第四章 第二节 与圆有关的位置关系(含答案)---九年级数学同步-学而思

第二节 与圆有关的位置关系1. 点和圆的位置关系点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，设⊙O 的半径为,r 点P 和圆心0的距离为d ，则有：⇔<r d 点在圆内；⇔=r d 点在圆上；⇔>r d 点在圆外．2.确定圆的条件（1）确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点）；②半径（定长），确定圆的大小． (2)过已知点的圆：①过已知一点，可以有无数个圆．②过两点也有无数个圆，圆心在两点组成线段的垂直平分线上．③不在一直线上的三点可以确定一个圆．注：①“不在一直线上”这个条件不能忽视，在同一直线上的三点不能作圆．②“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．3.三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的。

交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫圆内接三角形．（2）外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．注：三角形的外心不一定在三角形内部，锐角三角形外心在形内，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外心在形外.4. 直线和圆的位置关系直线和圆的三种位置关系可归纳成下表：5. 切线的性质与判定(1)切线的性质定理内容是：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，注：①用几何语言可写成：直线l 与⊙O 相切于点.l OA A ⊥⇒②性质定理和两个推论合起来可以统一成这样一个定理：一条直线如果满足a ．过圆心；b ．过切点；c ．垂直于切线，这三个条件中的任何两条，则第三个结论必成立．（2）切线的判定：经过半径的外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）切线长：从圆外一点引圆的切线，此点和切点之间的线段的长就叫做这点到圆的切线长．如果从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 6 . 三角形的内切圆和三角形的三边都相切的圆是三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，此三角形叫做圆的外切三角形．类似地可以定义多边形的内切圆，以及圆的外切多边形．注：①三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等． ②三角形的内心位置与三角形的形状无关，都在三角形的形内， 7. 圆与圆之间的位置关系设⊙,1O ⊙,2O 的半径分别为R r ,（其中r R >)．两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：注：两圆的外切和内切统称为相切，即我们说两圆相切时应注意分外切和内切两种情形讨论，同心圆是内含的一种特殊情形．1.判定一条直线是圆的切线的方法共有三种(1)根据定义，如果一条直线和圆只有唯一公共点，那么这条直线是圆的切线；(2)根据等价关系⇔=r d直线和圆相切；(3)根据切线的判定定理，经过半径的外端且垂直于此半径的直线是圆的切线．这三种判定方法中(2)(3）两种方法是证题过程中经常用到的. 2. 关于处理切线相关问题的基本依据3. 圆的外切四边形的性质利用切线长定理可证圆的外切四边形对边之和相等，这个性质可用来进行一些简单的计算，如：圆的外切梯形两腰之和为a ，则其中位线长等于⋅2a 4. 圆的外切三角形的性质如图4-2-1所示，已知：△ABC 的内切圆0在三边上的切点为D ，E ， F ．记△ABC 的周长为s ，三边长为,,,c b a内切圆半径为r ，利用切线长定理也可以证明：=-==-==CD b s BD BF a s AF AE ,2,2)1(.2c sCE -= ..21)2(r s s ABC =∆ (3)若△ABC 为直角三角形，则可证四边形OECD 为正方形，此时内切圆半径2cb a CE r -+==124--例1．（四川南充模拟）如图4-2-2所示，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径是1，直线AB 与x 轴交于点P(x ，0)，且与x 轴正方向夹角为,45若AB 与⊙O 有公共点，则x 值的范围是( )11.≤≤-x A 22.≤≤-x B 22.<<-x C 20.≤≤x D224=-检测1．（广西贵港二模）如图4-2-3所示，已知⊙O 的圆心是数轴原点，半径为,45,1=∠AOB 点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设,x OP =则x 的取值范围是( )11.≤≤-x A ,22.≤≤-x B 且0=/x 20.≤<x C 2.>x D324--例2．如图4-2-4所示，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 与边AC 交于点D ．E 为AD 上的一点．BE 交AC 于点.,,EBA EAF BC CF F ∠=∠=(1)判断BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若,6,52==AC AB 求BF 的长．424-- 524-- 624--检测2．（辽宁本溪二模）如图4-2-5所示，已知等边三角形,12,=AB ABC 以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作,AC DF ⊥垂足为F ，过点F 作,AB FG ⊥垂足为G ，连接GD. (1)判断DF 与⊙O 的位置关系并证明； (2)求FG 的长．例3．（四川攀枝花中考）如图4-2-6所示，△ABC 中，,5,3,90===∠AB AC CD 为BC 边的中点，以AD 上一点0为圆心的⊙O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________检测3．（江苏盐城校级二模）如图4-2-7所示，在等腰△ABC 中，AD CB CA ,=是腰BC 边上的高，△ACD 的内切圆⊙E 分别与边AD ，DC 相切于点F ，G ，连接AE ．BE. (1)求证：;BG AF =(2)过E 点作AB EH ⊥于H ，试探索线段EH 与线段AB 的数量关系，并说明理由．724--第二节 与圆有关的位置关系建议用时30分钟实战演练.1⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当cm OP 6=时，点A 与⊙O 的位置关系是( )A.点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．（江苏泗洪县校级模拟）点P 到⊙O 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O 的半径为( )2.A 4.B 2.C 或3 4.D 或63．在Rt△ABC 中，CM CP BC AC C ,,4,3,90===∠分别是AB 上的高和中线，如果圆A 是以点A 为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是( ）A.点P ．M 均在圆A 内 B ．点P ，M 均在圆A 外C ．点P 在圆A 内，点M 在圆A 外 D.点P 在圆A 外，点M 在圆A 内4．（四川凉山州中考）已知，一元二次方程01582=+-x x 的两根分别是⊙1O 和⊙2O 的半径，当⊙1O 和⊙2O 相切时，21O O 的长度是( )2.A 8.B 2.C 或8 82.21<<O O D5．从圆外一点向半径为1cm 的圆引两条切线，若切线长为,3cm 则两切线所夹锐角为( )30.A 45.B 60.C 90.D6．如图4-2-1所示，两圆相交于A ．B 两点，小圆经过大圆的圆心0，点C ，D 分别在两圆上，若,50=∠ACB 则ADB ∠的度数为( )65.A o B 80. 100.C 130.D124--7．等腰三角形的腰和底边长分别为,6,5cm cm 则此三角形的内切圆的半径是( )cm A 1. cm B 5.1. cm C 2. cm D 3.8．（福建泉州模拟）如图4-2-2所示，在直角△ABC 中，E D AC BC C ,,4,3,90===∠分别是AC ，BC 上的一点，且.3=DE 若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M ，N ，则MN 的最大值为( )58.A 2.B 512.c 514.D224-- 324--9．如图4-2-3所示，直线AB ，CD 相交于点O ，,30=∠AOC 半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，开始时，.6cm PO =如果⊙P 以1cm ／秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当⊙P 的运动时间t （秒）满足条件______时，P 与直线CD 相交．10.（甘肃甘南州中考）如图4-2-4所示，两个同心圆，大圆半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围是_______424-- 524--11．（云南曲靖一模）如图4-2-5所示，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线1212-=x y 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_____12.如图4-2-6所示，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ．CA ．AB 分别相切于点D ，E ，F ，且,14,9cm BC cm AB ==,13cm CA =求AF ，BD ．CE 的长．624--13.（陕西师大附中模拟）如图4-2-7所示，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线DB 于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH. (1)求证：;CD AC = (2)若,2=OB 求BH 的长.724--14.如图4-2-8所示，在ABC 中，边AC 上有一点D 满足O AD DC ,2=是△BDC 的内心，E ．F 分别为⊙O 与边BD ，DC 的切点，设.BC BD =(1)求证：;EF AE ⊥①;//DO AE ② (2)若,6=AC ⊙O 的半径为1，求AE 的长，824--拓展创新15．（天津和平区一模）如图4-2-9所示，AB 为00的直径，C ，D 为⊙O 上两点，过点D 的直线EF 与⊙O 相切，分别交BA ，BC 的延长线于点,,,EF BF F E ⊥若,50=∠ABC 求DBC ∠的大小．924--拓展1. 如图4 -2 -10所示，已知AB 是⊙O 的直径，直线CE 与⊙O 相切于点C ．交AB 的延长线于点E.作,CE AD ⊥垂足为D ，连接AD.求证：AC 平分.DAB ∠1024--拓展2．如图4 -2 -11所示，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，过点D 的直线EF 与⊙O 相切，分别交BA ，BC 的延长线于点,,,EF BF F E ⊥若,4,2==AB BC 求DE 的长．1124--拓展3．如图4 -2- 12所示，AB 为半圆0的直径，D ，E 是半圆上的两点，且BD 平分,ABE ∠过点D 作BE 延长线的垂线，垂足为C ，直线CD 交BA 的延长线于点F.(1)求证：直线CD 是半圆0的切线； (2)若,3,2==OA FA 求BC 的长．1224--极限挑战16.（广东深圳一模）如图4-2 - 13所示，在直角坐标系中，以点)0,3(A 为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于D ，E 两点． (1)写出B ，C ，D 点坐标（不写计算过程）；(2)若B ，C ，D 三点在抛物线c bx ax y +=+2上，求这个抛物线的解析式；(3)若圆A 的切线交于x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴与点N ，切点为=∠OMN P ,,30试判断直线MN 是否经过(2)中抛物线的顶点，说明理由．13 4--2。