2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章 《相似 》章节培优训练(一)(含答案)

九年级下册第27章《相似》

章节培优训练（一）

1．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．

（1）求证：∠ABE＝∠ACD；

（2）如果ED＝EC，求证：．

2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；

（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．

3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE

（1）求证：△ABE∽△ACB；

（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．

4．（1）如图1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分别为B、E，且C是l上一点，∠ACD＝90°，求证：△ABC∽△CED；

（2）如图2，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA ＝5，求BD的长．

5．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）△ABE与△BEF相似吗？为什么？

6．如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE＝4，⊙O的半径为5．求BF的长．

7．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G．

（1）求证：△CAF∽△CBE；

（2）若AF平分∠BAC，求证：AC2＝2AG•AF．

8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．

（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；

（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．

9．一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D、E、F分别在BC、AB、AC上．设EF＝x，请解答下列问题：（1）若矩形CDEF的面积为8，求x的值；

（2）矩形CDEF的面积能否为10？给出你的结论并说明理由．

10．如图，E是边长为8的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝2，EF⊥DE交BC于点F．求线段CF的长．

参考答案1．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，

∴＝，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△AEB，

∴∠ABE＝∠ACD；

（2）证明：∵ED＝EC，

∴∠EDC＝∠ECD，

∴∠EDC＝∠EBD，

∵∠DEF＝∠DEB，

∴△EDF∽△EBD，

∴＝＝，

（）2＝•，

∴．

2．（1）证明：∵DE∥BC，

∴＝，

∵＝，

∴＝，

∴DF∥BE；

（2）解：∵AF＝2，EF＝4，

∴AE＝AF+EF＝6，＝＝，

∴＝，

∴AD＝AB＝2，BD＝2AD＝4，

∴＝＝，

∵＝＝，

∴＝，

又∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△AEB，

∴＝＝．

3．证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△CBE，

∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，

∵AB＝AD，

∴∠ADB＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠ACB，

∵∠BAE＝∠CAB，

∴△ABE∽△ACB；

（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，

∴△ADB∽△ADE，

∴＝，

∵△ABE∽△ACB，

∴＝，

∴AD＝，

∴＝＝，

∴AB•EC＝BC•AE．

4．证明：（1）∵AB⊥l，DE⊥l，

∴∠ABC＝∠CED＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∵∠ACD＝90°，

∴∠ACB+∠DCE＝90°，

∴∠BAC＝∠DCE，

∴△ABC∽△CED；

（2）如图，连接AC，

∵∠ABC＝90°，

∴AC＝，

∵AD＝5，CD＝10，

∴△ACD满足AC2+CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

如图，过点D作DE⊥BC延长线于点E，

由（1）得此时△ABC∽△CED，

∴，

∴CE＝6，DE＝8，

在Rt△BDE中，BD＝．

5．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，

设AB＝AD＝CD＝4a，

∵E为边AD的中点，CF＝3FD，

∴AE＝DE＝2a，DF＝a，

∴，

∴

又∵∠A＝∠D＝90°

∴△ABE∽△DEF．

（2）∵△ABE∽△DEF，

∴

∴∠AEB＝∠DFE∠ABE＝∠DEF

∵∠AEB+∠ABE＝90°，

∴∠BEF＝90°

又∵，∠A＝90°

∴，∠A＝∠BEF＝90°

∴△ABE∽△EBF．

6．证明：（1）连接OD，BC，OD与BC相交于点G，∵D是弧BC的中点，

∴OD垂直平分BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴AC⊥BC，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，

∴四边形DECG为矩形，

∴CG＝DE＝4，

∴BC＝8，

∵⊙O的半径为5，

∴AB＝10，

∴AC＝＝6，