高考数学解答题(新高考)数列求和(裂项相消法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

常见的裂项技巧 类型一：等差型

类型二：无理型

类型三：指数型

①1

1(1)11

()()n n n n n a a a k a k a k a k

++-=-++++

如：11211

(2)(2)22n n n n n k k k k

++=-++++

类型四：通项裂项为“+”型

如：①()()()211

11111n

n n n n n n +⎛⎫-⋅

=-+ ⎪++⎝⎭ ②()()

131222(1)

(11)1n n

n n n

n n n n n +⎛⎫

++⋅-=+- ⎝+⎪⎭

本类模型典型标志在通项中含有(1)n -乘以一个分式.

二、典型例题

类型一：等差型

例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，求证：1

6n

T <. 【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+(2)证明见解析 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，

则()()()2

132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，∴25a =，

把25a =代入上式，可得()()4616d d -+=，解得2d =或4d =-（舍） ∴13a =，21n a n =+；

若选②，3q =为等比数列{}n b 的公比，且1124,b a b a ==， 可得213b b =，即413a a =，即有

113)3a d a +=（，即123a d =； 又315S =，可得11

332152

a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得12,3d a ==， 此时21n a n =+；

第（2）问解题思路点拨：由（1）知：

，设

，则

，典型的裂项

相消的特征，可将通项裂项为：

解答过程：

由题意知：

；

(2)∵

()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫

==- ⎪++++⎝⎭

， ∴11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫

⎛⎫

=-+-+⋅⋅⋅+-=

- ⎪ ⎪+++⎝⎭

⎝⎭

； ∴1

6

n T <

，得证 例题2．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，29a =-，且

()11222n n n S S S n +-+=+≥． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)213n a n =- (2)1

22212n

n -

(1)解：由题意得：

由题意知()()112n n n n S S S S +----=，则()122n n a a n +-=≥

又212a a -=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，则()11213n a a n d n =+-=-；

感悟升华（核心秘籍）

本例是裂项相消法的等差型，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了.

第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，

，则

，典型的裂

项相消的特征，可将通项裂项为：

解答过程：

由题意知：

；

(2)由题知()()1

1112132112213211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭

则111111

1111211997213211211211n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=-++-+++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎣⎦ 1

22212n n

-=

类型二：无理型

例题3．（2022·重庆八中模拟预测）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22

112()n n n n a a a a ++=++．

(1)求{}n a 的通项公式； (2)记1

1

n n n b a a +=

+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【答案】(1)21n a n =-(2)1(211)2

n +-

(1)解：各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22

112()n n n n a a a a ++=++，

整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，由于10n n a a ++≠， 所以12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．所以21n a n =-．

(2)解：由（1）可得1112121

22121

n n n n n b a a n n ++--=

==+-++，

所以1

1

(3153...2121)(211)2

2

n S n n n =⨯-+-+++--=+-．

例题4．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3518a a +=，648S =.

第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，

典型的裂项相消的无理型特征，可将通项分母有理化为：

解答过程：

由题意知：；