高中数学 直线与圆相关的最值问题
借助几何性质解决圆中的最值问题
类型四 利用“数形结合方法”解决直线与圆的问题
例4 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点. (1)求xy－－21的最大、最小值； 解 法一 设 k＝xy－－21， 则 y－2＝kx－k，即 kx－y＋2－k＝0. ∵P(x，y)为圆 C 上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离 d＝|－2k1＋＋2k－2 k|＝|21－＋3kk2|≤1，
索引
∴3t＋＋1t＝－12.∴t＝－73， ∵CA＝ 1＋4＝ 5， ∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2 9－5＝4.
索引
思维升华
当直线与圆相交时，弦长最短，需使弦心距最大，然后根据垂径定理由垂直 得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾 股定理解决问题.
索引
借助几何性质解决圆中的最值问题
索引
高中数学中，在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把 常见的与圆相关的最值问题总结如下.希望对学生有些启发.
索引
类型一 “圆上一点到直线距离的最值”问题
例 1 已知圆 C 经过(2，5)，(－2，1)两点，并且圆心 C 在直线 y＝21x 上. (1)求圆 C 的方程； 解 点(2，5)与点(－2，1)连线的中点为(0，3)，中垂线方程为 y＝－x＋3，
索引
即|2－3k|≤ 1＋k2， 平方得 8k2－12k＋3≤0， 解得3－4 3≤k≤3＋4 3， 故xy－－21的最大值为3＋4 3，最小值为3－4 3；
索引
(2)求x－2y的最大、最小值.
解 设b＝x－2y，即x－2y－b＝0. ∵P(x，y)为圆C上任一点， ∴圆心(－2，0)到直线的距离 d＝ 12|＋－（2－－b2| ）2＝|b＋52|≤1，即|b＋2|≤ 5， 则－2－ 5≤b≤ 5－2，
高二数学直线与圆中的范围,最值问题
高二数学直线与圆中的范围，最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高二数学是学生学习数学的重要阶段，其中直线与圆的范围、最值问题是一个重要的知识点。
直线与圆是几何学中常见的基本图形，通过研究它们的范围和最值问题，可以帮助我们更好地理解几何学知识和提高数学解题能力。
一、直线与圆的范围问题在高二数学中，直线与圆的范围问题是一个常见的题型。
在这类问题中，我们需要根据给定的条件，求解直线和圆的交点、直线与圆的位置关系等。
通过分析这些问题，可以帮助我们锻炼逻辑思维能力和几何推理能力。
我们常见的一个问题是求解一条直线与一个圆的交点。
在这种情况下，我们可以通过联立直线方程和圆方程，求解得到交点的坐标。
我们也可以通过图形的几何性质，利用角度和面积关系来求解交点的坐标。
这种方法不仅可以帮助我们更直观地理解直线与圆的位置关系，同时也可以提高我们的几何思维能力。
除了交点问题，直线与圆的位置关系问题也是直线与圆范围问题的重要内容。
在这种情况下，我们需要判断一条直线与一个圆的位置关系，例如直线是否相交、相切或相离等。
通过分析直线与圆的几何性质，我们可以利用距离公式或者向量运算等方法，快速求解出直线与圆的位置关系，从而解决相应的问题。
我们常见的一个问题是求解一个圆与一条直线的最大交点数。
在这种情况下，我们可以通过分析直线与圆的几何性质，确定交点的位置关系，进而求解出最大交点数。
我们也可以利用微积分法，对交点函数进行求导，求得最大值或最小值，从而得出最大交点数。
在实际问题中，直线与圆的最值问题也具有广泛的应用。
在工程设计中，我们常常需要通过求解直线与圆的最值问题，确定构建物体的最优位置、最短路径等。
通过研究直线与圆的最值问题，我们可以应用数学原理，解决实际问题，提高实际工作效率。
第二篇示例：高中数学中，直线与圆是一个重要的内容，其中涉及到了许多范围和最值的问题。
在解决这些问题时，我们需要深入理解直线与圆的性质，并灵活运用数学知识来解决这些问题。
第五节 直线与圆的综合问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－8x＋15＝0，则x2＋y2的最
大值和最小值分别是
()
A．25,9
B．16,9
C．5,3
D．4,3
解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点
距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心
连线所在直线与圆的两个交点处取得最值．原方
程化为标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)，半径为1.又
直线与圆的综合问题 [师生共研过关]
[例3] 已知直线l：4x＋ay－5＝0与直线l′：x－2y＝ 0相互垂直，圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称，且圆C过 点M(－1，－1)．
(1)求直线l与圆C的方程； (2)过点M作两条直线分别与圆C交于P，Q两点，若直 线MP，MQ的斜率满足kMP＋kMQ＝0，求证：直线PQ的斜 率为1.
圆心到原点的距离为 4－02＋0－02 ＝4，所以x2＋y2的最
大值是(4＋1)2＝25，x2＋y2的最小值是(4－1)2＝9.故选A. 答案：A
2．已知点P(t，t)，t∈R
，点M是圆x2＋(y－1)2＝
1 4
上的动点，
点N是圆(x－2)2＋y2＝
1 4
上的动点，则|PN|－|PM|的最大值
是
()
|PM|2－4，所以只需直线 2x＋y＋2＝0 上的动点 P 到 M 的距离最小，
其最小值为|2＋1＋2|＝ 5
5，此时 PM⊥l，易求出直线 PM 的方程为 x
－2y＋1＝0.由2xx－＋2yy＋ ＋21＝ ＝00， ，
得xy＝＝0－，1，
所以 P(－1,0)．易知
P，A，M，B 四点共圆，所以以 PM 为直径的圆的方程为 x2＋y－122
与圆有关的最值问题-2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
圆专题：与圆有关的最值问题一、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.二、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于三、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC NPC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M CN C l l PM lCPM四、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如ax by y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题；2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题；3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题题型一 圆上的点到定点的距离最值【例1】若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．【答案】13131⎡⎤⎣⎦【解析】曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，C P P MN表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC +因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦【变式1-1】在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．【答案】()32-，【解析】()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.【变式1-2】已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（ ）A ．1B ．2C 2D 32 【答案】C【解析】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r 2，所以()2223269AC m m m m =+--+()23239222m -+ 所以点A 到圆C 3222.故选：C.【变式1-3】已知点()2,0A -，()2,0B ，()4,3C ，动点P 满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为（ ）A ．[]2,5B ．[]2,8C ．[]3,7D ．[]4,6 【答案】C【解析】由题设，P 在以||AB 为直径的圆上，令(,)P x y ，则224x y +=(P 不与,A B 重合)，所以PC 的取值范围，即为()4,3C 到圆224x y +=上点的距离范围，又圆心(0,0)到C 的距离22(40)(30)5d -+-，圆的半径为2， 所以PC 的取值范围为[,]d r d r -+，即[]3,7.故选：C【变式1-4】已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆223)7)1:((C x y -+=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为A ．9B ．14C ．26D ．28 【答案】C【解析】设O 为坐标原点，设(,)P x y ，圆C 圆心为7)C ，则()222222222||||(2)(2)282|8|AP BP x y x y x y PO +=+++-+=++=+， 又222min ||(||)(41)9PO OC r =-=-=，所以()22min ||||18826AP BP +=+=，故选：C.【变式1-5】已知直线l 与圆22:9O x y +=交于A ，B 两点，点()4,0P 满足PA PB ⊥，若AB 的中点为M ，则OM 的最大值为（ ） A ．222+B ．32 C ．322 D ．322【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,)M x y ，则122x x x +=，122y y y +=，又22119x y +=，22229x y +=，则222212121212112222(()2)182x y x y x x x x y y y y +--++=+=++，所以221221229x y y x x y -=++，又PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=，而11(4,)PA x y =-，22(4,)PB x y =-， 所以1212124()160x x x x y y -++=+，即1212816x x x y y -=+，综上，22228169x y x --=+，整理得22(2)12x y +-=，即为M 的轨迹方程， 所以M 在圆心为(2,0)2的圆上， 则22max(20)(02220)OM-=-=+，故选：A.题型二 两圆上的动点的距离最值【例2】已知点,P Q 分别为圆()()221:241C x y -++=与圆()()222:234C x y +++=的任意一点，则PQ 的取值范围是（ ）A ．17174⎡⎤⎣⎦B ．17173⎡⎤⎣⎦C ．17172⎡⎤⎣⎦D ．17171⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】()()221:241C x y -++=的圆心为()12,4C -,半径11r =，()()222:234C x y +++=的圆心为()22,3C --,半径22r =，圆心距()()221222431712d r r =++-+=>+=+，∴两圆相离，∴[]1212,PQ d r r d r r ∈--++=17173⎡⎤⎣⎦，故选：B.【变式2-1】已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．53B ．53+C ．323+D ．323-【答案】B【解析】设(,)P x y ，因为2PA PB =2222(2)2(1)x y x y ++=-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为22(22)3+2+3=5+3-+【变式2-2】已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ） A ．32 B ．52 C ．522+ D ．322+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --2，22(12))(13)5CD +++，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.【变式2-3】设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( )A ．3157-B ．3137-C ．524-D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．【变式2-4】已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(3)(2)4C x y -+-=，动点P 在x 轴上，动点M ，N 分别在圆1C 和圆2C 上，则||||PM PN +的最小值是 ． 133【解析】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标(1,1)A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标2(3,2)C ，半径为2， 连接2AC ，故2||4913AC =+=， 故||||PM PN +的最小值是133- 故答案为：133-．【变式2-5】已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PNPM-的最大值是（ ）A ．254B ．9C ．7D ．252 【答案】B【解析】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max minmaxPN PM PN PM-=-，又2max 3PN PC =+，1min 1PM PC =-，所以，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC -=+--=-+． 点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，()()2221211241515PC PC PC PC C C ''-=-≤=-+-+，所以，()max 549PN PM -=+=， 故选：B ．【变式2-6】已知圆()221:2(3)1C x y ++-=，圆222:(4),(2)4,C x y M N -+-=分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN -的最大值为（ ）A 371B 373C ．351D ．2013173【答案】B【解析】由已知圆心1(2,3)C -，半径为1，圆心2(4,2)C ，半径为2，11PM PC C M ≤+，22PN PC C N ≥-，∴11PM PN PC C M -≤+-()22PC C N -1211123PC PC C M C N PC PC =-++=-+123373C C ≤+=，当且仅当12,,P C C 三点共线时等号成立，此时M 为1PC 的延长线与圆1C 的交点，N 为线段2PC 与圆2C 的交点． 故选：B ．题型三 圆上的点到直线的距离最值【例3】点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3y x的最短距离为（ ）A ．22B ．1C 2D ．22【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -+=+-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=．故选：C ．【变式3-1】已知P 是半圆C 22y y x -=-上的点，Q 是直线10x y --=上的一点，则PQ 的最小值为（ ） A 32 B 21 C 21 D 2【答案】D2222202(1)1(0)20x y y x x y x x y y -≥⎧-=-⇒⇒+-=≤⎨+-=⎩，如图所示，显然当P 运动到坐标原点时，PQ 有最小值， 最小值为原点到直线10x y --=的距离， 即22min 1221(1)PQ -=+-=，故选：D【变式3-2】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎤⎣⎦，又可求得22AB =， 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.【变式3-3】圆面224440x y x y --++≤与圆面222220x y x y ---+≤的公共部分M(含边界)上的点到直线3450x y ++=的最短距离为（ ） A ．225B ．325 C ．165 D ．95【答案】D【解析】由224440x y x y --++≤，即()()22224x y -+-≤，圆心为()2,2C ，半径12r =，222220x y x y ---+≤，即()()22114x y -+-≤，圆心为()1,1B ，半径22r =，则两圆面公共部分M 的平面区域如下图黑色阴影部分所示： 则圆心C 到直线3450x y ++=的距离223242519534d ⨯+⨯+=+， 则黑色阴影区域内的点到直线3450x y ++=的最短距离为1199255d r -=-=； 故选：D题型四 圆的切线长度最值问题【例4】直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B【变式4-1】已知过坐标原点O 的直线与圆22:86210C x y x y +-++=相切，则切线长（点O 与切点间的距离）为（ ） A ．3 B ．4 C 21 D ．5 【答案】C【解析】圆C 的标准方程为()()22434-++=x y ，圆心()4,3C -，半径2r =，所以5OC =，切线长为22225221L OC r =-=-故选C.【变式4-2】已知圆O ：223x y +=，l 为过(2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2，故直线l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x =-，即230x -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+ 251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭【变式4-3】若圆C ：222270x y x y +---=关于直线30ax by ++=对称，由点P (,)a b 向圆C 作切线，切点为A ，则线段P A 的最小值为___． 14【解析】圆22:2270C x y x y +---=化为22(1)(1)9x y -+-=，圆的圆心坐标为()1,1，半径为3r =．圆22(1)(1)9x y -+-=关于直线30ax by ++=对称，所以()1,1在直线上，∴30++=a b ，即3b a =--， 点(,)a b 22(1)(1)a b -+-所以点(,)a b 向圆C 所作切线长：()()2223711924212a b a ⎛⎫-+--=++ ⎪⎝⎭ 当且仅当32a =-14．题型五 过圆内定点的弦长最值【例5】直线()13y k x -=-被圆()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ）A 2B ．23C ．22D 5【答案】C【解析】圆22(2)(2)4x y -+-=的圆心为(2,2)C ，半径2r =，又直线1(3)y k x -=-，∴直线恒过定点(3,1)P ，当圆被直线截得的弦最短时，圆心(2,2)C 与定点(3,1)P 的连线垂直于弦， 22(23)(21)2-+-∴所截得的最短弦长：2222(2)22-=C ．【变式5-1】已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．5D ．35【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-，圆O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．【变式5-2】当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.【变式5-3】已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆22:(4)(5)1G x y -+-=上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（ ）A ．4B ．6C 101D 131【答案】B【解析】根据题意，设(,)P m n 为直线4x y +=上的一点，则4m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A 、B ，则有OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为C (2m ，)2n ，半径221||2m nr OP +==，则其方程为2222()()224m n m n x y +-+-=，变形可得220x y mx ny +--=，联立222240x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆C 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=， 又由4m n +=，则有(4)40mx m y +--=， 变形可得()440m x y y -+-=， 则有0440x y y -=⎧⎨-=⎩，解可得1x y ==，故直线AB 恒过定点()1,1Q ，点M 在圆22:(4)(5)1G x y -+-=上，则点M 到直线AB 距离的最大值为22||1(41)(51)16GQ +-+-=．故选：B ．题型六 利用代数式几何意义求最值【例6】已知实数x ，y 满足2266140x y x y +--+=，求2223x y x +++的最大值与最小值．【答案】最大值为51，最小值为11【解析】已知方程2266140x y x y +--+=可化为()()22334x y -+-=，则此方程表圆，且圆心C 的坐标为()3,3，半径长2r =．又()22222312x y x x y +++=+++．它表示圆上的(),P x y 到()1,0E -的距离的平方再加2；所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P 与点E 距离的最大值为2CE +， 点P 与点E 距离的最小值为2CE -. 又因为()223135CE =++=，则2223x y x +++的最大值为27251+=，2223x y x +++的最小值为23211+=；即2223x y x +++的最大值为51，最小值为11.【变式6-1】已知点(),P x y 在圆：()2211x y +-=上运动．试求：（1）(223x y +的最值；（2）12y x --的最值； 【答案】（1）最大值为9，最小值为1；（233 【解析】（1）设圆()2211x y +-=的圆心为()0,1A ，半径1r =，点(),P x y 在圆上，所以(223x y +表示(),P x y 到定点()3,0E 的距离的平方， 因为()22312AE =+=，所以AE r PE AE r -≤≤+，即13PE ≤≤，所以(22139x y ≤+≤，即(223x y +的最大值为9，最小值为1；（2）点(),P x y 在圆上，则12y x --表示圆上的点P 与点()2,1B 的连线的斜率， 根据题意画出图形，当P 与C （或)D 重合时，直线()BC BD 与圆A 相切，设直线BC 解析式为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，∴圆心(0,1)到直线BC 的距离d r =，即2|2|11k k -=+，解得3k =， 333k ，即31323y x --， ∴12y x --33【变式6-2】设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1，圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．【变式6-3】已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=，点(0,1)A -与(0,1)B ，P 为圆C 上动点，当22||||PA PB +取最大值时点P 坐标是 ． 【答案】18(5，24)5． 【解析】设(,)P x y ，则22222222||||(1)(1)2()2d PA PB x y x y x y =+=++++-=++，22x y +的几何意义是(,)P x y 到原点的距离，由已知，圆心(3,4)C ，半径为1，C 到O 的距离||5CO =，∴22x y +的最大值是516+=，d ∴的最大值为226274⨯+=，由直线43y x =与圆22:(3)(4)1C x y -+-=，可得(512)(518)0x x --=，125x ∴=或185x =，∴当22||||PA PB +取最大值时点P 坐标是18(5，24)5．故答案为：18(5，24)5．题型七 面积的最值问题【例7】已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，(2,0)C ． （1）求圆E 的方程；（2）若P 为圆E 上的一动点，求ABP ∆面积的最大值． 【答案】（1）22(1)1x y -+=【解析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，由题意可得020420F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得200D E F =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为2220x y x +-=即22(1)1x y -+=； （2）(0,0)A ，(1,1)B AB ∴的方程：0x y -=，且||2AB =，∴圆心(1,0)E 到直线AB 的距离为|1|222d ==， ∴点P 到直线AB 的距离的最大值为212+， ∴121212||(1)2(1)22222ABPS AB ∆+⨯⨯+=⨯⨯+=． 故ABP ∆面积的最大值为122+．【变式7-1】已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=，P 为直线:220l xy 上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △的外接圆的方程为（ ）A ．22115224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．22119224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ．221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】由题可知，PA AC ⊥，半径2AC =，圆心(1,1)C ，所以222142PACSPA AC PA PC AC PC =⋅==-=-要使PAC △的面积最小，即PC 最小，PC 的最小值为点(1,1)C 到直线:220l xy 22212521+++即当P 点运动到PC l ⊥时，PACS最小，直线l 的斜率为2-，此时直线PC 的方程为11(x 1)2y -=-，由11(1)2220y x x y ⎧-=-⎪⎨⎪++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，因为PAC △是直角三角形，所以斜边PC 的中点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，而()()2211105PC =++-所以PAC △的外接圆圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭5，所以PAC △的外接圆的方程为221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C.【变式7-2】已知C ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为 ____． 【答案】210x y ++=【解析】C ：222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，则圆心()11C ，，半径2r =． 因为四边形MACB 的面积22?22||4CAM S S CA AM AM CM ====- 要使四边形MACB 面积最小，则需CM 最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线CM 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得()0,1M -．则5CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=．【变式7-3】点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小， 即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 222521==+OP 故所求最小值为()222548-=.。
圆上一点到直线的最大值
圆上一点到直线的最大值圆上一点到直线的最大值是一个比较古老而又有趣的数学问题，也是几何学中重要的内容。
本文将从数学的角度出发，探究圆上一点到直线的最大值问题。
首先，让我们看一下圆上一点到直线的最大值的数学原理。
假设圆的半径为r，圆上的任意一点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径r。
这个结论是由几何原理所得。
根据勾股定理可以知道，一个三角形的最大内角等于两边之差的一半，由此可以知道，圆上任意一点到直线的最大距离是半径r加上圆心到直线的距离。
其次，通过实验可以解决圆上一点到直线的最大值的问题。
对两个实验组采取不同的方法：一组用数学方法，一组用实验方法。
首先，数学组的实验是在数学理论的基础上，以实验的方式验证圆形的最大半径r和圆心到直线的距离之和是圆上一点到直线的最大距离。
实验者首先将圆心设置在已知半径r的圆内，然后依次画出从圆心到其对应的圆上每点的距离，再将这些距离与圆心到直线的距离相加，最后得出结论。
另一个实验组使用实验的方式来解决圆上一点到直线的最大值问题。
此组实验者先绘制一个圆，在其上任意挑选一点并画出其与圆心的距离，然后用一直线将该点与圆心相连，最后计算出该点到直线的最大距离，以达到解决圆上一点到直线的最大值的目的。
本研究通过实验室实验采集的数据可以看出，两组实验者取得了相同的结论，即圆上一点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径r。
通过对数学原理及实验室实验的研究，本文论证了圆上一点到直线的最大值。
圆上一点到直线的最大值可以通过数学原理及实验方法直接得出，这也为解决这一数学问题提供了相关参考依据。
圆上一点到直线的最大值有着显著的应用，如解决几何问题、建筑规划设计等，因此对其进行深入的研究有着重要的意义。
在未来的研究中，可以通过不同的方法或者不同的数据来研究圆上一点到直线的最大值。
另外，也可以根据圆面积的变化，研究圆上一点到直线的最大值的变化，从而推广研究其他几何相关问题。
总之，本文从数学原理和实验方法出发，对圆上一点到直线的最大值进行了深入分析，给出了最终结论，同时也为今后研究圆上一点到直线的最大值提供了参考依据。
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
高中数学微专题2与圆有关的最值问题新人教A版选择性必修第一册
意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1 与距离有关的最值问题
【例1】
(1)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离
为1，则实数r的取值范围为(
A．(
√
2＋1，＋∞)
C．(0， 2－1)
)
B．( 2－1， 2＋1)
＋|PO|2)，
11
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为 π，最
2
9
小值为 π．最值问题
【例3】 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离
的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系
式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不
等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形
∴将①代入②，得|PA|2 ＋|PB|2 ＋|PO|2 ＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋
22．
∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18．
又三个圆的面积之和为π
2
2
＋π
2
2
＋π
2
2
π
＝ (|PA|2 ＋|PB|2
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题在高中数学中，圆是我们研究最多的一种曲线。
在研究与圆相关的问题时，最值问题是一个重点和热点。
下面总结了常见的与圆相关的最值问题，希望对读者有所启发。
类型一：圆上一点到直线距离的最值问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是可以转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。
1.求圆C：(x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线l：x-y+2=0的最大、最小距离。
解析：作CH⊥l交于H，与圆C交于A，反向延长与圆交于点B。
则dmax=dBH=2+√2，dmin=dAH=2-√2，因此dCH=2.2.求圆C：(x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线l：x-y+4=0距离的最大值和最小值。
解析：方法同第一题，dmax=dBH=4√2，dmin=dAH=2√2.3.圆x²+y²=2上的点到直线l：3x+4y+25=0的距离的最小值为______。
解析：方法同第一题，dmin=5-2=3.类型二：圆上一点到定点距离的最值问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是可以转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P（x,y）是圆C：x²+y²-2x-4y+4=0上一点，求P 到原点的最大最小距离。
解析：连接OC与圆交于A，延长OC交于B。
则dmax=dOC+r=5+1=6，dmin=dOC-r=5-1=4.2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0及点Q(-2,3)，若M是圆C上任一点，求MQ最大值和最小值。
解析：方法同第一题，dmax=dCQ+r=6√2，dmin=dCQ-r=2√2.3.已知x,y满足条件x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²范围。
解析：方程看作是圆C，表达式几何意义是圆C上点(x,y)与(0,0)距离范围，求dmax,___即可，与第一题答案相同。
高中数学期末备考：解析几何03圆中最值问题含解析
3.圆最值问题一．重要结论1.圆中与距离最值有关的常见的结论：结论1.圆外一点A 到圆上距离最近为AO r ，最远为AO r ；结论2.过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3.直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r ,最近为d r ；2.圆中与面积有关的最值结论：结论4.圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形；结论5.过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为B A ,，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.3.圆中与角度有关的最值问题.结论6.圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.结论7.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论8.圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论9.圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）.4.其他与圆有关的最值问题结论10．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.二．强化练习1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．52．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．54．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．25．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．26．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．157．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．38．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN 的最大值为（）11B．1711D．159．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）1110.（2021新高考1卷）．已知点P 在圆 225516x y 上，点 4,0A ， 0,2B ，则（）A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA 最小时，PBD．当PBA 最大时，PB 参考答案1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．5【答案】A2．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．【答案】B3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．5【答案】A4．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．2【答案】B5．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．2【答案】D6．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．15【答案】B7．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C8．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN的最大值为（）11 B．1711D．15【答案】C9．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）2112D．22【答案】D 10．ACD解析：圆 225516x y 的圆心为 5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y，即240x y ，圆心M 到直线AB4 ，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为425 ，最大值为4105，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA 最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ，BM4MP ，由勾股定理可得BP CD 选项正确.故选：ACD.多圆最值问题研究一．基本原理1.将军饮马模型：如图，动点C 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么CA CB 的最小值即为做点B 关于l 的对称点'B ，然后连接'BB 后其长度.2.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.如图动点P 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么P A PB 的最大值当且仅当B A P ,,三点共线.倘若B A ,在l 两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，P A PB 的最小值为0，即P 为AB 中垂线与l 的交点.总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”二．典例分析1.距离和的最小值（公众号：凌晨讲数学）例1．已知圆221:430C x y y ，圆222:6260C x y x y ，M N ，分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线:1l y x 上的动点，则||MP NP 的最小值为A．3 B．333解析：由圆 221:21C x y ，圆 222314C x y ，可知圆1C 圆心为 0,2 ，半径为1，如图，圆2C 圆心为 3,1 ，半径为2，圆1C 关于直线:1l y x 的对称圆为圆 221':311C x y ，连结12'C C ，交l 于P ，则P 为满足使PM PN 最小的点，此时M 点为1'PC 与圆1'C 的交点关于直线l 对称的点，N 为2PC 与圆2C 的交点，最小值为 12'21C C ，而12'C C ，PM PN 的最小值为3 ，故选A.2.距离差的最大值（公众号：凌晨讲数学）例2．已知圆 221:111C x y ，圆 222:459C x y ，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM 的最大值是（）A．4B．9C．7D．2解析：圆 221:111C x y 的圆心为 11,1C ，半径为1，圆 222:459C x y 的圆心为 24,5C ，半径为3．max min maxPN PM PN PM ∵，又2max 3PN PC ，1min1PMPC ，2121max314PN PMPC PC PC PC ．点 24,5C 关于x 轴的对称点为24,5C ，2121125PC PC PC PC C C，所以，max549PN PM ，故选：B．3.逆用阿波罗尼斯圆1.阿氏圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,|||| PB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ，圆心为)0|,|11(22AB .（公众号：凌晨讲数学）2.结论：已知圆222)()(r b y a x 上任意一点P 和坐标轴上任意两点B A ,，求形如)(PB P A PB P A 的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.例3．已知圆C 是以点 2,M 和点 6,N 为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点2,0A ，点 1,1B ，则2PA PB 的最大值为（）B．4C．8解析：由题设，知：(4,0)C 且||8MN ，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y ，如上图，坐标系中(4,0)D 则24OD AC CP OC ，∴12AC PC CP DC ，即△APC △PCD ，故12PA PD ，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.∴2||||PA PB PD PB ，在△PBD 中||||||PD PB BD ，∴要使||||PD PB 最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A例4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA 的最小值为（）B．6C．D．2解析：P 为圆C 上任意一点，圆的圆心 8,0C ，半径4r ，如下图所示，4PC ∵，8OC ，2AC 12AC PC PC OC ，PAC OPC 12PA OP，即2OP PA ，2PB PA PB OP ，又PB OP OB （当且仅当P 为线段OB与圆C 的交点时取等号），2PB PA OB 2PB PA本题正确选项：A三．练习题（公众号：凌晨讲数学）1．已知,P Q 分别是直线:20l x y 和圆22:1C x y 上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则PA PQ 的最小值为2B．251210122．已知P ，Q 分别是圆 22:48C x y ，圆 22:41D x y 上的动点，O 是坐标原点，则22PQ PO的最小值是______．3．平面直角坐标系中，点3,3A 、 3,3B 、23,0C ，动点P 在ABC 的内切圆上，则12PC PA 的最小值为_________.4．在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆:C 22230x y x 上的动点，则2AB BO 的最小值为__________.。
与圆有关的最值问题
1 AC BD 1 2 3 1 2 3 30
2
2
2
2. 【湖北省黄石市 2017 届高三年级九月份调研，10】圆 x2 y2 2ax a2 4 0 和圆
x2
y2
4by 1 4b2
0
恰有三条公切线，若
a
R,
b
R
，且
ab
0
，则
1 a2
1 b2
1 [5 9
a2 b2
4b2 a2
]
1 [5 2 9
a2 b2
4b2 a2
]1
，当且仅当
a2 b2
=
4b2 a2
时取等
号，所以最小值为 1.[来源:Z#xx#]
考点：两圆位置关系，基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正
2.2 建立函数关系求最值 根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等
进行求解.
例 7 设 P, Q 分 别 为 x2 y 62 2 和 椭 圆 x2 y2 1 上 的 点 ， 则 P, Q 两 点 间 的 最 大 距 离 是
10
一、与圆相关的最值问题的联系点
k
O
1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题
利用公式 k ＝ tan ( ≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知
斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
处理方法：利用在正切函数
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
与圆有关的最值问题-高三数学备考练习
与圆有关的最值问题-高三数学备考练习近几年高考试题分析发现，与圆有关的最值问题是高考热点问题之一。
这类问题既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活。
解决这类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。
常见类型包括与圆有关的长度或距离的最值问题和与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题。
对于长度或距离的最值问题，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解。
对于与圆上点(x，y)有关代数式的最值问题，常见类型包括形如u＝x－a型、t＝ax＋by型和(x－a)2＋(y－b)2型。
这些问题可以转化为斜率的最值问题、动直线的截距的最值问题和动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题。
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面。
知识拓展包括圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC-r，圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径，以及圆C内一点M的弦长的最大值为直径，最小的弦长为圆心角对应的弧长。
解决与圆相关的最值问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化。
例如，与直线的倾斜角或斜率的最值问题可以利用公式k＝tan(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值。
处理方法包括分别讨论斜率的范围和倾斜角的范围。
例6】已知实数x,y满足方程$x^2+y^2-4x+1=0$，求：1) $x$ 的最大值和最小值；2) $y-x$ 的最大值和最小值。
解析】1) 将方程化为标准形式：$(x-2)^2+y^2=3$，得到一个以点 $(2,0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{3}$ 的圆。
由于 $x$ 的取值范围为 $[2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]$，所以$x$ 的最大值为 $2+\sqrt{3}$，最小值为 $2-\sqrt{3}$。
苏教版选择性必修1——第2章 习题课 与圆有关的最值问题
习题课与圆有关的最值问题学习目标 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．导语2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里．一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？一、与距离有关的最值问题知识梳理已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2r2－d2，最大值＝2r.4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝d2－r2.例1已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为()A.17B.17－1C ．6－2 2D ．52－4答案 D解析 如图所示，圆C 1关于x 轴对称的圆的圆心坐标为A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心坐标为(3,4)，半径为3.设M ′为点M 关于x 轴对称的点，由图象可知，当P ，M ′，N 三点共线时，PM ＋PN ＝PM ′＋PN 取得最小值，且PM ＋PN 的最小值为圆A 与圆C 2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC 2－3－1＝(3－2)2＋(4＋3)2－4＝52－4.反思感悟 (1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．跟踪训练1 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．6 3 D ．8 3 答案 B解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心坐标为C (1,2)，半径为5， 由直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，得m (2x ＋y －7)＋x ＋y －4＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 过定点P (3,1)，又点P (3,1)在圆内部，则当直线l 与线段PC 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小， 此时PC ＝(1－3)2＋(2－1)2＝5，∴直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为252－(5)2＝4 5.二、与面积相关的最值问题例2 已知点O (0,0)，A (0,2)，点M 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，则△OAM 面积的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 根据题意，得圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r ＝2，O (0,0)，A (0,2)，OA 所在的直线是y 轴，当M 到直线AO 的距离最小时，△OAM 的面积最小， 则M 到直线AO 的距离的最小值d ＝3－2＝1， 则△OAM 的面积最小值S ＝12×OA ×d ＝1.反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．跟踪训练2 直线y ＝kx ＋3与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为( )A ．1 B.12 C.24 D.34答案 B解析 设圆心到直线的距离为d (0<d <1)， 则所截得的弦长l ＝21－d 2，所以S △OAB ＝12·21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2，由基本不等式，可得S △OAB ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当d ＝22时，等号成立．三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题例3 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上． (1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.(1)yx 表示圆上的点P 与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为P 1E ＝CE ＋2，点P 与点E 距离的最小值为P 2E ＝CE －2.又CE ＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.反思感悟 (1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．跟踪训练3 (多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则下列说法正确的是( ) A ．y －x 的最大值为6－2 B ．x 2＋y 2的最大值为7＋4 3 C.y x 的最大值为32D ．x ＋y 的最大值为2＋ 3 答案 AB解析 对于A ，设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|2＋z |2≤3，解得－6－2≤z ≤6－2，所以y －x 的最大值为6－2，故A 说法正确；对于B ，x 2＋y 2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋3，所以x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，故B 说法正确；对于C ，设yx ＝k ，把y ＝kx 代入圆的方程得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k 2)≥0，解得－3≤k ≤3，yx的最大值为3，故C 说法错误；对于D ，设m ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋m ，m 表示直线y ＝－x ＋m 的纵截距，当直线与圆(x －2)2＋y 2＝3有公共点时，|－2＋m |2≤3，解得－6＋2≤m ≤6＋2，所以x ＋y 的最大值为6＋2，故D 说法错误．1．知识清单：(1)与距离、面积有关的最值问题． (2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题．2．方法归纳：数形结合法、转化法． 3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．1．圆x 2＋y 2＝4上的点到直线4x －3y ＋25＝0的距离的取值范围是( ) A ．[3,7] B ．[1,9] C ．[0,5] D ．[0,3]答案 A解析 x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)，半径r ＝2， 圆心到直线4x －3y ＋25＝0的距离d ＝|0－0＋25|42＋(－3)2＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．2．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 D ．4 答案 B解析 根据题意，圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4，其圆心C (4,3)，半径r ＝2，过点P 作圆C ：(x －4)2＋(y －3)2＝4的切线，切点为Q ，则PQ ＝PC 2－4，当PC 最小时，PQ 最小，又由点P 在单位圆上，则PC 的最小值为OC －1＝9＋16－1＝4，则PQ 的最小值为16－4＝2 3.3．点M (x ，y )在圆x 2＋(y －2)2＝1上运动，则yx 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B. (－∞，－3]C. (－∞，－3]∪[3，＋∞)D. [－3，3] 答案 C解析 将yx看作圆上动点(x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，如图，可得k ≥3或k ≤－ 3.4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为_________．答案4 5解析因为C1(－2,2)，r1＝22，C2(2,0)，r2＝4，所以C1C2＝(－2－2)2＋22＝25，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为12×25×4＝4 5.课时对点练1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则AB的最小值为()A. 2 B．2 C．2 2 D．4答案 C解析将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为2，AB的最小值为222－(2)2＝2 2.2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为()A．2 B．1 C. 3 D. 2答案 B解析x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为() A．6 B．4 C．3 D．2答案 B解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.55 B.15 C.1215 D.1155答案 B解析 由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上， 故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离的平方， 而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55， 故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.5．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －1＝0，则y －2x 的最小值和最大值分别为( ) A ．－9,1 B ．－10,1 C ．－9,2 D ．－10,2答案 A解析 圆x 2＋y 2－4x －1＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r ＝ 5. y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x －1＝0相切时，b 取得最大值或最小值，此时|2×2＋b |1＋22＝5，解得b ＝－9或b ＝1，所以y －2x 的最大值为1，最小值为－9.6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ,0)，B (m ,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析根据题意，画出示意图，如图所示，圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且AB＝2m.连接OP，因为∠APB＝90°，所以OP＝12AB＝m.要求实数m的最大值，即求圆C上的点P 与原点O之间距离的最大值．因为OC＝32＋42＝5，所以OP max＝OC＋r＝6，即实数m的最大值为6.7．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．答案(x－1)2＋y2＝2解析∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝(2－1)2＋(－1)2＝2，∴半径最大为2，∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.8．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．答案x2＋y2－2y－9＝0解析当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB的中点(0,1)为圆心，半径r＝12AB＝10.则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.9．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求MQ的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．解(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22，又QC＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴MQ max ＝42＋22＝62，MQ min ＝42－22＝2 2. (2)由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．已知直线l ：3x ＋4y ＋1＝0，一个圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴都相切，且圆心C 到直线l 的距离为3. (1)求圆的方程；(2)P 是直线l 上的动点，PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点，求四边形PECF 的面积的最小值．解 (1)∵圆与x ，y 轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∵圆心C 到直线的距离为3，∴由点到直线的距离公式，得d ＝|3a ＋4a ＋1|32＋42＝3，解得a ＝2，∴半径为2.∴圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)PE ，PF 是圆的两条切线，E ，F 分别为切点， ∴△PCE ≌△PCF ，∴S 四边形PECF ＝2S △PCE ，PE 是圆的切线，且E 为切点， ∴PE ⊥CE ，CE ＝2，PE 2＝PC 2－CE 2＝PC 2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．PC min即为C到l的距离，由(1)知PC min＝3，∴PE2min＝32－4＝5，即PE min＝5，∴S△PCE＝12EC·PE＝12×2×5＝5，∴四边形PECF面积的最小值为2 5.11．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为3时，r的值为()A．2 B. 3 C. 2 D．1答案 D解析如图，由题意得PM2＝PC2－r2，当PC⊥l时，PC最小时，PM最小．由题意得PC min＝d＝|3×(－1)＋4×0－7|32＋42＝2，所以(3)2＝22－r2，所以r＝1.12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是()A．2 B. 5 C．3 D.13答案 B解析因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，所以l ：3a －4b ＋4＝0，所以点M (a ，b )在直线l 1：3x －4y ＋4＝0上，所以MC 的最小值为d ＝|3＋8＋4|5＝3，切线长的最小值为d 2－R 2＝9－4＝ 5.13．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为________．答案 52 解析 圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)的圆心为(a ，a )，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离d ＝2a 10，PQ ＝21－⎝⎛⎭⎫2a 102＝210－4a 210，所以△CPQ 的面积S ＝12×2a 10×210－4a 210＝10a 2－4a 45.当a 2＝54时，10a 2－4a 4取得最大值，且最大值为10×54－4×⎝⎛⎭⎫542＝254，所以△CPQ 的面积S 的最大值为12，此时a ＝52. 14．已知实数x ，y 满足方程y ＝－x 2＋4x －1，则y x的取值范围是________． 答案 [0，3]解析 方程y ＝－x 2＋4x －1化为(x －2)2＋y 2＝3(y ≥0)，表示的图形是一个半圆，令y x＝k ，即y ＝kx ，如图所示，当直线与半圆相切时，k ＝3，所以y x的取值范围是[0，3]．15．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝________.答案 2解析 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为C (0,1)，半径r ＝1，由圆的性质可知，四边形的面积S ＝2S △PBC ，又四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为S ＝1＝12r (PB min )＝12PB min ， 则PB min ＝2，因为PB ＝PC 2－r 2＝PC 2－1，所以当PC 取最小值时，PB 最小．又点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0上的动点，当CP 垂直于直线kx ＋y ＋4＝0时，PC 最小，即为圆心C (0,1)到直线的距离，所以|1＋4|k 2＋1＝22＋12＝5，解得k ＝±2，因为k >0，所以k ＝2.16．在△ABO 中，OB ＝3，OA ＝4，AB ＝5，P 是△ABO 的内切圆上的一点，求分别以P A ，PB ，PO 为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．解 建立如图所示的平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)．设△AOB 的内切圆的半径为r ，点P 的坐标为P (x ，y )，则2r ＋AB ＝OA ＋OB ，求得r ＝1，又可求得内切圆的圆心为(1,1)，所以内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，①又P A 2＋PB 2＋PO 2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②将①代入②，得P A 2＋PB 2＋PO 2＝－2x ＋22.因为P (x ，y )是内切圆上的点，则0≤x ≤2，所以P A 2＋PB 2＋PO 2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π×⎝⎛⎭⎫P A 22＋π×⎝⎛⎭⎫PB 22＋π×⎝⎛⎭⎫PO 22＝π4(P A 2＋PB 2＋PO 2)， 所以分别以P A ，PB ，PO 为直径的三个圆的面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。
高考数学复习第16讲 与圆相关的定点、定值问题
微专题17 与圆相关的定点、定值问题圆的综合问题还可能会考查与圆有关的定点、定值问题，这类问题的解决往往先从特例题：已知圆O ：x 2＋y 2＝9.点A (－5，0)，在x 轴上存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆O 上任一点P ，都有PBP A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．变式1已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A(3，0)，且与圆O 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P′，直线QM 交直线l 2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．变式2已知过点A(0，1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．求证：AM →·AN →为定值7.串讲1如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P.BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．串讲2设O 为坐标原点，F(1，0)，M 是l ：x ＝2上的点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于P ，Q 两点．(1)若PQ ＝6，求圆D 的方程；(2)若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．(2018·江苏模拟卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点(点B 在点A 右侧)，点Q(－2，0)，x 轴上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列．(1)求证：动点P 的横坐标为定值；(2)设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ，求证：点Q ，S ，T 三点共线．(2017·江苏模拟卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4，0)，B(0，－2)，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AB 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.(1)若r ＝2，求圆M 的方程； (2)当r 变化时，是否存在定直线与圆相切？如果存在，求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．答案：(1)(x －1)2＋(y －5)2＝4；(2)存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与圆相切．解析：(1)设圆心M(m ，n)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫32r 2＋m 2＝r 2，m ＞0，（m ＋4）2＋n 2＝m 2＋（n ＋2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12r ，n ＝r ＋3，4分∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝4.5分(2)设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪k·r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立，7分由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋b －3＝r 1＋k 2，得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2 ＝r 2(1＋k 2)，9分∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k 2，（k －2）（b －3）＝0，（b －3）2＝0，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3，13分 ∴存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与圆相切.14分微专题17 与圆相关的定点、定值问题巩固练习1.圆C ：x 2＋y 2－2tx －2t 2y ＋4t －4＝0，则圆过定点________．2．已知以曲线y ＝2x 上任意点C 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点，则△AOB 的面积为________．3．已知直线l ：mx －y ＋m ＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝4.若对任意a ∈[1，＋∞)，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是________．4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则2P A ＋PB 的最大值是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(－1，1)．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60°，则圆M 的方程为________．7．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6，0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有GF GP ＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4，0)，F 2(4，0)，A(0，8)，直线y ＝t(0＜t ＜8)与线段AF 1，AF 2分别交于点P ，Q ，过点Q 作直线QR ∥AF 1交F 1F 2于点R ，记△PRF 1的外接圆为圆C.(1)求证：圆心C 在定直线7x ＋4y ＋8＝0上；(2)圆C 是否恒过异于点F 1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．微专题17参考答案例题答案：B ⎝⎛⎭⎫－95，0. 解法1如图，假设存在这样的点B(t ，0)，当P 为圆O 与x 轴左交点(－3，0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当P 为圆O 与x 轴右交点(3，0)时，PB PA ＝|t －3|8，依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得，t ＝－5(舍去)，或t ＝－95.下面证明：点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆O 上任一点P ，都有PBPA为一常数． 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋8125＋9－x 2x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，从而PB PA ＝35为常数．解法2假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入得，x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎨⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95，或⎩⎨⎧λ＝1，t ＝－5，(舍去)，所以存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆O 上任一点P ，都有PB PA 为常数35. 变式联想变式1 答案：(1)y ＝±24(x －3)；(2)(3±22，0)． 解析：(1)因为直线l 1过点A(3，0)，且与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k(x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O(0，0)到直线l 1的距离为d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)对于圆方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，得x ＝±1，即P(－1，0)，Q(1，0)， 又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，所以直线l 2方程为x ＝3，设M(s ，t)，则直线PM 的方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝t s ＋1（x ＋1）， 得P′⎝⎛⎭⎫3，4t s ＋1同理可得，Q ′⎝⎛⎭⎫3，2t s －1.所以以P′Q′为直径的圆C 的方程为(x －3)(x －3)＋⎝⎛⎭⎫y －4t s ＋1⎝⎛⎭⎫y －2ts －1＝0，又s 2＋t 2＝1，所以整理得x 2＋y 2－6x ＋1＋6x －2t y ＝0，若圆C 经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22，所以，圆C 总经过定点坐标为(3±22，0)．变式2证法1设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，（x －2）2＋（y －3）2＝1，得(k 2＋1)x 2－4(k ＋1)x ＋7＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4（k ＋1）k 2＋1，x 1x 2＝7k 2＋1.因为AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，所以AM →·AN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)71＋k 2＝7.所以AM →·AN →为定值7.证法2由于M ，N 共线，所以AM →·AN →＝AM·AN ＝(AC －1)(AC ＋1)＝AC 2－1＝7.串讲激活串讲1答案：BQ →·BP →＝－5.解析：因为AQ ⊥BP ，所以AQ →·BP →＝0，所以BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎫－2，－52.则BP →＝⎝⎛⎭⎫0，－52， 又BA →＝(1，2)，所以BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .所以BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k .所以BQ →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.串讲2答案：(1)圆D 的方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2； (2)点P 在定圆x 2＋y 2＝2上． 解析：(1)设M(2，t)，则圆D的方程：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝1＋t 24， 直线PQ 的方程：2x ＋ty －2＝0，由PQ ＝6， 2⎝⎛⎭⎫1＋t 24－⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪2＋t 22－24＋t 22＝6，解得t ＝±2. 所以圆D 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)解法1设P(x 0，y 0)，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－1）2＋⎝⎛⎭⎫y 0－t 22＝1＋t 24，2x 0＋ty 0－2＝0，即⎩⎨⎧x 02＋y 02－2x 0－ty 0＝0，2x 0＋ty 0－2＝0，消去t 得x 02＋y 02＝2.所以点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．解法2设P(x 0，y 0)，则直线FP 的斜率为k FP ＝y 0x 0－1，因为FP ⊥OM ，所以直线OM 的斜率为k OM ＝－x 0－1y 0，所以直线OM 的方程为y ＝－x 0－1y 0x.点M 坐标为⎝⎛⎭⎫2，－2（x 0－1）y 0.因为MP ⊥OP ，所以OP →·MP →＝0，所以x 0(x 0－2)＋y 0⎣⎡⎦⎤y 0＋2（x 0－1）y 0＝0，所以x 02＋y 02＝2，所以点P在定圆x 2＋y 2＝2上．解法3设直线PQ 与OM 交于点H ，A(2，0)，由射影定理知OP 2＝OH·OM ，由此知，OH ·OM ＝OF·OA ＝2，所以OP 2＝2，所以点P 在定圆x 2＋y 2＝2上．新题在线证明：(1)由题设知A(－1，0)，B(1，0)． 设P(x 0，y 0)(y 0＞0)，则k PQ ＝y 0x 0＋2，k PA ＝y 0x 0＋1，k PB ＝y 0x 0－1. 因为直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列，所以2k PQ ＝k PA ＋k PB ，即2y 0x 0＋2＝y 0x 0＋1＋y 0x 0－1，解得x 0＝－12，即动点P 的横坐标为定值．(2)由(1)知P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，k PA ＝2y 0，k PB ＝－23y 0，直线PA 的方程为y ＝2y 0(x ＋1)，代入x 2＋y 2＝1得(x ＋1)[(1＋4y 02)x －(1－4y 02)]＝0，所以点S 的横坐标x S ＝1－4y 021＋4y 02，从而y S ＝4y 01＋4y 02. 同理：x T ＝－9＋4y 029＋4y 02，y T＝12y 09＋4y 02， 所以k QS ＝4y 01＋4y 021－4y 021＋4y 02＋2＝4y 03＋4y 02，k QT ＝12y 09＋4y 02－9＋4y 029＋4y 02＋2＝4y 03＋4y 02，所以k QS＝k QT，所以点Q，S，T三点共线．微专题17巩固练习参考答案1．答案：(2，0)． 解析：圆C 的方程可以改写为(x －2)(x ＋2－2t )＋y (y －2t 2)＝0，表示以(2，0)，(2t －2，2t 2)为直径的圆． 2．答案：4.解析：设C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)，由题意知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4. 3．答案：[－3，0)∪(0，3]． 解法1由题意可得，圆心C 到l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫222＝3，即|am ＋m |m 2＋1＝3，所以m 2＝3（a ＋1）2－3，又因为a ≥1，所以0＜m 2≤3，－3≤m ＜0或0＜m ≤ 3.解法2由题意可得，圆心C 到l 的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫222＝3，又l ：mx －y ＋m ＝0恒过定点A (－1，0)，a ≥1，所以AC ≥2，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin θ＝3AC ∈⎝⎛⎦⎤0，32，所以l 的斜率m ＝tan θ∈[－3，0)∪(0，3]．4．答案：5 2.解析：由条件知定点A (0，0)，B (1，3)，且P A ⊥PB ，所以P A 2＋PB 2＝10(定值)，所以(2P A ＋PB )2≤(P A 2＋PB 2)(22＋12)＝50，即2P A ＋PB ≤5 2.5．答案：2x ＋y ＋1＝0.解析：由条件知圆心C (3－m ，2m )在直线2x ＋y －6＝0上，若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 与圆心所在直线平行，再代入点(－1，1)得直线l 的方程为2x ＋y ＋1＝0.6．答案：(x －1)2＋y 2＝1.解析：设定圆圆心M (a ，b )，半径为r ，动点P (x ，y )，由题意知MP ＝2r ，即(x －a )2＋(y －b )2＝4r 2，由于点P 在圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上，所以(2－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－4r 2＋3＝0，对任意x ，y 都成立，所以a ＝1，b ＝0，r 2＝1，所求圆方程为(x －1)2＋y 2＝1.7．答案：(1)直线FG 被圆C 截得的弦长为7；(2)平面上存在定点P (－12，0)，使得结论成立． 解析：(1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4，0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152.则直线FG 被圆C 截得的弦长为26－⎝⎛⎭⎫1522＝7.故直线FG 被圆C 截得的弦长为7. (2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由GF GP ＝12，得（x 0＋6）2＋y 02（x 0－s ）2＋（y 0－t ）2＝12，整理得3(x 02＋y 02)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.① 又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 02＋y 02＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，11 / 11 ⎩⎪⎨⎪⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0.解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12，0)，使得结论成立． 8．答案：(1)略；(2)圆C 恒过异于点F 1的一定点，该点坐标为⎝⎛⎭⎫413，3213.解析：(1)解法1：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以P ⎝⎛⎭⎫t －82，t ，Q ⎝⎛⎭⎫8－t 2，t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t ，0)，则线段F 1R 的中垂线方程为x ＝－t 2，线段PF 1的中垂线方程为y ＝－12x ＋5t －168，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋5t －168，x ＝－t 2，得△PRF 1的外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－t 2，7t 8－2， 经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上．解法2：易得直线AF 1：y ＝2x ＋8；AF 2：y ＝－2x ＋8，所以P ⎝⎛⎭⎫t －82，t ，Q ⎝⎛⎭⎫8－t 2，t ，再由QR ∥AF 1，得R (4－t ，0)，设△PRF 1的外接圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧（4－t ）2＋（4－t ）D ＋F ＝0，（－4）2－4D ＋F ＝0，⎝⎛⎭⎫t －822＋t 2＋t －82D ＋tE ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝t ，E ＝4－74t ，F ＝4t －16，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－t 2，7t 8－2，经验证，该圆心在定直线7x ＋4y ＋8＝0上． (2)由(1)可得圆C 的方程为x 2＋y 2＋tx ＋⎝⎛⎭⎫4－74t y ＋4t －16＝0，该方程可整理为(x 2＋y 2＋2y －16)＋t ⎝⎛⎭⎫x －74y ＋4＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4y －16＝0，x －74y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝413，y ＝3213，或⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝0，所以圆恒过异于点F 1的一个定点，该点坐标为⎝⎛⎭⎫413，3213.。
高二数学直线与圆中的范围,最值问题
在高二数学中，直线与圆中的范围和最值问题通常涉及到距离、长度、面积等概念，以及与这些概念相关的数学公式和定理。
下面是一些常见的解题方法和技巧：1. 利用直线与圆的位置关系：-判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交），可以通过计算圆心到直线的距离与圆的半径进行比较得出。
-当直线与圆相交时，可以通过解方程组求出交点，进而求出相关的范围和最值。
2. 利用点到直线的距离公式：-对于给定的点和直线，可以使用点到直线的距离公式求出点到直线的距离。
-通过调整点的位置或直线的方程，可以求出与距离相关的范围和最值。
3. 利用圆的性质：-圆的性质包括圆心、半径、直径等，可以通过这些性质求出与圆相关的范围和最值。
-例如，当一条直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，可以通过这个性质求出直线的方程。
4. 利用基本不等式和函数的单调性：-在求范围和最值问题时，常常需要利用基本不等式（如均值不等式、柯西不等式等）进行推导。
-同时，通过分析函数的单调性，可以确定函数在特定区间的取值范围，从而求出最值。
5. 利用平面几何知识：-在处理直线与圆的问题时，可以运用平面几何知识，如相似三角形、等腰三角形等性质，来简化计算过程。
6. 构造辅助线或辅助圆：-有时为了简化问题，可以构造辅助线或辅助圆。
通过构造辅助图形，可以将复杂的问题转化为简单的问题。
7. 利用数形结合思想：-数形结合是数学中常用的一种思想方法。
通过画出图形，可以更直观地理解问题，从而更容易找到解题的突破口。
在解决这类问题时，需要注意以下几点：-准确理解题目要求，明确需要求的是范围还是最值。
-灵活运用所学的数学公式和定理，进行推导和计算。
-注意细节和特殊情况的处理，避免漏解或错解。
-多做练习，提高解题速度和准确性。
通过不断练习和总结，可以逐渐掌握直线与圆中的范围和最值问题的解题方法和技巧。
高中数学 直线与圆相关的最值问题
直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。
【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(222>=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
专题17 直线与圆及相关的最值问题(练)【原卷版】
第一篇 热点、难点突破篇专题17直线与圆及相关的最值问题（练）【对点演练】一、单选题1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知点Q 在圆C ：22430x x y -++=上，点P 在直线y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．1CD ．22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆221:460O x y y +--=与圆222:680x y O x y +-+=公共弦长为（ ）A BC ．D ．3．（2023·安徽·校联考模拟预测）抛物线2:4C y x =的准线被圆225x y +=所截得的弦长为（ ）A ．1 BC ．D ．44．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若过点()0,4A 的直线l 与曲线22(2)1x y +-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．(),-∞⋃+∞B ．⎡⎣C ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎣⎦5．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线2y kx =-上任意一点，总存在直线与圆221x y +=相切，则k 的最大值为（ ）AB C ．1 D 6．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点，若CA CB AB +=，则点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，动点M 在C 上，圆M 的半径为1，过点F 的直线与圆M 相切于点N ，则FM FN ⋅的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2二、多选题8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（ ） A．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28三、填空题9．（2023·北京顺义·统考一模）已知圆22:280M x y x +--=，点A 、B 在圆M 上，且(0,2)P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________．10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知圆C ：229x y +=，直线l ：y kx =+k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为________.【冲刺提升】一、单选题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足MA =，又点M 在曲线y MO =（ ）A B ．C ．D2．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ C ．(][) ,21,-∞-⋃+∞ D ．[)()2,11,---+∞ 3．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知圆C ：()()22114x y -+-=，直线:220,l x y M ++=为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线,MA MB ，切点为A ，B ，则CM AB ⋅最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．44．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（ ）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、多选题5．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）过点()0,1P 的直线l 与圆()22:19C x y -+=交于,A B两点，,M N 是圆C 上的两点，且MN = ）A ．AB 的最小值为B ．ABC 面积的最大值为92C ．+PM PN 的最小值为2D．PM PN ⋅的最大值为56．（2022·安徽黄山·统考一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线C 围成的图形的周长是B ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过4C ．曲线C 围成的图形的面积是4(π2)+D．若(,)P m n 是曲线C 上任意一点，则4317m n --的最小值是10-7．（2023秋·江苏·高三统考期末）过直线:25l x y +=上一点P 作圆22:1O x y +=的切线,切点分别为,A B ,则（ ）A ．若直线AB l ∥,则ABB ．cos APB ∠的最小值为35C ．直线AB 过定点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．线段AB 的中点D 三、填空题 8．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知圆C 经过两点()0,5A ，()3,6B ，且圆心在直线270x y +-=上，则圆C 的方程为______.9．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若圆2260x y x ++=与圆2222160x y my m +-+-=外离，则实数m 的取值范围是______.10．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知函数2()e e x x f x -=-，所有满足()()0f a f b +=的点(,)a b 中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆C 与圆22:220P x y x y +++=相外切，则圆C 的标准方程可以是__________.(写出一个满足题意的方程即可)四、解答题12．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。
【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(222>=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
1.2 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.【例2】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为 ．【变式1】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 ．二、与圆相关的最值问题常用的处理方法x y O 1C :()()221625x y ++-=2C :()()2221730x y r -+-=2C P P 1C A B 2PA =AB r ,m n R ∈10mx ny +-=x A y B l 224x y +=2O ABO ∆2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.【例3】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【变式1】（2017江苏高考第13题）在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .【变式2】（江苏2012、12）坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．2.2 隐形圆1、有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题中，要通过分析、转化、发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题。
2、常见解题策略（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；（2）动点P 与两定点B A ,连线的张角是︒90（01=⋅-=⋅→→PB PA k k PB PA 或）确定隐形圆； （3）两定点B A ,与动点P 满足)(R PB PA ∈=⋅→→λλ确定隐形圆；xOy (12,0),(0,6),A B -P 2250O x y +=：20,PA PB ⋅≤P（4）两定点B A ,与动点P 满足)0(22>=+λλPB PA 确定隐形圆；（5）两定点B A ,与动点P 满足)1,0(≠>=λλλPBPA确定隐形圆； （6）由圆周角的性质确定隐形圆。
【例4】已知B 、A 是圆1:221=+y x C 上的动点，3=AB ，P 是圆1)4()3(:222=-+-y x C 上的动点，则→→+PB PA 的取值范围为 .【变式1】已知圆4)4(:22=-+y x C 和点)2,2(Q ，过点)3,0(P 作直线l 交于B 、A 两点，则→→+QB QA 的取值范围为 .【变式2】若2, AB AC ==，则ABC S ∆的最大值 ．【变式3】在ABC 中，已知AB AC =，D 是AB 中点，若2CD =，则ABC 面积的最大值是 ．【变式4】已知平面直角坐标系上一点(2,0)Q 和圆22:(2)4C x y ++=，动点P 到圆C 的切线长与PQ 的，求动点P 的轨迹方程．【变式5】已知圆221:(2)4C x y -+=及222:(2)4C x y ++=．点P 是平面直角坐标系xOy 内一点，过点P 分别作两圆1C ，2C 的切线，切线长分别为,m n ，若mnP 的轨迹方程．【变式6】已知圆()222:0O x y r r +=>和圆()()22:4318C x y -++=，对于圆O 上任意一点P ，圆C上均存在两点,A B ，使得0PA PB <，则r 的取值范围是 ．【变式7】已知圆()222:0O x y r r +=>，直线4x y +=与坐标轴分别交于,A B 两点，若圆O 上存在点P ，使得10PA PB =，则r 的取值范围是 ．【变式8】在平面直角坐标系xoy 中，过点()1,0A -向直线:20l mx y m +-+=作垂线，垂足为M ，则点M 到点()2,3N 的距离的最大值为 ．【变式9】在平面直角坐标系xoy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为 ．【变式10】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【变式11】（江苏2013、17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．xOy )3,0(A 42:-=x y l C 1l（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【变式12】（2017南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446≈） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．课后练习1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1)2()(:22=+-+-a y a x C ，点)2,0(A ，若圆C 上存在点M ，满足1022=+MO MA ，则实数a 的取值范围为 ．C 1-=x y A C C M MO MA 2=C a 领海 AB北30° 公海l2、 已知圆1:22=+y x O 吗，则圆1)4()(:22=+-+-a y a x M ，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为B A 、，使得︒=∠60APB ，则实数a 的取值范围为 ．3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,2(),0,1(Q P -，直线0:=++c bx ax l ，其中实数c b a ,,成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围为 ．4、设圆916:22=+y x O ，直线083:=-+y x l ，点l A ∈，使得圆O 上存在点B ，且︒=∠30OAB （O 为坐标原点），则点A 的横坐标的取值范围为 ．5、已知圆1:22=+y x C ,点),(00y x P 是直线0423:=-+y x l 上的动点,若圆C 上总存在不同的两点B A ,,使得OP OB OA =+,则0x 的取值范围为 .6、已知直线:90l x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线l 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围为 ．7、已知圆1)2(:22=+-y x C ，直线01=++y x 上存在点P 使得经过P 直线l 与圆C 交于B A ,两点，且点A 为PB 中点，则点P 的横坐标0x 的取值范围为 ．8、在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ．9、在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ．。