特殊平行四边形

特殊平行四边形
知识点01 菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
(1) 菱形的四条边都相等；
(2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
注意：
(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；
(2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；
(3) 菱形的面积有两种计算方法：
一种是平行四边形的面积公式：底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．
3. 判定：
定义判定：邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【例1】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()
A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【例2】如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若4
EF ，则菱形ABCD的周长为( )
知识精讲
A ．8
B ．16
C ．24
D ．32
【例3】如图，在ABC 中，90,6,8B AB BC ∠=︒==，将ABC 沿DE 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，并且//C D BC '，则CD 的长是( )
A ．409
B ．509
C ．154
D ．254
【例4】如图，在ABC 中，作以A ∠为内角，四个顶点都在ABC 边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的．
①分别以点A ，G 为圆心，大于12
AG 的长为半径在AG 的两侧作弧，两弧相交于点M ，N ；
②作直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，连接PG ，GQ ；
③分别以点D ，E 为圆心，大于12
DE 的长为半径作弧，两弧相交于ABC 内一点F ，连接AF 并延长交边BC 于点G ；
④以点A 为圆心，小于AC 长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ．
则正确的作图步骤是( )
A ．②④①③
B ．④③②①
C ．②④③①
D ．④③①②
【例5】一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为___________．
【例6】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，点F 是AC 上一点，连接BF 、DF ．
(1)证明：△ABF ≌△ADF ；
(2)若AB //CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．
知识点02矩形
1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．
2. 性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．
(1) 矩形的四个角都是直角；
(2) 矩形的两条对角线相等．
注意：
(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．
(2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．
对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)．
3. 判定：
定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
【例1】直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【例2】如图，矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒得到矩形AB C D '''，此时点B '恰好在DC 边上，若15B BC '∠=︒，则α的大小为( )
A ．15︒
B ．25︒
C ．30
D ．45︒
【例3】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为_____．
【例4】 如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，且2AB =，3BC =，那么图中阴影部分的面积为__________．
【例5】如图，在ABC ∆中，AB AC =，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点，若12BC =，8AD =，则DE 的长为_____．
【例6】已知：在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接DE ，且DE BC =，过点A 作AF DE ⊥于点F ．求证：AB AF =；
【例7】如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，
将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，使点G 与点D 重合．
(1)求证：AE ＝AF ；
(2)求GF 的长．
【例8】如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．
(1)求证：四边形BOCE是矩形；
(2)连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．
知识点03 正方形
1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．
2. 正方形与矩形、菱形的关系
矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3. 性质定理
正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．
性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．
性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
4. 判定定理：
定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形是正方形
判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．
判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．
【例1】设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是()
A．B．
C．D．
【例2】下列命题中，真命题是()
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
【例3】有一正方形卡纸，如图①，沿虚线向上翻折，得到图②，再沿虚线向右翻折得到图③，沿虚线将一角剪掉后展开，得到的图形是( )
A．B．C．D．
【例4】如图，四边形ABCD为矩形，E、F、G、H为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是()
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【例5】如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过
点C 折叠纸片，使点C 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为1，则FM 的长为( )
A ．1
B ．2
C ．2
D ．12
【例6】已知点P 是正方形ABCD 内部一点，且PAB △是正三角形，则∠CPD =______度．
【例7】边长分别为a 和2a 的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为_____．
【例8】如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线l 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．
【例9】如图，在等边ABE △下方作一个正方形BCDE ，连接AC ，AD ．
(1)求证：ABC ≌AED ；
(2)求CAD 的度数．
【例10】．如图，已知平行四边形ABCD ，若M ，N 是BD 上两点，且BM ＝DN ，AC ＝2OM ，
(1)求证：四边形 AMCN 是矩形；
(2)△ABC 满足什么条件，四边形AMCN 是正方形，请说明理由．
1.如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O 点，与DC 分别交于E 、F 两点。

(1)求证：DF ＝CE ；
(2)M 是边AB 上不与端点重合的任意一点，过M 作MN //BF ，交AE 于点N ，MG//AE 交BF
于点G ，
求证：四边形MNOG 是矩形。

2.如图，已知菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，求：∠CEF
E F
G N O
D A C B M 当堂提升
3.如图，在正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△DCE 是等边三角形，AE 、BD 交于点F ，
(1)若OF ＝1，求AB 的长； (2)在(1)的条件下，求△ADE 的面积．
4.如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，作OE △OF ，垂足为点O ，OE 、OF 分别与边AB 、BC 交于点E 、F ，其中AE ＝4，CF ＝3，
(1)求EF 的长； (2)求△EOF 的面积。

B
D
C E
F A
C B
E。