指数、对数函数公式
对数函数和指数函数的区别和知识点
对数函数和指数函数的区别和知识点对数函数和指数函数是两种重要的数学函数，它们在形式和性质上有很大的不同。
下面我们将从定义、图像、性质和应用四个方面来对比这两种函数。
一、定义1. 对数函数：对于正实数a（a>0）和自然数b（b>0），对数函数定义为log(a^b)=b。
也就是说，如果a的b次方等于c，那么log(a) c = b。
2. 指数函数：对于实数a（a≠0），指数函数定义为a^x。
也就是说，无论x 是什么实数，a的x次方都等于y。
二、图像1. 对数函数的图像：对数函数的图像在坐标系中是单调递增的。
当底数大于1时，图像位于第一象限和第二象限；当底数在0到1之间时，图像位于第二象限和第三象限。
2. 指数函数的图像：指数函数的图像也是单调递增的。
对于所有的实数a（a>0），图像都位于第一象限。
当a大于1时，图像在x轴上方递增；当0<a<1时，图像在x轴下方递增。
三、性质1. 对数函数的性质：对数函数是反函数，即如果log(a^b)=c，那么a^c=b。
此外，对数函数还有对数的换底公式，即log(a) b = c 可以转化为log(m) b = c/log(m) a。
2. 指数函数的性质：指数函数是幂运算的推广，具有连续性、周期性、奇偶性等性质。
指数函数也可以表示为exp(x)，其中exp表示自然指数函数的底数，约等于2.71828。
四、应用1. 对数函数的应用：对数函数在科学、工程和经济学等领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，声学和光学中的分贝和折射率可以通过对数函数计算；在金融学中，复利和折旧可以通过对数函数计算；在信息论中，对数函数用于描述信号强度和噪声的关系。
2. 指数函数的应用：指数函数在自然科学、社会科学和工程学等领域也有广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞增长和繁殖可以用指数函数描述；在经济学中，复利和折现也可以用指数函数计算；在物理学中，放射性衰变和电路中的电压可以用指数函数描述。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全1. 对数函数的定义：y = loga x，其中a为正数且a ≠ 1，x为正数。
则y表示以a为底，x的对数。
2. 对数函数与指数函数互为反函数：loga a^x = x，a^loga x = x。
3. 对数函数的性质：① loga (xy) = loga x + loga y。
② loga (x/y) = loga x - loga y。
③ loga x^n = n loga x。
④ logb x = loga x / loga b。
⑤ loga √x = 1/2 loga x。
⑥ loga (1/x) = -loga x。
4. 常用对数函数值：① log10 1 = 0。
② log10 10 = 1。
③ log10 100 = 2。
④ log10 1000 = 3。
⑤ loge 1 = 0。
⑥ loge e = 1。
5. 解对数方程的方法：①转化为指数形式，即a^x = b。
②化简为一般形式，即loga (mx + n) = p。
将等式两边化为指数形式。
③变形为倒数形式，即loga x - loga (x - 1) = b。
将等式两边化为分数形式。
6. 求解对数函数性质的方法：①分解对数式。
②合并同类项。
③平方移项。
④如有必要，将对数式转化为指数式。
⑤根据指数函数的性质求解。
7. 对数函数的图像特征：①定义域为正实数集。
②值域为全体实数集。
③函数图像关于直线y = x对称。
④在x轴上有一个特殊点：x = 1，此时对数值为0。
⑤在函数图像上任意两点的连线与x轴所成的角度相等，且这个角度叫做该点的倾角。
指数函数公式运算法则
指数函数公式运算法则指数函数是一种常见的数学函数，其公式形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数在数学中有着广泛的应用，因此掌握指数函数的运算法则对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍指数函数的运算法则，包括指数函数的加减乘除、指数函数的幂函数、指数函数的对数函数等内容。
一、指数函数的加减乘除1. 指数函数的加法当两个指数函数相加时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相加，即a^x + a^y = a^(x+y)。
例如，2^3 + 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
2. 指数函数的减法同样地，当两个指数函数相减时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相减，即a^x - a^y = a^(x-y)。
例如，3^5 - 3^3 = 3^(5-3) = 3^2。
3. 指数函数的乘法当两个指数函数相乘时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相加，即(a^x) * (a^y) = a^(x+y)。
例如，2^3 * 2^4 =2^(3+4) = 2^7。
4. 指数函数的除法当两个指数函数相除时，如果它们的底数相同，则可以将它们的指数相减，即(a^x) / (a^y) = a^(x-y)。
例如，3^5 / 3^3 =3^(5-3) = 3^2。
二、指数函数的幂函数指数函数的幂函数是指数函数的一种特殊形式，其公式为f(x) = (a^x)^n，其中a为底数，x为指数，n为幂次。
当计算指数函数的幂函数时，可以将指数函数的指数与幂次相乘，即(a^x)^n =a^(x*n)。
例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6。
三、指数函数的对数函数指数函数的对数函数是指数函数的逆运算，其公式为y =log_a(x)，其中a为底数，x为指数，y为对数。
对数函数的作用是求解指数函数的指数，即log_a(x) = y 等价于 a^y = x。
例如，log_2(8) = 3 等价于 2^3 = 8。
对数函数公式运算大全
对数函数公式运算大全
对数函数是数学中一类重要的函数，它在很多领域有着重要的应用，比如物理学、电路学、工程学、统计学、金融学等等。
在数学中，对数函数是指以一个变量X为底，另一个变量Y为指数，以X为底Y的对数记为logX（Y），这就是对数函数的定义。
对数函数的公式表达方式为：logX（Y）=a，它表示X的a次幂为Y，其中a是常数，X是底数，Y是指数。
对数函数的运算大全主要有以下几类：
一、求底数：若已知logX（Y）=a，则X=Y^a，即X为Y的a次幂，故X称为logX（Y）的底数。
二、求指数：若已知logX（Y）=a，则Y=X^a，即Y为X的a次幂，故Y称为logX（Y）的指数。
三、求幂次：若已知logX（Y）=a，则a=logX（Y），即a称为logX（Y）的幂次。
四、同底数情况：若X，Y，Z均为同一个底数，则有logX（YZ）=logX（Y）+logX（Z），即Y的指数与Z的指数的和等于YZ的指数。
五、不同底数情况：若X，Y，Z均为不同的底数，则有logX（Y）＝logZ（Y）/logZ（X），即X，Y，Z三者之间的对数之比等于X，Z两者之间的对数之比。
以上就是对数函数公式运算大全的介绍，从上面的内容可以看出，对数函数具有简单、实用和可操作性，所以在数学方面有着广泛的应用。
在统计学、物理学、金融学等领域，对数函数可以用来求解复杂的问题，它被广泛应用在工程学、息学和其他学科中。
可以说，对数函数是一个重要的数学函数，它在很多领域中都可以发挥重要的作用。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象Oxyy = l o g x a ><a <a111( ))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 11111 1xxxxy y y yOO OOABC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是yyO x yO x yABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B.答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f（x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47.（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
对数函数与指数函数的转换
对数函数与指数函数的转换
对数函数与指数函数是互为反函数的函数关系。
如果指数函数为 y = a^x ，其中 a>0，且a ≠ 1，那么对数函数为 y = loga(x)。
其中 a 表示底数，x 表示指数或对数的变量，y 表示指数函数的值或对数函数的值。
具体的转换关系如下：
1. 指数函数转换为对数函数：
将指数函数 y = a^x 转换为对数函数 y = loga(x) ，其中底数 a>0，且a ≠ 1。
例如，指数函数 y = 2^x 可以转换为对数函数 y = log2(x)。
2. 对数函数转换为指数函数：
将对数函数 y = loga(x) 转换为指数函数 y = a^x ，其中底数 a>0，且a ≠ 1。
例如，对数函数 y = log2(x) 可以转换为指数函数 y = 2^x。
对数函数与指数函数的转换关系可以用来简化计算、求解方程和表示数据等。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学中常见的数学模型。
指数函数与对数函数既有相似之处又有一些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。
一、指数函数指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数是正值函数。
（3）当x=0时，指数函数的值为1。
（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。
2. 反函数：指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
3. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
4. 常用公式：（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和以e为底的对数函数。
（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
高中数学公式大全指数对数函数的运算与对数换底
高中数学公式大全指数对数函数的运算与对数换底高中数学公式大全：指数对数函数的运算与对数换底指数对数函数是高中数学中的重要内容，掌握其运算规则和对数换底的方法对于解题非常有帮助。
本文将详细介绍指数对数函数的运算与对数换底，并给出相关的数学公式大全，希望对你的学习有所帮助。
1. 指数函数的运算指数函数是形如 y = a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。
在指数函数的运算中，有以下几个重要的公式：公式一：指数相乘的法则当两个指数相乘时，底数不变，指数相加，即 a^x * a^y = a^(x+y)。
公式二：指数相除的法则当两个指数相除时，底数不变，指数相减，即 a^x / a^y = a^(x-y)。
公式三：指数的乘方法则当一个指数的数值再次乘方时，底数不变，指数相乘，即 (a^x)^y = a^(x*y)。
2. 对数函数的运算对数函数是指数函数的逆运算，常用表示形式为 y = loga(x)，其中a 是底数，x 是真数。
在对数函数的运算中，有以下几个重要的公式：公式四：对数相乘的法则当两个对数相乘时，真数不变，底数相加，即 loga(x) * loga(y) = loga(x*y)。
公式五：对数相除的法则当两个对数相除时，真数不变，底数相减，即 loga(x) / loga(y) = loga(x/y)。
公式六：对数的乘方法则当一个对数的数值再次乘方时，真数不变，底数相乘，即 loga(x^p) = p * loga(x)。
3. 对数换底公式对数换底公式是指用一个底数的对数来表示另一个底数的对数。
在解题中，如果给定的对数底数与所需要的对数底数不一致，就需要使用对数换底公式。
对数换底公式有以下两种形式：公式七：以10为底数的对数换底公式对于任意一个正数 x，可以得到以 10 为底数的对数和以 e 为底数的对数之间的关系：log10(x) = ln(x)/ln(10)。
公式八：以任意底数为对数的换底公式对于任意一个正数 x，可以得到以 a 为底数的对数和以 b 为底数的对数之间的关系：loga(x) = logb(x) / logb(a)。
指数函数与对数函数
指数函数指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b)（8）显然指数函数无界。
（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
（10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。
底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1.（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
数学函数6个周期性公式推导
数学函数6个周期性公式推导数学函数的周期性是指函数在一定区间内以其中一种规律重复出现的性质。
下面将推导出六个常见的周期性函数公式，即正弦函数、余弦函数、正切函数、指数函数、对数函数和常函数的周期性公式：1.正弦函数的周期性公式推导：正弦函数的定义为f(x) = sin(x)，其中x为实数。
根据正弦函数的属性，它的最小正周期为2π，即sin(x) = sin(x + 2π)。
进一步推导，可以得到sin(x) = sin(x + 2πk)，其中k为任意整数。
因此，正弦函数的周期性公式为sin(x) = sin(x + 2πk)，k为整数。
2.余弦函数的周期性公式推导：余弦函数的定义为f(x) = cos(x)，其中x为实数。
根据余弦函数的属性，它的最小正周期也为2π，即cos(x) = cos(x + 2π)。
进一步推导，可以得到cos(x) = cos(x + 2πk)，其中k为任意整数。
因此，余弦函数的周期性公式为cos(x) = cos(x + 2πk)，k为整数。
3.正切函数的周期性公式推导：正切函数的定义为f(x) = tan(x)，其中x为实数。
根据正切函数的属性，它的最小正周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。
进一步推导，可以得到tan(x) = tan(x + πk)，其中k为任意整数。
因此，正切函数的周期性公式为tan(x) = tan(x + πk)，k为整数。
4.指数函数的周期性公式推导：指数函数的定义为f(x)=a^x，其中a为正实数、且a≠1，x为实数。
指数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为任意正数。
因此，指数函数的周期性公式为f(x+T)=f(x)，其中T为正数。
5.对数函数的周期性公式推导：对数函数的定义为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数、且a≠1，x为正实数。
对数函数并没有严格的周期性，但它满足更一般的周期性性质，即f(x + T) = f(x)，其中T为任意正数。
对数函数 指数函数
对数函数指数函数数学中有两种主要的计算函数：指数函数和对数函数。
这两个函数的定义和特性有很多相同之处，它们是关于数学和科学专业领域中最重要的数学概念之一。
指数函数指的是可以将不同的指数应用到大量的数据上的一种函数，它的定义为：f(x) = ax，其中x是函数的变量，a是指数函数的基数。
由此可见，a是定义指数函数的一个重要参数，当a增大时，函数值就会增加很多，反之，当a减小时，函数值就会减少很多。
因为指数函数是线性变换的一种，它是处理大规模数据的快速方法有着重要的应用。
另一方面，对数函数指的是可以让数据产生反比例变化的一种函数，定义为：f(x) = logax，其中x是函数的变量，a是指数函数的基数。
由上面的定义可以看出，a对对数函数也是很重要的，同样的，当a增大时，函数值就会减少很多，反之，当a减小时，函数值就会增加很多。
指数函数和对数函数有一个重要的相互关系，只要有一个函数，另一个就可以被逆推出来，例如：y=ax (a指数函数)，那么对数函数可以求出：x=logay。
以此类推，只要拿到一个函数，另一个就可以求出来。
指数函数和对数函数也有一些重要的应用。
在统计学中，它们主要用来处理数据的分布情况，例如：使用指数函数可以快速的获取大量样本的统计情况，反之，使用对数函数可以快速的得出比例关系。
此外，指数函数和对数函数还有一些重要的应用，比如在金融数学中可以用来研究投资收益，其中对数函数会有一些特殊的用途，例如：可以用它来计算期权价格，模拟股票价格的涨跌，监测数据间的联系，以及计算复利收益率等等。
另外，在物理学、机械工程等方面，指数函数和对数函数也都有一些重要的用途。
例如：在物理学中，可以使用对数函数来计算电容的容量；在机械工程中可以使用指数函数来计算机械力学中的某些特殊参量。
总而言之，指数函数和对数函数在抽象数学，统计学，金融学，物理学，机械工程等多个专业领域都有着重要的应用价值，以及研究和应用的价值。
指数函数化为对数函数公式
指数函数化为对数函数公式
指数函数与对数函数是数学中重要的两个函数，它们之间存在着
对应的关系，相互转换也是数学学习的重要内容之一。
具体来说，把一般的指数函数f(x)=a^x (a>0,a≠1)化为对数函数，可以按
照以下公式：y=loga(x)。
这里的a指的是指数函数f(x)中的系数，x是指数函数的次方数，而y则是对应的对数函数的取值，其中的loga表示a这个底数的对数。
以上就是一般指数函数化为对数函数的公式，换言之，把
幂换为对数，并将其中的系数作为对数的底数。
借助上述公式，就可以很方便地将指数函数转换为对数函数，比
如f(x)=2^x，将其化为对数函数，可以得到y=log2（x）。
再比如f(x)=2^x+3，将其化为对数函数，可以得到y=log2（x+3）。
以此类推，都可以对应求出对数函数的取值。
上述公式展示了指数函数与对数函数之间的对应关系
只要把指数函数“改写”一下，就可以容易地将其转换为对数函数，进而解决更复杂的数学问题。
正是因为这种特殊的函数性质，指数函数和对数函数都得到了应用，并在数学学习、工程计算、
统计学习等领域都有着重要的地位。
指数函数和对数函数公式
指数函数和对数函数公式一、指数函数公式指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个正实数且不等于1，x 可以是实数。
指数函数具有以下常见的公式：1.以自然对数e为底的指数函数：y=e^x2.以底数为a的指数函数：y=a^xa是一个大于0且不等于1的实数。
a^x的图像也是一个逐渐增长的曲线，但斜率的增长速度取决于底数a的大小。
当0<a<1时，曲线倾斜向下；当a>1时，曲线倾斜向上。
指数函数有许多重要的性质：1.指数函数一定经过点(0,1)，因为a^0=12.当x为正无穷大时，指数函数趋于正无穷大，当x为负无穷大时，指数函数趋于0。
3.指数函数的值在整个实数范围内都是正的。
4.指数函数具有指数律，即a^(x+y)=a^x*a^y，a^(x-y)=a^x/a^y，以及(a^x)^y=a^(x*y)。
二、对数函数公式对数函数是指以一些正实数为底的对数函数，常用的底数有10和自然对数e。
对数函数的公式如下：1.以底数为10的对数函数：y=log10x (也可以写成y=logx)这个函数的定义域是正实数，值域是实数。
对数函数的图像是一个逐渐增长的曲线，当x增大时，函数值增长速度变慢。
当x=1时，函数值为0。
对数函数的斜率随着x的增大而减小。
2.以自然对数e为底的对数函数：y=lnx这个函数的定义域是正实数，值域是实数。
自然对数函数的图像与以10为底的对数函数非常相似，但是斜率变化的速度更慢。
当x=1时，函数值为0。
自然对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
对数函数具有以下重要性质：1. 对数函数的反函数是指数函数。
即如果y=logax，则x=a^y。
2.对数函数的值随着x的增大而增大，但增长速度逐渐减慢。
3.当x趋于正无穷大时，对数函数趋于正无穷大；当x趋于0时，对数函数趋于负无穷大。
4. 对数函数具有对数律，即logab=logcb/logca，logab=logac/logbc，以及log(a^b)=bloga。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数知识点：
定义：对于任意实数x和正数a（a≠1），函数y=a^x称为指数函数。
性质：指数函数的图象总是通过点(0,1)。
指数函数在其定义域内是单调的。
当a>1时，函数是增函数；当0<a<1时，函数是减函数。
指数函数的值域是(0, +∞)。
指数函数的导数：如果y=a^x，则
y'=a^x * lna（a>0，a≠1）。
对数函数知识点：
定义：如果a^x=N（a>0，a≠1），则称x为以a为底N的对数，记作x=log_aN。
性质：对数的定义域是正数集，值域是实数集。
以a 为底的对数，a>0且a≠1。
对数的换底公式：log_bN = log_aN /
log_aA。
对数的运算性质：log_a(MN) = log_aM + log_aN；
log_a(M/N) = log_aM - log_aN；log_aM^n = n * log_aM。
对数函数的导数：如果y=log_ax，则y'=1/(x * lna)（a>0，a≠1）。
指数函数与对数函数之间的关系：
指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即如果y=a^x，则
x=log_ay。
指数函数与对数函数之间可以通过换底公式相互转换。
这些是指数函数与对数函数的一些基本知识点，掌握这些知识点对于理解它们在数学中的应用非常有帮助。
指数函数与对数
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论练习：1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x 3、要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立。
求a 的取值范围。
指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或42.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞C.(－∞,－]3D.［－3,+∞)3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－14.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ） A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <15.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.12.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________. 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.14.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.16.（10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).17.(12分)已知函数f (x )=22-a a (a x －a －x)(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.18.(12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y =f (t ).（1）写出函数y =f (t )的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y =f (t )(0≤t <6)的图象.（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z )时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）？指数函数与对数函数同步训练一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知2lg(x －2y )=lg x +lg y ,则yx的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D.41或4考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价⇒⎩⎨⎧>>=-02y x )2(2xy y x x =4y ∴y x=4【答案】 B 2.函数y =log 21(x 2－6x +17)的值域是（ ）A.R B.［8，+)∞ C.(－∞,－]3 D.［－3,+∞)考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y =log 21［(x －3)2+8］≤log 218=－3 【答案】 C3.若a >1,b >1,且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a －1)+lg(b －1)的值等于（ ）A.0 B.lg2 C.1 D.－1 考查对数运算.【解析】 由lg(a +b )=lg a +lg b ⇒a +b =ab 即(a －1)(b －1)=1, ∴lg(a －1)+lg(b －1)=0 【答案】 A4.设x ∈R ,若a <lg(|x －3|+|x +7|)恒成立，则（ ）A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <1 考查对数函数性质及绝对值不等式.【解析】 令t =|x －3|+|x +7|,∴x ∈R ,∴t min =10 y =lg t ≥lg10=1,故a <1 【答案】 D 5.设有两个命题①关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对于一切x ∈R 恒成立，②函数f (x )=－(5－2a )x 是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a 的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a )2－16<0⇒－2<a <2 ②等价于5－2a >1⇒a <2 ① ②有且只有一个为真，∴a ∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.设函数f (x )=f (x1)lg x +1,则f (10)值为（ ）A.1B.－1C.10D.101 考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f (x )=f (x1)lg x +1,∴f (x1)=f (x )lg x1+1 ∴f (10)=f (101)lg10+1,且f (101)=f (10)lg 101+1 解得f (10)=1. 【答案】 A 7.已知函数y =f (x )的反函数为f －1(x )=2x +1,则f (1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4考查反函数意义.【解析】 令f (1)=x ,则f －1(x )=1,令2x +1=1,∴x =－1 【答案】 C8.若定义在区间（－1，0）内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是（ ） A.(0,21)B.(0,⎥⎦⎤21C.(21,+∞)D.(0,+∞)考查对数函数的单调性.【解析】 f (x )=log 2a (x +1)>0=log 2a 1 ∵x ∈(－1,0),∴x +1<1, ∴0<2a <1,即0<a <21 【答案】 A9.已知函数y =f (2x )定义域为［1，2］,则y =f (log 2x )的定义域为（ ）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］ 考查函数定义域的理解. 【答案】 B【解析】 由1≤x ≤2⇒2≤2x ≤4, ∴y =f (x )定义域为［2，4］ 由2≤log 2x ≤4,得4≤x ≤16 10.已知f (x )=x 2－bx +c ,且f (0)=3,f (1+x )=f (1－x ),则有（ ） A.f (b x )≥f (c x ) B.f (b x )≤f (c x ) C.f (b x )<f (c x ) D.f (b x )、f (c x )大小不确定 考查二次函数及函数单调性.【解析】 由f (0)=3⇒c =3, 由f (1+x )=f (1－x )知对称轴为x =1,∴b =2①x =0,2x =3x ,∴f (2x )=f (3x )②x >0,1<2x <3x ,∴f (2x )<f (3x )③x <0,1>2x >3x ,∴f (2x )<f (3x ) 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.方程log 2(2－2x )+x +99=0的两个解的和是______.【答案】 －99 考查对数运算.【解析】 由原式变形得2－2x =99221⋅x 设2x =y ,变形得:299y 2－2100y +1=0⇒y 1y 2=2－99=221x x + ∴x 1+x 2=－9912.当x ∈(1,2)，不等式(x －1)2<log a x ,则a 的取值范围是_____________.【答案】 (1,2］考查对数函数图象及数形结合思想.【解析】 考查两函数y =(x －1)2及y =log a x 图象可知a ∈(1,2］ 13.若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】 －21<a <23考查指数函数单调性及化归能力.【解析】 由题意：x 2－2ax >－x －1恒成立 即x 2－(2a －1)x +1>0恒成立 故Δ=（2a －1）2－4<0⇒－21<a <2314.f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______.【答案】 (－2,－1］ 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）已知函数f (x )=log 412x －log 41x +5,x ∈［2,4］，求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ,∵x ∈［2,4］,t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412，∴t ∈［－1,－21］ ∴f (t )=t 2－t +5=(t －21)2+419,t ∈［－1,－21］∴当t =－21时，f (x )取最小值423当t =－1时，f (x )取最大值7. 16.（本小题满分10分）已知f (x )=lg xx+-11.(1)求函数定义域.（2）求f －1(lg2).考查函数性质，互为反函数的函数间关系.【解】 （1）由xx+-11>0,得－1<x <1 ∴函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1} (2)由lg x x +-11=lg2⇒xx +-11=2⇒x =－31 ∴f －1(lg2)=－3117.(12分)已知函数f (x )=22-a a(a x －a －x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数，求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ，设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)－f (x 1)=22-a a (a 2x －a 2x -－a 1x +a 1x -)=22-a a (a 2x －a 1x )(1+211x x a a ⋅)由于a >0，且a ≠1,∴1+211x x aa >0 ∵f (x )为增函数，则(a 2－2)( a 2x －a 1x )>0 于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-02002121222x xx x a a a a a a 或， 解得a >2或0<a <1 18.(本小题满分12分)设函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )>f (b ),证明：ab <1.考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a 、b 不能同在（1，+∞) 否则，f (x )=lg x ,且a <b 时，f (a )<f (b )与已知矛盾由0<a <b 可知，必有0<a <1 ①当0<b <1时，∵0<a <1,0<b <1,∴0<ab <1 ②当b >1时，∵0<a <1 ∴f (a )=|lg a |=－lg a ,f (b )=|lg b |=lg b 由f (a )>f (b ),得－lg a >lg b ，即a1>b ,∴ab <1 由①②可知ab <1 19.考查函数应用及分析解决问题能力.【解】 （1）y =f (t )定义域为t ∈［0,+∞),值域为{y |y =2n ,n ∈N *}（2）0≤t <6时，为一分段函数y =⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤)6(4 8)4(2 4)2(0 2x x x 图象如图（3）n 为偶数时，y =212+nn 为奇数时，y =2121+-n ∴y =⎪⎩⎪⎨⎧+-+为奇数为偶数n n n n 2212112。
对数换指数公式
指数和对数的转换公式是a^y=xy=log(a)(x)。
1.对数函数的一般形式为y=logax，它实际上就是指数函数的反函数，图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数，可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a存在规定——a>0且a≠1，对于不同大小a会形成不同的函数图形关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当
0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。
2.可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数式的
大小。
求函数y=afx的单调区间，应先求出fx的单调区间，然后根据
y=au的单调性来求出函数y=afx的单调区间．求函数y=logafx的单调区间，则应先求出fx的单调区间，然后根据y=logau的单调性来求出函数y=logafx的单调区间。
3.如果b^nx，则记n=logbx，其中b叫做底数，x叫做真数。
n叫做以b为底的x的对数，log(b)(x)函数中x的定义域是x>0，零和负数没有对数，b的定义域是b>0且b≠1，当01时，图象上显示函数为(0，+∞)单，，随着a的减小，图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动，但不超过X=1。
指数函数对数函数公式
指数函数对数函数公式
指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们之间存在着一些特殊的关系和公式。
其中最常见的就是指数函数对数函数公式，即：
loga(b) = c ac = b
其中，a和b为正数，a≠1，c为实数。
这个公式表明，如果我们知道一个数的底数为a的对数是c，那么这个数就可以表示为a的c次幂，即ac=b。
这个公式的应用非常广泛，比如在解指数方程、求复利、计算指数函数的值等方面都有重要的作用。
在实际生活中，我们经常需要用到这个公式来进行计算，例如计算银行定期存款的复利利率、计算化学反应中的物质质量变化等。
除了指数函数对数函数公式外，指数函数和对数函数还有许多其他的性质和公式。
例如，指数函数的图像是一个递增的曲线，而对数函数的图像是一个递减的曲线；指数函数和对数函数是互反的函数，即它们的复合函数等于自变量x；指数函数和对数函数的导数和积分公式等等。
总之，指数函数和对数函数是数学中非常重要的两类函数，它们的公式和性质在数学和实际生活中都有广泛的应用。
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指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
y a y x x a ==，log 在a >1及01<<a 两种不同情况。
1、指数函数：
定义：函数()y a a a x =>≠01且叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数y a
x
=中的a 必须a a >≠01且。
因为若a <0时，()y x
=-4，当x =1
4
时，函数值不存在。
a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。
a =1时，y x
=1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，
但y x
=1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。
1、对三个指数函数y y y x x
x ==⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=21210，，的图
象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x
>0； （2）图象都经过点（0，1）；
（2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1；
（3）y y x
x
==210，在第一象限内的纵坐
标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x
=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x
x
>><<⎧⎨⎪⎩⎪01
01
，则，则 当01<<a 时，x a x a x x
><<>⎧⎨⎪⎩⎪0101
，则，则
（4）y y x
x
==210，的图象自左到右逐渐上升，y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象逐渐下降。
（4）当a >1时，y a x
=是增函数，
当01<<a 时，y a x
=是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x
=2和y x
=10相交于()01，，当x >0
时，y x
=10的图象在y x
=2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及
10222--<。
②y x
=2与y x
=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12的图象关于y 轴对称。
③通过y x
=2，y x
=10，y x
=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a
x
=（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x
=10两个图象的中
间，且过点()01，，从而y x =⎛⎝ ⎫⎭⎪13也由关于y 轴的对称性，可得y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪13的示意图，即
通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果a N a a b
=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。
）
由于N a b
=>0故log a N 中N 必须大于0。
当N 为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
（2）对数恒等式： 由a N
b N b
a ==()log ()12
将（2）代入（1）得a N a N log =
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算：
()
313
2
-log
解：原式==⎛⎝ ⎫⎭
⎪-=3
131
2
222
13
1
3
log log 。
（3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：
①()()log log log a a a MN M N
M N R =+∈+
，
②()log log log a
a
a
M
N
M N M N R =-∈+
， ③()()log log a n a
N n N N R =∈+
④()log
log a n a
N n
N N R =∈+
1
3、对数函数：
定义：指数函数y a a a x
=>≠()01且的反函数
y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。
1、对三个对数函数y x y x ==log log 212
，，
y x =lg 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R +
，值或：R ；
（2）图象都过点（1，0）；
（2）x =1时，y =0。
即log a 10=；
（3）y x =log 2，y x =lg 当x >1时，图象在x 轴上方，当00<<x 时，图象在x 轴下方，y x =log 12
与上述情况刚好相反； （3）当a >1时，若x >1，则y >0，若01<<x ，则y <0； 当01<<a 时，若x >0，则y <0，若
01<<x 时，则y >0；
（4）y x y x ==log lg 2，从左向右图象是上升，而y x =log 12
从左向右图象是下降。
（4）a >1时，y x a =log 是增函数； 01<<a 时，y x a =log 是减函数。
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =log 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =log 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，
y x =log 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：log .lg .21515>；log .lg .20101<。
（2）y x =log 2的图象与y x =log 12
的图象关于x 轴对称。
（3）通过y x =log 2，y x =lg ，y x =log 12
三个函数图象，可以作出任意一个对数函数
的示意图，如作y x =log 3的图象，它一定位于y x =log 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg 的上方，而位于y x =log 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13
的示意图。
4、对数换底公式：
log log log log (.)log b a a n e g N N
b
L N N e N L N N =
===其中…称为的自然对数称为常数对数
27182810 由换底公式可得：
L N N e N
N n =
==lg lg lg ..lg 04343
2303 由换底公式推出一些常用的结论：
（1）log log log log a b a b b a b a =
=11或· （2）log log a m a n b m
n
b =
（3）log log a n
a n
b b = （4）log a m n a m n
=。