材料力学(机械工业出版社)知识小结：第三章 扭转

第三章扭转
3–1概述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。

如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。

扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。

扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。

剪应变（γ）：直角的改变量。

3–2传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m)(N 9550⋅=n
P m 其中：P —功率，千瓦（kW ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7024
⋅=n P m 其中：P —功率，马力（PS ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7121⋅=n
P m 其中：P —功率，马力（HP ）n —转速，转/分（rpm ） 二、扭矩及扭矩图
1、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。

2、截面法求扭矩
m
T m T m x ==-=∑00
3、扭矩的符号规定：
“T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。

4、扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的：①扭矩变化规律；
②|T |max 值及其截面位置->强度计算（危险截面）。

3–3薄壁圆筒的扭转
一、实验：
1.实验前：
①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m 。

2.实验后：
①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。

3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ 。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

4.ϕ与γ的关系：L R ⋅=ϕγ
二、薄壁圆筒剪应力τ大小：t
r T 220πτ=
三、剪应力互等定理：ττ'=
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。

四、剪切虎克定律：
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp )，剪应力与剪应变成正比关系。

γτ⋅=G 式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ无量纲，故G 的量纲与τ相同
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。

对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：)
1(2μ+=E G
3–4等直圆杆在扭转时的应力强度条件
一、等直圆杆扭转实验观察：
1、横截面变形后仍为平面；
2、轴向无伸缩；
3、纵向线变形后仍为平行。

二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1.变形几何关系：
x d d ϕργρ=，距圆心为ρ任一点处的γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。

x
d d ϕ：扭转角沿长度方向变化率。

2.物理关系：
x
G d d ϕρτρ= 3.静力学关系：
横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式：p
I T ρτρ⋅= 4.公式讨论：
①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。

②式中：T —横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

ρ —该点到圆心的距离。

I p —截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。

A I A p d 2
ρ⎰=，单位：mm 4，m 4
③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I p 值不同。

a.对于实心圆截面：44
1.032D D I p ≈=π
b.对于空心圆截面：)1(1.0)1(32 )(32 4444
44ααππ
-≈-=-=D D d D I p
④应力分布
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。

⑤确定最大剪应力：
t
W T =max τ，W t —抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm 3或m 3 对于实心圆截面：332.016D D R I W p t ≈==π 对于空心圆截面：)-(12.016)1(4343ααπD D R I W p t ≈-==（自：注意这里还是4
α）
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
转角α规定：x 轴正向转至截面外法线，逆时针：为“+”顺时针：为“–” αττατσαα2cos ; 2sin =-=
当α =0°时，τττσ===︒︒max 00 , 0
当α =45°时，0 , 45min 45=-==︒︒ττσσ
当α =–45°时，0 , 45max 45===︒-︒-ττσσ
当α = 90°时，τττσ-=-==︒︒max 9090 , 0
四、圆轴扭转时的强度计算 对于等截面圆轴：][max τ≤t
W T ，([τ] 称为许用剪应力。

) 强度计算三方面： ①校核强度：][max max ττ≤=t
W T ②设计截面尺寸：][max τT W t ≥⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：43
3116 16 αππD D W t ③ 计算许可载荷：][max τt W T ≤
3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件
一、扭转时的变形
长为l 一段杆两截面间相对扭转角ϕ为值不变）若 ( T GI Tl p
=ϕ 二、单位长度扭转角θ ： (rad/m) d d p GI T x ==ϕθ，/m)( 180 d d ︒⋅==π
ϕθp GI T x GI p 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。

三、刚度条件
[](rad/m) max max θθ≤=p GI T ，[]/m)( 180 max max ︒≤⋅=θπ
θp GI T [θ ]称为许用单位长度扭转角。

刚度计算的三方面：
①校核刚度：[]θθ≤ max ②设计截面尺寸： ] [max θG T I p ≥
③计算许可载荷：] [max θp GI T ≤
3–6等直圆杆的扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤：
1、平衡方程；
2、几何方程——变形协调方程；
3、物理方程；
4、补充方程：由几何方程和物理方程得；
5、解由平衡方程和补充方程组成的方程组。

3–7等直圆杆在扭转时的应变能
一、应变能与能密度 应变比能：22
121γτγG u == 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算（略）
位移的计算(能量法） 外力功：∆=P W 2
1 变形能：⎰⎰=
=V
V V U U d 21d τγ U W =
3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。

二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。

三、矩形杆横截面上的剪应力:
1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）
2. 最大剪应力及单位扭转角 t W T max max =
τ，其中：3 b t W β=，max 1 νττ= t
GI T =θ，其中：It —相当极惯性矩。

4 b I t α= （略）。