3 河流水质模型

0 . 0137
x 0 . 0137 u x B Dy
2
c
0 . 05
可以求出
为中心排放公式
当岸边排放时，用同样的分析过程，由式（2.26）和
（2.28）可得到断面任一点浓度与断面平均浓度的比值，
然后求得岸边排放时污染物到达岸边所需的纵向距离公
式：
x 0 . 055 u x B Dy
运用数学物理方程的求解方法，可以求得其解析解：
c( x, y )
QA 4 h ( x / u x )
2
exp[ DxDy
(y uyx /ux) 4D y x / ux
2
) exp(
Kx ux
) （ 2 . 21）
在比较顺直的河道，横向流速很小，且纵向扩 散远小于推流的影响，即
uy 0 和 ux c x D x c
完全混合断面与排放点的距离成为完全混合所需要的
距离。
中心排放时，断面最小（最大）浓度与平 均浓度的比值有式（2.29 ）式确定：
当 c min c 当 y 0 , 0 . 1时 求得 c max c 1 . 038 1 . 05 0 . 95 求得 0 . 1
C0 Q 2 C 2 Q 1C 1 Q1 Q 2 5 . 5 0 . 5 0 . 15 30 5 . 5 0 . 15 1 . 28 g / L
Q 2C 2
c0
X=10km
Q 1C 1
QC
0
Dx k
C=?
0
河流一维扩散计算示意图
x
(2)考虑纵向弥散的计算结果
(1)岸边排放，宽度为B。浓度公式根据（2.22）式 进行叠加，结果如下：
c( x, y )
p
2Q A u x h 4 D y x / u x
2 p
{exp(
ux y
2
)
2
4Dyx u x ( 2 nB y ) 4Dyx ]} exp( Kx ux )
exp[
n 1
2
例：连续点源QA=100g/s,河流水深h=1.5m,流 速ux =0.3m/s,横向弥散系数Dy=5m2 /s, K=0。 求：
（1）无界排放，x=2000m , y=10m处的浓度
（2）边界排放， B ，x=2000m , y=10m处的浓度。 （3）在边界，当 B=100m , x=2000m , 度。 y=10m 处的浓
运用数学物理方程的求解方法，可以求得其解析解：
污染源
m
Dx
u x
K
0
x
图2.3 河流中一维扩散(瞬时源)示例图
c( x, t) A
m 4 D x t
exp[
( x u xt ) 4 D xt
2
] exp( Kt )
其中
A Bh
A——河流的平均断面面积 B——河流的平均断面宽度
y
污染源
u x , D x , D y ,K
x
该扩散问题的数学模型如下：
2 2 c c c c Dx Dy ux uy Kc 0 2 2 x y x y QA c c [D x Dy cu x cu y ] x 0 x y 1h y0 c ( x , y ) x 0 y
y
污染源
0
x
根据（2.23）式，任意断面污染物的平均浓度为：
c 1 B
B
c ( x , y ) dy
0
Q A exp( u x hB
Kx ux
)

Kx ux
B
1 2
y
exp(
y 2
2 2 y
) dy
0

QA u x hB
exp(
)
即断面平均浓度公式为:
c QA u x hB exp( Kx ux ) ( 2 . 28 )
其扩散过程及其状态见下图。
c(x)
K 0
)x(c
c0
t1
c0
c( x) ~ x
t2
t3
t4
x
图2.5 扩散过程及状态图
x1 x 2
x
（2）非稳态公式
c( x, t) A m 2
x
exp[
( x u xt ) 2
2 x
2
]
由上式可以明显地看出： #在x>0的任一断面观测污染物浓度随时间 的变化，均呈现正态分布的c—t过程曲线； # c—t正态分布曲线的峰值为
3 河流水质模型（模拟）
3.1 一维问题（扩散） 1.连续源（稳态） 基本假设：#河水为一维水流 #扩散为一维扩散 #在x=0处，污染物完全混合，浓度为c0。 其它条件如图2.1所示。 设降解系数为K [T-1]， 则有
基本微分方程 c t Dx c
2
x
2
ux
c x
Kc
对于稳态条件，有
2
污染物到达岸边所需的纵向距离计算公式：
中心排放时：
x
0 . 0137 u x B Dy
2
岸边排放时：
x
0 . 055 u x B Dy
2
（2）污染物与河水完全混合所需距离
c c
c c c 100 % 5 %
定义：当
95 %
1 . 05
称污染物在河流横断面的完全混合。
0 .1
既得 x
Dxx uxB
2
0 .1
2
0 . 1u x B Dy
上式为中心排放时完全混合所需要的纵向距离公式。
同理可得岸边排放时完全混合所需要的纵向距离公式：
x 0 .4 u x B Dy
2
中心排放时：
x
0 . 1u x B Dy
2
岸边排放时：
x
0 .4 u x B Dy
1 . 28 exp[
( 0 . 2 / 86400 ) 10000 0 .3
]
1 . 19 g / L
3.2
wk.baidu.com
二维问题(扩散)
1.无界情形----连续源
基本假设：#河水为一维水流
#扩散为二维扩散
#在x=0，y=0处，连续投入污染物的源强为QA。 #扩散羽不受边界影响
#其它条件如下图所示。
详见下图。
c
3

1 2 3
2
1
x
0
u xt
图2.4 浓度峰值示意图
3.对一维扩散公式的讨论
（1）稳态公式
c ( x ) c 0 exp( Kx ux )
由上式可以明显地看出： #随着x和K的增大，c(x) 减小； #随着c0和 ux的增大，c(x)增大； #污染物进入水体一定时间后使扩散达到动平衡。 其物理含义是：
Kx ux
y
) exp( y 2
2
2
2 y
)
( 2 . 23 )
对公式(2.23)的分析：
在污染源下游x断面上，污染物在y方向呈正态
分布，最大浓度出现在x轴上，其值为：
Q A exp( c ( x , y ) max u xh
Kx ux
y
) ( 2 . 24 )
2
c
c max
exp[
n 1
u x ( nB y ) 4Dyx
] exp[
n 1
（2.27）
3.3 河流二维弥散中几个特征值的确定
（1）污染物到达岸边所需的纵向距离(下图)
定义：若边界的污染物浓度值达到断面平均浓度的
5%，即
c边 c 100 % 5 %
则称污染物到达岸边。
具体求法如下：
2
x
2
此情况下可以求得如下的浓度分布公式：
c( x, y ) u xh QA 4 D y x / u x exp( ux y
2
) exp(
Kx ux
) ( 2 . 22 )
4Dyx
令
y

2Dyx ux
,
( 2 . 22 ) 式可以写成：
Q A exp( c( x, y ) u xh
c max m A 2
x
#峰值出现的时间tm=xm/ux， c—t分布曲线
的形态取决于参数 其扩散过程见下图。
x 2 D xt
浓度峰值 参 数 在[
x m 2 x
c max
m A 2
2 D xt
x

x

x ，m 2 x ] 范围内，污染物
c
m
质量约为总质量95.44%。
y
4
y
2.半无界情形----连续源
连续源-----稳态情形 基本假设：#河水为一维水流 #扩散为二维扩散
#在x=0，y=0处，连续投入污染物的源强为Q
#扩散羽的一边受边界影响(考虑全反射) #其它条件如下图所示。
y
ux
D x , D y ,K
污染源
0
x
污染物半无界扩散示意图
对于半无界情形，浓度公式根据“镜像法”原理获 得。即将（2.22）式进行叠加而成。其结果如下：
u x ( 2 nB y ) 4Dyx
] exp[
n 1
（2.26）
(1)中心排放，宽度为B。浓度公式根据（2.22）式 进行叠加，结果如下：
c( x, y )
p
2Q A u x h 4 D y x / u x
2 p
{exp(
ux y
2
)
2
4Dyx u x ( nB y ) 4Dyx ]} exp( Kx ux )
Q 2C 2
Q 1C 1
QC
0
0
2.2 河流污染物完全混合示意图
x
对于上图所示，运用质量守恒定律，得到
Q 2 C 2 Q 1C 1 QC 0 ( Q 1 Q 2 ) C 0
C0
Q 2C
2
Q 1C 1
Q1 Q 2
上式称为河流污染物完全混合模式（公式）
2.瞬时源（非稳态）
基本假设：#河水为一维水流 #扩散为一维扩散 #在x=0处，瞬时投入污染物的质量为m。 其它条件如图2.3所示。 该扩散问题的数学模型如下：
2 c c c Dx ux Kc 2 x x t h B m t 0 cdxdydz 0 0 x 0 h B m t 0 cdxdydz 0 0 0
t0 c max
1
c max
2
t1
t2
x m 2 x
c max
n
tn
x0
x1
xm
x m 2 x
xn
x
图2.６扩散过程态图
例题1：一项扩建工程向河流排放废水，废水量
为 Q2=0.15m3/s ，主要污染物苯酚浓度为30 ug/L ， 河流量 Q1=5.5 m3/s，流速0.3m/s，纵向弥散系数为 Dx=10m2/s 。苯酚在原河流中监测浓度为 0.5 ug/L， 它的降解系数K=0.2d-1（如图）。求：下游10km处苯 酚浓度 ？ 解： (1)计算起始处完全混合后的初始浓度
c ( x ) c 0 exp [ xu
x
(1
1
4 KD u
2 x
x
)]
2Dx
1 . 28 exp [
0 . 3 10000 2 10
4 (1 1
0 .2 86400 2 0 .3
10 )]
1 . 19 g / L
（3）忽略弥散的计算结果
c ( x ) c 0 exp( Kx ux )
c ( x ) c 0 exp[
xu
x
(1
1
4 KD u
2 x
x
)]
2Dx
若忽略弥散，即
ux c x D x c
2
x
2
微分方程成为
u
c
x
x
Kx
0
在边界条件不便的情况下，得到如下的浓度分布公式：
c ( x ) c 0 exp(
Kx ux
)
起始浓度计算方法
c t
0
，因此得到
数学模型
2 c c ux Kc 0 D x 2 x x c x x c0 0 c x 0
运用数学物理方程的求解方法，可以求得其解析解：
污染源
u x
Dx
K
x 0 c c0
0
x
图2.1 河流中一维扩散示例图
h ——河流的平均水深
若令
K 0;

x

2D xt
c( x, t)
m A 2
x
exp[
(x u xt) 2
2 x
2
]
上式为正态分布函数。由该函数的性质可以知道：
(1) 浓度峰值 c max m A 2
x
( 2 ) 断面 x 处出现最大浓度的时间 t max x max ux
c( x, y ) u xh 2Q A 4 D y x / u x exp( ux y
2
) exp(
Kx ux
) ( 2 . 25 )
4Dyx
由（2.25）式可以看出，由于边界的反射作 用，污染物浓度是没有反射的两倍。
3.有界情形
y
有界扩散示意图
虚 源
B
实 源
0
（x,y）
B
x
B
B
由式（2.27）和（2.28）可得到断面任一点浓度与断面 平均浓度的比值：
c c 1 4 {exp( y
2 2
4 B
) exp[
(B y) 4 B
2
2
] exp[
(B y) 4 B
2
2
]} ( 2 . 29 )
式中 :

Dxx uxB
2
根据定义，当污染物达到岸边时，c