材料力学(机械工业出版社)知识小结：第三章 扭转

第三章扭转

3–1概述

轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。

扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。 扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。

剪应变（γ）：直角的改变量。

3–2传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图

一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：

m)(N 9550⋅=n

P m 其中：P —功率，千瓦（kW ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7024

⋅=n P m 其中：P —功率，马力（PS ）n —转速，转/分（rpm ） m)(N 7121⋅=n

P m 其中：P —功率，马力（HP ）n —转速，转/分（rpm ） 二、扭矩及扭矩图

1、扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。

2、截面法求扭矩

m

T m T m x ==-=∑00

3、扭矩的符号规定：

“T ”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。

4、扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的：①扭矩变化规律；

②|T |max 值及其截面位置->强度计算（危险截面）。

3–3薄壁圆筒的扭转

一、实验：

1.实验前：

①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m 。

2.实验后：

①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。

3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ 。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

4.ϕ与γ的关系：L R ⋅=ϕγ

二、薄壁圆筒剪应力τ大小：t

r T 220πτ=

三、剪应力互等定理：ττ'=

在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。

四、剪切虎克定律：

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp )，剪应力与剪应变成正比关系。

γτ⋅=G 式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ无量纲，故G 的量纲与τ相同

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：)

1(2μ+=E G

3–4等直圆杆在扭转时的应力强度条件

一、等直圆杆扭转实验观察：

1、横截面变形后仍为平面；

2、轴向无伸缩；

3、纵向线变形后仍为平行。

二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：

1.变形几何关系：

x d d ϕργρ=，距圆心为ρ任一点处的γρ与该点到圆心的距离ρ成正比。x

d d ϕ：扭转角沿长度方向变化率。

2.物理关系：

x

G d d ϕρτρ= 3.静力学关系：

横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式：p

I T ρτρ⋅= 4.公式讨论：

①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。

②式中：T —横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

ρ —该点到圆心的距离。

I p —截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。A I A p d 2

ρ⎰=，单位：mm 4，m 4

③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是I p 值不同。

a.对于实心圆截面：44

1.032D D I p ≈=π

b.对于空心圆截面：)1(1.0)1(32 )(32 4444

44ααππ

-≈-=-=D D d D I p

④应力分布

工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 ⑤确定最大剪应力：

t

W T =max τ，W t —抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm 3或m 3 对于实心圆截面：332.016D D R I W p t ≈==π 对于空心圆截面：)-(12.016)1(4343ααπD D R I W p t ≈-==（自：注意这里还是4

α）

三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力

转角α规定：x 轴正向转至截面外法线，逆时针：为“+”顺时针：为“–” αττατσαα2cos ; 2sin =-=

当α =0°时，τττσ===︒︒max 00 , 0

当α =45°时，0 , 45min 45=-==︒︒ττσσ

当α =–45°时，0 , 45max 45===︒-︒-ττσσ

当α = 90°时，τττσ-=-==︒︒max 9090 , 0

四、圆轴扭转时的强度计算 对于等截面圆轴：][max τ≤t

W T ，([τ] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ①校核强度：][max max ττ≤=t

W T ②设计截面尺寸：][max τT W t ≥⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-）（空：实：43

3116 16 αππD D W t ③ 计算许可载荷：][max τt W T ≤

3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件

一、扭转时的变形

长为l 一段杆两截面间相对扭转角ϕ为值不变）若 ( T GI Tl p

=ϕ 二、单位长度扭转角θ ： (rad/m) d d p GI T x ==ϕθ，/m)( 180 d d ︒⋅==π

ϕθp GI T x GI p 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。

三、刚度条件

[](rad/m) max max θθ≤=p GI T ，[]/m)( 180 max max ︒≤⋅=θπ

θp GI T [θ ]称为许用单位长度扭转角。

刚度计算的三方面：

①校核刚度：[]θθ≤ max ②设计截面尺寸： ] [max θG T I p ≥

③计算许可载荷：] [max θp GI T ≤

3–6等直圆杆的扭转超静定问题

解决扭转超静定问题的方法步骤：

1、平衡方程；

2、几何方程——变形协调方程；

3、物理方程；

4、补充方程：由几何方程和物理方程得；

5、解由平衡方程和补充方程组成的方程组。

3–7等直圆杆在扭转时的应变能

一、应变能与能密度 应变比能：22

121γτγG u == 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算（略）

位移的计算(能量法） 外力功：∆=P W 2

1 变形能：⎰⎰=

=V

V V U U d 21d τγ U W =