李雅普诺夫稳定性理论中V函数的构造研究_任斌

则此时
；
；
；
稳定条件为：
及
解：显然驻定解为ｘ＝１，ｙ＝０，ｚ＝２，不妨设Ｘ＝ｘ－１，Ｙ＝ｙ， Ｚ＝ｚ－２
则方程组
这样，就得到系统零解的全局渐近稳定的结论。 ４ Ｖ 函数构造方法在控制中的应用
（下转第４ ９ 页）
１０
《自动化与仪器仪表》２００９ 年第 ２ 期（总第 １４２ 期）
１ 李雅普诺夫稳定性定义 为了便于理解，我们只考虑自治系统：
假设
在
上连
续，满足局部利普希茨条件，且Ｆ （ O） ＝ 0。为了介绍李雅 普诺夫基本定理，先引入李雅普诺夫函数概念。
收稿日期：２００８－１１－０８ 作者简介：任斌（１ ９ ７ ５ － ），男，河南周口人，讲师，博士 研究生，主要研究方向为机器视觉与模式识别。
０ 序 言 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法：第
一方法要利用微分方程的级数解，在他之后没有得到大 的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个
所谓的李雅普诺夫函数Ｖ （ ｘ ） 和通过微分方程所计算出来
的导数
的符号性质，就能直接推断出解的稳定性，
因此又称为直接法。Ｖ （ ｘ ） 的构造方法是关键，但李亚普 诺夫方法未给出构造Ｖ （ ｘ ） 的一般方法，遗憾的是，至今 仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法。该方法的最 大困难是构造这种Ｖ 函数又无一般规律可循，它是一种技 巧性的问题，凭借研究工作者本人的经验。然而，这种 经验也不是一朝一夕就可以形成的，要靠长期工作和实 践的积累，这就给理论工作的研究及推广应用带来了一 定的困难。本文通过实例分析总结，归纳并研究出几种 实用性强的李雅普诺夫函数Ｖ的构造形式和方法。
平面上方的点， 又
《自动化与仪器仪表》２００９ 年第 ２ 期（总第 １４２ 期） 有在其下方的点。
（ａ） （ｂ） 图 １
定理１ ： 若在区域Ｄ 上存在李雅普诺夫函数Ｖ （ x） 满足： （ １ ） 正定；
（２）
常负，则零解是稳定的。
引理：若Ｖ （ x） 是正定（ 或负定） 的李雅普诺夫函数， 且
解：取函数
是正定函数。
是常
负函数，因为当ｔ＝２ｋπ（ｋ＝０，±１，±２…），ｘ＝ｙ＝０ 时，ｄｖ／ ｄ ｔ ＝ ０ 是常负的，由定理３ 知方程组的零解是稳定的。
例５ ：已知方程组
此处ｎ（ｔ） 、ｍ （ ｔ ） 对于ｔ ≥ｔ０均为连续函数。问在什么 条件下使其解ｘ ＝ ｙ ＝ ０ 稳定或渐近稳定？
解：取函数
９
由例４ 、例５ ， 我们可以总结得到：若判定非驻定情况 下， 微分方程组的稳定性和渐近稳定性常常找不含ｔ 的李 雅普诺夫函数Ｖ （ ｘ １ ， ｘ ２ ， …， ｘ ｎ ） ， 用这类函数的优点在于满 足具有无限小上界的性质， 然而这类函数Ｖ 只适用于简单 的运动方程。
如果用含有ｔ 的李雅普诺夫函数Ｖ （ ｔ ， ｘ １ ， …， ｘ ｎ ） 时， 其 ｔ ０ 可以取得任意大， 这时条件满足就可以了， 如下面的例 ６。
就得到一组一个套一个的闭曲线族
（ 图１ （ ｂ ） ） ，
由于
连续可微，且Ｖ（０，０）＝0，故在
的
充分小的邻域中，
可以任意小， 即在这些邻域中存
在Ｃ 值可任意小的闭曲线Ｖ ＝ C。
对于负定函数
可作类似的几何解释， 只是
曲面
将在坐标面
的下方。
对于变号函数
， 自然应对应于这样的曲
面， 在原点O的任意邻域， 它既有在
为
（ 常负函
数） ，由定理１ 知零解稳定。
例２：研究质点振动方程
（ｍ＞０，ａ，ｂ＞
０ ） 零解稳定性
解：
零解对应平衡点（ ０ ， ０ ） ， 取函数
是正定函数，沿方程的导数为：
（ 常负函数） 。由定理１ 知， 零解稳定。
例３ ：讨论方程组零解稳定性
解：取Ｖ （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ＝ ２ ｘ ２＋ ｙ ２＋ ｚ ２是正定函数， 沿方程对ｔ 求 导：
如果方程组ｄｘ／ｄｔ＝Ａｘ的特征根均具有负的实部，则Ｖ函 数是正定（或负定）的。如果方程组ｄｘ／ｄｔ＝Ａｘ有正实部的特 征根， 则函数Ｖ 不是常正（ 或常负的） 。
例９ ：二阶常系数线性方程组
系数阵Ａ＝ 的特征根λ１＝－１，λ２＝－２
满足λ１＋ λ２≠０ ， λ１≠０ ， λ２≠０ 。对于负定对称矩阵 由方法１：Ｃ＝ １，通过关系Ａ′Ｂ＝ＢＡ＝Ｃ
关键词：微分方程组的稳定性；李雅普诺夫第二判别法；Ｖ函数的构造方法 Abstract: The paper summarizes the definitions of V function and Lyapunov’s stableness theory. Through practical examples, some kinds of structures of Lyapunov’s V functions are outlined. Key words: Differential equation stableness ; The second differentiable method of Lyapunov ; Structure of V functon 中图分类号：Ｔ Ｐ ２ ７ ３ 文献标识码：Ｂ 文章编号：１ ０ ０ １ － ９ ２ ２ ７ （ ２ ０ ０ ９ ） ０ ２ － ０ ０ ０ ８ － ０ ４
（
）×（
） （９）
（６ ）若运行线的起点在下行天窗的右边界的右侧，
终点在上行天窗左边界的右侧，则运行线直接受到影
响；
（上接第１ ０ 页） 对汽车制动系统中，刹车能使汽车减速，我们可以
设计一个未知参数的一阶自适应控制系统，其中，系统 的闭环误差动力系统为：
其中，ｅ 和 是闭环动力系统的两个状
侧，终点其右边界的左侧，则运行线直接受到影响；
（
）×（
） （７）
（４ ）若运行线的起点在上行天窗的右边界的左侧，
终点在右边界的右侧，则运行线直接受到影响；
（
）×（
） （８）
（５ ）若运行线的起点在上行天窗的右边界的右侧，
终点在下行天窗左边界的左侧，则运行线直接受到影
响；
（１） 二维空间：
这里ａ，ｂ＞０，ｍ，ｎ
为正整数；
（２） ｎ维空间
。
其中，ａ １ ， ａ ２ ， …， ａ ｎ 同号ｎ １， ｎ ２， …， ｎ ｎ 都是正整数。 这样构造的整数Ｖ （ ｘ １， ｘ ２） ， Ｖ （ ｘ １， ｘ ２， …， ｘ ｎ） 都是定号函 数且不含ｔ ， 也就有无穷小上界的性质。 例４ ：讨论下面方程组中零解的稳定性
李雅普诺夫稳定性理论中Ｖ 函数的构造研究 任 斌，等
取
（ 证明略）
３ 构造李雅普诺夫函数 Ｖ 的规则 ３．１ 线性系统函数 Ｖ 的构造
定理５ ：常系数线性微分方程ｄ ｙ ／ ｄ ｔ ＝ Ａ ｘ 的特征根λｉ （ ｉ ＝１，２，…，ｎ）均有λｉ＋λｊ≠０（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ），则对任何负定 （ 或正定） 对称型矩阵Ｃ 均有唯一的二次型，Ｖ （ ｘ ） ＝ ｘ ′Ｂ ｘ （ Ｂ ＝ Ｂ ′） 使ｄ ｖ ／ ｄ ｔ ＝ ｘ ′Ｃ ｘ 则对称Ｂ 矩阵满足关系式Ａ ′ Ｂ＋ＢＡ＝０。
李雅普诺夫稳定性理论中Ｖ 函数的构造研究 任 斌，等
李雅普诺夫稳定性理论中Ｖ函数的构造研究
任 斌１ ，２ ，程良伦１ （１ 广东工业大学自动化学院 广东广州，５ １ ０ ０ ９ ０ ） （２ 东莞理工学院电子工程系 广东东莞，５ ２ ３ ８ ０ ８ ）
摘 要：李雅普诺夫稳定性理论，在自动控制等方面有着很重要的作用，李雅普诺夫第二判别方法，可以 直接判定微分方程组的稳定性，应用非常广泛，但是如何构造满足特定条件下的李雅诺夫函数Ｖ，则是微分方 程组稳定性理论要解决的课题。本文通过实例分析总结，研究出了几种实用性强的李雅普诺夫函数Ｖ的构造形 式和方法。
天窗上行 的左边界的左侧，而终点在左边界的右侧
时，则直接受到影响；
（
）×（
） （５）
图 ４ Ｘ 型天窗列车运行图
（２ ）若运行线的起点在上行天窗 左边界的左
侧，终点在下行天窗 的左边界的右侧， 则列车运行直
接受到影响；
（
）×（
） （６）
（３ ）若运行线的起点在上行天窗 左边界的右
可知当６ ｘ ２＋ ５ ｙ ２＋ ２ ｚ ２＜ １ 时， ｄ ｖ ／ ｄ ｔ ＜ ０ 是负函数，由定理２ 知零解渐近稳定。 ２．１ Ｖ 函数构造方法 １
由例１ 、例２ 、例３ 我们可以总结出构造Ｖ 函数的特 点。
若判定驻定情况下，微分方程组的稳定性和渐近稳 定性， 可以构造如下形式的李雅普诺夫函数。
对连续有界函数ｘ （ ｔ ） 有：
则
，证明见参考文献［ ２ ］ 。
定理２ ：若区域Ｄ 上存在李雅普诺夫函数Ｖ （ x） 满足：
（ １ ） 正定；
（２）
负定，则零解渐近稳定。
２ 李雅普诺夫第二方法判定微分方程组稳定性中的 Ｖ 函数的构造
例１ ：讨论方程组零解的稳定性
解：取函数
是定正函数， 沿方程全导数
８
定义１：若函数
满足Ｖ（O）＝0，Ｖ（x）和
都连续，且若存
在
，使在
是常正（ 负） 的；若在Ｄ 上除
上 外总有
，则称Ｖ（x） ，则
称Ｖ （ x） 是正（ 负） 定的；既不是常正又不是常负的函数称为
变号函数。
通常我们称函数Ｖ （ x） 为李雅普诺夫函数，易知：
函数
在
平面上为正定的；
函数
在
平面上为负定的；
例６ ：讨论下面方程零解的稳定性
解：取函数
，V
(t,x) =x2/2+[1-cos(xt)]则Ｖ（ｔ，ｘ）是正定函数。
（ｔ ≥０ ） 常负，根据定理３ 知ｘ ＝ ０ 稳定。
构造Ｖ 函数值得注意的两点
（ １ ） 李雅普诺夫函数Ｖ 的形式多种多样
例７ ：方程如下
其中，ｆ （ ｘ ） 、
φ（ ｙ ） 、ｇ （ ｙ ） 均为连续函数且保证解存在唯一性， 另设：
把
代入上式得：ｂ１＝４，ｂ２＝１／２，ｂ３＝１ 这样得到
此二次型为正定
的。 ３．２ 分离变量法
下面通过例７ 来讨论这种方法。 在例７ 中， 我们不妨设Ｖ 的形式如下： Ｖ ＝ Ｆ （ ｘ ） ＋ Φ（ ｙ ） ， Ｆ （ｘ），Φ（ｙ）为待定函数ｄｖ／ｄｔ＝ Ｆ′（ｘ）ｙ－Φ′（ｙ）［ｇ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ Φ（ｙ）］，要求满足条件Ｆ′（ｘ）ｙ－Φ′（ｙ）ｇ（ｙ）ｆ（ｘ）＝０，Ｆ′（ｘ）／ ｆ （ ｘ ） ＝ Φ′（ ｙ ） ｇ （ ｙ ） ／ ｙ 此式两边等于常数， 令其取１ 。
函数
在
平面上为变号函数；
函数
在
平面上为常正函数。
李雅普诺夫函数有明显的几何意义，首先看正定函
数
。
在三维空间
中，
是一个位于坐标
面
即Ｖ ＝ 0上方的曲面。它与坐标面
只在一个点，
即原点O（ ０ ， ０ ， ０ ） 接触（ 图１ （ ａ ） ） 。如果用水平面Ｖ ＝ C（ 正常
数） 与
相交， 并将截口垂直投影到 平面上，
①ｆ（０）＝φ（０）＝０； ②ｘｆ（ｘ）＞０（ｘ≠０）；
③ｙφ（ｙ）＞０（ｙ≠０）； ④ｇ（ｙ）＞０。
讨论其方程ｘ ＝ ｙ ＝ ０ 的稳定性
解：
取 （ ２ ） 要判定微分方程组非零的特解的稳定性， 一定要 作变换， 把特解化成新方程的零解， 然后， 再用李雅普诺夫 定理来判定其稳定条件。 例８ ：讨论驻定方程解的稳定性
态，分别表示跟踪误差和参数误差， 是有界的连续
函数。
我们可以构造Ｖ 函数如下：
， 其导数为：
，因此ｅ 和 是有界的，系统
比较稳定。
５ 结束语
长期以来，研究稳定性一直沿用李雅普诺夫直接
法Leabharlann Baidu这是研究稳定性的一般方法。在研究控制理论和动
力系统领域里，它起着非常重要的作用。遗憾的是，至
今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法。该方法的
正定函数，
，由
此可见，若从某一时刻ｔ＝Ｔ≥ｔ０要有ｍ（ｔ）≤０，则 为常负函 数， 由定理３ 知ｘ ＝ ｙ ＝ ０ 是稳定的。如果加强条件ｍ （ ｔ ） ≤ｍ ０＜ ０ （ｍ为常数），则 为定负函数，由于Ｖ不含ｔ当然具有无限小
上界。由定理４ 知ｘ ＝ ｙ ＝ ０ 是渐近稳定的。
２．２ Ｖ 函数构造方法 ２
最大困难是依赖一个未知的Ｖ函数的存在。然而，构造
（
）×（
） （１０）
（７ ）列车时间的必要约束。
＜
（１１）
综合起来，列车在Ｘ 型天窗下上行运行线集直接收到
的影响为（５）、（６）、（７）、（８）、（９）、（１０）、（１１）式，并