高中数学双曲线和抛物线的总结及例题精讲
双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全
顶 点 坐 〔 a ,0〕 ( a ,0) 标
(0, a ,) (0， a )
仅供学习参考
离心率
e c (e 1)= a
准线方 程
x a2 c
y a2 c
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a2
c
顶点到 准线的 距离
顶点 A1 〔 A2 〕到准线 l1 〔 l2 〕的距离为 a a 2
P
x
x
F1
F2
yy P F2
xx P
F1
x a，yR
y a，xR
对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
对称中 心
原点 O(0, 0)
焦 点 坐 F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
标
焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2c
10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx m(m 0)
① 联立方程法：
双曲线 C： x 2 a2
y2 b2
1〔 a ＞0， b ＞0〕
y kx m
x2 a 2
y2 b2
1
(b2 a 2k 2 )x 2 2a 2mkx a 2m2 a 2b2 0
(1〕假设双曲线方程为 x 2 a2
y2 b2
1
渐近线方程：
x a
2 2
y2 b2
0
yb x. a
(2)假设渐近线方程为 y b x a
x a
y b
0
双曲线可设为
x a
2 2
y2 b2
.
(3)假设双曲线与 x 2 a2
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
高考双曲线抛物线知识点
高考双曲线抛物线知识点高考数学考试中，高中数学知识占据了很大的比重，其中双曲线和抛物线是高考必考的重要知识点。
本文将对双曲线和抛物线的相关概念、特点以及应用进行介绍，帮助考生全面理解和掌握这两个知识点。
1. 双曲线的概念和特点双曲线是由二次方程的图像所得，常见的双曲线方程有两种形式：$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 和 $y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1$，其中 a 和b 是正实数。
双曲线的形状特点是两支分离，且与坐标轴无交点。
双曲线的中心在坐标原点 O(0,0) 处。
在坐标平面上，双曲线的两个分支分别向 x 轴和 y 轴无限延伸。
2. 双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用。
例如，光的折射是双曲线的一个重要应用。
当一束光从一个介质折射到另一个介质中时，光的传播路径将形成一个双曲线。
这个现象在眼镜、显微镜、望远镜等光学仪器中都有应用。
此外，双曲线还广泛应用于电磁场、无线通信和经济学等领域。
在电磁场中，电荷的分布和电场力线之间的关系可以由双曲线来描述。
在无线通信中，天线辐射和接收的信号模式也可以用双曲线表示。
在经济学中，供求关系也可以通过双曲线来进行分析和预测。
3. 抛物线的概念和特点抛物线是由二次方程的图像所得，常见的抛物线方程是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
抛物线的形状特点是开口方向，即上开或下开，取决于抛物线方程中 a 的正负。
抛物线的对称轴是与 y 轴平行的直线，其方程为 x = h，其中 h 是实数。
抛物线的顶点是位于对称轴上的点，其坐标为 (h, k)，其中 k 是实数。
4. 抛物线的应用抛物线在现实生活中也有许多实际应用。
例如，抛物线的形状是喷泉水柱的弹射轨迹，喷泉中的水从喷嘴射出后形成一个抛物线形状的水柱。
这种形状使得喷泉的水能够均匀地覆盖大面积区域，增加景观效果。
此外，抛物线还广泛应用于桥梁设计、体育运动和火箭发射等领域。
高一数学《认识双曲线》知识点总结
高一数学《认识双曲线》知识点总结认识双曲线双曲线是高一数学中重要的曲线之一，它在几何图形和函数图像的研究中有着广泛的应用。
本文将对认识双曲线的相关知识点进行总结和讲解。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一种特殊的曲线，它与椭圆和抛物线类似，也是由一条弯曲的曲线组成。
但与椭圆和抛物线不同的是，双曲线的两支曲线分离并且无限延长。
双曲线的数学定义为平面上满足以下方程的点的集合：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1其中，a和b是正实数，表示曲线在x轴和y轴上的截距。
双曲线有许多基本性质，包括：两支曲线分离且无限延长、有着对称轴和对称中心、双曲线的离心率大于1等等。
这些性质是我们认识双曲线的基础，也是我们进一步探索其特性和应用的前提。
二、双曲线的标准方程及图像双曲线可以通过标准方程来描述，标准方程分别为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 和 (y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1其中，a和b是双曲线的参数，决定了双曲线的形状和大小。
当a>b时，双曲线的主轴与x轴平行；当a<b时，双曲线的主轴与y轴平行。
根据双曲线的标准方程，我们可以使用数值计算或绘图软件来画出双曲线的图像。
通过观察图像，我们可以更直观地理解双曲线的特性和性质。
三、双曲线的焦点和准线与椭圆和抛物线类似，双曲线也有着焦点和准线。
在双曲线的定义中，焦点和准线是与双曲线的离心率密切相关的概念。
对于双曲线方程(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，焦点的坐标为（±c, 0），其中c = √(a^2 + b^2)。
而准线是曲线的两支与离心率所确定的直线。
根据准线与离心率的关系，我们可以进一步求解双曲线的离心率。
四、双曲线的渐近线双曲线还具有渐近线，即无限远处曲线趋近的直线。
对于双曲线方程 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，它的渐近线有两条，分别是与曲线相交于两个交点的直线。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
双曲线和抛物线的知识点
双曲线和抛物线的知识点双曲线和抛物线是高中数学中常见的两种曲线，它们有着丰富的几何和物理意义，被广泛应用在各个学科中。
本文将从基本概念、公式和性质，以及应用角度出发，全面探讨这两种曲线的知识点。
一、基本概念1. 双曲线双曲线是由平面上离心率大于1的两个点F1和F2，到该平面上任意一点P的距离之差等于常数2a（a>0）所确定的点集。
通常我们用双曲线的标准方程来表示，即：x^2/a^2-y^2/b^2=1 或 y^2/b^2-x^2/a^2=1其中，a表示离心率，b表示双曲线的半轴长。
2. 抛物线抛物线是由平面上一个定点F（称为焦点）和到该点的距离等于其到某一条定直线L（称为准线或对称轴）的距离d所确定的点集。
通常我们用抛物线的标准方程来表示，即：y=ax^2+bx+c其中，a、b、c分别表示抛物线的系数。
二、公式和性质1. 双曲线双曲线的标准方程可以化为下面的形式：y=b/a*sqrt(x^2-a^2) 或 y=b/a*sqrt(a^2-x^2)由此可以得到双曲线的几何性质：（1）双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x，它们分别与x轴成正负45度的角。
（2）双曲线有两个分支，两个分支关于y轴对称。
（3）双曲线关于它的两个渐近线对称，任意一点到其中一条渐近线的距离与到另一条渐近线的距离之差等于常数2a（a>0）。
2. 抛物线抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），正负号取决于a的符号。
抛物线的渐近线是y=±∞（当a=0时）或y=ax+b（当a≠0时），从而可以得到抛物线的几何性质：（1）抛物线关于它的准线对称。
（2）焦距等于抛物线的半轴长。
（3）抛物线的平面曲率半径在顶点处为无穷大，其他点处为y 轴的绝对值与一阶导数的比值。
（4）当抛物线的焦点在x轴上时，它是一个完美的反射面，任何入射到抛物线上的线段都会被反射到焦点（这就是开普勒使用抛物面反射望远镜原理的基础）。
双曲线椭圆抛物线知识点总结
双曲线椭圆抛物线知识点总结椭圆标准 方程（焦点在x 轴）)0(12222>>=+b a by a x （焦点在y 轴）)0(12222>>=+b a bx a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。
{}a MFMF M 221=+()212F F a >第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。
范 围 x a ≤ y b ≤x b ≤ y a ≤顶点坐标 )0,(a ± (0,)b ±),0(a ± (,0)b ±对 称 轴 x 轴，y 轴；长轴长为a 2，短轴长为b 2对称中心 原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c 2(,0)F c -1(0,)F c 2(0,)F c -焦点在长轴上，22c a b =-； 焦距：122F F c =离 心率a c e = (01e <<) ,ab a ac e 22222-==， e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆。
过椭圆上一点的切线12020=+byy a x x 利用导数 00221y y x xa b+= 利用导数双曲线双曲线标准方程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MFMF M 221=-()212F F a <第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。
高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)
圆锥曲线第2讲 双曲线【知识要点】 一、双曲线的定义 1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长a 2（2120F F a <<）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作a 2），不但要小于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当02=a 时，点的轨迹是线段21F F的垂直平分线； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是两条射线； （ⅲ）当c a 22>时，点的轨迹不存在； （ⅳ）当c a 220<<时，点的轨迹是双曲线。
特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。
注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为aMF MF 221=-（c a 220<<，cF F 221=），即2121F F MF MF <-。
2. 双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （1>e ）的点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b y a x （0>a ，0>b ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b x a y （0>a ，0>b ）.注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看实半轴跟谁走。
若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。
2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即b a 22=），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为λ=-22y x （0≠λ） 注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为λ=-22y x （0≠λ），再结合其它条件，求出λ的值，即可求出该等轴双曲线的方程。
高中数学双曲线抛物线知识点总结学习资料
双曲线的点的轨迹。
考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程ny x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a bλ-=(3,A -在双曲线上∴(2231916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离1d =，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离2d =，122abs d d c=+==。
圆锥曲线_椭圆_双曲线_抛物线_知识点总结_例题习题精讲_详细答案
椭圆一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1（1）当焦点在x 22b a -；（2）当焦点在y 22b a -；2三、椭圆的性质（1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：①② 因为)0(>>c a e 越接近1，则c 反之，e 越接近于 当且仅当b a =a =。
③ 注意：椭圆22+a xe PM PF PM PF ==2211 )2(21a PF PF =+ )2(221ca PM PM =+5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆（e dPF =||）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有e PM PF PM PF ==2211。
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
考点题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m nλλ-=≠，与双曲线22221x y a b-=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1） 虚轴长为12，离心率为54； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；（3） 与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22221y x a b-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a ==54。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或2216436y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。
∴222144b c a =-=。
∴标准方程为22114425y x -=。
（3）设双曲线的方程为2222x y a b λ-=(3,A -在双曲线上∴(2231916-= 得14λ=所以双曲线方程为224194x y -= 题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45c 。
求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为1x ya b-=，级bx+ay-ab=0。
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双曲线项目 内容第一定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之差等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫双曲线。
第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e >的点的轨迹叫双曲线。
图形标准方程22221(,)x y a b o a b -=> 22221(,)y x a b o a b -=> 几何 性 质范围 ||,x a y R ≥∈,||x R y a ∈≥顶点与实虚轴的长12(,0),(,0),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线12(0,),(0,),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线焦点焦距1222212(,0),(,0)||2()F c F c F F c c a b -==+其中1222212(0,),(0,)||2()F c F c F F c c a b -==+其中准线方程2a x c=±2a y c=±焦半径当00(,)P x y 在右支上时 左1020,PF ex a PF ex a =+=-右当00(,)P x y 在左支上时 左1020(),()PF ex a PF ex a =-+=--右当00(,)P x y 在上支上时 下1020,PF ey a PF ey a =+=-上当00(,)P x y 在下支上时 下1020(),()PF ey a PF ey a =-+=--上渐近线方程 2222(0)b x y y x a a b=±-=或2222(0)a y x y x b a b=±-=或焦准距 22a b p c c c=-=离心率 2(1),1c be e e a a=>=-（e 越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e =准线间距 22a d c= 对称性 双曲线都是关于,x y 轴成轴对称，关于原点成中心对称通径 22b q a= 焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定形 理来进行相关的计算焦点弦三角形 双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。
参数方程 sec (tan x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数） tan (sec x b y a θθθ=⎧⎨=⎩为参数）抛物线一、焦点弦的结论：（针对抛物线：22y px =其中0p >）1122(,),(,)A x y B x y ，AB 为过焦点(,0)2pF 的弦，则 1、焦点弦长公式：2122222cot sin pAB x x p p p θθ=++=+= 2、通径是焦点弦中最短的弦，其长为2p3、2124p x x =，212y y p =-，2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切项目 内容定义平面内到定点F 的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。
图形标准方程22y px =(0)p > 22y px =-(0)p > 22x py =(0)p > 22x py =-(0)p > 几何性 质范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈开口方向 向右 向左向上 向下焦准距 (0)p p >顶点坐标坐标原点（0，0）焦点坐标(,0)2pF (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 :2p l x =-:2p l x =:2p l y =-:2p l y = 对称轴 x 轴 x 轴y 轴y 轴离心率 1e =通径长 2p焦半径0||2p PF x =+0||2pPF x =- 0||2p PF y =+0||2pPF y =-5、已知A 、B 在准线上的射影分别为1A 、1B ，则三点A 、O 、1B 共线，同时B 、O 、1A 三点也共线6、已知A 、B 在准线上的射影分别为1A 、1B ，则1190A FB ∠=7、112||||AF BF p+= 二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点(2,0)P p ，反之，过定点(2,0)P p 的弦所对的顶点角为直角。
三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。
双曲线高考文科真题一、选择题1.(2007宁夏海南文2)双曲线121022=-y x 的焦距为 ( ) （A ）32 （B ）42 （C ）33（D ）43【解析】由已知有22212,c a b =+=所以23,c =故双曲线焦距为43, D.2.（2009浙江9）过双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若BC AB 21=，则双曲线的离心率是( )（A ）2（B ）3（C ）5（D ）10【解析】由BC AB 21=，OC OA OB 3132+=,又直线BC 的方程a x y +-=，与渐近线交点),(),,(22b a abb a a C b a ab b a a B ---++，所以 54231222=⇒-=⇒=⇒-⨯-=+e ac a b a ba abb a ab 。
3.（2009海南宁夏4）双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ）（A ）32（B ）2（C ）3（D ）1【解析】双曲线112422=-y x 的一条渐近线是4124,3=+==c x y ，其一焦点的坐标为（4，0），由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为32)3(1342=+。
选A4.(2009安徽理3)下列曲线中离心率为26的是（ ) （A ）14222=-y x （B ）12422=-y x（C ）16422=-y x （D ）110422=-y x 【解析】2123,22222222=⇒=+==∴=ab a b a ac e a c e ,选B5.（2009浙江文6）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，BF ⊥x 轴, 直线AB 交y 轴于点P ．若PB AP 2=，则椭圆的离心率是( )（A ）23（B ）22 （C ）31 （D ）21 【解析】由题意知，因为PB AP 2=，则21,2,2=∴=∴=e c a AF OA 。
选D6.(2009天津文4)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 ( )（A ）x y 2±=（B ）x y 2±= （C ）x y 22±= （D ）x y 21±= 【解析】由题意知，2,3,1,322,22===∴==a c b c b ，故双曲线的渐近线方程为x y 22±=，选C7．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可 能是（ ）【解析】选C8.(2009福建文4)若双曲线132222=-y a x 的离心率为2，则a 等于（ ）A ．2B ．3 C ．32D ．1【解析】由离心率公式，选B二、填空题9.(2008山东文13)已知圆.0846:22=+--+y x y x C 以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .【解析】令0y =得24x x ==或符合条件的双曲线2,4,a c ==2216412b c ∴==-=且焦点在x 轴上。
∴双曲线方程为：221.412x y -=10.(2009上海春文7)过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线为 . 【解析】双曲线221916x y -=的右焦点为（5，0），过(4,-1)和（5，0）两点的直线方程为5.y x =-11.(2007宁夏海南13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 . 【解析】设焦点在x 轴上，渐近线为,by x a=±顶点到渐近线1222,1b abd cb a===+焦点到渐近线距离2226.1b cad b b a⋅===+则 3.cc a ==12．(2009辽宁16）已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，A （1,4）,P 是双曲线右支上的动点， 则|PF|+|PA|的最小值为 。
【解析】设双曲线的右交点为1F ,则由双曲线的定义可知1142PF PF a PF +=+=，所以当满足|PF 1|+|PA|最小时就满足|PF|+|PA|取最小值。
由双曲线的图像可知当点A,P,F 1共线时，满足|PF 1|+|PA|最小，而1AF 即为|PF 1|+|PA|的最小值，1AF =5，故所求最小值为9.三、解答题13.已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．14.(2008上海18)已知双曲线221,4x y -=P 是双曲线上一点. （1）求证P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值；(6分) （2）已知点A （3，0），求PA 的最小值. (9分)【解析】（1）设),(11y x P 是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是02=-y x 和),(,0211y x P y x 点=+到两条渐近线的距离分别是1111|2||2|.55x y x y -+和 它们的乘积是22111111|2||2||4|4,5555x y x y x y -+-⋅==∴点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.（2）设P 的坐标为),(y x ，则222)3(||y x PA +-=54)512(4514)3(222+-=-+-=x x x .2||≥x ，时当512=∴x ，|PA |2的最小值为54，即|PA|的最小值为.552抛物线高考文科真题一、选择题1.(2007宁夏海南文7)已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P x y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP += C.2132FP FP FP =+ D.2213FP FP FP =⋅ 【解析】11||,2p FP x =+22||,2p FP x =+33||,2pFP x =+2213132||2||||.FP x p x x p FP FP =+=++=+ 故选C.2.（2009山东文10）设斜率为2的直线l 过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）（A ）42±=y （B ）x y 82±= （C ）x y 42= （D ）x y 82=【解析】不论a 值正负，过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点坐标都是)0,4(a ，故直线l 的方程为),4(2a x y -=令0=x 得2a y -=，故OAF ∆的面积为41624212==-⨯⨯a a a ，故8±=a 。