多项式除以多项式
多项式除多项式除法长除法
多项式除多项式除法长除法介绍多项式除法是数学中的一个重要概念，它用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
多项式除法长除法是一种常用的计算方法，用于解决多项式除法问题。
本文将详细介绍多项式除法长除法的步骤和原理，以及如何应用它来解决实际问题。
多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
在多项式除法中，被除数是一个多项式，除数是另一个多项式。
多项式是由若干项组成的代数表达式，每一项包含一个系数和一个指数。
多项式除法长除法的步骤多项式除法长除法是一种逐步计算的方法，通过逐步减少被除数的次数，最终得到商和余数。
下面是多项式除法长除法的步骤：1.将被除数和除数按照指数的降序排列。
2.将被除数的最高次项与除数的最高次项进行除法运算，得到商的最高次项。
3.将得到的商的最高次项与除数相乘，得到一个新的多项式。
4.将新的多项式与被除数进行减法运算，得到一个新的被除数。
5.重复步骤2至步骤4，直到新的被除数的次数小于除数的次数。
6.此时，新的被除数即为余数，所有得到的商的系数按照降序排列，即为最终的商。
多项式除法长除法的原理多项式除法长除法的原理基于整数除法的原理。
在整数除法中，我们将被除数除以除数，得到商和余数。
同样，在多项式除法长除法中，我们将被除数除以除数，得到多项式的商和余数。
多项式除法长除法的步骤是逐步减少被除数的次数，每一步都相当于一次整数除法运算。
通过多次整数除法运算，我们可以得到多项式的商和余数。
多项式除法长除法的应用多项式除法长除法在数学和工程领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1.多项式求导：通过多项式除法长除法，我们可以求得多项式的导数。
将多项式除以x的幂，得到导数的多项式。
2.多项式插值：通过多项式除法长除法，我们可以将已知点的坐标插值为一个多项式。
将已知点的坐标作为被除数，插值多项式的系数作为除数，进行多项式除法长除法运算，得到插值多项式的系数。
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式
多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到的结果为一个商多项式和一个余数多项式的过程。
多项式除法的公式如下：
(a x n + b x n-1+ ... + k) ÷ (m x n + n x n-1 + ... + p) = q x0 + r x-1 + ... + z
其中，a、b、k、m、n、p、q、r、z都是系数，x为变量，n为最高次幂。
具体的计算方法如下：
1. 将多项式除以x n的系数a，得到一个商q和一个余数r。
2. 将商q乘以多项式中的x n-1项，并将结果加上余数r，得到一个新的多项式。
3. 将新多项式中的x n-1项除以m，得到一个商和一个余数。
4. 重复步骤2和3，直到新多项式中的x的最高次幂小于n为止。
5. 最后得到的商即为多项式除法的商，余数为多项式除以除数后剩下的部分。
需要注意的是，在进行多项式除法时，需要确保除数不为零，否则将无法进行除法运算。
此外，多项式除法需要掌
握一定的数学知识，如代数式的运算、因式分解等。
多项式除以多项式例题及解法
多项式除以多项式例题及解法《多项式除以多项式例题及解法》在代数学中，多项式是一个数学表达式，由常数项、变量项和指数的乘积组成。
多项式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。
本文将重点介绍多项式除以多项式的例题及解法。
首先，我们以一个具体的例题开始讨论。
假设有两个多项式：被除式P(x)和除式Q(x)。
我们的目标是求得P(x)除以Q(x)的结果，并用商式和余式表示。
例题：求解多项式P(x) = 3x^3 + 5x^2 + 2x + 1 除以 Q(x) = x^2 + x + 1。
解法：1. 将被除式和除式按照降幂排列，以便后续计算。
P(x) = 3x^3 + 5x^2 + 2x + 1Q(x) = x^2 + x + 12. 根据除法的步骤，从被除式P(x)中取出最高次项，然后将其除以除式Q(x)的最高次项，并得到商式的最高次项。
在本例中，最高次项为3x^3，而除式的最高次项为x^2。
3. 将商式的最高次项乘以除式Q(x)，得到一个新的多项式。
3x^3 * (x^2 + x + 1) = 3x^5 + 3x^4 + 3x^34. 将新得到的多项式和被除式相减，得到一个新的多项式。
这个多项式应当比原来的多项式P(x)低一次。
(3x^3 + 5x^2 + 2x + 1) - (3x^5 + 3x^4 + 3x^3) = -3x^5 - 3x^4 + 2x^2 + 2x + 15. 重复步骤3和步骤4，直到新得到的多项式的次数低于除式的次数。
-3x^5 * (x^2 + x + 1) = -3x^7 - 3x^6 - 3x^5(-3x^5 - 3x^4 + 2x^2 + 2x + 1) - (-3x^7 - 3x^6 - 3x^5) = 3x^7 + 3x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 16. 将商式和余式表示出来，即将步骤3得到的多项式作为商式，最后得到的多项式作为余式。
商式：3x^3 - 3x^5 + 3x^7余式：2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1通过以上步骤，我们得到了多项式P(x)除以多项式Q(x)的商式和余式。
多项式÷多项式例题
多项式÷多项式例题多项式是高中数学中一个非常重要的概念，它是由一系列的单项式组成的代数式。
在学习多项式的过程中，我们需要掌握多项式的基本运算，其中包括多项式的加减乘除。
本文将重点讲解多项式的除法运算，通过例题的方式来帮助读者更好地掌握多项式除法的方法和技巧。
一、多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。
多项式除法的结果是一个商式和一个余式，其中商式是被除式和除式的商，余式是被除式除以除式所得到的余数。
在多项式除法中，被除式和除式通常都是多项式，我们需要用到长除法的方法来进行计算。
二、多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要有以下几个：1. 将被除式和除式按照相同的次数排列，从高次到低次。
2. 将除式的首项系数提取出来，作为商式的首项系数。
3. 将被除式的首项与除式的首项相乘，然后将乘积除以除式的首项系数，得到商式的次项系数。
4. 将商式的次项与除式相乘，并将乘积减去被除式的前两项，得到一个新的多项式。
5. 将新的多项式作为被除式，重复上述步骤，直到无法再进行除法为止。
6. 最后所得到的商式即为多项式除法的商，余数即为最后一次除法所得到的余数。
三、多项式除法的例题下面我们通过几个例题来演示多项式除法的计算过程：例1：将多项式f(x)=x+2x-5x-6除以多项式g(x)=x-2。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=x+4x+3，余数为0。
例2：将多项式f(x)=3x-5x+2x+7x-1除以多项式g(x)=x+2x-1。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=3x-x+3，余数为10x-2。
例3：将多项式f(x)=x-2x-3x+4x+5x-6除以多项式g(x)=x-2x+x+1。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=x-4x+7，余数为-3x+6x-13。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算(X2+9X +20)4-(X +4)规范解法x+5x+4 丿F+9X+20~5天+205x+20O'••• (x2+9x + 20) * (x + 4) = x + 5 ・解法步骤说明：(1) 先把被除式X2+9X + 20与除式x+4分别按字母的降幕排列好.(2) 将被除式X2+9A +20的第一项/除以除式x+4的第一项x, =这就是商的第一项.(3) 以商的第一项尤与除式兀+4相乘，得X2+4X.写在A-2+9X +20的下面.(4) 从X2+9X +20减去F+4X,得差5X+20,写在下面，就是彼除式去掉x2+4x后的一部分.(5) 再用5x + 20的第一项5x除以除式的第一项x,得5x*x = 5,这是商的第二项, 写在第一项x的后而，写成代数和的形式.(6) 以商式的第二项5与除式兀+4相乘，得5x + 20,写在上述的差5x + 20的下而.(7) 相减得差0,表示恰好能除尽.(8) 写出运算结果，(，+9尤+ 20)一匕+ 4) = _¥ + 5.例2 计算(6x5一9x4 + 7x2一20x + 3) *(2x2一x — 5)・规范解法3x「3;r'+ 6x-l2 宀x- 56x、-3x“-15十__________~-6/+15/+ 7x2-6f + 3F+15F ______12<- 8十-20工12八6F-30x- 2/+ x +59—2:.(6.v's — 9%4 + 7.v" — 20x + 3)-s-(2x~ — x —5)注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数. 另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例2.3 - 3 + 6 ・ 12-1-5 丿6・9+ 0+7 ・ 20 + 36 ・ 3 - 15 __________ ••• （6x 5 一 9x 4 + lx 1 一 20x + 3）令（2x 2 一 x — 5）-6+15+7 -6+3 +15 __________ ‘ 12 - 8 - 20 = 3.V —3x~+6x — 1 ...... •……… ................. 余 12 - 6- 30-2 + 10 + 3 9x _ 2 ・_&什么是综合除法？ 9 - 2由前而的问题4我们知道两个多项式相除可以用 竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊.如：计郭(2x ，+3x — 4)令(x —3)・因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）・还可以再简化・方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写•再注意到，因 除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略.如果再 把代数和中的“ + ”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形 式： -3 2 0 3 -4 :二6 尹二63(-G 21 59 • • ■3 2 0 3 -4 6 18 63 (+将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4）,再将算式（4）中的除数一3换成它的 相反数3,减法就化为了加法，于是得到算式（5）.其中最下而一行前三个数是商式的系数, 末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1. 例1用综合除法求X 4-3X 3+3X 2-3X + 12除以兀-1的商式和余式.2 6 21 59(3) (4) (5)= 3x 3 -3x 2 +6x-l ..................... 余9x —2・⑴ M+ 6x+21x-3丿2x'+ 0 十 3x- 42 八 6x?6F 十 6宀 18x 2lx- 4 2*63 59" ⑵ 2+6+21 I «3J2 + 0 + 3 - 4 ②- 6 登-18 21-4 丸-63 592 6 21 59 -3/2 0 3-4 7 -6 -18 -63规范解法1-3 3-3 121-21-21-2 1-2 10/.商式=A? -2x2 +x-2 ,余式=10.例2用综合除法证明2疋-15疋+10疋- 9能被x+3整除规范证法这里x + 3 = x-（-3）,所以综合除法中的除数应是一3・（注意被除式按降幕排列.缺项补0.）2 0 -15 10 0 一9-6 18 -9 一3 92 —63 1 —3 0因余数是0,所以2云一15疋+ 10疋_9能被x+3整除.当除式为一次式，而一次项系数不是1时.需要把它变成1以后才能用综合除法…例3求2/+X-7除以Zv + 1的商式和余数.规范解法把2“除以2,化为叫，用综合除法.i 3 3即2宀一3除以22的商式"丐巧，余数仍为巧.3但是,商式H 2工—X ----- >2 当除以2才是所求的商式：余数没有变..1 3 3•••商式丄兀+二，余数=_7二.2 4 4为什么余数不变呢？我们用下而的方法验证一下.1 3这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应3用2X3+X-7除以兀+―,得商式2X2-X +-,余数为一7-,即2 2 4=（22）（宀卜+扌。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除法是数学中的一种计算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商式和余式。
本文将介绍多项式除法的基本概念、步骤和示例，并探讨在实际问题中如何应用多项式除法。
1.多项式的基本概念：多项式是由数与变量的乘积相加而成的表达式。
它通常写成形如f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0的形式。
其中，a_n到a_0是多项式的系数，x是多项式的未知数，而n是多项式的次数。
多项式可以表示为单项式的和，而单项式是只有一个项的多项式。
2.多项式除法的步骤：多项式除法的基本步骤可以归纳为以下四个部分。
（1）确定除式和被除式：首先，要确定需要进行除法运算的多项式中的除式和被除式。
被除式是需要被除以的多项式，而除式是用来除以被除式的多项式。
（2）确定商的项数：接下来，需要确定商式的项数。
商式的项数应该比被除式的项数少一个，因为除法运算的结果通常包含一个余式。
（3）进行除法运算：按照一般的除法步骤，从左到右依次进行多项式的除法运算。
首先，将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
然后，将商式的第一项乘以除式，并将结果减去被除式的第一项。
这个结果成为一个新的被除式，然后继续用这个新的被除式进行下一步的除法运算。
重复这个过程，直到无法再进行除法运算为止。
（4）确定余式：当无法再进行除法运算时，最后得到的结果即为余式。
余式是多项式除法的结果，它是除不尽的部分。
3.多项式除法的示例：为了更好地理解多项式除法，我们来看一个具体的例子。
假设有以下的多项式需要进行除法运算：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1我们按照多项式除法的步骤，进行以下计算。
（1）确定除式和被除式：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1（2）确定商的项数：被除式有三项，所以商式应有两项。
（3）进行除法运算：a)将被除式的第一项除以除式的第一项：(2x^3)/(x)=2x^2b)将商式的第一项乘以除式，并减去被除式的第一项：(2x^2)(x-1)=2x^3-2x^22x^3-2x^2-(2x^3-4x^2)=2x^3-2x^2-2x^3+4x^2=2x^2+4x^2=6x^2c)得到新的被除式：6x^2+3x+9d)重复上述步骤，直到无法再进行除法运算：(6x^2)/(x)=6x(6x)(x-1)=6x^2-6x6x^2-6x-(6x^2+3x)=6x^2-6x-6x^2-3x=-9x最后得到的余式为-9x。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
多项式除以多项式
多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+多项式除法示例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。
((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
..把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）..重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
.横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
3整除编辑如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除4应用编辑多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用Rational root theorem（英语：）得到的。
如果一个次多项式的一个根已知，那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。
简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算（一）多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+xxx．因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数． 规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。
类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。
3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。
在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。
而在普通的除法中，余数一般是常数。
另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。
这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。
在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
多项式除以多项式字母公式
多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。
使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。
例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。
首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。
首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。
然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。
以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。
多项式除以多项式.docx
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式——长除法
长除法
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都 按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多 位数相除的演算方法，用竖式进行演算
如： (10 x x 4 6 x ) (10 x 4） (2 x 1)
3 2
1.(2x 9 x 3 x 5) ( x 4 x 3)
3 2 2
2.(3 x 13x x) ( x 4 x 3)
4 3 2
3.(2 x 10 x 15 7 x 6 x ) ( x 4 3x)
5 3 4 2
4.( x 3x 2 x 1) ( x 1)
被除式=除式×商式+余式 注意：1.余式为0或次数低于除式的多项式 2.如果余式为0，那么除式能整除被除式
验算
例1： (5x 2x 1) (1 2x)
2 3
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例2 : (a 40b 5a b 22ab ) (a 4b 3ab)
4 3 2 2
5.(8 x 6 x 13 x 4) (2 x x 2)
4 3 2 2
6.(10 xy 7 x y 2 x 10 y ) ( x 2 y )
2 2 3 3
与因式分解的关系
4 4 3 3 2 2
例3： 2 x 4 x 4除2 x 5x x 2的商
2 4 3 2
练习
1.求x y 除以x y的商
5 5
2.(a b 4a b 2ab ) (a b)
3 3 2 2
例4.(2x 3x 10x 13x 27) ( x 2x 3)
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式除以多项式公式(一)
多项式除以多项式公式(一)多项式除以多项式公式1. 多项式除法概述多项式除法是基于多项式的一种运算方式，用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。
在多项式除法中，被除式除以除式所得的商式和余式均为多项式。
2. 多项式除以一次式多项式除以一次式的公式如下：(ax + b) / (cx + d) = a/c + (bc-ad)/c(cx+d)其中，a、b、c、d为常数，且c不等于0。
示例我们举一个例子来说明多项式除以一次式的公式运算。
假设我们要计算多项式(4x + 2)除以一次式(2x + 1)的商式和余式。
根据上述公式，我们可以计算如下：(4x + 2) / (2x + 1) = 4/2 + (2*1-4)/2(2x+1)= 2 + (-2)/2(2x+1)= 2 - 1/(2x + 1)因此，多项式(4x + 2)除以一次式(2x + 1)的商式为2，余式为-1/(2x + 1)。
3. 多项式除以多项式多项式除以多项式的公式可以通过长除法来实现。
长除法步骤下面列出了多项式除以多项式的长除法步骤： 1. 将除式和被除式按照指数降序排列。
2. 将除式的第一个项与被除式的第一项作除法，得到商项。
3. 用商项乘以除式，并减去得到的乘积结果。
4. 将剩余的多项式进行下一步计算，直到无法再进行除法为止。
示例我们举一个例子来说明多项式除以多项式的长除法步骤。
假设我们要计算多项式(3x^2 + 2x - 1)除以多项式(x + 2)。
根据上述步骤，我们可以进行以下计算：3x - 4x + 2 | 3x^2 + 2x - 1- (3x^2 + 6x)-4x - 1因此，多项式(3x^2 + 2x - 1)除以多项式(x + 2)的商式为3x - 4，余式为-4x - 1。
4. 结论多项式除以多项式公式可以通过多项式除以一次式的公式和长除法步骤实现。
这些公式在多项式运算中具有重要的应用，可用于多项式的化简、因式分解等计算过程。
【数学知识点】数学多项式除以多项式法则
【数学知识点】数学多项式除以多项式法则
多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算得到的表达式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
一般用竖式进行演算：
1.把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐。
2.用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项。
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来。
4.把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止,被除式=除式×商式+余式。
若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
由多项式乘多项式法则可以得到（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd
上面的运算过程，也可以表示为（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
多项式乘以多项式就是利用乘法分配律法则得出的。
在数学中，多项式是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算（非负整数次方）得到的表达式。
对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。
单项式和多项式统称为整式。
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多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式摘要：一、多项式除以多项式的基本概念二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式2.长除法步骤3.化简结果三、实例演示四、注意事项五、总结与拓展正文：多项式除以多项式是代数学中的一个重要内容，它在数学、物理、化学等科学领域具有广泛的应用。
本文将介绍多项式除以多项式的基本概念、步骤和方法，并通过实例进行演示。
最后，我们将总结注意事项，并探讨如何进一步拓展这一领域。
一、多项式除以多项式的基本概念多项式除以多项式，指的是将一个多项式（称为被除式）分解为两个或多个多项式（称为除式）的乘积。
这一过程可以用来求解方程、简化表达式或分析函数性质等。
二、多项式除以多项式的步骤和方法1.准备式在进行多项式除以多项式之前，首先要确定除式。
通常情况下，除式为一个一次或多次多项式。
接下来，将被除式和除式写成标准形式，即按照降幂排列，并去掉两边的同类项。
2.长除法步骤利用长除法，将除式逐步除入被除式。
具体步骤如下：（1）用除式去除被除式的第一项，得到商的第一项；（2）将商的第一项乘以除式，得到一个新的多项式；（3）用新的多项式减去被除式，得到余数；（4）将余数替换被除式，重复步骤（1）至（3），直到余数为零或达到预设精度。
3.化简结果当余数为零时，多项式除法过程结束。
此时，商的多项式即为所求结果。
需要注意的是，商的多项式可能含有分式和有理式，需要进一步化简。
三、实例演示以二次多项式除以一次多项式为例：被除式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1除式：g(x) = x + 1（1）写出准备式：f(x) = 3x^2 + 2x - 1g(x) = x + 1（2）长除法步骤：第一次除法：3x^2 ÷ x = 3x余数：2x - 1第二次除法：2x ÷ 1 = 2x余数：-1第三次除法：-1 ÷ 1 = -1余数：0（3）化简结果：商的多项式为3x - 2，即为所求结果。
四、注意事项1.确定除式：在进行多项式除法时，首先要正确选择除式。
多项式除以多项式
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐． （2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1计算)4()209(2+÷++x x x规范解法 ∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明： （1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法 ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2． ∴)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法 ∴商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．） 因余数是0，所以910152235-+-x x x能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3求723-+x x除以12+x 的商式和余数．规范解法把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法． 但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ．即323-+x x除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
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多项式除以多项式
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：
多项式除以多项式通常以垂直形式计算
（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．
（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项
（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．
（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零
或余数小于除数。
除数=除数×商+余数
如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整
除
多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说
明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法
2.∴（x2）
?9x?20)?(x?4)?x?5.
解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字
母的降序排列
22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．
（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20
岁以下
22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．
（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后
（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.
22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。
规范性解决方案
-1-
五千四百二十二
∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)
32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．
注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）
32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．
什么是综合部？
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。
3
因为除法只处理系数，与X无关，所以方程式（1）可以简化为方程式（2）
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：
-2-
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．
这种多项式除法称为综合除法。
适合将除法公式作为一次公式，一次项系数为1。
示例1使用综合除法查找x？3倍？3倍？3倍？12除以X？商和1的余数。
标准解
432
‡商公式？十、2倍？十、2，余数=10
32
例2证明了2x？15倍？10倍？9可以是x吗？3分部
规范证法这里x?3?x?(?3)，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）
五百三十二
因余数是0，所以2x?15x?10x?9能被x?3整除．
当除法是主除法且主项系数不是1时，需要将其更改为1，然后才能使用综合除法。
例3找到2x？十、7除以2？商和1的余数。
标准解2x？1除以2再除以x？353212，使
用综合除法
但是，商式?2x?x?式；余数没有变．
‡商公式？十、这是因为如果除数被2除，除数保持不变，商增加一倍。
商应该除以2
12x?34，余数??734．
为什么其余部分保持不变？让我们使用以下方法来验证它
-3-
2倍？十、7除以X？312，商2x？十、232，剩下的是什么？734，即
∴2x?x?3??x?3??1??3?32??2x?x???72??2?4??2??2x?1??x?12x?3?3．?7?4?412x?34，
余数仍为?7即2x?x?3除以2x?1的商式?x?
3234．
综合除法与余数定理
综合除法和余数定理是中学数学中非常重要的内容。
它们是研究多项式除法的有力工具。
综合除法和余数定理在中学数学中有着广泛的应用。
在这一部分中，我们将做一些初
步的介绍。
一、综合除法
将一元多项式除以另一元多项式并不总是可除的。
当除以公式F（x），除以公式g （x），（g（x）？0）商公式
q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：
f（x）？g（x）？q（x）？r（x）
其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)?0。
当r(x)?0时，就是f(x)能被g(x)
整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算――综合除法。
例1、用综合除法求2x?14x?4?7x除以x?2所得的商和余式。
432解决方案：
?740?6?14?12?42?4
? 82? 3.6.2.余数商每项的系数（2x？14x？4？7x）？（x？2）的商是2x？3倍？6x？
2.剩下的是8。
上述综合划分的步骤如下：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）将除数2的第二项变为2，并将其写在除数的右边，中间用垂直线分隔。
（3）
将除法公式第一项的系数2移到水平线下方，以获得商的第一项的系数。
（4）将2乘以
商的第一项的系数2得到4，它写在除法公式的第二项的系数-7下面，与
-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）将2乘以商-3第二项的系数，得到-6，它写在除法公式第三项的系数0之下，
同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）将2乘以商-6第三项的系数得到-12，它写在除法公式第四项的系数14下面，
同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）将商的常数项2乘以2得到4。
把它写在除法公式的常数项4下面，加上4得
到4
余式8。
之前，我们讨论了除数都是主项系数为1的主公式的情况。
如果除法是二次型的，但
主项的系数不是1，我们可以用综合除法来计算它吗？
-4-
4332例2。
寻找（3x？10x？23x？16）？商Q和（3x？2）的余数r。
解决方案：如果除法减少三倍，商将扩大三倍，但余数保持不变。
所以先用x？只是
3223去除被除式，再把所得的商缩小3倍
33? 10? 2.23? 8.15? 16? 10233? 31∴q=x？4x？5，r=6
2?12?5?6
? 接下来，我们将进一步推广综合除法，这样当除法是二次多项式或多于二次多项式时，我们也可以使用综合除法来求商和余数。
例3、用综合除法求(3x?7x?11x?10x?4)?(x?3x?2)的商q和余式r。
43223? 7.9? 11? 66? 10? 4.3.2.4.3.2.二
解：
? 32? 2.1.3.∴q=3x？2倍？5，r=3x？2.
二、余数定理
余数定理也称为培树定理。
它是由法国数学家裴树（1730~1783）发现的。
余项定理
在研究多项式和讨论方程中起着重要作用。
余数定理：多项式f(x)除以x?a所得的余数等于f(a)。
略证：设f(x)?q(x)?(x?a)?r 将x=a代入得f(a)?r。
例4。
确定m的值，使多项式f（x）？十、3倍？8x？11倍？M可以除以X-1。
解决
方案：根据问题的意思，f（x）包含因子x-1，那么f（1）？0∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。
可以得到M=-17。
求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除
和被x-2除所得的余数相同。
解：设f(x)?x?ax?b
∵ f（x）乘x？3除以1，f（3）？9? 3a？B一
①
2543∵ f（x）？除以1和X？2.通过除法得到的余数是相同的，f（1）？F（2），即1？A.B4.2a？B② 从…起② 到a？？3.替换① 为了得到B？1.∴f（x）？十、3倍？1.
注：本例也可用待定系数法来解。
同学们不妨试一试。
-5-
2。