多项式除以多项式

多项式除以多项式

多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式通常以垂直形式计算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零

或余数小于除数。除数=除数×商+余数

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整

除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说

明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法

2.∴（x2）

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字

母的降序排列

22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20

岁以下

22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．

（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后

（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.

22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。规范性解决方案

-1-

五千四百二十二

∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)

32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．

注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）

32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．

什么是综合部？

由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．

例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。

3

因为除法只处理系数，与X无关，所以方程式（1）可以简化为方程式（2）

还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：

-2-

将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

这种多项式除法称为综合除法。适合将除法公式作为一次公式，一次项系数为1。示例1使用综合除法查找x？3倍？3倍？3倍？12除以X？商和1的余数。标准解

432

‡商公式？十、2倍？十、2，余数=10

32

例2证明了2x？15倍？10倍？9可以是x吗？3分部

规范证法这里x?3?x?(?3)，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）

五百三十二

因余数是0，所以2x?15x?10x?9能被x?3整除．

当除法是主除法且主项系数不是1时，需要将其更改为1，然后才能使用综合除法。。例3找到2x？十、7除以2？商和1的余数。标准解2x？1除以2再除以x？353212，使

用综合除法

但是，商式?2x?x?式；余数没有变．

‡商公式？十、这是因为如果除数被2除，除数保持不变，商增加一倍。商应该除以2

12x?34，余数??734．

为什么其余部分保持不变？让我们使用以下方法来验证它

-3-

2倍？十、7除以X？312，商2x？十、232，剩下的是什么？734，即

∴2x?x?3??x?3??1??3?32??2x?x???72??2?4??2??2x?1??x?12x?3?3．?7?4?412x?34，

余数仍为?7即2x?x?3除以2x?1的商式?x?

3234．

综合除法与余数定理

综合除法和余数定理是中学数学中非常重要的内容。它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在中学数学中有着广泛的应用。在这一部分中，我们将做一些初

步的介绍。

一、综合除法

将一元多项式除以另一元多项式并不总是可除的。当除以公式F（x），除以公式g （x），（g（x）？0）商公式

q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：

f（x）？g（x）？q（x）？r（x）

其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)?0。当r(x)?0时，就是f(x)能被g(x)

整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算――综合除法。例1、用综合除法求2x?14x?4?7x除以x?2所得的商和余式。

432解决方案：

?740?6?14?12?42?4

? 82? 3.6.2.余数商每项的系数（2x？14x？4？7x）？（x？2）的商是2x？3倍？6x？

2.剩下的是8。上述综合划分的步骤如下：

（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）将除数2的第二项变为2，并将其写在除数的右边，中间用垂直线分隔。（3）

将除法公式第一项的系数2移到水平线下方，以获得商的第一项的系数。（4）将2乘以

商的第一项的系数2得到4，它写在除法公式的第二项的系数-7下面，与

-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）将2乘以商-3第二项的系数，得到-6，它写在除法公式第三项的系数0之下，

同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）将2乘以商-6第三项的系数得到-12，它写在除法公式第四项的系数14下面，

同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）将商的常数项2乘以2得到4。把它写在除法公式的常数项4下面，加上4得

到4

余式8。

之前，我们讨论了除数都是主项系数为1的主公式的情况。如果除法是二次型的，但

主项的系数不是1，我们可以用综合除法来计算它吗？

-4-

4332例2。寻找（3x？10x？23x？16）？商Q和（3x？2）的余数r。解决方案：如果除法减少三倍，商将扩大三倍，但余数保持不变。所以先用x？只是

3223去除被除式，再把所得的商缩小3倍

33? 10? 2.23? 8.15? 16? 10233? 31∴q=x？4x？5，r=6

2?12?5?6

? 接下来，我们将进一步推广综合除法，这样当除法是二次多项式或多于二次多项式时，我们也可以使用综合除法来求商和余数。

例3、用综合除法求(3x?7x?11x?10x?4)?(x?3x?2)的商q和余式r。