三角形的重心与外心
三角形的外心内心垂心重心
三角形的外心内心垂心重心三角形的“四心所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心•当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.\ABC的重心一般用字母0表示.【性质】1・外心到三顶点等距，即OA = OB = 0C・2 •外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD 丄BC,OEA.4C,OF丄/〃・3.ZJ = -ZBOC,ZB = L"OC,ZC = -ZAOB ・2 2 2二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.MBC的内心一般用字母/表示.C【性质】1 •内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2•三角形的面积=三角形的周长x内切圆的半径.23. AE = AF. BF = BD, CD = CE ；AE + BF±CD =三角形的周长的一半.44一90。
+存,8“90。
+护,W9O +"C・三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.\ABC的重心一般用字母H表示.1 •顶点与垂心连线必垂直对边，即AH丄BC、BH丄AC,CH丄AB.2.A ABH的垂心为C, NBHC的A 垂心为/\ACH的垂心为3 •【定义】三角形三条中线的交点叫重心・AJBC 的重心一般用字母G 表示. 【性质】1 •顶点与重心G 的连线必平分对边.2•重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即 GA = 2GD, GB = 2GE, GC = 2GF3 .重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即总二邑逬竺，儿=2^匕严4•向量性质：(1) GA + GB + GC = O ；三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为\ABC 所在的平面内一点，满足OAOB = OBOC = OCOA t则点。
为MBC 的垂心.结论2：若点O 为AABC 所在的平面内一点，满足OA +~BC 2 =OB -}-CA =OC\7B~ f 则点 O 为\ABC 的垂心.结论3：若点G 满足GA + GB^GC = O f 则点G 为\ABC 的重心.结论4：若点G 为\ABC 所在的平面内一点，满足~OG = -(OA^OB + OC)t则点G 为\ABC 的重心.结论5：若点/为AJBC 所在的平面内一点，并且满足a H + b •用+ c •丘=6(其中a,b,c 为三角形的三边)，则点/为AABC 的内心.结论6：若点O 为MBC 所在的平面内一点，满足(^ + OB) BA = (dB + OC) CB = (dc + OA) AC ，则点 O 为 \ABC 的夕卜心.结论7：设/lw(0,+oo),则向量仲=久(«+ <£■),则动点P 的轨迹过的 \AB\ \AC\■ •I ■ • I •I •(2) PG = -(PA + PB + PC),5・ S^GC = S^CG/l =S“GBMB内心.向量和“心”一、重心”的向量风采【命题1】 已知G 是厶ABC 所在平面上的一点，若"G B -GG0，则G 是△ ABC 的重心.如图⑴.定通过△ ABC 的重心.边上的中线所在直线的向量，所以动点 ⑵. P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心，如图二、垂心”的向量风采【命题3】 P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA P^PB P^ PC PA ，则P 是 △ ABC 的垂心. 【解析】由 况，韋「P "B ,P ^得（祚 L F ） C0即卩P"B ，UfO ，所以【命题4】 已知O 是平面上一定点，A, B C 是平面上不共线的三个点，动点【解析】由题意 AP 「(AB AC),当’(0::时，由于■ (AB AC)表示 BC图⑵（是平面上不共线的三个点，动点CA 同理可证P C ± A ，PALB C 二P 是厶ABC 的垂心.如图⑶.图⑶A BP 满足 OP =0A ■ (AB AC) , ■ ( 0 BBP 满足O?=OA+扎 1 A ----- +------ |，九匸（0,+°°），贝U 动点 P 的轨迹 疋AB cosB AC cosC |通过△ ABC 的垂心.的轨迹一定通过△ ABC 的垂心，如图⑷. 三、内心”的向量风采 【命题5】 已知IABC 所在平面上的一点，且AB 二cAC 二bBC 二a .若T i TaIA bIB cIC =0，贝U I 是厶ABC 的内心.【解析】 AB c o BAC c Cs,由于= 'BC'—'CB|=0,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P二 AI由题意AC cosCAB BC AC ■ BC即岡盂+冋盂AC ••• bAB cACbc a b c分别为AB 和AC 方向上的单位向量,••• AI与/ BAC平分线共线，即AI平分.BAC .同理可证：BI 平分.ABC , CI 平分.ACB .从而I 是△ ABC 的内心，如图⑸.【命题6】 已知0是平面上一定点，A , B （是平面上不共线的三个点，动点的内心.则O 是厶ABC 的外心，如图⑺.【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C 是平面上不共线的三个点，动轨迹一定通过△ ABC 的外心.A C——C 表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上, o sC，川（0 +叱）,则动点P 的轨迹一定通过 △ ABC，二当儿三（0 ■二时，AP 表示一 BAC 的平分线所在直线方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的内心，如图⑹. 四、外心”的向量风采 【命题7】 已知0是△ ABC 所在平面上一点，若0V "0B =—0,则 o 是△ ABC 的外心.^^2 2 2【解析】 若O A = O B = 0,则 图⑻龙=用6=|二「. 0^=RB~0，C点P 满足OP 二(TT 3 IT ：AB +ACACCOBc CsJ【解析】由于°-B —°过C BC 的中点，2P 满足【解析】由题意得APAC■OB OC .2人乏（0 + °°）,则动点P 的A C动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的外心，如图⑻练习:数.满足：AB • AC 二‘ AP ，则.的值为（） 3A . 2B .C . 3D . 622.若.ABC 的外接圆的圆心为 0，半径为1,OA ，OB ・OC=0，贝U OA OB =（）A . 1B . 0C . 12OA 2OB 2OC = 0，贝U ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）3 5A . 0B .C .— 2 40，若OH -OA OB OC ，贝U H 是 ABC 的（——2 ——2 ——■ 2 5.0是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，若OA BC = 0B■ - 2 j 2 ■ 2CA =OC AB ，则 O 是 ABC 的（ ）A .外心B .内心C .重心 6^ ABC 的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H, OH = m （OA OB OC ），则实数m = ______ 7. （06陕西）已知非零向量AB 与AC 满足+AC ） BC=0且•— =2 ,|Afe| |AC| |Afe| |AC| 2A .外心B .内心C .重心D .垂心 1■已知 ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，满足 PA PB PC3 .点O 在ABC 内部且满足 4. =ABC 的外接圆的圆心为 D .垂心则厶ABC为（）A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形B.直角三角形D .等边三角形——2 ——————■ 一■ ——一■8.已知ABC 三个顶点A、B、C，若AB -AB AC AB CB BC CA，则ABC 为（）A .等腰三角形C .直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、B.等腰直角三角形D .既非等腰又非直角三角形1、D、C。
三角形的垂心外心和重心
三角形的垂心外心和重心三角形的垂心、外心和重心三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中，垂心、外心和重心是三角形内的三个重要点，它们在许多几何问题中起着重要的作用。
本文将对三角形的垂心、外心和重心进行详细介绍，以及它们的性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形三条高的交点，通常用H表示。
在任何三角形中，三条高（垂直于对边，并经过对边顶点的切线）的交点都是唯一的，这一点被称为垂心。
垂心的特点如下：1. 垂心到三角形三边的距离是相等的。
也就是说，垂心到三角形任意一边的距离都相等。
2. 垂心和三个顶点之间的连线都是垂直的。
也就是说，垂心到三个顶点之间的线段都是垂直的。
3. 垂心趋于三角形的边缘时，它会接近于三角形的外接圆。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常用O表示。
外接圆是能够完全包围三角形的圆，通过三角形的三个顶点。
外心的特点如下：1. 外心到三角形三个顶点的距离都相等。
2. 外心到三角形三个顶点的连线都相等，也就是说，外心到三个顶点之间的距离都相等。
3. 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，也就是说，外心到三角形的每条边都是相等距离。
4. 三角形的外心是垂心和重心连线的中点，也就是说，连接垂心和重心的线段经过外心。
三、重心重心是指三角形三条中线的交点，通常用G表示。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
重心的特点如下：1. 重心将每条中线划分为2:1的比例。
也就是说，从重心出发到达对边中点的距离是从重心到顶点的距离的两倍。
2. 重心到三角形三个顶点的距离之和最小。
3. 连接重心和垂心的线段被称为Euler线，它经过外心。
4. 重心位于三角形内部的2/3处，到三角形每条边的距离都小于到相应顶点的距离。
以上是关于三角形的垂心、外心和重心的基本性质。
这三个重要点在求解三角形的面积、判定三角形的形状以及解析几何中都有广泛应用。
研究它们的性质和关系，有助于深入理解三角形的结构和性质，进一步拓展数学几何的知识。
三角形的重心外心和内心
三角形的重心外心和内心在几何学中，三角形是最基本且最常见的几何形状之一。
三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称。
它们具有重要的几何性质和应用价值。
本文将会详细介绍三角形的重心、外心和内心的概念、性质以及相关应用。
重心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母G表示。
重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形各顶点与对应中点的线段。
重心在中线上的位置为距离两个端点的距离与中点距离的比例为2:1。
由于三角形的三条中线都经过重心，因此重心是三角形的一个几何中心。
在重心处，三角形被等分为六个面积相等的三角形。
此外，重心的几何位置使得重心到三个顶点的距离之和最小，即满足最小总距离条件。
外心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母O表示。
外心位于三角形的外部，且与三个顶点都相切。
外接圆是以三角形的三个顶点为切点的圆，外心就是外接圆的圆心。
外心到三个顶点的距离都相等，而且外心到三边的距离也相等。
三角形的三条中垂线都经过外心，因此外心也是三角形的一个几何中心。
外心是三角形内接圆和外接圆的交点之一。
内心是三角形内部的一个特殊点，通常用字母I表示。
内心位于三角形的内部，且与三条边都相切。
内接圆是以三角形的三边为切线的圆，内心就是内接圆的圆心。
内心到三条边的距离都相等，而且内心到三个顶点的距离之和最小。
三角形的三条角平分线都经过内心，因此内心也是三角形的一个几何中心。
三角形的重心、外心和内心在实际生活中有着广泛的应用。
在建筑和工程领域，三角形的重心可以用于确定建筑物的结构平衡。
在航空航天领域，外心可以用于确定飞机或者火箭的重心和稳定性。
在地理测量和导航领域，内心可以用于计算地图上各个地点的方向和距离。
总结起来，三角形的重心、外心和内心是三角形内部特殊点的代称，它们具有重要的几何性质和应用价值。
重心是三条中线的交点，外心是外接圆的圆心，内心是内接圆的圆心。
它们在解决实际问题中起着重要的作用。
通过研究和理解三角形的重心、外心和内心，可以帮助我们更好地认识和应用几何学知识。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc
三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。
、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
三角形重心内心外心
1.重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
2.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
4.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半。
5．旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
每一题中三角形均为ABC一.中垂线交点（外心）分别作AB，BC的中垂线，交于点O，则OA=OB，OB=OC，所以OA=OC，所以点O在AC中垂线上，所以三角形三条中垂线交于一点。
二.三高所在直线交点（垂心）分别过A,B,C作对边的平行线，交于3点，与A,B,C三点所对应的三点记作D,E,F，则三条高线所在直线为三角形DEF的三条中垂线，由“一”知，三角形三条中垂线交于一点，，所以三角形三条高线所在直线交于一点。
三.三条内角平分线交点（内心）设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。
四.三角形其中两条外角平分线与另一个角的内角平分线交于一点（旁心）（有3点）证明方法与“三”内心相似（略）五.三角形三条中线交于一点（重心）找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC，得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底等高），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)(优选.)
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2.5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。
三角形的重心外心与内心
三角形的重心外心与内心三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一，它由连结三个非共线点而成。
三角形具有许多重要的性质和特点，其中包括重心、外心和内心。
本文将从重心、外心和内心的定义、性质、计算方法以及应用等方面进行探讨和讲解。
一、重心重心是一个三角形内部一个特殊点，它由三个三角形的垂直平分线的交点所确定。
垂直平分线是由三角形的顶点连结对边中点而成。
重心的性质如下：1. 重心所在的垂直平分线，将三角形分成两等面积的三角形。
（垂直平分线将底边分成相等的两部分，因此上下两个三角形面积相等）2. 重心到三角形的各顶点的距离，分别相等且比重心到任意其他点的距离短。
（重心是三角形内到各顶点距离之和最短的点）3. 三角形的重心是三角形内所有到各顶点距离之和最小的点。
计算重心的方法：设三角形的顶点分别为A、B、C，重心为G，则重心的坐标为：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。
二、外心外心是一个三角形外接圆的圆心。
三角形的外接圆是经过三个顶点的圆。
外心的性质如下：1. 三角形的三条边都是外接圆的直径。
2. 外心到三个顶点的距离都相等，且外心到任意一边的距离等于该边的半径。
计算外心的方法：设三角形的顶点分别为A、B、C，外心为O，半径为r，则外心的坐标为：x = ((x1^2 + y1^2)(y3 - y2) + (x2^2 + y2^2)(y1 - y3) + (x3^2 +y3^2)(y2 - y1)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))y = ((x1^2 + y1^2)(x2 - x3) + (x2^2 + y2^2)(x3 - x1) + (x3^2 +y3^2)(x1 - x2)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。
三角形的外心与重心的性质比较
三角形的外心与重心的性质比较三角形是最基本的几何形状之一，无论是在数学还是在实际生活中，我们都经常会遇到三角形。
在三角形中，有两个非常重要的点，分别是外心和重心。
这两个点有着不同的性质和特点，下面我们将对三角形的外心与重心进行比较。
一、外心的性质外心是指一个三角形内可以在同一个点上的圆心，这个点称为外心。
对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个圆，使得这个三角形的三条边恰好作为这个圆的三条切线。
这个圆心就是三角形的外心。
1. 外心的存在性对任意一个三角形ABC，必然存在一个点O，使得OA、OB、OC作为三个切线，而这个点O就是三角形的外心。
2. 图形特性外心到三角形的三个顶点的距离都是相等的，也就是说，外心和三个顶点之间形成的三条线段的长度是相等的。
而这个距离正好等于三角形的外接圆的半径。
3. 区域特性三角形的外心是位于三角形内部的，而且它也是三角形内接圆圆心的外接圆。
二、重心的性质重心是指一个三角形内部的点，它是由三角形的三个顶点所构成的三条线段的交点，这个交点就是三角形的重心。
1. 三等分点的特性重心到三角形的三个顶点的距离都是相等的，也就是说，重心和三个顶点之间形成的三条线段的长度是相等的。
而这个距离正好等于三角形的重心到任意一条边的距离。
2. 区域特性三角形的重心是位于三角形内部的。
并且，重心将三角形划分成六个小三角形，对于每个小三角形，重心和该小三角形的顶点构成的三个线段都相等，并且这三个线段垂直于该小三角形的各边。
三、外心与重心的比较1. 位置不同外心位于三角形的内部，而重心位于三角形的内部。
外心是一个点，重心是一个点。
2. 区域划分不同外心没有将三角形进行区域划分，而重心将三角形划分成六个小三角形。
3. 距离特性不同外心到三个顶点的距离相等，重心到三个顶点的距离相等。
4. 特殊性质不同外心和外接圆有关联，重心和面积有关联。
通过以上的比较，我们可以看出，三角形的外心与重心在位置、区域划分、距离特性以及特殊性质等方面都存在一些差异。
三角形重心、内心和外心
三角形重心、内心和外心1. 重心在几何学中，三角形有许多重要的特征点，其中之一是重心。
重心是指三角形三个顶点的连线的交点，也就是各边中点的连线交于一点的点。
重心在三角形中有很多重要的性质。
1.1 位置和性质重心位于三角形各边的中点上，离各边等距离。
具体来说，设三角形ABC的三个顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则重心G的坐标可表示为：G( (x1 + x2 + x3)/3 , (y1 + y2 + y3)/3 )重心G将各边分成三等分。
也就是说，从三角形的任意一个顶点到重心的线段，与从该顶点到对边中点的线段相等。
1.2 重心和质心在数学中，质心和重心常常被混淆使用。
然而，在三角形中，这两个术语实际上指的是同一个点。
因此，质心和重心在三角形中是等同的，两者没有实质性的区别。
不同的教材和文献可能会使用不同的术语，但他们都指的是三角形的中心特征点。
2. 内心内心是三角形中的另一个重要特征点。
内心是指三角形内切圆的圆心，也是三角形三条边的角平分线的交点。
2.1 位置和性质设三角形ABC的三个顶点为A、B、C，内心为I。
则有以下性质：•三角形三个角的内角平分线交于一点，即内心I；•各边到内心的距离相等，即IA=IB=IC；•内心与三角形三个顶点的连线构成的锐角和对应边构成的外角互补，即∠AIC + ∠BIA + ∠CIB = 180°。
2.2 内心和三角形的关系内心有许多重要性质与三角形的其他特征点有关。
例如，内心与三角形三个顶点的连线，与三角形的垂心和重心的连线共线。
内心还与三角形的面积密切相关。
设三角形的内心为I，边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可表示为：S = r * (a + b + c) / 2其中，r为内切圆的半径。
因此，内心不仅是三角形的一个特征点，也与三角形的面积直接相关。
3. 外心外心是三角形中的另一个特征点，它是三角形外接圆的圆心。
3.1 位置和性质设三角形ABC的三个顶点为A、B、C，外心为O。
三角形的重心与外心
三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成的闭合图形。
在三角形中，有两个特殊的点，即重心和外心。
本文将介绍三角形的重心和外心的定义、性质以及它们在三角形中的重要作用。
一、重心重心是指三角形的三个顶点的垂直平分线的交点，它在三角形内部且到三角形的三条边的距离相等。
重心通常用字母G来表示。
重心有以下性质：1. 重心将每个垂直平分线分成两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。
2. 重心到三角形的顶点的距离与重心到对边的距离成正比，即重心到顶点的距离等于重心到对边的距离的两倍。
3. 重心是三角形中心的共点，包括重心、内心、外心和垂心。
二、外心外心是指三角形三个顶点的垂直平分线的延长线的交点，它在三角形外部且到三角形的每条边的距离相等。
外心通常用字母O来表示。
外心有以下性质：1. 外心到三角形的每个顶点距离相等，即外心到顶点的距离等于外心到各边的距离。
2. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是将三角形三个顶点作为圆上的点的圆，且外切于三角形的每条边。
3. 与重心不同，外心不在三角形内部，而是在三角形的外部。
三、重心和外心的作用重心和外心在三角形的研究和应用中具有重要的作用。
1. 重心的作用：重心在计算三角形的重要参数时起着关键作用，比如重心是三角形的中位线、高线、角平分线的交点，它将三角形划分为等面积的三个小三角形。
这些特点让重心在计算三角形的面积、质心、惯性矩等物理量时非常有用。
2. 外心的作用：外心在解决三角形相关问题时发挥着重要作用。
比如外心是三角形三条垂直平分线的交点，通过外心可以构造三角形的外接圆，并且外心到三个顶点的距离相等，这使得外心在三角形的外界接触领域中具有重要意义。
此外，外心还是求解三角形的外接圆半径、角平分线、旁切圆等问题的关键。
综上所述，重心和外心是三角形中两个重要的点。
它们在三角形的性质和计算中起着关键作用。
重心可以帮助计算三角形的重要参数，而外心可以帮助解决与三角形相关的几何问题。
三角形的重心、垂心、内心、外心
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
（三条中垂线的交点）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
(即三条角平分线的交点) 内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
三角形的重心与外心
三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
而在三角形中，有两个特殊的点，它们分别是三角形的重心和外心。
这两个点在三角形的性质和应用中起着重要的作用。
首先，我们来了解一下什么是三角形的重心。
重心是指三角形三条中线的交点，它离三个顶点的距离相等，也就是说，它将三角形分成了三个面积相等的小三角形。
重心在三角形中具有很多有趣的性质。
比如说，重心到三角形三个顶点的距离之和是最小的，这意味着重心是三角形内部到各个顶点最短距离的交点。
此外，重心也是三角形内接圆的圆心，三角形内接圆是唯一与三条边相切的圆。
重心还有一个重要的性质是，它将三角形的面积按照1:2:3的比例分成了三个小三角形的面积。
接下来，我们来探讨一下三角形的外心。
外心是指三角形三条边的垂直平分线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。
外心具有很多有趣的性质。
首先，三角形的外心到三个顶点的距离是相等的，这意味着外心是三角形三个顶点到圆心的最短距离的交点。
此外，外心还有一个重要的性质是，它将三角形的三个角按照1:2:3的比例分成了三个小角。
三角形的重心和外心在实际应用中有很多重要的作用。
比如说，在建筑设计中，重心是确定建筑物平衡和稳定性的重要指标。
设计师需要根据建筑物的形状和结构来确定重心的位置，以确保建筑物在承受外力时不会倾斜或倒塌。
而在航空航天领域，重心的位置对于飞机和火箭的飞行稳定性至关重要。
飞行器的重心必须位于设计范围内，以确保飞行器在空中保持平衡和稳定。
而外心在三角形的外接圆中也有重要的应用。
外接圆是三角形中唯一与三个顶点相切的圆，它在几何学中有着广泛的应用。
比如说，在测量三角形的角度时，可以利用外接圆的性质来确定三个角的大小。
此外，外接圆还可以用来构造正多边形，通过在外接圆上取等分点来确定正多边形的顶点位置。
综上所述，三角形的重心和外心在几何学中具有重要的地位和应用。
它们不仅是三角形性质的重要指标，还在实际应用中发挥着重要的作用。
三角形的外心与重心的关系
三角形的外心与重心的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它在各种数学领域和实际应用中都有着重要的地位。
在三角形的外心和重心中，我们可以发现一些有趣的关系。
本文将介绍三角形的外心和重心的定义，并探讨它们之间的关系。
一、外心的定义三角形的外心是一个特殊的点，它与三个顶点的距离相等。
也就是说，如果我们从三角形的任意一顶点出发，分别计算该点到其他两个顶点的距离，那么这两个距离应该相等。
而这个满足条件的点就是三角形的外心。
二、重心的定义三角形的重心是三条中线的交点。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在任何一个三角形中，我们可以找到三条中线，它们的交点就是三角形的重心。
三、外心与重心的关系在一般情况下，三角形的外心和重心是不重合的，它们处于不同的位置。
但是有趣的是，当三角形是等边三角形时，外心和重心是重合的。
为了更好地理解外心和重心的关系，我们可以通过图形来进行解释。
假设我们有一个等边三角形ABC，其中O表示三角形的外心，G表示三角形的重心。
我们可以发现，外心O和重心G是位于等边三角形的重要特殊点。
当我们连接外心O与三角形的各个顶点A、B、C时，可以发现它们都相等，即OA=OB=OC。
这正是外心的特性，它与三个顶点的距离相等。
另外，当我们连接重心G与三角形的各个角的对边的中点时，可以发现它们都相交于一点，即重心是三条中线的交点。
需要注意的是，外心和重心的坐标可以通过数学方法进行计算，但这超出了本文的范围。
我们主要想强调的是，外心和重心这两个特殊点在三角形中有着重要的地位，它们与三角形的几何性质密切相关。
在实际应用中，三角形的外心和重心的关系也有一些重要的应用。
例如在结构设计中，了解三角形的外心和重心的相对位置可以帮助工程师更好地设计建筑物的支撑结构。
综上所述，三角形的外心与重心是两个具有特殊意义的点。
虽然它们在大部分情况下位于不同的位置，但当三角形是等边三角形时，外心和重心是重合的。
通过研究外心和重心的关系，我们可以更深入地理解三角形的几何性质，并将其应用于实际问题的解决中。
三角形的重心外心和内心是什么
三角形的重心外心和内心是什么三角形是几何学中最简单也是最基础的形状之一。
对于一个三角形来说，除了顶点和边长外，还有一些重要的特征点，如重心、外心和内心。
这些特征点在解决三角形相关问题时具有重要作用。
本文将重点讨论三角形的重心、外心和内心，探讨它们的定义、特性和应用。
一、重心重心是一个三角形的重要特征点，通常用字母G表示。
在一个三角形ABC中，重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的顶点与对边中点的线段。
连接三角形的顶点A、B、C和中点D、E、F，则得到三条中线AD、BE、CF，它们相交于重心G。
重心具有以下特点：1. 三条中线的交点：重心是三角形三条中线的交点，即线段AD、BE、CF的交点。
2. 三条中线长度相等：由于中线是连接顶点与对边中点的线段，因此重心到三个顶点的距离相等，即GA=GB=GC。
3. 重心将三角形分为六个三角形：重心把三角形ABC分为三个小三角形，其中以重心G为顶点的三角形AGB、BGC、CGA与原三角形ABC面积相等。
重心在解决三角形相关问题时有重要作用，比如确定三角形的质心、应用面积的性质等。
二、外心外心是一个三角形的另一个重要特征点，通常用字母O表示。
在一个三角形ABC中，外心是三个顶点的垂直平分线的交点，即三个垂直平分线交于一点O。
外心具有以下特点：1. 三个顶点的垂直平分线交点：外心是三个顶点的垂直平分线的交点，即线段AO、BO、CO的交点。
2. 外心到顶点的距离相等：外心到三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。
3. 外接圆的圆心：外心是三角形外接圆的圆心，外接圆是通过三角形三个顶点的圆。
外心在解决三角形相关问题时非常有用，比如确定三角形的外接圆、判断三角形的形状等。
三、内心内心是一个三角形的第三个重要特征点，通常用字母I表示。
在一个三角形ABC中，内心是三条内切圆的切点，即三条角平分线的交点。
内心具有以下特点：1. 三条角平分线的交点：内心是三个角的平分线交点，即线段AI、BI、CI的交点。
三角形中的重心与外心定理
三角形中的重心与外心定理三角形是几何学中最基本的形状之一，研究三角形的性质和特点对于深入了解几何学具有重要意义。
在三角形中，重心和外心是两个重要的概念，通过重心与外心定理，我们可以揭示它们的关系和性质。
重心是指三角形三条中线的交点，记作G。
在一个三角形ABC中，连接顶点A与边BC的中点M，连接顶点B与边AC的中点N，连接顶点C与边AB的中点P，这三条线段分别称为三角形ABC的中线。
重心G是中线的交点，即G=MN∩NP∩PM。
外心是指三角形外接圆的圆心，记作O。
在一个三角形ABC中，若存在一个圆可以同时与三条边AB、BC、CA相切，称这个圆为三角形ABC的外接圆。
外心O则为外接圆的圆心。
重心与外心定理是指，三角形的重心、外心和三边中点构成一个等腰三角形。
换句话说，连接重心和外心的线段与连接三边中点的线段长度相等，且它们之间的夹角等于π/2。
证明这个定理的方法有很多，这里我们可以采用向量的方法。
考虑一个三角形ABC，其三个顶点的向量表示分别为a、b、c。
重心G可以表示为G=(a+b+c)/3，外心O可以表示为O=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)，其中|a|表示向量a的模。
首先，我们来证明 |G-M|=|O-G|。
注意到中点M的向量表示为M=(b+c)/2，连接线段GM的向量表示为G-M=(a+b+c)/3-(b+c)/2=(a-b/2-c/2)/3。
同理，O-G=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)-(a+b+c)/3=(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))。
我们将等式两边进行化简，得到：6(G-M)=2(a-b/2-c/2)=(2a-b-c)=3(a-b/2-c/2)=|a|∗(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))=|O-G|说明 |G-M|=|O-G| 成立。
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三角形的重心与外心
三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心
和外心是两个重要的概念。
本文将详细介绍重心和外心的定义、性质
以及计算方法。
一、重心
重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。
在
任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点
引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。
重心的坐标可以通过以下公式计算得出：
G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
二、重心的性质
1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重
心重合。
2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。
3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。
4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。
5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。
三、外心
外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。
在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的
外心。
计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。
由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过
求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。
四、外心的性质
1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆
半径。
2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。
3. 外心是三角形三条高的交点之一。
4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。
五、计算方法
1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。
2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：
（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；
（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；
（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；
（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。
六、应用领域
重心和外心在几何学中具有重要的应用价值。
在工程测量中，通过计算三角形的重心可以确定物体的质心，从而实现平衡和稳定；而外心则常用于定位和导航系统中，通过测量外心的位置可以确定物体的准确方位。
结语
通过本文的介绍，我们了解了三角形的重心和外心的定义、性质以及计算方法。
重心和外心在几何学中起着重要的作用，对于进一步研究和探索三角形的性质和应用具有重要意义。
深入理解和应用重心和外心的概念，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。