍然成立；（3）证明：连接 BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，⎨BF = BF ⎧BC = BE ,⎩∴△BCF≌△BEF， ∴CF=EF； ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，∴AF=AC+FC=DE+EF．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（） ①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等， ②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等， ③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． A.1 B.2 C.3 D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL” 定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是 3 个．故选 C ．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2 的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3 的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3 的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为 m，4n 的直角三角形的斜边；直角边长为 3m，2n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2m，2n 的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC 如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4.如图，在锐角△ABC中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，AD、CE 相交于 F，BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE．（1）求证：直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点 P、Q 都在线段 DE 的垂直平分线上即可．即证 P、Q 分别到 D、E 的距离相等．故连接 PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接 PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P 是 BF 的中点，∴△BEF 是直角三角形，且 PE 是Rt△BEF 斜边的中线，1∴PE=BF．2又∵AD⊥BC，∴△BDF 是直角三角形，且 PD 是Rt△BDF 斜边的中线，1∴PD=BF=PE，2∴点 P 在线段 DE 的垂直平分线上．同理可证，QD、QE 分别是Rt△ADC 和Rt△AEC 斜边上的中线，1∴QD=AC=QE，2∴点 Q 也在线段 DE 的垂直平分线上．∴直线 PQ 垂直平分线段 DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，DA 与CE 的延长线交于点 F，BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，连接 PQ、DE．求证：直线 PQ 垂直且平分线段 DE．证明：连接 PD，PE，QD，QE，则 PD、PE 分别是Rt△BDF 和Rt△BEF 的中线，1∴PD=21 BF，PE=2BF，∴PD=PE，点P 在线段 DE 的垂直平分线上．同理可证 QD=QE，∴点 Q 在线段 DE 的垂直平分线上．∴直线 PQ 垂直平分线段 DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于N，交 BC 的延长线于 M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】1（1）∵∠B=2∴∠M=20°（180°-∠A）=70°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，1则有∠B=2（180°-α）1 ∠M=90°-21 （180°-α）= α.2（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5.如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线 CD 和∠ABC 的平分线 BE 交于点 G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接 AG，过点 G 作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得 GN=GM=GF，AG 是∠CAB 的平分线；在四边形 AMGN 中，易得∠NGM=180°- 60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠ EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证 GE=GM．【答案与解析】解：连接 AG，过点 G 作GM⊥AB 于 M，GN⊥AC 于 N，GF⊥BC 于 F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE 是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G 是∠ACB 平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG 是∠CAB 的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015 春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F 在AC 上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF 和Rt△DEB 中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC 与△ADE 中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

全等三角形全章复习与巩固提高知识讲解

全等三角形全章复习与巩固【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质1.角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)．倍长中线法1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE＋CF＞EF；证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG∵D是BC中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC与△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED与△ACD中，()12()() AE ACAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴ ED＝CD．∴∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵∠C＝2∠B ∴∠AED＝2∠B．由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．∴∠B＝∠EDB．∴ BE＝ED．即BE＝CD．∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题．【变式】如图，AD是ABC∆的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,∴ △AHD≌△AMD.∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.∵ HD＝DB,∴ DB＝ MD.∴ ∠DMB＝∠B.∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180?,∴ ∠AHD＋∠B＝180?.即∠B与∠AHD互补.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180?.∵ ∠B＋2∠DGA ＝180?,∴ ∠AHD＝2∠DGA.∴ ∠AMD＝2∠DGM.∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.M GHDCB A∴ ∠DGM＝∠GDM.∴ MD＝MG.∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM＋MG,∴ AG＝ AH＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形3、（2015?新宾县模拟）如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．【思路点拨】（1）AB=AC，∠BAC=60°，证得△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又点P恰巧在∠ABC的平分线上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果．（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到△ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论．（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论．【答案与解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵点P恰巧在∠ABC的平分线上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）结论：PA+PC=PB．证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，∵∠APB=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD与△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；（3）结论：PA+PC=PB．证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AF⊥BP交BP于F，∴AP=AD，∵∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴∠APB=30°，∴∠DAP=120°，∴∠1=∠2，在△ABD与△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴BD=PC，∵AF⊥PD，∴PF=AP，∴PD=AP，∴PA+PC=PB．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD在△AED与△ACD中∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．【思路点拨】四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．【答案与解析】证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴ AE为∠FAD的平分线，∴ ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AE AEDE ME=⎧⎨=⎩公用边，已证，∴ Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴ AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E为CD中点，∴ DE＝EC．∴ ME＝EC．ED C BA在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(ME CEEF EF=⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴ Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴ MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴ AF＝AD＋FC(等量代换)．【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD=，求证：BD是∠ABC的平分线．【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案与解析】证明：（1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。

北京四中八年级下册数学三角形的证明全章复习与巩固-巩固练习(提高)

《三角形的证明》全章复习与巩固（提高）【巩固练习】一.选择题1．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）A． 3米 B． 4米C． 5米 D．6米2. 设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A B C D3. 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。

其中结论正确的是（）A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(3)，(4)D、(1)，(2)，(4)4. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C7. 如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点若∠APD=60°，则CD的长为( )A．12 B．23C．34D．18. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A、三边中线的交点B、三条角平分线的交点C、三边上高的交点D、三边中垂线的交点二、填空题9. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是__________ ．10. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°时，第一步为假设“”11. 如图，在Rt△ABC中．∠C=90°，BC=6，AC=8，点D在AC上，将△BCD沿BD折叠，使35点C恰好落在AB边的点C′处，则△ADC′的面积是_________.12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________.13. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是___________.14. 如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__15. 已知⊿ABC中，∠A = 90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = .16. 如图：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB.三、解答题17. 如图：△ABD和△CDH都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等的三角形，并写出证明过程．18. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30cm 2，求折叠△AED 的面积．19. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 是等边三角形，直线AN ，MC 交于点E,直线BM 、CN 交与F 点.(1)求证：AN=BM ；(2)求证： △CEF 为等边三角形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）20.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB∴△AEB ≌△AEC(第一步)∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D．2. 【答案】A；3. 【答案】D；【解析】解：∵EA⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt△EAD与Rt△ABC∵D为AB中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt△EAD≌Rt△ABC∴DE=AC，∠C=∠ADE，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°-90°=90°，即DE⊥AC，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE,故选D．4. 【答案】B；【解析】∵AD平分∠CAB交BC于点D∴CAD=∠EAD∵E⊥AB∴∠AED=∠C=90∵AD=AD∴△ACD≌△AED．（AAS）∴AC=AE，CD=DE∵∠C=90°，AC=BC∴∠B=45°∴DE=CE∵AC=BC，AB=6cm，∴2BC2=AB2，即BC=22AB=26322，∴BD=AB-AE=AB-AC=6-32，∴BC+BE= 32 +6- 32 =6(cm)，∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）．另法：证明三角形全等后，∴AC=AE，CD=DE．∵AC=BC，∴BC=AE．∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6(cm)．故选B．5. 【答案】B；【解析】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB，设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°，∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴x+2x+2x=180，∴x=36，∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．6. 【答案】B；【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等．故选B．7. 【答案】B；【解析】解：∵∠APC=∠ABP+∠BAP=60+∠BAP=∠APD+∠CPD=60+∠CPD，∴∠BAP=∠CPD．又∵∠ABP=∠PCD=60，∴△ABP∽△PCD．∴AB BPCP CD=，即312CD=．∴CD=2/3．故选B．8. 【答案】D；【解析】三角形三边中垂线的运用.二.填空题9. 【答案】125°；【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，∴∠C=35°，∠A=110°，∵DE ⊥BC ，∴∠ADE=360°-110°-35°-90°=125°，∵125°＞110°＞90°＞35°，∴四边形中，最大角的度数为：125°．故选C ．10.【答案】三角形的三个内角都小于60°；【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．11.【答案】6；【解析】∵∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB= 22AB BC +=10，∵△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在AB 边的点C′处，∴∠BC′D=∠C=90°，BC′=BC=6，DC′=DC，∴AC′=AB -BC′=10-6=4，∵S △ADB +S △DBC =S △ABC ，∴12 •AB•DC′+ 12 BC•DC= 12AC•BC， ∴10DC′+6DC′=6×8，∴DC′=3，∴S △ADC′= 12 DC′•AC′= 12×4×3=6．【解析】将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，BD=2+3=5，AD=12，由勾股定理得：AB= 22AD BD +=13．13.【答案】20；【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．14.【答案】65°；【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF；又∵∠B=50°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠BCA）+12（∠B+∠BAC）=12（∠B+∠B+∠BCA+∠BAC）=2302（外角定理），∴∠AEC=180°-（12∠DAC+12ACF）=65°；故答案是：65°．15.【答案】135°；【解析】∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵角平分线BE、CF交于点O，∴∠OBC+∠OCB=45°，∴∠BOC=180°-45°=135°．故答案为135°．16.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°-∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°-∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°-∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE．三.解答题17.【解析】解：△ACD≌△BHD；证明：∵△ABD和△CDH都是等腰直角三角形，∴CD=DH，AD=BD，∠ADC=∠ADB=90°，∴在△ACD和△BHD中，∴△ACD≌△BHD（SAS）．18.【解析】解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．由S△ABF=BF•AB=30，AB=5，得BF=12．在Rt△ABF中，由勾股定理，得．所以AD=13．设DE=x，则EC=5﹣x，EF=x，FC=1，在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，即（5﹣x）2+12=x2．解得．故．19.【解析】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．20.【解析】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：在△BEC中，∵BE=CE∴∠EBC=∠ECB又∵∠ABE=∠ACE∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC．在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC∴△AEB≌△AEC（SSS）∴∠BAE=∠CAE．。

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了八年级上册数学中的全等三角形知识点，包括全等三角形的概念和性质，三角形全等的判定方法，角的平分线的性质以及全等三角形证明方法。

要点一介绍了全等三角形的判定与性质，其中包括边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边、直角边定理(HL)、边边边(SSS)等判定方法，并说明了对应元素相等的性质。

要点二介绍了全等三角形的证明思路，包括找夹角、找直角、找另一边、边为角的对边等方法。

要点三介绍了角平分线的性质和判定定理，以及与角平分线有关的辅助线。

要点四介绍了全等三角形证明方法，包括证明线段相等的方法、证明角相等的方法等。

XXX∠FAE。

又∠EAG+∠XXX∠BAG=180°。

AEF≌△AGF（AAS）。

XXX．结论：BE=FD，EF=FD/2．2、（2014•北京市海淀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且AD=AC．连接CD，交AB于E点．证明：AE=DE．思路点拨】1）延长AD交CE于点F；2）证明△AFE≌△CFD，得到∠AFE=∠CFD，再证明△AED≌△CED，得到AE=DE．答案与解析】证明：（1）连接AF，CF，DF，因为AB=AC，AD=AC，∴∠BAD=∠CAD，∠AFD=∠CFD。

又∠AFE=∠XXX，∴△AFE≌△CFD（AAS）。

AE=DE．证明：作角平分线AD，连接BD，CD.AB＝AC。

BAD＝∠CAD。

又∠ABD＝∠ACD。

ABD≌△ACD（AAS）。

BD＝CD。

又∠BDA＝∠CDA。

BDA≌△CDA（SAS）。

B＝∠C.总结升华】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定方法，即AAS和SAS定理。

证明：过点A作AD⊥BC，则在Rt△ABD与Rt△ACD 中，由于AB=AC，AD=AD，根据HL（斜边-直角边-斜边）可得Rt△ABD≌Rt△ACD，因此∠B=∠C。

全等三角形全章复习(一)优秀教学设计

全章总复习课（一）【教课目的】：（ 1）系统归纳整理三角形相关的知识、方法、数学思想，交流知识、方法间的联系，形成三角形知识板块的整体构造，提升学生剖析问题和解决问题的能力；（ 2）增强对三角形图形的辨别、分解训练；（ 3）灵巧运用三角形内角和、外角性质解决三角形的相关计算问题，增强几何推理能力的培育；（ 4）稳固对三角形的三边关系的掌握，增强对三角形分类的认识。

【教课要点】：三角形知识构造的成立及这些知识的灵巧运用。

【教课难点】：灵巧运用三角形内角和、外角性质进行几何推理和相关计算。

【教法、学法设计】：指导归纳总结，综合练习，讲练联合【教课过程设计】：教课环节教课活动设计企图让学生合上课本，回想三角形部分学了哪些内容？（约 3 分钟），回首、梳理旧知教师再进行发问与归纳（建议教师以图表形式体现知识构造）：识，帮助学生形 1、三角形的观点。

成知识构造，加 2、三角形的分类方法。

强对三角形相关 3、三角形的三边关系及三角形的稳固性。

知识的整体把 4、三角形的内角和、外角和。

握，为提升学生5、三角形外角的两个性质。

运用知识解决问题作准备。

一、复习三角形知识构造锐角三角形梳理旧直角三角形知，指引按角分类钝角三角形归纳归纳三角形按边分类不等边三角形三角形的三边关系等腰三角形三角形的内角和三角形的稳固性三角形的外角性质三角形的外角和二、限时【限时训练】（五分钟，独立达成，再小组对答案，教师简评）：（1）判断题：①三条高交于它的一个极点的三角形是直角三角形（）②三角形的外角大于内角（）③三角形有一个内角等于 80°，则这个三角形是锐角三角形（（2）若三角形的三个内角的比为1∶3∶ 5 ，则这个三角形是（A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. 等边三角形（3）已知等腰三角形两边长为7 和 3，则它的周长为．经过限时训练，帮助学生赶快进入学习状态，同时以较低的“门）槛”使学生感觉到成功的快乐，）.提升学习的信心和学习的踊跃性。