最近十年全国大学生数学竞赛真题

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历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)

（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分）设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分）设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。

历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析

评阅人
⎛0
⎜ ⎜
1
0 0
# #
0 0
−an −an−1
⎞ ⎟ ⎟
的复数域 C 上的线性空间， F = ⎜ 0
⎜ ⎜
#
1 #
# #
0 #
−
an−2 #
⎟ ⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 # 1 −a1 ⎟⎠
（1）假设
A
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
a11
a21 "
a12
a22 "
" " "
a1n
a2n "
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
，若
AF
G
G
n = (1,1,1) ，且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) ，过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平
面π 的方程为： x + y + z = 0 .
……………………………（3 分)
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1),Q(0, −1,1) ………… （5 分)
年级：线
封
所在院校：
密
身份证号：
得分
一、（ 15 分）求经过三平行直线 L1 : x = y = z ，
评阅人
L2 : x −1 = y = z +1 ， L3 : x = y +1 = z −1的圆柱面的方程.
解：先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是
=
FA ，证明：
⎜⎜⎝ an1 an2 " ann ⎟⎟⎠
A = an1F n−1 + an−11F n−2 +" + a21F + a11E ；

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

大学数学竞赛试题及答案

大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则\( f(x) \)的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若\( \int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2} \)，则\( \int_{0}^{2} x dx \)的值是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 设\( A \)为3阶方阵，且\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \)的值是：A. 2B. 4C. 8D. 164. 以下哪个选项不是\( \mathbb{R}^3 \)中的向量？A. \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)B. \( \vec{b} = (1, 2, 3, 4) \)C. \( \vec{c} = (1, 2) \)D. \( \vec{d} = (1, 2, 3) \)5. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，则\( A \cap B \)的元素个数是：A. 0B. 1C. 2D. 36. 圆的方程为\( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0 \)，圆心坐标是：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在区间\( [0, \pi] \)上的最大值是______。

2. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \)的值为______。

3. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式\( \det(A) \)的值是______。

历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)

程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。

自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。

竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。

每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。

二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。

试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。

三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。

2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。

3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。

4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。

四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。

竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。

五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。

竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。

通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。

六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。

参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。

随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。

大学生高等数学竞赛试题汇总与答案

=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
ss
n1
，而
a
n
s
1
收敛，所以
a
n
s
n
收敛；
当
n1
a发散时，lim
n
解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）abc
当1时，
4
22
Iabc(ab)
max
15
当1时，
4
22
Iabc(bc)
min
15
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上，曲线积分
c
2xydx(x)dy
42
xy
的值为常数。
（1）设L为正向闭曲线
1kk...
12
使得
k
i
1a1
n
2
s
kn
i
成立，所以
k
N
1
a
n
s
n
N
1
2
当n时，N，所以
a
n
s
nn
1
发散
五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中

全国大学生数学竞赛数学类试题

全国大学生数学竞赛数学类试题第一题：已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导。

若 f(a) = 0,f(b) = 1, 且存在 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 2，则在区间 (a, b) 必存在点 d，使得 f'(d) = 3。

解析：由题意可知，函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，因此满足了介值定理的条件。

由于 f(a) = 0, f(b) = 1，根据介值定理，对于任意介于 0 和 1 之间的数 k ∈ (0, 1)，在区间 (a, b) 内必存在点 x_k，使得 f(x_k) = k。

现令 k = 2，根据题目给出的条件，存在 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 2。

因此，在区间 (a, b) 内必存在点 d，使得 f(d) = 2。

根据介值定理，对于任意介于 1 和 2 之间的数 k ∈ (1, 2)，在区间 (a, b) 内必存在点 x_k，使得 f(x_k) = k。

这说明在区间 (a, b) 内必然存在点 x_3，使得 f(x_3) = 3。

根据题意，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内可导，因此 f(x) 在 (a, b) 的任何子区间内都满足拉格朗日中值定理的条件。

根据拉格朗日中值定理，对于区间 [d, x_3] 内的任意一点ξ，必有：f'(ξ) = [f(x_3) - f(d)] / (x_3 - d) = [3 - 2] / (x_3 - d) = 1 / (x_3 - d) ≠ 0因此，必然存在点 d ∈ (a, b)，使得 f'(d) = 3。

综上所述，根据题目给出的条件和数学定理，我们可以得出在区间(a, b) 必存在点 d，使得 f'(d) = 3。

第二题：已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，且在 (a, b) 内可导。

若对于任意的 x ∈ (a, b)，有f'(x) ≠ 0，则函数 f(x) 在区间 (a, b) 内满足什么性质？解析：根据题目给出的条件，函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续且可导，并且对于任意的 x ∈ (a, b)，有f'(x) ≠ 0。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

数学竞赛近年试题及答案

数学竞赛近年试题及答案【试题一】题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最大值和最小值。

【答案】首先，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。

函数 \( f(x) \) 的导数为 \( f'(x) = 6x - 5 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 得到 \( x = \frac{5}{6} \)。

接下来，我们需要检查区间端点 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 以及极值点 \( x = \frac{5}{6} \) 处的函数值：- \( f(1) = 3(1)^2 - 5(1) + 2 = 0 \)- \( f(3) = 3(3)^2 - 5(3) + 2 = 23 \)- \( f\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) + 2 \)计算得到 \( f\left(\frac{5}{6}\right) =3\left(\frac{25}{36}\right) - \frac{25}{6} + 2 = -\frac{1}{6} \)。

因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \( [1, 3] \) 上的最小值为 \( -\frac{1}{6} \)，最大值为 \( 23 \)。

【试题二】题目：证明对于任意正整数 \( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \) 的和等于 \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

【答案】我们可以利用数学归纳法来证明这个等式。

基础情况：当 \( n = 1 \) 时，左边的和为 \( 1^2 = 1 \)，右边的表达式为 \( \frac{1(1+1)(2*1+1)}{6} = 1 \)，等式成立。

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2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空1．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-0,cos 0,)(212x x x a x x e x f x 在),(∞+-∞上连续，则=a .2．设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定，则==0x dy . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积=A . 4．设E 为闭区间]4,0[π上使被积函数有定义的所有点的集合，则=⎰dx x x Esin cos .5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则⎰=++Lds y x xy )4(22 . 二．选择题.1．若0)(lim 0u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0，则（）（A ）)]([lim 0x f x x ϕ→存在；（B ）A x f x x =→)]([lim 0ϕ（B ）)]([lim 0x f x x ϕ→不存在（C ）A 、B 、C 均不正确.2．设⎰=x dx x x f sin 02)sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小；（B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小；（D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小3．设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在1=x 处（）（A ）不可导；（B ）可导，且1)(='a f ；（C ）可导，且b f =')1(；（D ）可导，且ab f =')1(. 4．设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，⎰=t s dx tx f t I 0)(，其中0,0>>t s ，则I 的值（）（A ）与s 和t 有关；（B ）与s 和t 及x 有关（C ）与s 有关，与t 无关；（D ）与t 有关，与s 无关.5．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02>∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（）（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（C ）),(y x u 的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D 的边界上.三．求极限)]21ln(2[cos lim2202x x x ex x x -+--→.四．计算⎰∞+--+02)1(dx e xe x x. 五．设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 六．在具有已知周长p 2的三角形中，怎样的三角形面积最大？七．计算⎰⎰⎰⎰+=121214121y yxy yxy dx e dy dx e dy I .八．计算曲面积分⎰⎰∑+++++=dxdy ay z dzdx ax y dydz az x I )()()(232323，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧. 九．已知0>a ，01>x ，定义⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+31341n n n x a x x （ ,3,2,1=n ）求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.十．证明不等式()2211ln 1x x x x +≥+++，),(∞+-∞∈x .十一. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且⎰=143)0()(4f dx x f ，求证：在开区间)1,0(内存在一点ξ，使得0)(='ξf .十二. 设函数)(x f 在区间),[∞+a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(0M x f ≤''<，（+∞≤≤x a ）. 证明202)(M M x f ≤'.2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空 1．=-+∞→xx x x 1sin 1312lim2 . 2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin ，则此曲线在3π=t 处的法线方程为 .3．=+⎰∞+e x x dx)ln 1(2 . 4．设22y xy x z +-=在点)1,1(-处沿方向)1,2(51=l 的方向导数=∂∂l z . 5．设∑为曲面222R y x =+介于R Z ≤≤0的部分，则=++⎰⎰∑222z y x dS. 二．选择题.1．曲线)2)(1(1arctan 212-++-=x x x x e y x 的渐近线有（）（A ）1条；（B ）2条；（C ）3条；（D ）4条. 2．若2)]([)(x f x f ='，则当2>n 时=)()(x f n （）（A ）1)]([!+n x f n ；（B ）1)]([+n x f n ；（C ）n x f 2)]([；（D ）n x f n 2)]([!. 3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且0x 是函数)(x f 的极大值点，则（）（A ）0x 是)(x f 的驻点；（B ）在),(∞+-∞内恒有)()(0x f x f ≤；（C ）0x -是函数)(x f --的极小值点；（D ）0x -是函数)(x f -的极小值点.4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222y x y x y x xy z ，则),(y x z z =在点)0,0(（）（A ）连续且偏导数存在；（B ）连续但不可微；（C ）不连续且偏导数不存在；（D ）不连续但偏导数存在. 5．设⎰⎰⎰Ω++=dV e e e I z y x )(，其中1:222≤++Ωz y x ，0≥z ，则=I （）（A ）⎰⎰⎰ΩdV e z 3；（B ）⎰⎰⎰ΩdV e x 3；（C ）⎰⎰⎰Ω+dV e e z y )2(；（D ）⎰⎰⎰Ω+dV e e z x )2(.三．已知极限011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值.四．已知函数)(x f 连续，⎰-=x dt x t f t x g 02)()(，求)(x g '.五．设方程04=++b ax x ，（1）当常数b a ,满足何种关系时，方程有唯一实根? （2）当常数b a ,满足何种关系时，方程无实根?六．过曲线2x y =（0≥x ）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围成图形的面积为121，试求：（1）A 点的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.七．计算⎰+dx x 32)1(1. 八．设),,(z y x f u =，0),,(2=z y x ϕ，x y sin =，其中ϕ,f 具有连续的一阶偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu. 九．求2222),(y y x x y x f ++=在{}1),(22=+=y x y x S 上的最大值与最小值.十．计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )cos(，其中区域D 为：20,20ππ≤≤≤≤y x .十一. 证明：当10<<x 时，x e xx211-<+-. 十二. 设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，)(x f 是正的连续函数，证明：⎰≥-Cdx x f ydy y xf π2)()(.2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空.1．设对一切实数x 和y ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=)21(f .2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰0 ,0,12)1ln()(2222sin 0x a x e e dt t x f x x x ，在0=x 处连续，则=a . 3．设2),,(yz e z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y f . 4．⎰∞+=+022)1(x dx. 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0243444222z y x z y x 在点)1,1,1(M 处的切线方程为 .二．选择题.1．当0→x 时，下列无穷小量① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+；③ x x x sin )cos 3134(--； ④ 14--x x e从低阶到高阶的排列顺序为（）（A ）①②③④；（B ）③①②④；（B ）④③②①；（C ）④②①③.2．设⎩⎨⎧=≠=0 ,00,cot )(3x x x arc x x f ，在0=x 处存在最高阶导数的阶数为（）（A ）1阶；（B ）2阶；（C ）3阶；（D ）4阶 .3．函数)(x f y =在1=x 处有连续导函数，又21)(lim 1=-'→x x f x ，则1=x 是（）（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标；（B ）函数)(x f y =的极小值点；（C ）函数)(x f y =的极大值点；（D ）以上答案均不正确. 4．设函数g f ,在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线)(x g y =，)(x f y =，a x =和b x =所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（）（A ）dx x g x f x g x f m ba ⎰---)]()()][()(2[π；（B ）dx x g x f x g x f m ba⎰-+-)]()()][()(2[π；（C ）dx x g x f x g x f m ba⎰-+-)]()()][()([π；（D ）dx x g x f x g x f m ba⎰---)]()()][()([π.5．设2222:a z y x S =++（0≥z ），1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（）（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ；（B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ；（D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS ；三．a ，b ，c 为何值时，下式成立⎰=+-→x bx c tdt t ax x 2201sin 1lim四. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx x f ϕ，其中)(x ϕ具有连续二阶导数，且1)0(=ϕ. (1) 确定a 的值，使)(x f 在点0=x 处可导，并求)(x f '； (2) 讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.五．设正值函数)(x f 在),1[∞+上连续，求函数⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x dt t f t t x x x F 1)(]ln 2ln 2[)(的最小值点.六．设2)1arctan()(-='x x y ，且0)0(=y ，求⎰10)(dx x y .七．设变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx v ya x u 2把方程0212222=∂∂-∂∂-∂∂y z y z y x z 化为02=∂∂∂y u z ，试确定a . 八．设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分dy y x Q xydx L⎰+),(2与路径无关，并且对任意的t 恒有dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2，求),(y x Q .九．设函数)(x f 具有二阶连续导函数，且0)0(=f ，0)0(='f ，0)0(>''f . 在曲线)(x f y =上任意取一点))(,(x f x （0≠x ）作曲线的切线，此切线在x 轴上的截距记作μ，求)()(lim 0x f f x x μμ→.十．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f ，试证明：对于任意给定的正数a 和b ，在开区间)1,0(内存在不同的ξ和η，使得b a f bf a +='+')()(ηξ 十一. 设⎰----++-=1112)1(21)(dt e t x e x F t ，试证明在区间]1,1[-上)(x F 有且仅有两个实根.十二. 设函数),(y x f 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零，证明：⎰⎰+'+'-=+→D y x dxdy y x f y f x f 22021lim )0,0(πε其中：D 为圆域1222≤+≤y x ε.2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：1．设函数x x x f -+=11ln)(，则函数)1()2(xf x f +的定义域为： . 2．设要使函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0 ,)(cos )(21x a x x x f x 在区间),(∞+-∞上连续，则=a .3．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π所确定，其中f 可导，且0)0(≠'f ，则==0t dx dy. 4．由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz .5．设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ，其中f 、ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 . 二．选择题：1．已知311tan )(1lim20=--+→x x e x x f ，则=→)(lim 0x f x （）（A ）12；（B ）3；（C ）1；（D ）0； 2．设函数)(x f 在0x 的一个领域内有定义，则在0x 处存在连续函数)(x g 使)()()()(00x g x x x f x f -=-是)(x f 在0x 点处可导的（）（A ）充分而非必要条件；（B ）必要而非充分条件；（C ）充分必要条件；（C ）既非充分，也非必要条件.3．设⎩⎨⎧≤<-≤≤= 21,210 ,)(2x x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则=)(x F ( )（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223110,323x x x x x ；（B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤21,2210,323x x x x x ；（C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,22310,3233x x x x x x ；（D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226710,323x x x x x 4．函数xy y x f =),(，在点)0,0(处),(y x f （）（A ）可微；（B ）偏导数存在，但不可微；（C ）连续，但偏导数不存在；（D ）不连续且偏导数不存在; 5．设)(x ϕ为区间]1,0[上正值连续函数，b a ,为任意常数，区域}1,0),({≤≤=y x y x D ，则⎰⎰++Ddxdy y x y b x a )()()()(ϕϕϕϕ＝（）（A ）a ；（B ）b ；（C ）b a +；（D ）)(21b a +.三．设函数)(x f 在0=x 的某领域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→. 四．计算⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(. 五．求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 点处的100阶导数值.六．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上，以0>T 为周期的连续函数，且⎰=TA dx x f 0)(，求xdtt f x x ⎰+∞→0)(lim.七．在椭球面122222=++z y x 上求一点，是函数222),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向j i l-=的方向导数最大.八．设正整数1>n ，证明方程01121212=-+++--x a x a x n n n 至少有两个根.九．设00>x ，112)1(2--++=n n n x x x （ 3,2,1=n ）. 证明n n x ∞→lim 存在，并求之.十．计算曲面积分⎰⎰∑-=xdxdy dydz xz I sin 2，其中∑是曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=012x z y （21≤≤z ）绕z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z 轴正向的夹角为锐角.十一. 设),(y x P 、),(y x Q 具有连续的导函数，且对以任意点),(00y x 为圆心，以任意正数r 为半径的上半圆θθsin ,cos :00r y y r x x L +=+=（πθ≤≤0），恒有0),(),(=+⎰Ldy y x Q dx y x P ，证明：0),(≡y x P ，0),(≡∂∂xy x Q . 十二. 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)(10=⎰dx x f ，1)(10=⎰dx x xf ，试证：（1）]1,0[0∈∃x ，使得4)(0>x f ；（2）]1,0[1∈∃x ，使得4)(1=x f .2005年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空题： 1．=+++-+-∞→xx x x x x sin 114lim22 .2．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==te y te x ttcos 2sin ，在点)1,0(处的法线方程为 . 3．设函数)(x f 为连续函数，且x dt t f x =⎰-103)(，则=)7(f .4．函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处，沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 .5．设2)(=⋅⨯c b a ，则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a. 二．选择题：1．设函数)(x f 与)(x g 在开区间),(b a 内可导，考虑如下的两个命题：（1）若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'；（2）若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >. 则（）（A ）两个命题均正确；（B ）两个命题均不正确；（C ）命题（1）正确，命题（2）不正确; （D ）命题（1）不正确，命题（2）正确.2．设函数)(x f 连续，)(x F 为)(x f 的原函数，则（）（A ）当)(x f 为奇函数时，)(x F 必为偶函数；（B ）当)(x f 为偶函数时，)(x F 必为奇函数；（C ）当)(x f 为周期函数时，)(x F 必为周期函数；（D ）当)(x f 为单调递增函数时，)(x F 必为单调递增函数；3．设平面π位于平面022:1=-+-z y x π与平面062:2=-+-z y x π之间，且将此两平面的距离分为3:1，则平面π的一个方程为（）（A ）02=+-z y x ；（B ）082=++-z y x （C ）082=-+-z y x ；（D ）032=-+-z y x 4．设),,(z y x f 为非零的连续函数，⎰⎰⎰≤++=2222),,()(t z y x dxdydz z y x f t F ，则当0→t 时（）（A ）)(t F 与t 为同阶无穷小；（B ）)(t F 与2t 为同阶无穷小；（C ）)(t F 与3t 为同阶无穷小；（D ）)(t F 是比3t 高阶的无穷小. 5．设函数)(x y y =满足等式042=+'-''y y y ，且0)(0<x y ，0)(0='x y ，则)(x y 在点0x 处（）（A ）取得极小值；（B ）取得极大值；（C ）在点0x 的一个领域内单调增加; （D ）在点0x 的一个领域内单调减少.三．求函数2sin )(2x e x f x -=的值域.四．设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂222,. 五．设二元函数),(y x u 在有界闭区域D 上可微，在D 的边界曲线上0),(=y x u ，并满足),(y x u yux u =∂∂+∂∂，求),(y x u 的表达式. 六．设二元函数),(y x f 具有一阶连续偏导数，且⎰=+),()0,0(22cos ),(t t t ydy x dx y x f ，求),(y x f .七．设曲线2ax y =（0,0≥>x a ）与21x y -=交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形，试问：（1）当a 为何值时，该图形绕x 轴一周所得的旋转体体积最大？（2）最大体积为多少？八．设S 为椭球面122222=++z y x 的上半部分，点S z y x P ∈),,(，π为S 在点P 处的切平面，),,,(z y x ρ为点)0,0,0(O 到平面π的距离，求dS z y x zS⎰⎰),,(ρ. 九．证明：⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππdx x x dx x x . 十．设正值函数)(x f 在区间],[b a 上连续，⎰=baA dx x f )(，证明：))(()(1)()(A a b a b dx x f dx e x f ba ba x f +--≥⎰⎰ 十一. 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上具有连续的二阶导数，证明：),(b a ∈∃ξ，使得)()()2(2)()(42ξf b f b a f a f a b ''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-- 十二. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数，1)(≤x f ，且4)]0([)]0([22='+f f ，证明：存在一点)2,2(-∈ξ，使得0)()(=''+ξξf f .2006年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：1．若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->-=0 ,10 ,2arctan 1)(2sin x ae x x e x f x x是),(+∞-∞上的连续函数，则=a .2．函数x x y sin 2+=在区间],2[ππ上的最大值为 .3．⎰--=+22)(dx e x x x .4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量为 .5．设函数),(y x z z =由方程2=+----x y z xe x y z 所确定，则=dz . 二．选择题：1．设函数)(x f 可导，并且5)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分dy 是y ∆的（）（A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小.2．设函数)(x f 在点a x =处可导，则)(x f 在点a x =处不可导的充要条件是（）（A ）0)(=a f ，且0)(='a f ；（B ）0)(≠a f ，但0)(='a f ；（C ）0)(=a f ，且0)(≠'a f ；（D ）0)(≠a f ，且0)(≠'a f . 3．曲线12+-+=x x x y （）（A ）没有渐近线；（B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线;（C ）有一条铅直渐近线；（D ）有两条水平渐近线. 4．设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数，且0),(≠'y x y ϕ. 已知),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）（A ）若0),(00='y x f x ，则0),(00='y x f y ；（B ）若0),(00='y x f x ，则0),(00≠'y x f y ；（C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00='y x f y ；（C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00≠'y x f y . 5．设曲面}0,),({2222≥=++=∑z k z y x y x 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（）（A ）⎰⎰∑dydz x 2；（B ）⎰⎰∑xdydz ；（C ）⎰⎰∑zdzdx ；（D ）⎰⎰∑ydxdy .三．设函数)(x f 具有连续的二阶导数，且0)(lim=→xx f x ，且4)0(=''f ，求xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→. 四．设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t u du u e y t x ln 211221（1>t ）所确定，求922=x dx y d . 五．设n 为自然数，计算积分dx xxn I n ⎰+=20sin )12sin(π. 六．设)(x f 是除0=x 点外处处连续的奇函数，0=x 为其第一类跳跃间断点，证明⎰xdt t f 0)(是连续的偶函数，但在0=x 处不可导.七．设),(v u f 有一阶连续偏导数，))cos(,(22xy y x f z -=，θcos r x =，θsin r y =，证明：)sin(2sin 1cos xy vzy u z x z r r z ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂θθθ.八．设函数)(u f 连续，在点0=u 处可导，且0)0(=f ，3)0(-='f ，求：⎰⎰⎰≤++→++2222)(1lim 22240t z y x t dxdydz z y x f tπ 九．计算⎰+++-=L yx x xdyydx I ，其中L 为1=++y x x 正向一周.十．（1）证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.（2）设∑=+=nk n k n x 121tan ，求n n x ∞→lim .十一. 设常数12ln ->k ，证明：当0>x 且1≠x 时，0)1ln 2ln )(1(2>-+--x k x x x . 十二. 设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ. 若棒的近壳一端与球心的距离为a ，R a >, 求此半球壳对棒的引力.2001年天津市大学数学竞赛试题答案（理工类）一．填空：1. 22. dx -3. 12374. 385. 4二．选择：1. D2. A3. D4. C5. B三．解： )(!4!21cos 442x o x x x ++-==-22x e )()2(!21214222x o x x +-+-=)(821442x o x x ++- )(22)()2(212)21ln(2222x o x x x o x x x +--=+---=-由此得到：原式=2224424420)](222[)](821[)(!4!21lim x x o x x x x o x x x o x x x +--++--++-→ 241)(2)(121lim 44440=+-+-=→x o x x o x x 四．解：原式dx edx e e xe xd dx e xe x x x x x x ⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞∞++=+++-=+-=+=00000211111)11()1( 令t e x =，则dt tdx 1=，于是2ln 1)111()1(1)1(11102=+=+-=+=++∞∞+∞+∞+--⎰⎰⎰t tn l dt t t dt t t dx e xe x x 五．解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''. 六．解：设三角形的三边长分别为z y x ,,，由海伦公式知，三角形的面积S 的平方为))()((2z p y p x p p S ---=则本题即要求在条件p z y x 2=++之下S 达到的最大值，它等价于在相同的条件下2S 达到最大值. 设))()((),(2p y x y p x p p S y x f -+--==问题转化成),(y x f 在}2,0,0),({p y x p p y p x y x D <+<<<<<=上的最大值。